Углы равнобедренной трапеции. Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о решении задач с трапецией. Данная группа заданий входит в состав экзамена, задачки простые. Будем вычислять углы трапеции, основания и высоты. Решение ряда задач сводится к решению , как говориться: куда мы без теоремы Пифагора, ?
Работать будем с равнобедренной трапецией. У неё равны боковые стороны и углы при основаниях. О трапеции есть статья на блоге, .
Отметим небольшой и важный нюанс, который в процессе решения самих заданий подробно расписывать не будем. Посмотрите, если у нас дано два основания, то большее основание высотами, опущенными к нему, разбивается на три отрезка – один равен меньшему основанию (это противолежащие стороны прямоугольника), два других равны друг другу (это катеты равных прямоугольных треугольников):
Простой пример: дано два основания равнобедренной трапеции 25 и 65. Большее основание разбивается на отрезки следующим образом:
*И ещё! В задачах не введены буквенные обозначения. Это сделано умышленно, чтобы не перегружать решение алгебраическими изысками. Согласен, что это математически неграмотно, но цель донести суть. А обозначения вершин и прочих элементов вы всегда можете сделать сами и записать математически корректное решение.
Рассмотрим задачи:
27439. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
Для того чтобы найти угол необходимо построить высоты. На эскизе обозначим данные в условии величины. Нижнее основание равно 65, высотами оно разбивается на отрезки 7, 51 и 7:
В прямоугольном треугольнике нам известна гипотенуза и катет, можем найти второй катет (высоту трапеции) и далее уже вычислить синус угла.
По теореме Пифагора указанный катет равен:
Таким образом:
Ответ: 0,96
27440. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен 5/7. Найдите боковую сторону.
Построим высоты и отметим данные в условии величины, нижнее основание разбивается на отрезки 15, 43 и 15:
27441. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен (2√10)/7. Найдите меньшее основание.
Построим высоты. Для того чтобы найти меньшее основание нам необходимо найти чему равен отрезок являющийся катетом в прямоугольном треугольнике (обозначен синим):
Можем вычислить высоту трапеции, а затем найти катет:
По теореме Пифагора вычисляем катет:
Таким образом, меньшее основание равно:
27442. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен 5/11. Найдите высоту трапеции.
Построим высоты и отметим данные в условии величины. Нижнее основание разбивается на отрезки:
Что делать? Выражаем тангенс известного нам угла при основании в прямоугольном треугольнике:
27443. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен 13/8. Найдите большее основание.
Строим высоты и вычисляем чему равен катет:
Таким образом большее основание будет равно:
27444. Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла.
Строим высоты и отмечаем известные величины на эскизе. Нижнее основание разбивается на отрезки 35, 17, 35:
По определению тангенса:
77152. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону.
Построим эскиз, построим высоты и отметим известные величины, большее основание разбивается на отрезки 3, 6 и 3:
Выразим гипотенузу обозначенную как х через косинус:
Из основного тригонометрического тождества найдём cosα
Таким образом:
27818. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50 0 ? Ответ дайте в градусах.
Из курса геометрии нам известно, что если имеем две параллельные прямые и секущую, что сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 . В нашем случае это
C условии сказано, что разность противолежащих углов равна 50 0 , то есть
Из точек D и C опустим две высоты:
Как уже сказано выше они разбивают большее основание на три отрезка: один равен меньшему основанию, два других равны друг другу.
В данном случае они равны 3, 9 и 3 (в сумме 15). Кроме того, отметим что высотами отсекаются прямоугольные треугольники, причём они являются равнобедренными, так как углы при основании равны по 45 0 . Отсюда следует, что высота трапеции будет равна 3.
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр.
1.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 15 , а cosA=корень221\15.Найдите высоту проведённую к основанию2.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 2, а высота, проведённая к основанию равна корень из 3. Найдите косинус угла A.
3.В треугольнике ABC AC=BC , AB=32 , cosA=4\5. найдите высоту CH
равнобедренной трапеции. ПОЖАЛУЙСТА С РИСУНКОМ И В ПОДРОБНОСТЯХ
Помогите пожалуйста:)
Прямые AM, BN и CO параллельны, DM = MN = NO. Найдите:
1) длину отрезка DC, если:
а) AB=12; б) BC=9см; в) AD = m
2) длину отрезка AB, если:
а) BD=16см; б) AC=18 см: в) DC=b
3) длину отрезка AC, если:
а) CD=27 см; б) DC=36см; в) DB=a
Пожалуйста завтра надо:(
2. начертите произвольный отрезок AB, Разделите его:
а) на 5 равных частей
б) на 6 равных частей
3. Найдите углы равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне и в два раза меньше другого основания.
Расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 и 8 см найти площадь трапеции. задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С =90 градусов) АВ=10 см, радиус вписанной в нее окружности равен 2 см. Найти площадь этого треугольника. задача 4. Точка делит хорду АВ на отрезки 12 и 16 см Найти диаметр окружности, если расстояние от точки С до центра окружности равно 8 см. задача 5. Ав и Вс отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 10 см. Найти периметр четырехугольника АВСО, если угол АОС=120 градусов. .
1.)В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB в два раза больше его основания AC, а периметр равен 30см. Найдите основание АС2.)В треугольнике ABC медиана BD является биссектрисой треугольника. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника ABD равен 16см, а медиана BD равна 5см.
3.)Определите вид треугольника, если одна его сторона равна 5см, а другая -
3см, а периметр равен 7см.
4.)Отрезок AK - высота равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию BC. Найдите углы BAK и BKA, если угол BAC=46 градусов.
5.)Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Определите угол 2, если угол 1 - 68 градусов.
6.)В треугольнике ABC проведена медиана СМ. Известно, что СМ = МВ, угол MAC = 53 градуса, угол MBC = 37градусов. Найдите угол АСВ.
7.)Определите вид треугольника, две высоты которого лежал вне треугольника, и сделайте рисунок, если такой треугольник существует.
8.)Медиана BM треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите АВ, если АС = 12 см.
В самом начале уточним, что трапеция – это геометрическая фигура, которая представляет собой четырехугольник с двумя параллельными противолежащими сторонами. Они-то и называются основаниями трапеции, а две другие – её боковыми сторонами. При соединении центральных точек боковых сторон можно получить среднюю линию фигуры. Эти свойства трапеции лежат в основе вычисления всех остальных ее характеристик. Для того, чтобы вычислить основание трапеции (большое или малое) можно использовать массу разных подходов. Все зависит от полноты имеющихся сведений о геометрическом объекте. Большая часть задач имеют в условии данные о других сторонах и углах трапеции, что заметно упрощает задачу. Часто решение состоит в том, чтобы опустить высоту на основание и с помощью теоремы Пифагора найти нужные параметры. Вычисление одного из оснований при имеющихся сведениях о площади трапеции и втором основании и вовсе не предоставляет никаких проблем. Рассмотрим наиболее частые случаи на примерах.
Как найти основание прямоугольной трапеции
Прямоугольной трапецией называют такую трапецию, в которой один из углов равен 90 градусам. Это наиболее простой из всех вариантов вычисления основания. Как правило, условие задачи содержит данные о втором основании, и решение состоит только в том, чтобы определить тот фрагмент основания, который образует второй угол фигуры с боковой стороной. Как и в вышеописанном случае, рассматриваем отдельный треугольник с основанием из искомого фрагмента. По теореме Пифагора, вычисляем эту часть, прибавляем или отнимаем ее от второго основания и получаем искомый параметр.
Как найти основание равнобедренной трапеции
Похоже обстоят дела с равнобедренной трапецией. Под этим понятием понимают такую трапецию, чьи боковые стороны равны. Эта фигура абсолютно симметрична относительно центра, потому пары углов в ней равны. Это довольно удобно, поскольку, обладая сведениями о хотя бы одном угле, мы можем запросто вычислить параметры и всех остальных. Так как боковые части трапеции равны друг другу, то как и в прошлой задаче, мы должны найти основание через один небольшой его фрагмент. Длина второго фрагмента будет точно совпадать с длиной первого. Делается это также через изображение высоты, образующей треугольник. Через параметры углов и одной стороны этого треугольника мы с легкостью получим искомую часть большего основания.
Как найти меньшее основание равнобедренной трапеции
Если нам известны параметры большего основания, боковых сторон, то это можно сделать так. На большее основание опускаем высоту и записываем две теоремы Пифагора. Одна будет отражать параметры треугольника, в котором в качестве гипотенузы выступает диагональ, в качестве одного катета – высота, а в качестве другого катета – большее основание без отрезка, отсеченного высотой.
Вторая теорема должна быть актуальна для треугольника, который состоит из гипотенузы – боковой стороны, катета – высоты и катета – отрезка от большего основания.
Составляем систему этих уравнений и решаем ее. Находим отрезок, отсеченный высотой от большего расстояния. Отнимаем удвоенные параметры этого отрезка от параметров большего основания и получаем длину меньшего основания.
