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Tendo recebido uma ideia geral das igualdades e familiarizado com um de seus tipos - as igualdades numéricas, podemos começar a falar de outro tipo de igualdades que é muito importante do ponto de vista prático - as equações. Neste artigo veremos o que é uma equação, e o que é chamado de raiz da equação. Aqui daremos as definições correspondentes, bem como vários exemplos de equações e suas raízes.

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O que é uma equação?

A introdução direcionada às equações geralmente começa nas aulas de matemática da 2ª série. Neste momento é dado o seguinte definição de equação:

Definição.

A equaçãoé uma igualdade contendo um número desconhecido que precisa ser encontrado.

Números desconhecidos em equações são geralmente denotados por letras latinas minúsculas, por exemplo, p, t, u, etc., mas as letras x, y e z são usadas com mais frequência.

Assim, a equação é determinada do ponto de vista da forma de escrita. Em outras palavras, a igualdade é uma equação quando obedece às regras de escrita especificadas - contém uma letra cujo valor precisa ser encontrado.

Vamos dar exemplos das primeiras e mais simples equações. Vamos começar com equações da forma x=8, y=3, etc. Equações que contêm sinais aritméticos junto com números e letras parecem um pouco mais complicadas, por exemplo, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

A variedade de equações aumenta após a familiarização - começam a aparecer equações com colchetes, por exemplo, 2·(x−1)=18 e x+3·(x+2·(x−2))=3. Uma letra desconhecida em uma equação pode aparecer várias vezes, por exemplo, x+3+3·x−2−x=9, também as letras podem estar no lado esquerdo da equação, no seu lado direito ou em ambos os lados da equação. a equação, por exemplo, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 ou 3·x−4=2·(x+12) .

Além disso, depois de estudar os números naturais, familiariza-se com os números inteiros, racionais, reais, novos objetos matemáticos são estudados: potências, raízes, logaritmos, etc., enquanto aparecem cada vez mais novos tipos de equações contendo essas coisas. Exemplos deles podem ser vistos no artigo tipos básicos de equações estudando na escola.

No 7º ano, junto com as letras, que significam alguns números específicos, passam a considerar letras que podem assumir diferentes valores; são chamadas de variáveis ​​(ver artigo). Ao mesmo tempo, a palavra “variável” é introduzida na definição da equação, e ela fica assim:

Definição.

Equação chamada de igualdade contendo uma variável cujo valor precisa ser encontrado.

Por exemplo, a equação x+3=6·x+7 é uma equação com a variável x, e 3·z−1+z=0 é uma equação com a variável z.

Durante as aulas de álgebra na mesma 7ª série, encontramos equações contendo não uma, mas duas variáveis ​​desconhecidas diferentes. Eles são chamados de equações em duas variáveis. Futuramente, é permitida a presença de três ou mais variáveis ​​nas equações.

Definição.

Equações com um, dois, três, etc. variáveis– são equações contendo em sua escrita uma, duas, três, ... variáveis ​​desconhecidas, respectivamente.

Por exemplo, a equação 3,2 x+0,5=1 é uma equação com uma variável x, por sua vez, uma equação da forma x−y=3 é uma equação com duas variáveis ​​x e y. E mais um exemplo: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. É claro que tal equação é uma equação com três variáveis ​​​​desconhecidas x, y e z.

Qual é a raiz de uma equação?

A definição de uma equação está diretamente relacionada à definição da raiz desta equação. Vamos fazer alguns raciocínios que nos ajudarão a entender qual é a raiz da equação.

Digamos que temos uma equação com uma letra (variável). Se em vez de uma letra incluída na entrada desta equação, um determinado número for substituído, a equação se transforma em uma igualdade numérica. Além disso, a igualdade resultante pode ser verdadeira ou falsa. Por exemplo, se você substituir o número 2 em vez da letra a na equação a+1=5, obterá a igualdade numérica incorreta 2+1=5. Se substituirmos o número 4 em vez de a nesta equação, obteremos a igualdade correta 4+1=5.

Na prática, na esmagadora maioria dos casos, o interesse está nos valores da variável cuja substituição na equação dá a igualdade correta; esses valores são chamados de raízes ou soluções desta equação.

Definição.

Raiz da equação- este é o valor da letra (variável), após a substituição da qual a equação se transforma em uma igualdade numérica correta.

Observe que a raiz de uma equação em uma variável também é chamada de solução da equação. Em outras palavras, a solução de uma equação e a raiz da equação são a mesma coisa.

Vamos explicar esta definição com um exemplo. Para fazer isso, vamos retornar à equação escrita acima a+1=5. De acordo com a definição declarada da raiz de uma equação, o número 4 é a raiz desta equação, pois ao substituir este número em vez da letra a obtemos a igualdade correta 4+1=5, e o número 2 não é seu raiz, pois corresponde a uma igualdade incorreta da forma 2+1= 5 .

Neste ponto, surgem uma série de questões naturais: “Alguma equação tem uma raiz e quantas raízes tem uma determinada equação?” Nós iremos respondê-los.

Existem equações que têm raízes e equações que não têm raízes. Por exemplo, a equação x+1=5 tem raiz 4, mas a equação 0 x=5 não tem raízes, pois não importa qual número substituirmos nesta equação em vez da variável x, obteremos a igualdade incorreta 0=5 .

Quanto ao número de raízes de uma equação, existem tanto equações que possuem um certo número finito de raízes (uma, duas, três, etc.) quanto equações que possuem um número infinito de raízes. Por exemplo, a equação x−2=4 tem uma única raiz 6, as raízes da equação x 2 =9 são dois números −3 e 3, a equação x·(x−1)·(x−2)=0 tem três raízes 0, 1 e 2, e a solução da equação x=x é qualquer número, ou seja, possui um número infinito de raízes.

Algumas palavras devem ser ditas sobre a notação aceita para as raízes da equação. Se uma equação não tem raízes, então eles geralmente escrevem “a equação não tem raízes” ou usam o sinal de conjunto vazio ∅. Se a equação tiver raízes, elas serão escritas separadas por vírgulas ou como elementos do conjunto entre colchetes. Por exemplo, se as raízes da equação são os números −1, 2 e 4, então escreva −1, 2, 4 ou (−1, 2, 4). Também é permitido escrever as raízes da equação na forma de igualdades simples. Por exemplo, se a equação inclui a letra x, e as raízes desta equação são os números 3 e 5, então você pode escrever x=3, x=5, e os subscritos x 1 =3, x 2 =5 são frequentemente adicionados à variável, como se indicasse as raízes numéricas da equação. Um conjunto infinito de raízes de uma equação é geralmente escrito na forma; se possível, a notação para conjuntos de números naturais N, inteiros Z e números reais R também é usada. Por exemplo, se a raiz de uma equação com a variável x for qualquer número inteiro, escreva , e se as raízes de uma equação com a variável y forem qualquer número real de 1 a 9 inclusive, escreva .

Para equações com duas, três ou mais variáveis, via de regra, não se utiliza o termo “raiz da equação”, nestes casos diz-se “solução da equação”. O que é chamado de resolução de equações com diversas variáveis? Vamos dar a definição correspondente.

Definição.

Resolvendo uma equação com dois, três, etc. variáveis chamado de par, três, etc. valores das variáveis, transformando esta equação em uma igualdade numérica correta.

Vamos mostrar exemplos explicativos. Considere uma equação com duas variáveis ​​x+y=7. Vamos substituir o número 1 em vez de x, e o número 2 em vez de y, e temos a igualdade 1+2=7. Obviamente está incorreto, portanto, o par de valores x=1, y=2 não é uma solução para a equação escrita. Se tomarmos um par de valores x=4, y=3, então após a substituição na equação chegaremos à igualdade correta 4+3=7, portanto, este par de valores de variáveis, por definição, é uma solução para a equação x+y=7.

Equações com diversas variáveis, como equações com uma variável, podem não ter raízes, podem ter um número finito de raízes ou podem ter um número infinito de raízes.

Pares, trigêmeos, quádruplos, etc. Os valores das variáveis ​​​​geralmente são escritos de forma breve, listando seus valores separados por vírgulas entre parênteses. Neste caso, os números escritos entre colchetes correspondem às variáveis ​​em ordem alfabética. Vamos esclarecer este ponto voltando à equação anterior x+y=7. A solução para esta equação x=4, y=3 pode ser escrita resumidamente como (4, 3).

A maior atenção no curso escolar de matemática, álgebra e início da análise é dada à busca de raízes de equações com uma variável. Discutiremos as regras desse processo detalhadamente no artigo. resolvendo equações.

Bibliografia.

• Matemática. 2 aulas Livro didático para educação geral instituições com adj. por elétron operadora. Às 14h Parte 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3ª ed. - M.: Educação, 2012. - 96 p.: il. - (Escola da Rússia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Álgebra: livro didático para a 7ª série Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edição. - M.: Educação, 2008. - 240 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Álgebra: 9º ano: educacional. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.

O que não é verdade para qualquer significado das letras nele incluídas, mas apenas para alguns. Também podemos dizer que a equação é uma igualdade contendo números desconhecidos indicados por letras.

Por exemplo, a igualdade 10 - x= 2 é uma equação, pois só é válida quando x= 8. Igualdade x 2 = 49 é uma equação válida para dois valores x, ou seja, quando x= +7 e x= -7, pois (+7) 2 = 49 e (-7) 2 = 49.

Se em vez disso x substitua seu valor, então a equação se transforma em uma identidade. Variáveis ​​como x, que apenas para certos valores transformam a equação em uma identidade, são chamados desconhecido equações Geralmente são designados pelas últimas letras do alfabeto latino x, sim E z.

Qualquer equação tem lados esquerdo e direito. A expressão à esquerda do sinal = é chamada lado esquerdo da equação, e o da direita é lado direito da equação. Os números e expressões algébricas que compõem uma equação são chamados termos da equação:

Raízes da equação

Raiz da equação- este é o número que, quando substituído em uma equação, produz uma verdadeira igualdade. Uma equação pode ter apenas uma raiz, pode ter várias raízes ou pode não ter nenhuma raiz.

Por exemplo, a raiz da equação

10 - x = 2

é o número 8 e a equação

x 2 = 49

duas raízes - +7 e -7.

Resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes ou provar que elas não existem.

Tipos de equações

Exceto numérico equações semelhantes às fornecidas acima, onde todas as quantidades conhecidas são indicadas por números, também existem alfabético equações nas quais, além de letras que denotam incógnitas, há também letras que denotam quantidades conhecidas (ou supostamente conhecidas).

x - a = b + c
3x+ c = 2 a + 5

De acordo com o número de incógnitas, as equações são divididas em equações com 1 incógnita, com 2 incógnitas e com 3 ou mais incógnitas.

7x + 2 = 35 - 2x- equação com uma incógnita
3x + sim = 8x - 2sim- equação com duas incógnitas

Para trás para a frente

Atenção! As visualizações de slides são apenas para fins informativos e podem não representar todos os recursos da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, baixe a versão completa.

Metas:

• generalizar e sistematizar conhecimentos sobre o tema “Equações”;
• promover o desenvolvimento do pensamento lógico e da fala dos alunos.

Auxílios de treinamento técnico: projetor multimídia.

Durante as aulas

1. Lição de casa: parágrafo 6, nº 113, 117, 120.

2. Ditado matemático(cópia carbono).

As crianças fazem ditados, trocam cadernos, conferem o trabalho umas das outras. As respostas são projetadas no quadro.

3. Relate o tema da aula.

Qual foi a última tarefa do ditado? (Resolva a equação).

Você começou a aprender a resolver equações no ensino fundamental. Encontramos esse tópico na 5ª e 6ª séries, aprendendo sempre algo novo sobre equações. O objetivo da nossa lição de hoje é generalizar e sistematizar o conhecimento sobre equações.

4. Aprendendo novo material(usando apresentação de computador).

1) – Escreva o tema da nossa lição “Equação e suas raízes”. (Slide 1)

2) – Vamos tentar definir a equação. O que é? (Slide 2)

Igualdade contendo uma variável, chamada de equação com uma variável ou equação com uma incógnita.

3) Lembrando a definição de uma equação, determine se a entrada dada é uma equação:

a) x + 2 = 1,3;

d) 16*5 – 8 = 72;

e) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Slide 3)

As crianças explicam as suas respostas destacando se a entrada é uma igualdade ou se contém uma variável.

4) - Lembre-se do que é chamado de raiz de uma equação.

Raiz da equaçãoé o valor da variável na qual a equação se torna verdadeira.

Vamos verificar suas respostas. (Slide 4)

5) – Como saber se um determinado número é raiz de uma equação ou não? (Você precisa substituir um número na equação em vez de uma variável, veja se isso transforma a equação em uma igualdade verdadeira ou não.)

Descubra se o número 2 é a raiz da equação:

a) 4 + 3x = 10;

b) (x – 5)(x + 1) = 11;

c) 6(3x – 1) = 12x + 6. (Slide 5)

Os alunos substituem o número 2 em cada equação para ver se isso torna a equação verdadeira. Tire a conclusão apropriada.

6) – Concluiremos a seguinte tarefa por escrito.

Determine quais dos números – 2, - 1, 0, 2, 3 são a raiz da equação x 2 + 3x = 10. (Slide 6)

A tarefa é realizada pelos alunos em um caderno. Alguns alunos se revezam fazendo anotações apropriadas no quadro.

Exemplo de tarefa:

A raiz da equação é x 2 + 3x = 10 número

a) -2 não é, pois (-2) 2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2, e -2 10;

b) – 1 não é, pois (- 1) 2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, e – 2 10;

c) 0 não é, pois 0 2 + 3 * 0 = 0 e 0 10;

d) 2 é, pois 2 2 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, e 10 = 10;

e) 3 não é, pois 3 2 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18 e 18 10.

7) Física. pausa.

Agora vamos descansar um pouco. Sente-se confortavelmente.

1. Fazemos movimentos verticais com os olhos para cima e para baixo.

2. Movimentos horizontais dos olhos da direita para a esquerda.

3. “Vamos traçar uma linha com os olhos” (o cartaz mostra várias linhas, as crianças “conduzem” ao longo delas com os olhos de ponto a ponto).

Realizamos os seguintes exercícios em pé.

4. – Primeiro levante o ombro direito, depois o esquerdo, abaixe primeiro o ombro direito, depois o esquerdo. Então continuamos um por um.

5. “Desistimos.”

6. “Sacuda a água das mãos.”

Tente criar você mesmo uma equação cuja raiz seja o número 3. (Slide 7)

Depois de completar a tarefa de forma independente, alguns alunos leem as equações que obtiveram e a turma determina se a tarefa foi concluída corretamente.

9) – O que você acha que significa resolver uma equação?

Resolver uma equação significa encontrar suas raízes ou provar que não existem raízes. (Slide 8)

10) – Quais destas equações não possuem raízes:

b) 4(x + 1) = 4x +7;

c) 3x + 12 = 3(x + 4). (Slide 9)

As crianças dão respostas, justificando-as.

11) – O que é chamado de módulo de um número?

Qual é o módulo de um número positivo?

Módulo zero? Número negativo?

O módulo de um número pode ser igual a um número negativo?

Você acha que essas equações têm raízes e, em caso afirmativo, quantas:

c) l x l = - 1;

d) l x l = 2,5. (Slide 10)

12) - Hoje conhecemos um conceito novo para vocês - esta é uma equação equivalente. Tente adivinhar quais equações são chamadas de equivalentes.

Equações que têm as mesmas raízes são chamadas de equações equivalentes. (Slide 11)

13) – Qual equação é equivalente à equação 3x – 10 = 50? (Slide 12)

Os alunos criam equações equivalentes a esta, escrevem-nas num caderno e algumas das equações que criam são lidas e discutidas pela turma.

14) – Na resolução de equações, utilizamos as propriedades que ensinamos no 6º ano. Vamos lembrá-los. (Slide 13)

1) Se você mover um termo de uma equação de uma parte para outra, mudando seu sinal para o oposto, obterá uma equação equivalente à dada.

2) Se ambos os lados da equação forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, você obterá uma equação equivalente à dada.

15) – Substitua as equações por equações equivalentes com coeficientes inteiros:

a) 0,1x = - 5;

b) – 0,19 anos = 3;

c) - 0,7x = - 4,9. (Slide 14)

Substitua as equações por equações equivalentes da forma ax = b:

a) 8x + 15 = 39;

b) 16 – 2x = 10. (Slide 15)

5. Resumindo a lição. (Slide 16)

Defina uma equação com uma variável.

Qual é a raiz de uma equação?

Todas as equações têm raízes?

O que significa resolver uma equação?

Quais equações são chamadas de equivalentes?

Cite as propriedades usadas ao resolver equações.

Referências.

Livro didático “Álgebra. 7ª série” editado por S. A. Telyakovsky, Moscou “Iluminismo”, 2009.

Tópico da lição: “A equação e suas raízes”.

Classe 7

Professora de matemática: Kobyza Tatyana Vasilievna

Metas:

Educacional . Dar aos alunos uma compreensão da equação e suas raízes; aprofundar competências na aplicação das propriedades de resolução de equações.

Desenvolvimento. Continuar a formação de elementos da cultura algorítmica, desenvolver o pensamento lógico, a memória, formar um discurso matemático competente, a capacidade de análise e a auto-estima.

Educacional . Continue desenvolvendo habilidades de comunicação, tolerância e responsabilidade por seus julgamentos.

Objetivos pretendidos do aluno: lembre-se de resolver equações usando propriedades da 6ª série; compreender a ligação entre o tipo da equação mais simples e sua raiz, aprender a resolver equações equivalentes.

Auxílios de treinamento técnico : projetor multimídia, apostilas.

Durante as aulas

Organização do início da aula.

Definição de metas.

2. Ditado matemático

Complete a frase: “A expressão 2x – 5 é...” (letra/numérico)

Uma expressão numérica é um registro que consiste em _______________________________________________________

Uma expressão algébrica é um registro que consiste em ____________________________________________________________

Crie uma expressão com base nas condições do problema: “Um lápis custa x rublos e um caderno custa 25 rublos. Quanto custam 3 lápis e 1 caderno? (3x + 25 / x + +225)

Resolva a equação

5x – 4 = 6

(x = 2)

As tarefas indicadas entre colchetes destinam-se à segunda opção.

3. Relate o tema da aula.

Qual foi a última tarefa do ditado? (Resolva a equação).

Você começou a aprender a resolver equações no ensino fundamental. Encontramos esse tópico na 5ª e 6ª séries, aprendendo sempre algo novo sobre equações. O objetivo da nossa lição de hoje é generalizar e sistematizar o conhecimento sobre equações.

4. Estudar novo material (usando apresentação em computador).

– Abra seus cadernos e anote o tema da nossa lição “Equação e suas raízes”. (Slide 1)

– Vamos tentar definir a equação. O que é? (Slide 2)

Uma equação contendo uma variável é chamada de equação com uma variável ou equação com uma incógnita.

3) Lembrando a definição de uma equação, determine se a entrada dada é uma equação:

a) x + 2 = 1,3;

b) 3у – 4;

c) x = - 8,1;

d) 16*5 – 8 = 72;

e) 1,5 x + 2,8 = 5,8. (Slide 3)

As crianças explicam as suas respostas destacando se a entrada é uma igualdade ou se contém uma variável.

4) - Lembre-se do que é chamado de raiz de uma equação.

A raiz de uma equação é o valor de uma variável no qual a equação se torna uma verdadeira igualdade.

Vamos verificar suas respostas. (Slide 4)

5) – Como saber se um determinado número é raiz de uma equação ou não? (Você precisa substituir um número na equação em vez de uma variável, ver se a equação se transforma em uma verdadeira igualdade ou não.)

Descubra se o número 2 é a raiz da equação:

a) 4 + 3x = 10;

b) (x – 5)(x + 1) = 11;

c) 6(3x – 1) = 12x + 6. (Slide 5)

Os alunos substituem o número 2 em cada equação para ver se isso torna a equação verdadeira. Tire a conclusão apropriada.

6) – Concluiremos a seguinte tarefa por escrito.

Determine quais dos números – 2, - 1, 0, 2, 3 são a raiz da equação x2 + 3x = 10. (Slide 6)

A tarefa é realizada pelos alunos em um caderno. Alguns alunos se revezam fazendo anotações apropriadas no quadro.

Exemplo de tarefa:

A raiz da equação x2 + 3x = 10 é o número

a) -2 não é, pois (-2)2 + 3 * (-2) = 4 – 6 = - 2, e -2 10;

b) – 1 não é, pois (- 1)2 + 3 * (- 1) = 1 – 3 = -2, e – 2 10;

c) 0 não é, pois 02 + 3 * 0 = 0, e 0 é 10;

d) 2 é, pois 22 + 3 * 2 = 4 + 6 = 10, e 10 = 10;

e) 3 não é, pois 32 + 3 * 3 = 9 + 9 = 18, e 18 é 10.

7) Física. pausa.

Agora vamos descansar um pouco. Sente-se confortavelmente.

Desenhe um triângulo com os olhos.

Agora vire

Careca.

E novamente com meus olhos

Você lidera ao redor do perímetro.

Desenhe um oito verticalmente.

Não vire sua cabeça

Apenas tome cuidado com seus olhos

Você segue as linhas da água.

E coloque de lado.

Agora observe horizontalmente

E você para no centro.

Feche bem os olhos, não seja preguiçoso.

Finalmente abrimos nossos olhos

O carregamento terminou.

Bom trabalho!

Tente criar você mesmo uma equação cuja raiz seja o número 3. (Slide 7)

Depois de completar a tarefa de forma independente, alguns alunos leem as equações que obtiveram e a turma determina se a tarefa foi concluída corretamente.

9) – O que você acha que significa resolver uma equação?

Resolver uma equação significa encontrar suas raízes ou provar que não existem raízes. (Slide 8)

10) – Quais destas equações não possuem raízes:

a) 3x = 5x;

b) 4(x + 1) = 4x +7;

c) 3x + 12 = 3(x + 4). (Slide 9)

As crianças dão respostas, justificando-as.

11) – O que é chamado de módulo de um número?

Qual é o módulo de um número positivo?

Módulo zero? Número negativo?

O módulo de um número pode ser igual a um número negativo?

Você acha que essas equações têm raízes e, em caso afirmativo, quantas:

a) l x l = 7;

b) l x l = 0;

c) l x l = - 1;

d) l x l = 2,5. (Slide 10)

12) - Hoje conhecemos um novo conceito para vocês - esteequação equivalente . Tente adivinhar quais equações são chamadas de equivalentes.

Equações que têm as mesmas raízes são chamadas de equações equivalentes. (Slide 11)

13) – Qual equação é equivalente à equação 3x – 10 = 50? (Slide 12)

Os alunos criam equações equivalentes a esta, escrevem-nas num caderno e algumas das equações que criam são lidas e discutidas pela turma.

14) – Na resolução de equações, utilizamos as propriedades que ensinamos no 6º ano. Vamos lembrá-los. (Slide 13)

1) Se você mover um termo de uma equação de uma parte para outra, mudando seu sinal para o oposto, obterá uma equação equivalente à dada.

2) Se ambos os lados da equação forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, você obterá uma equação equivalente à dada.

15) – Substitua as equações por equações equivalentes com coeficientes inteiros:

a) 0,1x = - 5;

b) – 0,19 anos = 3;

c) - 0,7x = - 4,9. (Slide 14)

Substitua as equações por equações equivalentes da forma ax = b:

a) 8x + 15 = 39;

b) 16 – 2x = 10. (Slide 15)

5. Resumindo a lição. (Slide 16)

Defina uma equação com uma variável.

Qual é a raiz de uma equação?

Todas as equações têm raízes?

O que significa resolver uma equação?

Quais equações são chamadas de equivalentes?

Cite as propriedades usadas ao resolver equações.

Trabalho de casa.