Definição de triângulo

Triânguloé uma figura geométrica composta por três pontos conectados em série entre si.

Um triângulo tem três lados e três ângulos.

Existem muitos tipos de triângulos e todos eles têm propriedades diferentes. Listamos os principais tipos de triângulos:

1. Versátil(todos os lados de diferentes comprimentos);
2. Isósceles(dois lados são iguais, dois ângulos na base são iguais);
3. Equilátero(todos os lados e todos os ângulos são iguais).

No entanto, para todos os tipos de triângulos, existe uma fórmula universal para encontrar o perímetro de um triângulo - esta é a soma dos comprimentos de todos os lados do triângulo.

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Fórmula do perímetro do triângulo

P = a + b + c P = a + b + c P=um +b +c

A, b, c a, b, c a, b, c são os comprimentos dos lados do triângulo.

Vamos analisar o problema de encontrar o perímetro de um triângulo.

Tarefa

O triângulo tem lados: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm Qual é o perímetro do triângulo?

Solução
Usamos a fórmula para encontrar o perímetro de um triângulo e substituímos em vez de um um a, bb b E c c c seus valores numéricos:
P = a + b + c P = a + b + c P=um +b +c
P=28+46+51=125cm P=28+46+51=125\text(cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Responder:
P = 125 cm. P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Tarefa

O triângulo é equilátero com 23 cm de lado, qual é o perímetro do triângulo?

Solução

P = a + b + c P = a + b + c P=um +b +c

Mas de acordo com a condição, temos um triângulo equilátero, ou seja, todos os seus lados são iguais. Neste caso, a fórmula terá a seguinte forma:

P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3aP=um +um +um =3a

Substitua o valor numérico na fórmula e encontre o perímetro do triângulo:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Responder
P = 69 cm. P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Tarefa

Em um triângulo isósceles, o lado b mede 14 cm e a base a mede 9 cm. Encontre o perímetro do triângulo.

Solução
Usamos a fórmula para encontrar o perímetro de um triângulo:

P = a + b + c P = a + b + c P=um +b +c

Mas por condição, temos um triângulo isósceles, ou seja, seus lados são iguais. Neste caso, a fórmula terá a seguinte forma:

P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2b + aP=um +b +b=2b+a

Substituímos valores numéricos na fórmula e encontramos o perímetro do triângulo:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Responder
P = 37 cm. P = 37\text( cm.)P=3 7 cm .

Uma das formas geométricas básicas é um triângulo. É formado quando três segmentos de linha se cruzam. Esses segmentos de linha formam os lados da figura e os pontos de sua interseção são chamados de vértices. Todo aluno de um curso de geometria deve ser capaz de encontrar o perímetro dessa figura. A habilidade adquirida será útil para muitos na idade adulta, por exemplo, será útil para um estudante, engenheiro, construtor,

Existem diferentes maneiras de encontrar o perímetro de um triângulo. A escolha da fórmula necessária depende dos dados de origem disponíveis. Para escrever esse valor na terminologia matemática, uma designação especial é usada - P. Considere o que é o perímetro, os principais métodos para calculá-lo para figuras triangulares de vários tipos.

A maneira mais fácil de encontrar o perímetro de uma forma é se você tiver dados para todos os lados. Neste caso, utiliza-se a seguinte fórmula:

A letra "P" denota o valor do próprio perímetro. Por sua vez, "a", "b" e "c" são os comprimentos dos lados.

Sabendo o tamanho das três grandezas, bastará obter a soma delas, que é o perímetro.

Opção alternativa

Em problemas matemáticos, todos os comprimentos dados raramente são conhecidos. Nesses casos, é recomendável usar uma forma alternativa para encontrar o valor desejado. Quando as condições especificam o comprimento de duas retas, bem como o ângulo entre elas, o cálculo é feito através da busca da terceira. Para encontrar esse número, você precisa obter a raiz quadrada usando a fórmula:

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Perímetro em ambos os lados

Para calcular o perímetro, não é necessário conhecer todos os dados de uma figura geométrica. Considere os métodos de cálculo em dois lados.

Triângulo isósceles

Um triângulo é dito isósceles se pelo menos dois de seus lados têm o mesmo comprimento. Eles são chamados de laterais e o terceiro lado é chamado de base. Linhas iguais formam um ângulo de vértice. Uma característica em um triângulo isósceles é a presença de um eixo de simetria. O eixo é uma linha vertical que começa no canto superior e termina no meio da base. Em seu núcleo, o eixo de simetria inclui os seguintes conceitos:

• bissetriz do ângulo do vértice;
• mediana para base;
• a altura do triângulo;
• perpendicular mediano.

Para determinar o perímetro de uma figura triangular isósceles, use a fórmula.

Nesse caso, você precisa saber apenas duas quantidades: a base e o comprimento de um lado. A designação "2a" implica multiplicar o comprimento do lado por 2. Ao valor resultante é necessário somar o valor da base - "b".

No caso excepcional, quando o comprimento da base de um triângulo isósceles é igual à sua linha lateral, um método mais simples pode ser usado. É expresso na seguinte fórmula:

Para obter o resultado, basta multiplicar esse número por três. Esta fórmula é usada para encontrar o perímetro de um triângulo regular.

Vídeo útil: problemas no perímetro de um triângulo

Triângulo retangular

A principal diferença entre um triângulo retângulo e outras formas geométricas dessa categoria é a presença de um ângulo de 90°. Com base nisso, o tipo de figura é determinado. Antes de determinar como encontrar o perímetro de um triângulo retângulo, vale a pena notar que esse valor para qualquer figura geométrica plana é a soma de todos os lados. Portanto, neste caso, a maneira mais fácil de descobrir o resultado é somar os três valores.

Na terminologia científica, os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de "pernas", e o oposto ao ângulo de 90º é a hipotenusa. As características desta figura foram estudadas pelo antigo cientista grego Pitágoras. De acordo com o teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

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Com base nesse teorema, foi derivada outra fórmula que explica como encontrar o perímetro de um triângulo dados dois lados conhecidos. Você pode calcular o perímetro com o comprimento especificado das pernas usando o seguinte método.

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Para descobrir o perímetro, tendo informações sobre o tamanho de uma perna e a hipotenusa, você precisa determinar o comprimento da segunda hipotenusa. Para isso, são utilizadas as seguintes fórmulas:

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Além disso, o perímetro do tipo de figura descrito é determinado sem dados sobre as dimensões das pernas.

Você precisará saber o comprimento da hipotenusa, bem como o ângulo adjacente a ela. Conhecendo o comprimento de uma das pernas, se houver um ângulo adjacente a ela, o perímetro da figura é calculado pela fórmula:

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P=a+b+c Como calcular o perímetro de um triângulo: Todo mundo sabe que o perímetro é fácil de encontrar - você só precisa somar os três lados do triângulo. No entanto, existem várias outras maneiras de encontrar a soma dos comprimentos dos lados de um triângulo. Passo 1 Dado o raio do círculo inscrito no triângulo e sua área, encontre o perímetro usando a fórmula P=2S/r. Passo 2 Se você conhece dois ângulos, por exemplo, α e β, adjacentes ao lado, e o comprimento deste lado, então para encontrar o perímetro, use a fórmula a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). Passo 3 Se a condição especifica lados adjacentes e o ângulo β entre eles, considere o teorema do cosseno ao encontrar o perímetro. Então P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), onde a^2 eb^2 são os quadrados dos comprimentos dos lados adjacentes. A expressão sob a raiz é o comprimento do terceiro lado desconhecido, expresso pelo teorema do cosseno. Etapa 4 Para um triângulo isósceles, a fórmula do perímetro assume a forma P=2a+b, onde a são os lados e b é a sua base. Etapa 5 Calcule o perímetro de um triângulo regular usando a fórmula P=3a. Etapa 6 Encontre o perímetro usando os raios dos círculos inscritos no triângulo ou circunscritos em torno dele. Portanto, para um triângulo equilátero, lembre-se e use a fórmula P=6r√3=3R√3, onde r é o raio do círculo inscrito e R é o raio do círculo circunscrito. Passo 7 Para um triângulo isósceles, aplique a fórmula P=2R(2sinα+sinβ), onde α é o ângulo na base e β é o ângulo oposto à base.

Informação preliminar

O perímetro de qualquer figura geométrica plana no plano é definido como a soma dos comprimentos de todos os seus lados. O triângulo não é exceção a isso. Primeiro, damos o conceito de triângulo, bem como os tipos de triângulos dependendo dos lados.

Definição 1

Chamaremos de triângulo uma figura geométrica, que é composta por três pontos conectados por segmentos (Fig. 1).

Definição 2

Os pontos dentro da Definição 1 serão chamados de vértices do triângulo.

Definição 3

Os segmentos dentro da definição 1 serão chamados de lados do triângulo.

Obviamente, qualquer triângulo terá 3 vértices e 3 lados.

Dependendo da proporção dos lados entre si, os triângulos são divididos em escalenos, isósceles e equiláteros.

Definição 4

Um triângulo é dito escaleno se nenhum de seus lados é igual a outro.

Definição 5

Chamaremos um triângulo de isósceles se dois de seus lados forem iguais entre si, mas não iguais ao terceiro lado.

Definição 6

Um triângulo é dito equilátero se todos os seus lados são iguais entre si.

Você pode ver todos os tipos desses triângulos na Figura 2.

Como encontrar o perímetro de um triângulo escaleno?

Sejamos dados um triângulo escaleno com comprimentos laterais iguais a $α$, $β$ e $γ$.

Conclusão: Para encontrar o perímetro de um triângulo escaleno, some todos os comprimentos de seus lados.

Exemplo 1

Encontre o perímetro de um triângulo escaleno igual a $34$ cm, $12$ cm e $11$ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Resposta: $ 57 ver.

Exemplo 2

Encontre o perímetro de um triângulo retângulo cujas pernas são $ 6 $ e $ 8 $ cm.

Primeiro, encontramos o comprimento das hipotenusas desse triângulo usando o teorema de Pitágoras. Denote por $α$, então

$α=10$ De acordo com a regra de cálculo do perímetro de um triângulo escaleno, obtemos

$P=10+8+6=24$ cm

Resposta: $ 24 ver.

Como encontrar o perímetro de um triângulo isósceles?

Seja dado um triângulo isósceles cujos comprimentos laterais serão iguais a $α$, e o comprimento da base será igual a $β$.

Pela definição do perímetro de uma figura geométrica plana, obtemos que

$P=α+α+β=2α+β$

Conclusão: Para encontrar o perímetro de um triângulo isósceles, adicione duas vezes o comprimento de seus lados ao comprimento de sua base.

Exemplo 3

Encontre o perímetro de um triângulo isósceles se seus lados são $ 12$ cm e sua base é $ 11$ cm.

Do exemplo acima, vemos que

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Resposta: $ 35 ver.

Exemplo 4

Encontre o perímetro de um triângulo isósceles se sua altura até a base for $ 8$ cm e a base for $ 12$ cm.

Considere a figura de acordo com a condição do problema:

Como o triângulo é isósceles, $BD$ também é uma mediana, logo $AD=6$ cm.

Pelo teorema de Pitágoras, do triângulo $ADB$, encontramos o lado. Denote por $α$, então

De acordo com a regra para calcular o perímetro de um triângulo isósceles, obtemos

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Resposta: $ 32 ver.

Como encontrar o perímetro de um triângulo equilátero?

Sejamos dados um triângulo equilátero com comprimentos de todos os lados iguais a $α$.

Pela definição do perímetro de uma figura geométrica plana, obtemos que

$P=α+α+α=3α$

Conclusão: Para encontrar o perímetro de um triângulo equilátero, multiplique o comprimento do lado do triângulo por $3$.

Exemplo 5

Encontre o perímetro de um triângulo equilátero se seu lado é $12$ cm.

Do exemplo acima, vemos que

$P=3\cdot 12=36$ cm

Um triângulo é uma das figuras geométricas fundamentais, que são três segmentos de linha que se cruzam. Essa figura era conhecida até pelos cientistas do Egito Antigo, Grécia Antiga e China Antiga, que derivaram a maioria das fórmulas e padrões usados ​​por cientistas, engenheiros e designers até então.

Os principais componentes de um triângulo são:

Vértices - pontos de interseção de segmentos.

Os lados são segmentos de linha que se cruzam.

Com base nesses componentes, eles formulam conceitos como o perímetro de um triângulo, sua área, os círculos inscritos e circunscritos. É sabido desde a escola que o perímetro de um triângulo é uma expressão numérica da soma de todos os seus três lados. Ao mesmo tempo, existem muitas fórmulas para encontrar esse valor, dependendo dos dados iniciais que o pesquisador possui neste ou naquele caso.

1. A maneira mais fácil de encontrar o perímetro de um triângulo é usada quando os valores numéricos de todos os três lados (x, y, z) são conhecidos, como consequência:

2. O perímetro de um triângulo equilátero pode ser encontrado se lembrarmos que, para uma dada figura, todos os lados, porém, como todos os ângulos, são iguais. Conhecendo o comprimento deste lado, o perímetro de um triângulo equilátero pode ser determinado pela fórmula:

3. Em um triângulo isósceles, ao contrário de um equilátero, apenas dois lados têm o mesmo valor numérico, portanto, neste caso, em geral, o perímetro será o seguinte:

4. Os métodos a seguir são necessários nos casos em que os valores numéricos de nem todos os lados são conhecidos. Por exemplo, se o estudo tiver dados sobre dois lados e o ângulo entre eles for conhecido, o perímetro do triângulo poderá ser encontrado usando a definição do terceiro lado e o ângulo conhecido. Neste caso, este terceiro será encontrado pela fórmula:

z= 2x+2y-2xycosβ

Com base nisso, o perímetro do triângulo será igual a:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. No caso em que o comprimento de não mais de um lado do triângulo é inicialmente dado e os valores numéricos dos dois ângulos adjacentes a ele são conhecidos, então o perímetro do triângulo pode ser calculado com base em o teorema do seno:

P = x+senβ x/(sen(180°-β)) + sinγ x/(sen(180°-γ))

6. Há casos em que os parâmetros conhecidos do círculo nele inscrito são usados ​​para encontrar o perímetro de um triângulo. Esta fórmula também é conhecida pela maioria dos bancos escolares:

P= 2S/r (S é a área do círculo, enquanto r é o seu raio).

De tudo o que foi exposto, percebe-se que o valor do perímetro de um triângulo pode ser encontrado de várias maneiras, com base nos dados que o pesquisador possui. Além disso, existem vários outros casos especiais de encontrar esse valor. Portanto, o perímetro é uma das quantidades e características mais importantes de um triângulo retângulo.

Como você sabe, esse triângulo é chamado de figura, cujos dois lados formam um ângulo reto. O perímetro de um triângulo retângulo é encontrado através da expressão numérica da soma de ambos os catetos e da hipotenusa. Caso o pesquisador conheça os dados de apenas dois lados, o restante pode ser calculado usando o famoso teorema de Pitágoras: z \u003d (x2 + y2), se ambas as pernas forem conhecidas, ou x \u003d (z2 - y2), se a hipotenusa e a perna forem conhecidas.

Caso o comprimento da hipotenusa e um dos ângulos adjacentes a ela sejam conhecidos, os outros dois lados são encontrados pelas fórmulas: x \u003d z sinβ, y \u003d z cosβ. Neste caso, o perímetro será:

P= z(cosβ + sinβ +1)

Também um caso especial é o cálculo do perímetro de um triângulo regular (ou equilátero), ou seja, uma figura em que todos os lados e todos os ângulos são iguais. Calcular o perímetro de tal triângulo a partir de um lado conhecido não é problema, no entanto, muitas vezes o pesquisador conhece alguns outros dados. Então, se o raio do círculo inscrito é conhecido, o perímetro de um triângulo regular é encontrado pela fórmula:

E se for dado o valor do raio do círculo circunscrito, o perímetro de um triângulo regular será encontrado da seguinte forma:

As fórmulas precisam ser memorizadas para serem aplicadas com sucesso na prática.