Função potência, suas propriedades e gráficos. Gráficos e propriedades básicas de funções elementares Resolva o gráfico da função y x

Escolhemos um sistema de coordenadas retangulares no plano e plotamos os valores do argumento no eixo das abcissas x, e no eixo y - os valores da função y = f(x).

gráfico de funções y = f(x)é chamado o conjunto de todos os pontos, para os quais as abcissas pertencem ao domínio da função e as ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função.

Em outras palavras, o gráfico da função y \u003d f (x) é o conjunto de todos os pontos do plano, as coordenadas X, no que satisfaz a relação y = f(x).

Na fig. 45 e 46 são gráficos de funções y = 2x + 1 E y \u003d x 2 - 2x.

A rigor, deve-se distinguir entre o gráfico de uma função (cuja definição matemática exata foi dada acima) e a curva desenhada, que sempre fornece apenas um esboço mais ou menos preciso do gráfico (e mesmo assim, como regra, não o gráfico inteiro, mas apenas sua parte localizada nas partes finais do plano). No que se segue, no entanto, geralmente nos referiremos a "gráfico" em vez de "esboço de gráfico".

Usando um gráfico, você pode encontrar o valor de uma função em um ponto. Ou seja, se o ponto x = um pertence ao escopo da função y = f(x), então para encontrar o número f(a)(ou seja, os valores da função no ponto x = um) deve fazê-lo. Necessidade através de um ponto com abcissa x = um desenhe uma linha reta paralela ao eixo y; esta linha irá interceptar o gráfico da função y = f(x) em um ponto; a ordenada deste ponto será, em virtude da definição do gráfico, igual a f(a)(Fig. 47).

Por exemplo, para a função f(x) = x 2 - 2x usando o gráfico (Fig. 46) encontramos f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.

Um gráfico de função ilustra visualmente o comportamento e as propriedades de uma função. Por exemplo, a partir de uma consideração da Fig. 46 é claro que a função y \u003d x 2 - 2x assume valores positivos quando x< 0 e em x > 2, negativo - em 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x aceita em x = 1.

Para plotar uma função f(x) você precisa encontrar todos os pontos do plano, coordenadas x,no que satisfaz a equação y = f(x). Na maioria dos casos, isso é impossível, pois existem infinitos pontos desse tipo. Portanto, o gráfico da função é representado aproximadamente - com maior ou menor precisão. O mais simples é o método de plotagem multiponto. Consiste no fato de que o argumento x dê um número finito de valores - digamos, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k e faça uma tabela que inclua os valores selecionados da função.

A tabela fica assim:

Depois de compilar essa tabela, podemos delinear vários pontos no gráfico da função y = f(x). Então, conectando esses pontos com uma linha suave, obtemos uma visão aproximada do gráfico da função y = f(x).

No entanto, deve-se notar que o método de plotagem multiponto não é confiável. De fato, o comportamento do gráfico entre os pontos marcados e seu comportamento fora do segmento entre os pontos extremos tomados permanece desconhecido.

Exemplo 1. Para plotar uma função y = f(x) alguém compilou uma tabela de argumentos e valores de função:

Os cinco pontos correspondentes são mostrados na Fig. 48.

Com base na localização desses pontos, ele concluiu que o gráfico da função é uma linha reta (mostrada na Fig. 48 por uma linha pontilhada). Essa conclusão pode ser considerada confiável? A menos que haja considerações adicionais para apoiar esta conclusão, dificilmente pode ser considerada confiável. confiável.

Para fundamentar nossa afirmação, considere a função

Os cálculos mostram que os valores dessa função nos pontos -2, -1, 0, 1, 2 são apenas descritos pela tabela acima. No entanto, o gráfico desta função não é uma linha reta (é mostrado na Fig. 49). Outro exemplo é a função y = x + l + senx; seus significados também estão descritos na tabela acima.

Esses exemplos mostram que, em sua forma "pura", o método de plotagem multiponto não é confiável. Portanto, para plotar uma determinada função, via de regra, proceda da seguinte forma. Primeiramente, são estudadas as propriedades dessa função, com a ajuda das quais é possível construir um esboço do gráfico. Então, calculando os valores da função em vários pontos (cuja escolha depende das propriedades definidas da função), os pontos correspondentes do gráfico são encontrados. E, por fim, traça-se uma curva através dos pontos construídos utilizando as propriedades desta função.

Consideraremos algumas (as mais simples e usadas com frequência) propriedades de funções usadas para encontrar um esboço de um gráfico mais tarde, e agora analisaremos alguns métodos comumente usados para plotar gráficos.

Gráfico da função y = |f(x)|.

Muitas vezes é necessário plotar uma função y = |f(x)|, onde f(x) - dada função. Lembre-se de como isso é feito. Pela definição do valor absoluto de um número, pode-se escrever

Isso significa que o gráfico da função y=|f(x)| pode ser obtido a partir do gráfico, funções y = f(x) da seguinte forma: todos os pontos do gráfico da função y = f(x), cujas ordenadas são não negativas, devem ser deixadas inalteradas; além disso, em vez dos pontos do gráfico da função y = f(x), tendo coordenadas negativas, deve-se construir os pontos correspondentes do gráfico da função y = -f(x)(isto é, parte do gráfico da função
y = f(x), que está abaixo do eixo X, deve ser refletida simetricamente em torno do eixo x).

Exemplo 2 Plotar uma função y = |x|.

Tomamos o gráfico da função y = x(Fig. 50, a) e parte deste gráfico com x< 0 (sob o eixo x) é refletida simetricamente em torno do eixo x. Com isso, obtemos o gráfico da função y = |x|(Fig. 50, b).

Exemplo 3. Plotar uma função y = |x 2 - 2x|.

Primeiro traçamos a função y = x 2 - 2x. O gráfico desta função é uma parábola, cujos ramos são direcionados para cima, o topo da parábola tem coordenadas (1; -1), seu gráfico intercepta o eixo das abcissas nos pontos 0 e 2. No intervalo (0; 2 ) a função assume valores negativos, portanto, esta parte do gráfico reflete simetricamente sobre o eixo x. A Figura 51 mostra um gráfico da função y \u003d |x 2 -2x |, com base no gráfico da função y = x 2 - 2x

Gráfico da função y = f(x) + g(x)

Considere o problema de plotar a função y = f(x) + g(x). se gráficos de funções são dados y = f(x) E y = g(x).

Observe que o domínio da função y = |f(x) + g(х)| é o conjunto de todos os valores de x para os quais ambas as funções y = f(x) e y = g(x) são definidas, ou seja, este domínio de definição é a interseção dos domínios de definição, as funções f(x ) eg(x).

deixe os pontos (x 0, y 1) E (x 0, y 2) pertencem respectivamente aos gráficos de funções y = f(x) E y = g(x), ou seja, você 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Então o ponto (x0;. y1 + y2) pertence ao gráfico da função y = f(x) + g(x)(para f(x 0) + g(x 0) = y 1+a2),. e qualquer ponto do gráfico da função y = f(x) + g(x) podem ser obtidos desta forma. Portanto, o gráfico da função y = f(x) + g(x) pode ser obtido a partir de gráficos de função y = f(x). E y = g(x) substituindo cada ponto ( x n, y 1) gráficos de funções y = f(x) ponto (x n, y 1 + y 2), Onde y 2 = g(x n), ou seja, deslocando cada ponto ( x n, y 1) gráfico de função y = f(x) ao longo do eixo no pela quantidade y 1 \u003d g (x n). Neste caso, apenas esses pontos são considerados. x n para o qual ambas as funções são definidas y = f(x) E y = g(x).

Este método de traçar um gráfico de função y = f(x) + g(x) é chamado de adição de gráficos de funções y = f(x) E y = g(x)

Exemplo 4. Na figura, pelo método de adição de gráficos, um gráfico da função é construído
y = x + senx.

Ao plotar uma função y = x + senx nós assumimos que f(x) = x, A g(x) = senx. Para construir um gráfico de função, selecionamos pontos com abscissas -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valores f(x) = x, g(x) = senx, y = x + senx vamos calcular nos pontos selecionados e colocar os resultados na tabela.

Crie uma função

Chamamos a atenção para um serviço de plotagem de gráficos de função online, cujos direitos pertencem à empresa Desmos. Use a coluna da esquerda para inserir funções. Você pode inserir manualmente ou usando o teclado virtual na parte inferior da janela. Para ampliar a janela do gráfico, você pode ocultar a coluna da esquerda e o teclado virtual.

Benefícios do gráfico online

Exibição visual das funções introduzidas
Construindo gráficos muito complexos
Traçar gráficos definidos implicitamente (por exemplo, elipse x^2/9+y^2/16=1)
A capacidade de salvar gráficos e obter um link para eles, que fica disponível para todos na Internet
Controle de escala, cor da linha
A capacidade de traçar gráficos por pontos, o uso de constantes
Construção de vários gráficos de funções ao mesmo tempo
Plotando em coordenadas polares (use r e θ(\theta))

Conosco, é fácil construir gráficos de complexidade variada online. A construção é feita instantaneamente. O serviço é procurado para encontrar pontos de interseção de funções, para exibir gráficos para sua posterior transferência para um documento do Word como ilustrações para resolver problemas, para analisar os recursos comportamentais dos gráficos de funções. O melhor navegador para trabalhar com gráficos nesta página do site é o Google Chrome. Ao usar outros navegadores, a operação correta não é garantida.

Uma das funções exponenciais mais famosas da matemática é o expoente. É o número de Euler elevado à potência especificada. No Excel, existe um operador separado que permite calculá-lo. Vamos ver como isso pode ser usado na prática.

O expoente é o número de Euler elevado a uma dada potência. O próprio número de Euler é aproximadamente 2,718281828. Às vezes, também é chamado de número de Napier. A função expoente fica assim:

onde e é o número de Euler e n é o expoente.

Para calcular esse indicador no Excel, é usado um operador separado - EXP. Além disso, esta função pode ser exibida como um gráfico. Falaremos mais sobre como trabalhar com essas ferramentas.

Método 1: calcular o expoente inserindo manualmente uma função

EXP(número)

Ou seja, esta fórmula contém apenas um argumento. Apenas representa o grau em que você precisa aumentar o número de Euler. Esse argumento pode estar na forma de um valor numérico ou na forma de uma referência a uma célula contendo um indicador de grau.

Método 2: Usando o Assistente de Função

Embora a sintaxe para calcular o expoente seja extremamente simples, alguns usuários preferem usar assistente de funções. Vamos ver como isso é feito com um exemplo.

Se uma referência a uma célula que contém um expoente for usada como argumento, você precisará colocar o cursor no campo "Número" e apenas selecione essa célula na planilha. Suas coordenadas serão imediatamente exibidas no campo. Depois disso, para calcular o resultado, clique no botão OK.

Método 3: plotando um gráfico

Além disso, no Excel existe a oportunidade de construir um gráfico com base nos resultados obtidos com o cálculo do expoente. Para construir um gráfico na folha, já deve haver valores calculados do expoente de vários graus. Você pode calculá-los usando um dos métodos descritos acima.

O comprimento do segmento no eixo de coordenadas é encontrado pela fórmula:

O comprimento do segmento no plano coordenado é procurado pela fórmula:

Para encontrar o comprimento de um segmento em um sistema de coordenadas tridimensional, a seguinte fórmula é usada:

As coordenadas do meio do segmento (para o eixo de coordenadas apenas a primeira fórmula é usada, para o plano de coordenadas - as duas primeiras fórmulas, para o sistema de coordenadas tridimensional - todas as três fórmulas) são calculadas pelas fórmulas:

Funçãoé uma correspondência da forma y= f(x) entre variáveis, pelo que cada uma considerou valor de alguma variável x(argumento ou variável independente) corresponde a um determinado valor de outra variável, y(variável dependente, às vezes esse valor é chamado simplesmente de valor da função). Observe que a função assume que um valor do argumento x só pode haver um valor da variável dependente no. No entanto, o mesmo valor no pode ser obtido com vários x.

escopo da função são todos valores da variável independente (argumento da função, geralmente x) para o qual a função é definida, ou seja, seu significado existe. O domínio de definição é indicado D(y). Em geral, você já está familiarizado com esse conceito. O escopo de uma função também é chamado de domínio de valores válidos, ou ODZ, que você conseguiu encontrar por muito tempo.

Faixa de função são todos os valores possíveis da variável dependente desta função. Denotado E(no).

Função sobe no intervalo em que o maior valor do argumento corresponde ao maior valor da função. função decrescente no intervalo em que o maior valor do argumento corresponde ao menor valor da função.

intervalos de função são os intervalos da variável independente em que a variável dependente retém seu sinal positivo ou negativo.

zeros de função são aqueles valores do argumento para os quais o valor da função é igual a zero. Nesses pontos, o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas (eixo OX). Muitas vezes, a necessidade de encontrar os zeros de uma função significa simplesmente resolver a equação. Além disso, muitas vezes a necessidade de encontrar intervalos de sinal constante significa a necessidade de simplesmente resolver a inequação.

Função y = f(x) são chamados até x

Isso significa que, para quaisquer valores opostos do argumento, os valores da função par são iguais. O gráfico de uma função par é sempre simétrico em relação ao eixo y do amplificador operacional.

Função y = f(x) são chamados chance, se for definido em um conjunto simétrico e para qualquer x do domínio de definição a igualdade é satisfeita:

Isso significa que, para quaisquer valores opostos do argumento, os valores da função ímpar também são opostos. O gráfico de uma função ímpar é sempre simétrico em relação à origem.

A soma das raízes das funções pares e ímpares (pontos de interseção do eixo das abcissas OX) é sempre igual a zero, pois para cada raiz positiva x tem raiz negativa x.

É importante observar que algumas funções não precisam ser pares ou ímpares. Existem muitas funções que não são nem pares nem ímpares. Tais funções são chamadas funções gerais, e nenhuma das igualdades ou propriedades acima é válida para eles.

Função linearé chamada de função que pode ser dada pela fórmula:

O gráfico de uma função linear é uma linha reta e, no caso geral, se parece com isso (um exemplo é dado para o caso em que k> 0, neste caso a função é crescente; para o caso k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Gráfico da função quadrática (parábola)

O gráfico de uma parábola é dado por uma função quadrática:

Uma função quadrática, como qualquer outra função, intercepta o eixo OX nos pontos que são suas raízes: ( x 1; 0) e ( x 2; 0). Se não houver raízes, a função quadrática não intercepta o eixo OX; se houver uma raiz, nesse ponto ( x 0; 0) a função quadrática apenas toca o eixo OX, mas não o intercepta. Uma função quadrática sempre intercepta o eixo OY em um ponto com coordenadas: (0; c). O gráfico de uma função quadrática (parábola) pode ficar assim (a figura mostra exemplos que longe de esgotar todos os tipos de parábolas possíveis):

Em que:

se o coeficiente a> 0, na função y = machado 2 + bx + c, então os ramos da parábola são direcionados para cima;
se a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

As coordenadas do vértice da parábola podem ser calculadas usando as seguintes fórmulas. X topos (p- nas figuras acima) de uma parábola (ou do ponto em que o trinômio quadrado atinge seu valor máximo ou mínimo):

Y tops (q- nas figuras acima) de uma parábola ou o máximo se os ramos da parábola forem direcionados para baixo ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), o valor do trinômio quadrado:

Gráficos de outras funções

Função liga-desliga

Aqui estão alguns exemplos de gráficos de funções de potência:

Dependência inversamente proporcional chame a função dada pela fórmula:

Dependendo do sinal do número k Um gráfico inversamente proporcional pode ter duas opções fundamentais:

assimptotaé a linha à qual a linha do gráfico da função se aproxima infinitamente, mas não se cruza. As assíntotas para os gráficos de proporcionalidade inversa mostrados na figura acima são os eixos coordenados, aos quais o gráfico da função se aproxima infinitamente, mas não os intercepta.

função exponencial com base A chame a função dada pela fórmula:

a o gráfico de uma função exponencial pode ter duas opções fundamentais (também daremos exemplos, veja abaixo):

função logarítmica chame a função dada pela fórmula:

Dependendo se o número é maior ou menor que um a O gráfico de uma função logarítmica pode ter duas opções fundamentais:

gráfico de funções y = |x| do seguinte modo:

Gráficos de funções periódicas (trigonométricas)

Função no = f(x) é chamado periódico, se existe tal número diferente de zero T, O que f(x + T) = f(x), para qualquer um x fora do escopo da função f(x). Se a função f(x) é periódica com período T, então a função:

Onde: A, k, b são números constantes e k diferente de zero, também periódica com um período T 1 , que é determinado pela fórmula:

A maioria dos exemplos de funções periódicas são funções trigonométricas. Aqui estão os gráficos das principais funções trigonométricas. A figura a seguir mostra parte do gráfico da função y= pecado x(todo o gráfico continua indefinidamente à esquerda e à direita), o gráfico da função y= pecado x chamado sinusóide:

gráfico de funções y= cos x chamado onda cosseno. Esse gráfico é mostrado na figura a seguir. Desde o gráfico do seno, continua indefinidamente ao longo do eixo OX para a esquerda e para a direita:

gráfico de funções y=tg x chamado tangenteide. Esse gráfico é mostrado na figura a seguir. Como os gráficos de outras funções periódicas, este gráfico se repete indefinidamente ao longo do eixo OX à esquerda e à direita.

E, finalmente, o gráfico da função y=ctg x chamado cotangentóide. Esse gráfico é mostrado na figura a seguir. Como os gráficos de outras funções periódicas e trigonométricas, este gráfico se repete indefinidamente ao longo do eixo OX à esquerda e à direita.

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Como se preparar com sucesso para o CT em Física e Matemática?

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O cumprimento bem-sucedido, diligente e responsável destes três pontos, bem como o estudo responsável das provas finais do treino, permitir-lhe-ão mostrar um excelente resultado no CT, o máximo de que é capaz.

Encontrou um erro?

Se você, ao que parece, encontrou um erro nos materiais de treinamento, escreva sobre isso por e-mail (). Na carta, indique o assunto (física ou matemática), o nome ou número do tópico ou teste, o número da tarefa ou o local do texto (página) onde, em sua opinião, há um erro. Descreva também qual é o suposto erro. Sua carta não passará despercebida, o erro será corrigido ou você será explicado por que não é um erro.

Primeiro, tente encontrar o escopo da função:

Você conseguiu? Vamos comparar as respostas:

Tudo bem? Bom trabalho!

Agora vamos tentar encontrar o intervalo da função:

Encontrado? Comparar:

Concordou? Bom trabalho!

Vamos trabalhar com os gráficos novamente, só que agora é um pouco mais difícil - encontrar o domínio da função e a imagem da função.

Como encontrar o domínio e a imagem de uma função (avançado)

Aqui está o que aconteceu:

Com gráficos, acho que você descobriu. Agora vamos tentar encontrar o domínio da função de acordo com as fórmulas (se você não sabe como fazer isso, leia a seção sobre):

Você conseguiu? verificando respostas:

, pois a expressão raiz deve ser maior ou igual a zero.
, já que é impossível dividir por zero e a expressão do radical não pode ser negativa.
, pois, respectivamente, para todos.
porque você não pode dividir por zero.

Porém, ainda temos mais um momento que não foi resolvido...

Deixe-me reiterar a definição e focar nela:

Percebido? A palavra "somente" é um elemento muito, muito importante da nossa definição. Vou tentar explicar para você nos dedos.

Digamos que temos uma função dada por uma reta. . Quando, substituímos esse valor em nossa "regra" e obtemos isso. Um valor corresponde a um valor. Podemos até fazer uma tabela de vários valores e plotar uma determinada função para verificar isso.

"Olhar! - você diz, - "" se encontra duas vezes!" Então talvez a parábola não seja uma função? Não é!

O fato de "" ocorrer duas vezes está longe de ser motivo para acusar a parábola de ambiguidade!

O fato é que, ao calcular, conseguimos um jogo. E ao calcular com, temos um jogo. Isso mesmo, a parábola é uma função. Olhe para o gráfico:

Entendi? Se não, aqui está um exemplo da vida real para você, longe da matemática!

Digamos que temos um grupo de candidatos que se conheceram ao enviar documentos, cada um dos quais contou em uma conversa onde mora:

Concordo, é bastante realista que vários caras morem na mesma cidade, mas é impossível uma pessoa morar em várias cidades ao mesmo tempo. Esta é, por assim dizer, uma representação lógica da nossa "parábola" - Vários x diferentes correspondem ao mesmo y.

Agora vamos criar um exemplo onde a dependência não é uma função. Digamos que esses mesmos caras contaram para quais especialidades se candidataram:

Aqui temos uma situação completamente diferente: uma pessoa pode facilmente se candidatar a uma ou várias direções. Aquilo é um elemento conjuntos são colocados em correspondência vários elementos conjuntos. Respectivamente, não é uma função.

Vamos testar seus conhecimentos na prática.

Determine pelas imagens o que é uma função e o que não é:

Entendi? E aqui está respostas:

A função é - B,E.
Não é uma função - A, B, D, D.

Você pergunta por quê? Sim, aqui está o porquê:

Em todas as figuras, exceto EM) E E) são vários para um!

Tenho certeza de que agora você pode facilmente distinguir uma função de uma não função, dizer o que é um argumento e o que é uma variável dependente e também determinar o escopo do argumento e o escopo da função. Vamos para a próxima seção - como definir uma função?

Formas de definir uma função

O que você acha que as palavras significam "definir função"? Isso mesmo, significa explicar a todos de que função estamos falando neste caso. Além disso, explique de forma que todos o entendam corretamente e os gráficos de funções desenhados pelas pessoas de acordo com sua explicação sejam os mesmos.

Como eu posso fazer isso? Como definir uma função? A maneira mais fácil, que já foi usada mais de uma vez neste artigo - usando uma fórmula. Escrevemos uma fórmula e, ao substituí-la por um valor, calculamos o valor. E como você se lembra, uma fórmula é uma lei, uma regra segundo a qual fica claro para nós e para outra pessoa como um X se transforma em Y.

Normalmente, é exatamente isso que eles fazem - nas tarefas, vemos funções prontas definidas por fórmulas; no entanto, existem outras maneiras de definir uma função que todos esquecem e, portanto, a pergunta "de que outra forma você pode definir uma função?" confunde. Vamos dar uma olhada em tudo em ordem e começar com o método analítico.

Maneira analítica de definir uma função

O método analítico é a tarefa de uma função usando uma fórmula. Esta é a maneira mais universal, abrangente e inequívoca. Se você tem uma fórmula, sabe absolutamente tudo sobre a função - pode fazer uma tabela de valores nela, pode construir um gráfico, determinar onde a função aumenta e onde diminui, em geral, explorá-la na íntegra.

Vamos considerar uma função. O que isso importa?

"O que isso significa?" - você pergunta. Vou explicar agora.

Deixe-me lembrá-lo de que, na notação, a expressão entre colchetes é chamada de argumento. E esse argumento pode ser qualquer expressão, não necessariamente simples. Assim, qualquer que seja o argumento (expressão entre colchetes), iremos escrevê-lo na expressão.

Em nosso exemplo, ficará assim:

Considere outra tarefa relacionada ao método analítico de especificar uma função que você terá no exame.

Encontre o valor da expressão, at.

Tenho certeza que a princípio você ficou com medo ao ver tal expressão, mas não há absolutamente nada de assustador nela!

Tudo é igual ao exemplo anterior: seja qual for o argumento (expressão entre parênteses), iremos escrevê-lo na expressão. Por exemplo, para uma função.

O que deve ser feito em nosso exemplo? Em vez disso, você precisa escrever e, em vez de -:

reduza a expressão resultante:

Isso é tudo!

Trabalho independente

Agora tente encontrar o significado das seguintes expressões você mesmo:

, Se
, Se

Você conseguiu? Vamos comparar nossas respostas: Estamos acostumados com o fato de que a função tem a forma

Mesmo em nossos exemplos, definimos a função dessa forma, mas analiticamente é possível definir a função implicitamente, por exemplo.

Tente construir esta função você mesmo.

Você conseguiu?

Aqui está como eu construí.

A que equação chegamos?

Certo! Linear, o que significa que o gráfico será uma linha reta. Vamos fazer uma tabela para determinar quais pontos pertencem à nossa linha:

É exatamente disso que estávamos falando ... Um corresponde a vários.

Vamos tentar desenhar o que aconteceu:

O que temos é uma função?

Isso mesmo, não! Por que? Tente responder a esta pergunta com uma imagem. O que você conseguiu?

“Porque um valor corresponde a vários valores!”

Que conclusão podemos tirar disso?

Isso mesmo, uma função nem sempre pode ser expressa explicitamente, e o que está "disfarçado" de função nem sempre é uma função!

Forma tabular de definir uma função

Como o nome sugere, este método é uma placa simples. Sim Sim. Como o que já fizemos. Por exemplo:

Aqui você notou imediatamente um padrão - Y é três vezes maior que X. E agora a tarefa “pense muito bem”: você acha que uma função dada em forma de tabela é equivalente a uma função?

Não vamos falar muito, mas vamos desenhar!

Então. Desenhamos uma função dada em ambas as formas:

Você vê a diferença? Não é sobre os pontos marcados! Olhe mais de perto:

Você viu agora? Quando definimos a função de forma tabular, refletimos no gráfico apenas os pontos que temos na tabela e a reta (como no nosso caso) passa apenas por eles. Quando definimos uma função de forma analítica, podemos tomar quaisquer pontos, e nossa função não se limita a eles. Aqui está esse recurso. Lembrar!

Maneira gráfica de construir uma função

A forma gráfica de construir uma função não é menos conveniente. Desenhamos nossa função e outra pessoa interessada pode descobrir a que y é igual a um determinado x, e assim por diante. Os métodos gráficos e analíticos estão entre os mais comuns.

No entanto, aqui você precisa se lembrar do que falamos no início - nem todo “rabisco” desenhado no sistema de coordenadas é uma função! Lembrei? Por via das dúvidas, vou copiar aqui a definição do que é uma função:

Via de regra, as pessoas costumam nomear exatamente essas três formas de especificar uma função que analisamos - analítica (usando uma fórmula), tabular e gráfica, esquecendo completamente que uma função pode ser descrita verbalmente. Assim? Sim, muito fácil!

Descrição verbal da função

Como descrever a função verbalmente? Vamos pegar nosso exemplo recente - . Essa função pode ser descrita como "cada valor real de x corresponde ao seu valor triplo". Isso é tudo. Nada complicado. Claro, você objetará - “existem funções tão complexas que é simplesmente impossível definir verbalmente!” Sim, existem algumas, mas existem funções que são mais fáceis de descrever verbalmente do que definir com uma fórmula. Por exemplo: "cada valor natural de x corresponde à diferença entre os dígitos que o compõem, enquanto o maior dígito contido na entrada do número é considerado o minuendo". Agora considere como nossa descrição verbal da função é implementada na prática:

O maior dígito em um determinado número -, respectivamente, - é reduzido, então:

Principais tipos de funções

Agora vamos passar ao mais interessante - vamos considerar os principais tipos de funções com as quais você trabalhou / trabalha e vai trabalhar no curso de matemática escolar e do instituto, ou seja, vamos conhecê-los, por assim dizer, e dê-lhes uma breve descrição. Leia mais sobre cada função na seção correspondente.

Função linear

Uma função da forma, onde, são números reais.

O gráfico desta função é uma linha reta, então a construção de uma função linear se reduz a encontrar as coordenadas de dois pontos.

A posição da reta no plano coordenado depende da inclinação.

Escopo da função (também conhecido como intervalo de argumentos) - .

O intervalo de valores é .

função quadrática

Função da forma, onde

O gráfico da função é uma parábola, quando os ramos da parábola são direcionados para baixo, quando - para cima.

Muitas propriedades de uma função quadrática dependem do valor do discriminante. O discriminante é calculado pela fórmula

A posição da parábola no plano de coordenadas em relação ao valor e coeficiente é mostrada na figura:

Domínio

A faixa de valores depende do extremo da função dada (o vértice da parábola) e do coeficiente (a direção dos ramos da parábola)

proporcionalidade inversa

A função dada pela fórmula, onde

O número é chamado de fator de proporcionalidade inversa. Dependendo de qual valor, os ramos da hipérbole estão em quadrados diferentes:

Domínio - .