Es domāju, ka esat pelnījis vairāk. Šeit ir mana trigonometrijas atslēga:

• Uzzīmējiet kupolu, sienu un griestus
• Trigonometriskās funkcijas nav nekas cits kā šo trīs formu procenti.

Metafora sinusam un kosinusam: kupols

Tā vietā, lai skatītos tikai uz pašiem trijstūriem, iedomājieties tos darbībā, atrodot kādu konkrētu reālās dzīves piemēru.

Iedomājieties, ka atrodaties kupola vidū un vēlaties piekārt filmas projektora ekrānu. Jūs rādāt ar pirkstu uz kupolu kādā "x" leņķī, un no šī punkta vajadzētu piekārt ekrānu.

Leņķis, uz kuru norādāt, nosaka:

• sinusa(x) = sin(x) = ekrāna augstums (no grīdas līdz kupola stiprinājuma vietai)
• kosinuss(x) = cos(x) = attālums no jums līdz ekrānam (stāvā)
• hipotenūza, attālums no jums līdz ekrāna augšdaļai, vienmēr vienāds, vienāds ar kupola rādiusu

Vai vēlaties, lai ekrāns būtu pēc iespējas lielāks? Pakariet to tieši virs jums.

Vai vēlaties, lai ekrāns karātos pēc iespējas tālāk no jums? Pakariet to taisni perpendikulāri. Ekrāna augstums šajā pozīcijā būs nulle, un tas karājas tik tālu atpakaļ, cik prasījāt.

Augstums un attālums no ekrāna ir apgriezti proporcionāli: jo tuvāk ekrāns karājas, jo augstāks būs tā augstums.

Sinuss un kosinuss ir procenti

Diemžēl neviens manos studiju gados man nepaskaidroja, ka trigonometriskās funkcijas sinuss un kosinuss nav nekas cits kā procenti. To vērtības svārstās no +100% līdz 0 līdz -100% vai no pozitīva maksimuma līdz nullei līdz negatīvam maksimumam.

Teiksim, es samaksāju nodokli 14 rubļus. Jūs nezināt, cik tas ir. Bet, ja jūs sakāt, ka es samaksāju 95% nodoklī, jūs sapratīsit, ka mani vienkārši nodīrāja kā lipīgu.

Absolūtais augstums neko nenozīmē. Bet, ja sinusa vērtība ir 0,95, tad es saprotu, ka televizors karājas gandrīz virs jūsu kupola. Ļoti drīz tas sasniegs maksimālo augstumu kupola centrā un pēc tam atkal sāks kristies.

Kā mēs varam aprēķināt šo procentuālo daļu? Ļoti vienkārši: sadaliet pašreizējo ekrāna augstumu ar maksimālo iespējamo (kupola rādiusu, ko sauc arī par hipotenūzu).

Tāpēc mums saka, ka "kosinuss = pretējā kāja / hipotenūza". Tas viss, lai iegūtu procentus! Labākais veids, kā definēt sinusu, ir “pašreizējā augstuma procentuālā daļa no maksimālā iespējamā”. (Sinuss kļūst negatīvs, ja jūsu leņķis rāda "pazemē". Kosinuss kļūst negatīvs, ja leņķis norāda uz kupola punktu aiz jums.)

Vienkāršosim aprēķinus, pieņemot, ka esam vienības apļa centrā (rādiuss = 1). Mēs varam izlaist dalījumu un vienkārši ņemt sinusu, kas vienāds ar augstumu.

Katrs aplis faktiski ir viens, palielināts vai samazināts līdz vajadzīgajam izmēram. Tāpēc nosakiet attiecības vienības aplī un izmantojiet rezultātus savam konkrētajam apļa izmēram.

Eksperiments: paņemiet jebkuru stūri un skatiet, cik procentu no augstuma pret platumu tas parāda:

Sinusa vērtības pieauguma grafiks nav tikai taisna līnija. Pirmie 45 grādi aptver 70% no augstuma, bet pēdējie 10 grādi (no 80° līdz 90°) – tikai 2%.

Tas jums padarīs skaidru: ja jūs ejat pa apli, 0 ° jūs paceļaties gandrīz vertikāli, bet, tuvojoties kupola augšai, augstums mainās arvien mazāk.

Pieskares un sekants. Siena

Kādu dienu kaimiņš uzcēla sienu tieši mugura pret muguru uz savu kupolu. Raudāja jūsu loga skats un laba tālākpārdošanas cena!

Bet vai šajā situācijā ir iespējams kaut kā uzvarēt?

Protams, jā. Ko darīt, ja mēs piekārtu filmas ekrānu tieši pie kaimiņa sienas? Jūs mērķējat uz stūri (x) un iegūstat:

• iedegums (x) = iedegums (x) = ekrāna augstums uz sienas
• attālums no jums līdz sienai: 1 (tas ir jūsu kupola rādiuss, siena nekur no jums nepārvietojas, vai ne?)
• secant(x) = sec(x) = "kāpņu garums" no jums, kas stāv kupola centrā līdz piekārtā ekrāna augšdaļai

Noskaidrosim dažas lietas par pieskares jeb ekrāna augstumu.

• tas sākas ar 0 un var būt bezgalīgi augsts. Varat izstiept ekrānu arvien augstāk pie sienas, lai iegūtu tikai bezgalīgu audeklu savas iecienītākās filmas skatīšanai! (Par tik milzīgu, protams, jums būs jātērē daudz naudas).
• tangenss ir tikai palielināta sinusa versija! Un, kamēr sinusa augšana palēninās, virzoties uz kupola augšdaļu, tangenss turpina augt!

Sekansu ir arī ar ko lepoties:

• sekants sākas no 1 (kāpnes atrodas uz grīdas, prom no jums pret sienu) un sākas no turienes augšup
• Sekants vienmēr ir garāks par tangensu. Slīpajām kāpnēm, ar kurām pakarināt ekrānu, ir jābūt garākām par pašu ekrānu, vai ne? (Nereāliem izmēriem, kad ekrāns ir ļoooti garš un kāpnes jānovieto gandrīz vertikāli, to izmēri ir gandrīz vienādi. Bet arī tad sekants būs nedaudz garāks).

Atcerieties, ka vērtības ir procentiem. Ja nolemjat pakārt ekrānu 50 grādu leņķī, iedegums(50)=1,19. Jūsu ekrāns ir par 19% lielāks nekā attālums līdz sienai (kupola rādiuss).

(Ievadiet x=0 un pārbaudiet savu intuīciju — tan(0) = 0 un sec(0) = 1.)

Kotangente un kosekante. Griesti

Neticami, jūsu kaimiņš tagad ir nolēmis uzcelt griestus virs jūsu kupola. (Kas ar viņu notiek? Acīmredzot viņš nevēlas, lai tu viņu lūrētu, kamēr viņš kails staigā pa pagalmu...)

Nu laiks būvēt izeju uz jumtu un aprunāties ar kaimiņu. Jūs izvēlaties slīpuma leņķi un sāciet būvēt:

• vertikālais attālums starp jumta izeju un grīdu vienmēr ir 1 (kupola rādiuss)
• kotangenta (x) = cot (x) = attālums starp kupola augšdaļu un izejas punktu
• kosekants(x) = csc(x) = jūsu ceļa garums uz jumtu

Tangenss un sekants raksturo sienu, bet kotangenss un kosekants raksturo grīdu.

Mūsu intuitīvie secinājumi šoreiz ir līdzīgi iepriekšējiem:

• Ja paņemat 0° leņķi, jūsu izeja uz jumtu ilgs mūžīgi, jo tā nekad nesasniegs griestus. Problēma.
• Īsākās “kāpnes” uz jumtu tiks iegūtas, ja tās uzbūvēsiet 90 grādu leņķī pret grīdu. Kotangenss būs vienāds ar 0 (mēs vispār nepārvietojamies pa jumtu, izejam stingri perpendikulāri), un kosekants būs vienāds ar 1 (“kāpņu garums” būs minimāls).

Vizualizējiet savienojumus

Ja visi trīs korpusi tiek uzzīmēti kupola-siena-grīdas kombinācijā, tiks iegūts:

Nu, oh, tas viss ir viens un tas pats trīsstūris, palielināts, lai sasniegtu sienu un griestus. Mums ir vertikālās puses (sinuss, tangenss), horizontālās puses (kosinuss, kotangenss) un “hipotenusas” (sekants, kosekants). (Pēc bultiņām var redzēt, cik tālu katrs elements sasniedz. Kosekants ir kopējais attālums no jums līdz jumtam).

Mazliet maģijas. Visiem trijstūriem ir vienādas vienādības:

No Pitagora teorēmas (a 2 + b 2 = c 2) redzam, kā ir savienotas katra trijstūra malas. Turklāt augstuma un platuma attiecībai ir jābūt vienādai visiem trijstūriem. (Vienkārši atkāpieties no lielākā trīsstūra uz mazāko. Jā, izmērs ir mainījies, bet malu proporcijas paliks nemainīgas).

Zinot, kura mala katrā trīsstūrī ir 1 (kupola rādiuss), mēs varam viegli aprēķināt, ka "sin/cos = tan/1".

Es vienmēr esmu mēģinājis atcerēties šos faktus, izmantojot vienkāršu vizualizāciju. Attēlā jūs varat skaidri redzēt šīs atkarības un saprast, no kurienes tās rodas. Šis paņēmiens ir daudz labāks nekā sauso formulu iegaumēšana.

Neaizmirstiet citus leņķus

Shh… Nav nepieciešams palikt pie viena grafika, domājot, ka tangenss vienmēr ir mazāks par 1. Ja palielināsiet leņķi, jūs varat sasniegt griestus, nesasniedzot sienu:

Pitagora savienojumi vienmēr darbojas, taču relatīvie izmēri var būt dažādi.

(Jūs droši vien esat pamanījuši, ka sinusa un kosinusa attiecība vienmēr ir vismazākā, jo tie ir ietverti kupolā.)

Rezumējot: kas mums jāatceras?

Lielākajai daļai no mums es teiktu, ka ar to pietiks:

• trigonometrija izskaidro matemātisko objektu, piemēram, apļu un atkārtojošos intervālu, anatomiju
• kupola/sienu/jumta analoģija parāda saistību starp dažādām trigonometriskām funkcijām
• trigonometrisko funkciju rezultāts ir procenti, ko mēs izmantojam savam scenārijam.

Jums nav jāiegaumē tādas formulas kā 1 2 + gultiņa 2 = csc 2 . Tie ir piemēroti tikai stulbiem testiem, kuros zināšanas par faktu tiek pasniegtas kā tā izpratne. Veltiet minūti, lai uzzīmētu pusloku kupola, sienas un jumta formā, parakstītu elementus, un visas formulas tiks lūgtas jums uz papīra.

Pielietojums: apgrieztās funkcijas

Jebkura trigonometriskā funkcija izmanto leņķi kā ievadi un atgriež rezultātu procentos. grēks(30) = 0,5. Tas nozīmē, ka 30 grādu leņķis aizņem 50% no maksimālā augstuma.

Apgrieztā trigonometriskā funkcija ir uzrakstīta kā sin -1 vai arcsin (“arksīns”). To bieži raksta arī dažādās programmēšanas valodās.

Ja mūsu augstums ir 25% no kupola augstuma, kāds ir mūsu leņķis?

Mūsu proporciju tabulā jūs varat atrast attiecību, kur sekants tiek dalīts ar 1. Piemēram, sekants ar 1 (hipotenūza pret horizontāli) būs vienāds ar 1, dalīts ar kosinusu:

Pieņemsim, ka mūsu secants ir 3,5, t.i. 350% no vienības apļa rādiusa. Kādam slīpuma leņķim pret sienu šī vērtība atbilst?

Pielikums: Daži piemēri

Piemērs: atrodiet leņķa x sinusu.

Garlaicīgs uzdevums. Sarežģīsim banālo “atrast sinusu” līdz “Kāds ir augstums procentos no maksimuma (hipotenūza)?”.

Pirmkārt, ievērojiet, ka trīsstūris ir pagriezts. Tur nav nekā slikta. Trīsstūrim ir arī augstums, attēlā tas ir parādīts zaļā krāsā.

Ar ko ir vienāda hipotenūza? Pēc Pitagora teorēmas mēs zinām, ka:

3 2 + 4 2 = hipotenūza 2 25 = hipotenūza 2 5 = hipotenūza

Nu labi! Sinuss ir procentuālā daļa no augstuma no trijstūra garākās malas jeb hipotenūzas. Mūsu piemērā sinuss ir 3/5 vai 0,60.

Protams, mēs varam iet vairākos veidos. Tagad mēs zinām, ka sinuss ir 0,60, un mēs varam vienkārši atrast arcsinusu:

Asin(0,6)=36,9

Un šeit ir cita pieeja. Ņemiet vērā, ka trīsstūris ir "aci pret aci ar sienu", tāpēc sinusa vietā varam izmantot tangensu. Augstums ir 3, attālums līdz sienai ir 4, tātad tangenss ir ¾ jeb 75%. Mēs varam izmantot loka tangensu, lai pārietu no procentiem atpakaļ uz leņķi:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Piemērs: vai tu peldēsi uz krastu?

Jūs esat laivā un jums ir pietiekami daudz degvielas, lai nobrauktu 2 km. Tagad jūs esat 0,25 km attālumā no krasta. Kādā maksimālā leņķī pret krastu var piepeldēt līdz tai, lai pietiktu degvielas? Papildinājums problēmas nosacījumam: mums ir tikai loka kosinusa vērtību tabula.

Kas mums ir? Piekrastes līniju var attēlot kā "sienu" mūsu slavenajā trīsstūrī, un pie sienas piestiprināto "kāpņu garumu" var attēlot kā maksimālo iespējamo attālumu ar laivu līdz krastam (2 km). Parādās sekants.

Pirmkārt, jums ir jāpārslēdzas uz procentiem. Mums ir 2 / 0,25 = 8, kas nozīmē, ka mēs varam peldēt 8 reizes taisni līdz krastam (vai līdz sienai).

Rodas jautājums “Kas ir 8. sekants?”. Bet mēs nevaram sniegt atbildi uz to, jo mums ir tikai loka kosinusi.

Mēs izmantojam mūsu iepriekš atvasinātās atkarības, lai kartētu sekantu ar kosinusu: “sec/1 = 1/cos”

8 sekants ir vienāds ar ⅛ kosinusu. Leņķis, kura kosinuss ir ⅛, ir acos(1/8) = 82,8. Un tas ir lielākais leņķis, ko varam atļauties laivā ar norādīto degvielas daudzumu.

Nav slikti, vai ne? Bez kupola-siena-griestu analoģijas es apjuktu virknē formulu un aprēķinu. Problēmas vizualizēšana ievērojami vienkāršo risinājuma meklēšanu, turklāt ir interesanti redzēt, kura trigonometriskā funkcija galu galā palīdzēs.

Katram uzdevumam padomājiet šādi: vai mani interesē kupols (sin/cos), siena (tan/sec) vai griesti (gultiņa/csc)?

Un trigonometrija kļūs daudz patīkamāka. Viegli aprēķini jums!

Sinuss ir viena no trigonometriskajām pamatfunkcijām, kuras pielietojums neaprobežojas tikai ar ģeometriju. Tabulas trigonometrisko funkciju aprēķināšanai, piemēram, inženiertehniskie kalkulatori, ne vienmēr ir pa rokai, un sinusa aprēķins dažreiz ir nepieciešams, lai atrisinātu dažādas problēmas. Kopumā sinusa aprēķins palīdzēs nostiprināt zīmēšanas prasmes un zināšanas par trigonometriskajām identitātēm.

Lineālu un zīmuļu spēles

Vienkāršs uzdevums: kā atrast uz papīra uzzīmēta leņķa sinusu? Lai atrisinātu, jums ir nepieciešams parasts lineāls, trīsstūris (vai kompass) un zīmulis. Vienkāršākais veids, kā aprēķināt leņķa sinusu, ir trijstūra ar taisnleņķa tālāko kāju dalot ar garo malu - hipotenūzu. Tādējādi vispirms ir jāpabeidz akūts leņķis pret taisnleņķa trijstūra figūru, novelkot līniju, kas ir perpendikulāra vienam no stariem patvaļīgā attālumā no leņķa virsotnes. Būs jāievēro tieši 90 ° leņķis, kuram mums ir nepieciešams rakstīšanas trīsstūris.

Kompasa izmantošana ir nedaudz precīzāka, taču prasīs ilgāku laiku. Uz viena no stariem ir jāatzīmē 2 punkti noteiktā attālumā, uz kompasa jāiestata rādiuss, kas ir aptuveni vienāds ar attālumu starp punktiem, un šajos punktos jāvelk pusloki ar centriem, līdz šīs līnijas krustojas. Savienojot mūsu apļu krustošanās punktus savā starpā, mēs iegūsim stingru perpendikulāru mūsu leņķa staram, atliek tikai pagarināt līniju, līdz tā krustojas ar citu staru.

Iegūtajā trijstūrī ar lineālu jāizmēra mala, kas atrodas pretī stūrim, un garā mala vienā no stariem. Pirmā mērījuma attiecība pret otro būs vēlamā akūta leņķa sinusa vērtība.

Atrodiet sinusu leņķim, kas lielāks par 90°

Strupam leņķim uzdevums nav daudz grūtāks. Ir nepieciešams uzvilkt staru no virsotnes pretējā virzienā, izmantojot lineālu, lai izveidotu taisnu līniju ar vienu no mums interesējošā leņķa stariem. Ar iegūto akūto leņķi jārīkojas, kā aprakstīts iepriekš, blakus esošo leņķu sinusi, kas kopā veido attīstītu 180 ° leņķi, ir vienādi.

Sinusa aprēķināšana no citām trigonometriskām funkcijām

Arī sinusa aprēķins ir iespējams, ja ir zināmas citu leņķa trigonometrisko funkciju vērtības vai vismaz trijstūra malu garums. Šajā jautājumā mums palīdzēs trigonometriskās identitātes. Apskatīsim izplatītākos piemērus.

Kā atrast sinusu ar zināmu leņķa kosinusu? Pirmā trigonometriskā identitāte, kas nāk no Pitagora teorēmas, saka, ka viena un tā paša leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir vienāda ar vienu.

Kā atrast sinusu ar zināmu leņķa tangensu? Pieskares punktu iegūst, dalot tālāko kāju ar tuvāko vai dalot sinusu ar kosinusu. Tādējādi sinuss būs kosinusa un pieskares reizinājums, un sinusa kvadrāts būs šī reizinājuma kvadrāts. Kvadrātveida kosinusu aizstājam ar atšķirību starp vienotību un kvadrātveida sinusu atbilstoši pirmajai trigonometriskajai identitātei un, veicot vienkāršas manipulācijas, mēs izveidojam vienādojumu kvadrātveida sinusa aprēķināšanai caur tangensu, attiecīgi, lai aprēķinātu sinusu, jums būs no iegūtā rezultāta izvelciet sakni.

Kā atrast sinusu ar zināmu leņķa kotangensu? Kotangensu var aprēķināt, dalot tuvās kājas garumu no kājas leņķa ar tālāko garumu, kā arī dalot kosinusu ar sinusu, tas ir, kotangenss ir pieskares apgrieztā funkcija attiecībā uz uz skaitli 1. Lai aprēķinātu sinusu, varat aprēķināt tangensu, izmantojot formulu tg α \u003d 1 / ctg α, un izmantot formulu otrajā variantā. Varat arī iegūt tiešo formulu pēc analoģijas ar tangensu, kas izskatīsies šādi.

Kā atrast trijstūra trīs malu sinusu

Ir formula jebkura trijstūra, ne tikai taisnleņķa trijstūra, nezināmās malas garuma atrašanai, ņemot vērā divas zināmās malas, izmantojot pretējā leņķa kosinusa trigonometrisko funkciju. Viņa izskatās šādi.

Nu, sinusu var tālāk aprēķināt no kosinusa saskaņā ar iepriekš minētajām formulām.

Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trīsstūris.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kosinuss

Tiek saukta tuvākās kājas attiecība pret hipotenūzu asā leņķa kosinuss taisnleņķa trīsstūris.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Taisnleņķa trijstūra akūtā leņķa pieskare

Tiek saukta pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju asā leņķa tangenss taisnleņķa trīsstūris.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Taisnleņķa trijstūra asā leņķa kotangenss

Tiek saukta blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kāju akūta leņķa kotangenss taisnleņķa trīsstūris.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Patvaļīga leņķa sinuss

Tiek izsaukta vienību apļa punkta ordināta, kurai atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa sinuss rotācija \alpha .

\sin \alpha=y

Patvaļīga leņķa kosinuss

Tiek izsaukta abscisa punktam uz vienības apļa, kuram atbilst leņķis \alpha patvaļīga leņķa kosinuss rotācija \alpha .

\cos \alpha=x

Patvaļīga leņķa pieskare

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa sinusa attiecība pret tā kosinusu patvaļīga leņķa tangensa rotācija \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Patvaļīga leņķa kotangenss

Tiek saukta patvaļīga rotācijas leņķa \alfa kosinusa attiecība pret tā sinusu patvaļīga leņķa kotangenss rotācija \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Patvaļīga leņķa atrašanas piemērs

Ja \alpha ir kāds leņķis AOM , kur M ir punkts uz vienības apļa, tad

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Piemēram, ja \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tad: punkta M ordināta ir -\frac(\sqrt(2))(2), abscisa ir \frac(\sqrt(2))(2) un tāpēc

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kotangenšu pieskares sinusu un kosinusu vērtību tabula

Galveno bieži sastopamo leņķu vērtības ir norādītas tabulā:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360 ^(\circ)\left(2\pi\right)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Trigonometrija kā zinātne radās Senajos Austrumos. Pirmās trigonometriskās attiecības izstrādāja astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientētos pēc zvaigznēm. Šie aprēķini attiecās uz sfērisko trigonometriju, savukārt skolas kursā tiek pētīta plakana trīsstūra malu un leņķa attiecība.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar trigonometrisko funkciju īpašībām un saistību starp trijstūra malām un leņķiem.

Kultūras un zinātnes uzplaukuma laikā mūsu ēras 1. gadu tūkstotī zināšanas no Senajiem Austrumiem izplatījās uz Grieķiju. Taču galvenie trigonometrijas atklājumi ir arābu kalifāta vīru nopelni. Jo īpaši Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā tangenss un kotangenss, sastādīja pirmās sinusu, pieskares un kotangenšu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienu ieviesa Indijas zinātnieki. Liela uzmanība trigonometrijai veltīta tādu senatnes personību kā Eiklīds, Arhimēds un Eratostens darbos.

Trigonometrijas pamatlielumi

Skaitliskā argumenta trigonometriskās pamatfunkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Katram no tiem ir savs grafiks: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēniem tas ir labāk zināms formulējumā: “Pitagora bikses, vienādas visos virzienos”, jo pierādījums ir sniegts vienādsānu taisnstūra trīsstūra piemērā.

Sinuss, kosinuss un citas atkarības nosaka attiecības starp jebkura taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem un malām. Mēs sniedzam formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekojam trigonometrisko funkciju attiecības:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztas funkcijas. Ja kāju a attēlojam kā grēka A un hipotenūzas c reizinājumu, un kāju b kā cos A * c, tad iegūstam šādas pieskares un kotangences formulas:

trigonometriskais aplis

Grafiski minēto daudzumu attiecību var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā apzīmē visas iespējamās leņķa α vērtības - no 0° līdz 360°. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai atkarībā no leņķa ir negatīva vai pozitīva vērtība. Piemēram, grēks α būs ar “+” zīmi, ja α pieder apļa I un II ceturtdaļai, tas ir, tas ir diapazonā no 0 ° līdz 180 °. Ja α no 180° līdz 360° (III un IV ceturtdaļa), sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskās tabulas konkrētiem leņķiem un noskaidrot lielumu nozīmi.

α vērtības, kas vienādas ar 30°, 45°, 60°, 90°, 180° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Viņiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas īpašu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās attiecas uz radiāniem. Rad ir leņķis, kurā apļveida loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai izveidotu universālu attiecību; aprēķinot radiānos, faktiskajam rādiusa garumam cm nav nozīmes.

Leņķi trigonometrisko funkciju tabulās atbilst radiānu vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis jeb 360°.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai aplūkotu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, tangensa un kotangenta pamatīpašības, nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes veidā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet salīdzinošu sinusa viļņa un kosinusa viļņa īpašību tabulu:

sinusoidāls	kosinusa vilnis
y = grēks x	y = cos x
ODZ [-1; viens]	ODZ [-1; viens]
sin x = 0, ja x = πk, kur k ϵ Z	cos x = 0, ja x = π/2 + πk, kur k ϵ Z
sin x = 1, ja x = π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = 1, ja x = 2πk, kur k ϵ Z
sin x = - 1, pie x = 3π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = - 1, ja x = π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, t.i., nepāra funkcija	cos (-x) = cos x, t.i., funkcija ir pāra
	funkcija ir periodiska, mazākais periods ir 2π
sin x › 0, ar x pieder I un II ceturtdaļai vai no 0° līdz 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ar x pieder I un IV ceturtdaļai vai no 270° līdz 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ar x pieder III un IV ceturtdaļai vai no 180° līdz 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ar x pieder pie II un III ceturkšņa vai no 90° līdz 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
palielinās intervālā [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	palielinās intervālā [-π + 2πk, 2πk]
samazinās uz intervāliem [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	intervālos samazinās
atvasinājums (sin x)' = cos x	atvasinājums (cos x)’ = - sin x

Noteikt, vai funkcija ir pāra vai nē, ir ļoti vienkārši. Pietiek iedomāties trigonometrisku apli ar trigonometrisko lielumu zīmēm un garīgi “salocīt” grafiku attiecībā pret OX asi. Ja zīmes ir vienādas, funkcija ir pāra, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusoīda un kosinusa viļņa galveno īpašību uzskaitījums ļauj mums izveidot šādu modeli:

Ir ļoti viegli pārbaudīt formulas pareizību. Piemēram, ja x = π/2, sinuss ir vienāds ar 1, tāpat kā kosinuss no x = 0. Pārbaudi var veikt, aplūkojot tabulas vai izsekojot funkciju līknes dotajām vērtībām.

Tangentoīda un kotangentoīda īpašības

Pieskares un kotangentes funkciju grafiki būtiski atšķiras no sinusoīda un kosinusa viļņa. Vērtības tg un ctg ir apgrieztas viena otrai.

1. Y = tgx.
2. Pieskarei ir tendence uz y vērtībām pie x = π/2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
3. Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
5. Tg x = 0, ja x = πk.
6. Funkcija palielinās.
7. Tg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, ja x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Atvasinājums (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Apsveriet tālāk tekstā redzamo kotangentoīda grafisko attēlojumu.

Kotangentoīda galvenās īpašības:

1. Y = ctgx.
2. Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoīdā Y var iegūt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
3. Kotangentoīds tiecas uz y vērtībām pie x = πk, bet nekad tās nesasniedz.
4. Kotangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
6. Ctg x = 0, ja x = π/2 + πk.
7. Funkcija samazinās.
8. Ctg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, ja x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Atvasinājums (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Šajā rakstā mēs visaptveroši apskatīsim . Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.

Mēs nekavējoties uzskaitām galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Mēs tos pierakstām tabulā, un tālāk mēs sniedzam šo formulu atvasinājumus un sniedzam nepieciešamos paskaidrojumus.

Lapas navigācija.

Viena leņķa sinusa un kosinusa saistība

Dažreiz viņi runā nevis par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns . Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no pamata trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas ar un attiecīgi, un vienādības un izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Mēs to sīkāk apspriedīsim turpmākajos punktos.

Tas nozīmē, ka īpašu interesi rada vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.

Pirms trigonometriskās pamatidentitātes pierādīšanas sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.

Ļoti bieži tiek izmantota pamata trigonometriskā identitāte trigonometrisko izteiksmju transformācija. Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne retāk pamata trigonometriskā identitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.

Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu

Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar formas un viena leņķa sinusu un kosinusu uzreiz izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, , un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, .

Sakarā ar šo identitāšu acīmredzamību un bieži vien tangensa un kotangenta definīcijas tiek dotas nevis caur abscisu un ordinātu attiecību, bet gan caur sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa pieskare ir šī leņķa sinusa attiecība pret kosinusu, bet kotangensa ir kosinusa attiecība pret sinusu.

Noslēdzot šo sadaļu, jāatzīmē, ka identitātes un turēt uz visiem tādiem leņķiem, kuriem ir jēga tajos esošajām trigonometriskajām funkcijām. Tātad formula ir derīga jebkuram citam, izņemot (pretējā gadījumā saucējs būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .

Attiecības starp tangensu un kotangensu

Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā divas iepriekšējās ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu. . Ir skaidrs, ka tas notiek visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.

Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes . Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš un , tad .

Tātad viena leņķa tangenss un kotangenss, pie kura tiem ir jēga, ir.