Инструкция
Видео по теме
Нулевая отметка измерительного прибора должна находиться строго в начале отрезка. При любых измерениях чрезвычайно важно пользоваться одними и теми же мерами. Нельзя сравнивать отрезки, если один из них измерили в сантиметрах, а другой - в дюймах. Одну из мер необходимо перевести.
Для того чтобы измерить длину выемки или отверстия, пользуйтесь более точными измерительными приборами - например, штангенциркулем.
Для сравнения чисел тоже можно пользоваться методом отрезков. Его используют для занятий с дошкольниками и младшими школьниками, а также при изучении отрицательных чисел. Например, нужно сравнить числа 5 и -6. Начертите отрезок, обозначив его начальную точку как 0. Через равные промежутки отложите отрезки, обозначив их как 1, 2 и т.д. От нуля отложите отрезок и влево. Отложите в этом направлении нужное количество равных отрезков. Затем сравните полученные отрезки с помощью любого доступного вам измерительного прибора.
Источники:
- сравнение отрезков в 2018
Цели урока:
- Знакомство с одним из простейших способов сравнения плоских фигур;
- Развитие геометрической интуиции, изобразительных навыков;
- Обобщение с использованием элементов исследования, развитие математической речи;
- Воспитание интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами.
План урока:
- Повторение ранее изученного материала. Ответы на вопросы по домашнему заданию.
- Изучение нового материала.
- Закрепление изученного материала. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
- Подведение итогов урока. Домашнее задание.
Ход урока
1. Теоретический опрос по вопросам 4-6 (стр. 25).Разбор нерешенных домашних задач.
2. Сообщение темы и цели урока. Слайд 2, слайд 3.
В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать особенности геометрических фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Приведите примеры.
Как можно назвать такие фигуры? Правильно, такие фигуры называют равными.
Как можно сравнить две фигуры? (Фигуры вырезаны из картона и внешне почти равны)
Чтобы сравнить эти фигуры, надо один наложить на другой. Если из-за верхнего прямоугольника виден нижний, то верхний меньше нижнего и наоборот. А если они совместятся, то данные прямоугольники равны.
Как можно сравнить две фигуры, изображенные на доске или на бумаге? (Внешне фигуры почти равны)
Чтобы проверить это, необходимо скопировать одну фигуру на кальку и наложить на другую.
Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить при наложении)
Сравните отрезки АВ и СД, изображенные на рисунке (рисунок на доске), с помощью линейки без делений.
а) наложить линейку на отрезок АВ и отметить начало и конец данного отрезка:
б) наложить линейку на отрезок СД так, чтобы отмеченное начало отрезка АВ совпало с точкой С, если отмеченный конец отрезка АВ совпадает с точкой Д, то отрезки АВ и СД равны, пишут АВ=СД.
Если отмеченный конец отрезка АВ будет лежать на отрезке СД, то отрезок АВ меньше отрезка СД, пишут АВ < СД (СД > АВ).
Сравните отрезки АС и СВ (рис. 21 учебника). (АС=СВ). Как назовем точку С?(Точка С – середина отрезка АВ).
Как с помощью шарнирной модели угла можно сравнить два угла?
а) Зафиксировать с помощью модели один из углов;
б) наложить зафиксированную модель на другой угол таким образом, чтобы у них совпали вершины и по одной стороне, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если вторая сторона модели угла совместиться со второй стороной другого угла, то данные углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.
Сравните углы, изображенные на рисунке 22 а) (/ 1 < / 2.)
Какие углы являются неразвернутыми? Сравните развернутый и неразвернутый углы.
Кто скажет, как называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла?
(Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой.)
С помощью какого инструмента можно построить биссектрису угла? (Учащиеся знакомы с понятием – «биссектриса угла» с 5 класса и знают, что построить ее можно с помощью транспортира.)
Постройте углы АОВ и СМД, равные соответственно 120° и 56° и их биссектрисы.
3. Закрепление изученного материала.
Решить задачи в рабочей тетради № 17, 18, 19, 22,24 самостоятельно с последующим обсуждением решения.(Приложение)
4. Подводятся итоги, выставляются оценки.
Домашнее задание
§3, вопросы 7 – 11. Решить задачи. I уровень – № 20, 21, 23 из рабочей тетради.
II уровень - № 18, 19, 21, 23 из учебника.
Литература:
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б, Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7 – 9.Учебник для общеобразовательных учреждений – 15 –е изд. – М.:Просвещение,2005.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2002.
- Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 7 класс. - 2-е изд., перераб. и доп. – М.:ВАКО, 2009.
На этом уроке учитель продолжит разговор о линиях и точках, расскажет, что такое отрезок, как он обозначается. Также вы узнаете о четырех способах сравнения отрезков и узнаете о единицах измерения длины. В конце урока вы вместе с учителем потренируетесь решать задачи, используя единицы измерения длины.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок и
Если заданы точка и линия, то точка либо принадлежит этой линии, либо нет. Еще говорят, что линия проходит через точку.
На рисунке 1 точка не принадлежит линии , или линия не проходит через точку . Точка принадлежит линии , или линия проходит через точку .
Рис. 1. Линия и точки: принадлежащие линии и не принадлежащие
Пусть у нас есть две точки и (рис. 2). Сколько можно провести линий, которые будут проходить через обе эти точки? Или сколькими линиями можно соединить эти две точки? Бесконечное количество.
Рис. 2. Точки и
Точки и могут обозначать два места, например дом и школу. А линии, их соединяющие, - траекторию, по которой можно пройти от дома до школы (рис. 3). Часто интересует самая короткая дорога от дома до школы, от одного места до другого, от точки до точки .
Рис. 3. Дорога от дома до школы как отрезок
Какая дорога от школы до дома самая короткая? Какая линия, соединяющая и , будем самой короткой?
Чтобы дорога оказалась самой короткой, идти от школы до дома надо по прямой. Чтобы линия, соединяющая точки, оказалась самой короткой, соединять их нужно по прямой.
Соединим и самой короткой возможной линией. Такая линия называется отрезком (рис. 4). Точки и называются концами отрезка.
Рис. 4. Точки и - концы отрезка
Обозначается сам отрезок , по именам точек - концов отрезка. Другой такой же короткой линии, соединяющей и , не существует. Если провести из в любую другую линию, она обязательно окажется длиннее. То есть существует только одна кратчайшая линия между и . Она и называется отрезком.
Если мы хотим указать на другие линии, соединяющие наши точки, например верхние или нижние, то нужно добавить еще точки, чтобы не было путаницы (рис. 5).
Рис. 5. Линии и , соединяющие точки и
Если две точки и необходимо соединить отрезком, то используется линейка. Линия, проведенная по линейке от точки до точки по линейке, и будет нужным отрезком (рис. 6). Сам отрезок будет называться . Точки и - его концами. Отрезок является кратчайшей линией, соединяющей точки и .
Рис. 6. Построение отрезка с помощью линейки
Любая точка либо принадлежит отрезку, либо не принадлежит.
Или говорят еще: «точка лежит на отрезке либо не лежит на отрезке». На рисунке точки и не принадлежат отрезку , точка принадлежит отрезку (рис. 7).
Рис. 7. Точки, принадлежащие и не принадлежащие отрезку
Сами точки и , концы отрезка, тоже принадлежат отрезку .
Посмотрим на два отрезка на рисунке 8. Что про них можно сказать? Отрезок короче отрезка (рис. 8). .
Рис. 8. Отрезки и
Как мы это поняли? Просто увидели. То есть сравнить эти два отрезка оказалось несложно.
Задача сравнения отрезков, их длины встречается в жизни достаточно часто. Например, два человека хотят выяснить, чей рост больше, кто из них выше.
1 способ: на глаз
Он подходит, если отрезки сильно отличаются и ответ однозначен.
Очевидно, что на рисунке 9 отрезок больше, длиннее, чем отрезок .
Очевидно, что папа выше сына.
Рис. 9. Сравнение роста папы и сына
Очевидно, что телебашня выше дерева на рисунке 10.
Рис. 10. Сравнение высоты телебашни и дерева
Этот способ очень прост, но может привести к ошибке.
Иногда, когда мы смотрим на картинку, то мы совершенно уверены, что понимаем, какой из двух отрезков больше. Но оказывается, что мы ошибаемся, потому что дополнительные построения вокруг отрезков обманывают зрение.
На картинке 1 нам кажется, что верхний отрезок длиннее нижнего.
Рис. 10.2. Иллюзия: кажется, что отрезки разной длины
Но это не так. В этом легко убедиться, если построить еще две линии.
Рис. 10.3. Одинаковые отрезки
Один из самых простых примеров ошибки восприятия. Какой отрезок короче на рисунке 3?
Рис. 10.4. Иллюзия: кажется, что отрезки не равны по длине
«Конечно же, первый!» - говорит наше восприятие. Но это не так. Эти отрезки одинаковые. В этом можно будет убедиться, воспользовавшись любым из остальных способов сравнения отрезков, которые мы рассматриваем на нашем сегодняшнем уроке.
Сложно поверить, что отрезки и равны. Дополнительные линии вокруг заставляют нас поверить, что отрезок намного короче отрезка на рисунке 4.
Рис. 10.5. Иллюзия: отрезки и имеют одинаковую длину
Все рассмотренные картинки являются примерами оптических иллюзий. Наберите в поисковой системе «оптические иллюзии», и вы найдете огромное количество очень интересных примеров по этой теме. Не только про сравнение отрезков.
Ну а мы с вами делаем главный вывод из этих примеров: не всегда можно доверять нашей оценке «на глаз». Нужны более точные методы сравнения отрезков.
Если бабушка хочет понять, одинаковы ли две спицы по длине, то она возьмет их вместе, зажмет в руку и несильно стукнет ими по столу, чтобы нижние края спиц оказались на одном уровне (рис. 11). По положению верхних краев она поймет, одинаковы ли спицы, если нет, то какая из них длиннее.
Рис. 11. Проверка с помощью наложения
Такой способ можно использовать, если предметы, которые мы сравниваем, можно легко приложить один к другому. Например, для сравнения роста люди встают спиной друг к другу и смотрят, чья макушка окажется выше.
Итак, метод заключается в том, что два предмета прикладывают друг к другу, совмещают концы с одной стороны и по положению других концов понимают, какой отрезок больше или, может быть, они равны.
Этот метод уже является точным, в отличие от первого. Но у него есть один серьезный недостаток. Чтобы им воспользоваться, нужно иметь возможность взять один отрезок и переместить, приложить его ко второму. Это не всегда возможно.
Ведь даже если нарисованы два отрезка, затруднительно взять один из них и приложить к другому. Если только разрезать лист, сложить части друг с другом и посмотреть на просвет.
Если один предмет мы не можем приставить к другому, то можно использовать третий, который легко совмещается с первым и вторым по очереди. Таким измерителем часто являются наши руки.
Если мы хотим понять, пройдет ли диван в дверной проем, мы руками отмечаем его ширину и, стараясь не изменить расстояние между руками, подходим к дверному проему и проверяем, хватит ли ширины дверей.
Мы можем использовать веревку, нитку, палку, чтобы сравнить длины двух предметов, которые сложно перемещать. Приложить нитку к одному предмету, потом ее же к другому. Так сразу будет понятно, какой из предметов длиннее. В математике для этой цели используются специальный измеритель, циркуль.
Нужно сравнить два отрезка и (рис. 12).
Рис. 12. Отрезки для сравнения
Совмещаем концы отрезка с иголками измерителя (рис. 13) и, не меняя раствора, сравниваем с другим отрезком (рис. 14).
|
Рис. 13. Измерение отрезка |
Рис. 14. Измерение отрезка |
Отрезок равен отрезку .
Записывается это так: .
Или может оказаться такая ситуация (рис. 15).
Рис. 15. Отрезки для сравнения
Отрезок не равен отрезку . Он равен отрезку , который является частью отрезка (рис. 16).
Рис. 16. Отрезок равен части отрезка
Отрезок меньше отрезка , так как является его частью.
Отрезок меньше отрезка , потому что равен его части.
Во всех предыдущих способах мы сравнивали отрезки, выясняли, у кого из них длина больше. Но саму длину не измеряли. Мы ее не знали.
Так, два человека могут встать друг другу спиной и выяснить, кто из них выше. Но каков рост каждого из них, они не узнают.
Последний способ, который мы сейчас рассмотрим, заключается в том, чтобы измерить длину каждого отрезка и сравнить их длины.
Так, если два человека знают, что рост одного составляет 1 м 73 см, а другого - 1 м 75 см, то понятно, что второй выше, и не нужно вставать рядом, чтобы это понять.
Длина, выраженная числом, то есть измеренная, становится очень удобным инструментом. Мы теперь эту длину можем записать, передать по телефону, запомнить.
Чтобы измерить отрезок, нужно приложить к нему линейку с нанесенной шкалой.
На рисунке 17 мы видим, что длина первого отрезка составляет 6 см, второго - 7 см.
Рис. 17. Измерение отрезков линейкой
Второй отрезок больше. Кроме того, мы теперь знаем, что второй не просто больше, а больше на 1 см.
А что если один отрезок измерял один человек, а второй - другой человек, да еще и в другом городе? Можно ли будет сравнить эти два отрезка? Да, это возможно потому, что на всех линейках нанесены одинаковые деления и не важно, какой конкретно линейкой мы пользовались. Скорее всего, на всех таких линейках мы увидим одинаковые деления - сантиметры и миллиметры.
Одна из самых часто встречающихся единиц длины - это метр.
Метр используется при измерении объектов не маленьких, но и не огромных, таких, которые можно оценить на глаз, увидеть сразу целиком: длина комнаты или двора, высота дерева или дома, расстояние от дома до школы и так далее. Сокращенно метр обозначается буквой «м». Точка, обозначающая сокращение, не нужна.
Все остальные единицы для измерения либо очень больших объектов, либо намного меньших получаются из метра.
Приставка «кило-» означает тысячу. Если перед словом метр поставить приставку «кило-», то полученное слово «километр» будет обозначать тысячу метров.
Сам километр кратко обозначается двумя буквами «км», тоже без точки для сокращения.
В километрах мы меряем большие расстояния, например расстояния между городами.
Если соединить центры Москвы и Санкт-Петербурга воображаемым отрезком (рис. 18), то его длина будет равна 635 км, или 635 000 метров.
Как сравнить отрезки?
Что означает - сравнить два отрезка? Это значит сравнить их длины, определить, который из них длиннее (или короче). Если под рукой есть линейка, нет ничего проще: измерить с её помощью длины обоих отрезков, и сразу станет ясно, какой длиннее. Ниже мы расскажем, что делать, если линейки рядом с вами не оказалось.
Как сравнить два отрезка без линейки
Если отрезки нарисованы по клеткам, можно посчитать клетки. Однако так везет далеко не всегда. При отсутствии клеток можно воспользоваться циркулем. Сначала нужно установить раствор циркуля по концам одного отрезка, а потом, не сдвигая его ножек, установить иглу в конец другого отрезка и посмотреть, шире раствор циркуля, чем второй отрезок, или уже.
Если нет и циркуля, можно изготовить подобие линейки из полоски бумаги. Деления на ней рисовать не обязательно, достаточно обозначить начало и конец одного отрезка, затем совместить одну метку с началом второго отрезка и сравнить.
Так можно сравнить даже отрезки, нарисованные на земле, например, для того, чтобы обозначить места для столбиков под скамейку на равных расстояниях от стены дома. Только в этом случае нужно будет воспользоваться уже не полоской бумаги, а доской или верёвкой.
Как сравнить два отрезка в координатной сетке
Чтобы сравнить отрезки, надо знать их длины. В статье мы объяснили, как найти длину отрезка, если указаны его координаты на плоскости или в пространстве. Возьмём отрезки на плоскости с координатами: отрезок а = {x 1,y 1;x 2,y 2} и отрезок b = {x 3,y 3;x 4,y 4}.
Конечно, и так видно, что второй отрезок короче первого, но в математике «видно» не считается, надо доказать. Поэтому напишем формулу для вычисления длин отрезков и придадим координатам численные значения. После этого вы легко объясните, как сравнить два отрезка.
- Длина отрезка а d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)²)
- Длина отрезка b d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)²)
Пусть х 1 = -6, у 1 = 5; х 2 = 4, у 2 = -3; х 3 = -2, у 3 = -4; х 4 = 1, у 4 = -2. Значит:
- d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)²) = d1 = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))²) = √((-10)² + 8²) = √164
- d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))²) = √((-3)² + 2²) = √13
- √164 > √13, значит, d1 > d2.
Аналогично можно сравнивать отрезки в трёхмерных координатах, только тогда нужно будет учесть ещё и третьи координаты: отрезок а = {x 1,y 1,z 1;x 2,y 2,z 2} и отрезок b = {x 3,y 3,z 3;x 4,y 4,z 4}.
Формулы аналогичны тем, что мы писали для координатной сетки на плоскости:
- Длина отрезка а d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)² + (z 1 - z 2)²)
- Длина отрезка b d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)² + (z 3 - z 4)²)
Пусть х 1 = -6, у 1 = 5, z 1 = 1; х 2 = 4, у 2 = -3, z 2 = 2; х 3 = -2, у 3 = -4, z 3 = 3; х 4 = 1, у 4 = -2, z 4 = -11.
- d1 = √((х 1 - х 2)² + (у 1 - у 2)² + (z 1 - z 2)² = √(((-6) - 4)² + (5 - (-3))² + (1 - 2)²) = √((-10)² + 8² + (-1)²) = √165
- d2 = √((х 3 - х 4)² + (у 3 - у 4)² + (z 3 - z 4)²) = √(((-2) - 1)² + ((-4) - (-2))² + (3 - (-11))²) = √((-3)² + 2² + 14²) = √(9 + 4 + 196) = √209
- √209 > √165
Значит, в этом случае второй отрезок получился больше первого.
§ 3. Сравнение отрезков и углов - Геометрия 7 класс (Атанасян Л. С.)
Краткое описание:
Вы прилежный ученик или ученица. В тетрадке у вас порядок. Вы четко понимаете, что вы делаете и как. Отрезок? Нет проблем. Вы берете карандаш, отмечаете на тетрадном листе две точки. Даже назовете их буквами: А и В. Затем берете линеечку и аккуратненько подводите ее так, чтоб провести прямую через эти две точки. И готово. Готов отрезок, и назвать вы его можете этими буквами. Что ж тут особенного и не понятного? А потом вы случайно заглядываете в тетрадку своего соседа. Там тоже начерчен отрезок. И тоже назван такими же А и В. Все так, но что-то не так. Отрезок какой-то другой. Он как-будто бы больше, или, кажется, он меньше. Понятно одно, — он лучше! Это же ваш отрезок! Но все-таки…
А если говорить об углах? Как сравнить углы? И какими должны быть эти равные углы?
На эти вопросы Геометрия дает вам однозначный ответ, предлагая воспользоваться методом наложения. Прочтите параграф, и вы сможете увидеть равные даже среди сложных геометрических фигур.
В конце параграфа вы познакомитесь с биссектрисой. Настал и ваш черед насладиться любимой всеми школьниками присказкой: «Биссектриса это такая крыса, которая бегает по всем углам и делит угол пополам!»
