A distribuição normal é o tipo mais comum de distribuição. É encontrado na análise de erros de medição, no controle de processos e regimes tecnológicos, bem como na análise e previsão de vários fenômenos na biologia, na medicina e em outras áreas do conhecimento.

O termo "distribuição normal" é usado em um sentido condicional como geralmente aceito na literatura, embora não seja totalmente bem-sucedido. Assim, a afirmação de que determinado atributo obedece à lei de distribuição normal não significa de forma alguma a existência de quaisquer normas inabaláveis ​​que supostamente fundamentam o fenômeno, cujo reflexo é o atributo em questão, e a submissão a outras leis de distribuição não significa algum tipo de anormalidade desse fenômeno.

A principal característica da distribuição normal é que ela é o limite ao qual outras distribuições se aproximam. A distribuição normal foi descoberta pela primeira vez por Moivre em 1733. Somente variáveis ​​aleatórias contínuas obedecem à lei normal. A densidade da lei de distribuição normal tem a forma .

A expectativa matemática para a lei de distribuição normal é . A dispersão é .

Propriedades básicas da distribuição normal.

1. A função de densidade de distribuição é definida em todo o eixo real Oh , ou seja, cada valor x corresponde a um valor bem definido da função.

2. Para todos os valores x (ambos positivos e negativos) a função de densidade assume valores positivos, ou seja, a curva normal está localizada acima do eixo Oh .

3. Limite da função densidade com aumento ilimitado x igual a zero, .

4. A função densidade da distribuição normal no ponto tem um máximo.

5. O gráfico da função de densidade é simétrico em relação a uma linha reta.

6. A curva de distribuição tem dois pontos de inflexão com coordenadas e .

7. A moda e a mediana da distribuição normal coincidem com a expectativa matemática A .

8. A forma da curva normal não muda quando o parâmetro é alterado A .

9. Os coeficientes de assimetria e curtose da distribuição normal são iguais a zero.

A importância de calcular esses coeficientes para séries de distribuição empírica é óbvia, pois eles caracterizam a assimetria e inclinação da série dada em comparação com a normal.

A probabilidade de cair no intervalo é encontrada pela fórmula , onde é uma função tabelada ímpar.

Vamos determinar a probabilidade de que uma variável aleatória normalmente distribuída se desvie de sua expectativa matemática por um valor menor que , ou seja, encontramos a probabilidade da desigualdade , ou a probabilidade da dupla desigualdade . Substituindo na fórmula, temos

Expressando o desvio de uma variável aleatória x em frações do desvio padrão, ou seja, colocando a última igualdade, obtemos .

Então para , obtemos

Quando nós tivermos ,

quando recebemos.

Segue da última desigualdade que, na prática, a dispersão de uma variável aleatória normalmente distribuída está na seção . A probabilidade de uma variável aleatória não cair nessa área é muito pequena, ou seja, é igual a 0,0027, ou seja, esse evento pode ocorrer apenas em três casos em 1000. Tais eventos podem ser considerados quase impossíveis. Com base no raciocínio acima, regra dos três sigmas, que se formula da seguinte forma: se uma variável aleatória tiver uma distribuição normal, então o desvio desse valor da expectativa matemática em valor absoluto não excede três vezes o desvio padrão.

Exemplo 28 . Uma peça feita por uma máquina automática é considerada apta se o desvio de seu tamanho controlado em relação ao projeto não exceder 10 mm. Desvios aleatórios do tamanho controlado do tamanho do projeto estão sujeitos à lei de distribuição normal com desvio padrão mm e expectativa matemática. Que porcentagem de peças boas a máquina produz?

Solução. Considere uma variável aleatória x - desvio do tamanho do projeto. A parte será reconhecida como apta se a variável aleatória pertencer ao intervalo. A probabilidade de fabricar uma peça adequada é encontrada pela fórmula . Portanto, o percentual de peças boas produzidas pela máquina é de 95,44%.

Distribuição binomial

Binomial é a distribuição de probabilidade de ocorrência m número de eventos em P testes independentes, em cada um dos quais a probabilidade de ocorrência de um evento é constante e igual a R . A probabilidade do número possível de ocorrências de um evento é calculada pela fórmula de Bernoulli: ,

Onde . Permanente P E R , incluídos nesta expressão, os parâmetros da lei binomial. A distribuição binomial descreve a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.

Características numéricas básicas da distribuição binomial. A expectativa matemática é . A dispersão é . Os coeficientes de assimetria e curtose são iguais a e . Com um aumento ilimitado no número de tentativas A E E tendem a zero, portanto, podemos supor que a distribuição binomial converge para a normal com o aumento do número de tentativas.

Exemplo 29 . Testes independentes são realizados com a mesma probabilidade de ocorrência de um evento A em cada teste. Encontre a probabilidade de um evento ocorrer A em uma tentativa se a variação no número de aparições em três tentativas for 0,63.

Solução. Para a distribuição binomial . Substitua os valores, obtemos daqui ou então e .

Distribuição de veneno

Lei da distribuição dos fenômenos raros

A distribuição de Poisson descreve o número de eventos m , ocorrendo em intervalos de tempo iguais, desde que os eventos ocorram independentemente uns dos outros com uma intensidade média constante. Ao mesmo tempo, o número de tentativas P é grande, e a probabilidade de um evento ocorrer em cada tentativa R pequeno. Portanto, a distribuição de Poisson é chamada de lei dos fenômenos raros ou do fluxo mais simples. O parâmetro da distribuição de Poisson é o valor que caracteriza a intensidade de ocorrência de eventos em P testes. Fórmula de distribuição de Poisson.

A distribuição de Poisson descreve bem o número de reclamações para o pagamento de somas de seguro por ano, o número de chamadas recebidas pela central telefônica em um determinado momento, o número de falhas de elementos durante o teste de confiabilidade, o número de produtos defeituosos e assim por diante .

Características numéricas básicas da distribuição de Poisson. A esperança matemática é igual à variância e é igual a A . Aquilo é . Esta é uma característica distintiva desta distribuição. Os coeficientes de assimetria e curtose são respectivamente iguais a .

Exemplo 30 . O número médio de pagamentos de importâncias seguradas por dia é de dois. Ache a probabilidade de que em cinco dias você tenha que pagar: 1) 6 importâncias seguradas; 2) menos de seis valores; 3) não inferior a seis.distribuição.

Essa distribuição é frequentemente observada ao estudar a vida útil de vários dispositivos, o tempo de atividade de elementos individuais, partes do sistema e o sistema como um todo, ao considerar intervalos de tempo aleatórios entre a ocorrência de dois eventos raros sucessivos.

A densidade da distribuição exponencial é determinada pelo parâmetro , que é chamado taxa de falha. Este termo está associado a uma área específica de aplicação - a teoria da confiabilidade.

A expressão para a função integral da distribuição exponencial pode ser encontrada usando as propriedades da função diferencial:

Expectativa matemática da distribuição exponencial, variância, desvio padrão. Assim, é típico dessa distribuição que o desvio padrão seja numericamente igual à expectativa matemática. Para qualquer valor do parâmetro, os coeficientes de assimetria e curtose são valores constantes.

Exemplo 31 . O tempo médio de operação da TV antes da primeira falha é de 500 horas. Encontre a probabilidade de que um aparelho de TV escolhido ao acaso opere sem interrupções por mais de 1000 horas.

Solução. Como o tempo médio para a primeira falha é 500, então . Encontramos a probabilidade desejada pela fórmula .

Em muitos problemas relacionados a variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas, é necessário determinar a probabilidade de uma variável aleatória , obedecendo à lei normal com parâmetros , cair no intervalo de a . Para calcular essa probabilidade, usamos a fórmula geral

onde é a função de distribuição da quantidade .

Vamos encontrar a função de distribuição de uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei normal com parâmetros. A densidade de distribuição do valor é:

. (6.3.2)

A partir daqui encontramos a função de distribuição

. (6.3.3)

Façamos a mudança de variável na integral (6.3.3)

e trazê-lo para o formulário:

(6.3.4)

A integral (6.3.4) não é expressa em termos de funções elementares, mas pode ser calculada em termos de uma função especial que expressa uma integral definida da expressão ou (a chamada integral de probabilidade), para a qual as tabelas são compiladas . Existem muitas variedades de tais funções, por exemplo:

;

etc. Qual dessas funções usar é uma questão de gosto. Vamos escolher como tal função

. (6.3.5)

É fácil ver que esta função nada mais é do que a função de distribuição para uma variável aleatória normalmente distribuída com parâmetros.

Concordamos em chamar a função de função de distribuição normal. O apêndice (Tabela 1) mostra tabelas de valores de funções.

Expressemos a função de distribuição (6.3.3) da quantidade com parâmetros e em função da função de distribuição normal. Obviamente,

. (6.3.6)

Agora vamos encontrar a probabilidade de atingir uma variável aleatória no segmento de a . De acordo com a fórmula (6.3.1)

Assim, expressamos a probabilidade de uma variável aleatória , distribuída de acordo com a lei normal com quaisquer parâmetros, cair no gráfico em termos da função de distribuição padrão , correspondente à lei normal mais simples com parâmetros 0,1. Observe que os argumentos da função na fórmula (6.3.7) têm um significado muito simples: há uma distância da extremidade direita da seção até o centro de dispersão, expressa em desvios padrão; - a mesma distância para a extremidade esquerda do trecho, sendo esta distância considerada positiva se a extremidade estiver localizada à direita do centro de dispersão, e negativa se à esquerda.

Como qualquer função de distribuição, a função tem as seguintes propriedades:

3. - função não decrescente.

Além disso, a partir da simetria da distribuição normal com parâmetros sobre a origem, segue-se que

Usando esta propriedade, de fato, seria possível limitar as tabelas de funções apenas a valores positivos do argumento, mas para evitar uma operação desnecessária (subtração de um), a Tabela 1 do apêndice fornece valores para argumentos positivos e negativos.

Na prática, muitas vezes encontramos o problema de calcular a probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída cair em uma área simétrica em relação ao centro de dispersão. Considere tal seção de comprimento (Fig. 6.3.1). Vamos calcular a probabilidade de acertar este site usando a fórmula (6.3.7):

Levando em conta a propriedade (6.3.8) da função e dando ao lado esquerdo da fórmula (6.3.9) uma forma mais compacta, obtemos uma fórmula para a probabilidade de uma variável aleatória distribuída segundo a lei normal cair em uma seção simétrica em relação ao centro de dispersão:

. (6.3.10)

Vamos resolver o seguinte problema. Vamos separar segmentos sucessivos de comprimento do centro de dispersão (Fig. 6.3.2) e calcular a probabilidade de que uma variável aleatória caia em cada um deles. Como a curva da lei normal é simétrica, basta adiar tais segmentos apenas em uma direção.

Pela fórmula (6.3.7) encontramos:

(6.3.11)

Como pode ser visto a partir desses dados, as probabilidades de atingir cada um dos seguintes segmentos (quinto, sexto, etc.) com uma precisão de 0,001 são iguais a zero.

Arredondando as probabilidades de acertar os segmentos para 0,01 (até 1%), obtemos três números fáceis de lembrar:

0,34; 0,14; 0,02.

A soma desses três valores é 0,5. Isso significa que, para uma variável aleatória normalmente distribuída, todas as dispersões (até frações de uma porcentagem) cabem na seção .

Isso permite, conhecendo o desvio padrão e a expectativa matemática de uma variável aleatória, indicar aproximadamente o intervalo de seus valores praticamente possíveis. Esse método de estimar o intervalo de valores possíveis de uma variável aleatória é conhecido na estatística matemática como “regra dos três sigma”. A regra de três sigma também implica um método aproximado para determinar o desvio padrão de uma variável aleatória: eles pegam o desvio máximo praticamente possível da média e o dividem por três. Obviamente, esse método aproximado só pode ser recomendado se não houver outras maneiras mais precisas de determinar .

Exemplo 1. Uma variável aleatória , distribuída de acordo com a lei normal, é um erro na medição de uma certa distância. Ao medir, um erro sistemático é permitido na direção da superestimação em 1,2 (m); o desvio padrão do erro de medição é de 0,8 (m). Encontre a probabilidade de que o desvio do valor medido do valor real não exceda 1,6 (m) em valor absoluto.

Solução. O erro de medição é uma variável aleatória obedecendo à lei normal com parâmetros e . Precisamos encontrar a probabilidade de que essa quantidade caia no intervalo de a . Pela fórmula (6.3.7) temos:

Usando as tabelas de funções (Apêndice, Tabela 1), encontramos:

; ,

Exemplo 2. Encontre a mesma probabilidade do exemplo anterior, mas com a condição de que não haja erro sistemático.

Solução. Pela fórmula (6.3.10), assumindo , encontramos:

.

Exemplo 3. Em um alvo que se parece com uma faixa (autoestrada), cuja largura é de 20 m, o tiro é realizado na direção perpendicular à rodovia. A mira é realizada ao longo da linha central da rodovia. O desvio padrão na direção do tiro é igual a m. Há um erro sistemático na direção do tiro: o tiro inferior é de 3 m. Encontre a probabilidade de atingir a rodovia com um tiro.

(real, estritamente positivo)

Distribuição normal, também chamado distribuição gaussiana ou Gauss-Laplace- distribuição de probabilidade, que no caso unidimensional é dada pela função de densidade de probabilidade, coincidindo com a função gaussiana:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

onde o parâmetro μ é a expectativa matemática (valor médio), mediana e moda da distribuição, e o parâmetro σ é o desvio padrão ( σ  ² - variância) da distribuição.

Assim, a distribuição normal unidimensional é uma família de distribuições de dois parâmetros. O caso multivariado é descrito no artigo "Multivariate normal distribution".

distribuição normal padrãoé chamada de distribuição normal com média μ = 0 e desvio padrão σ = 1 .

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  A importância da distribuição normal em muitos campos da ciência (por exemplo, na estatística matemática e na física estatística) decorre do teorema do limite central da teoria da probabilidade. Se o resultado de uma observação for a soma de muitas variáveis ​​aleatórias fracamente interdependentes, cada uma das quais faz uma pequena contribuição em relação à soma total, então, à medida que o número de termos aumenta, a distribuição do resultado centrado e normalizado tende a ser normal. Essa lei da teoria da probabilidade tem como consequência a ampla distribuição da distribuição normal, que foi um dos motivos de seu nome.

  Propriedades

  momentos

  Se variáveis ​​aleatórias X 1 (\displaystyle X_(1)) E X 2 (\displaystyle X_(2)) são independentes e têm uma distribuição normal com expectativas matemáticas μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) E μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) e dispersões σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) E σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) respectivamente, então X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) também tem uma distribuição normal com valor esperado μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) e dispersão σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Isso implica que uma variável aleatória normal pode ser representada como a soma de um número arbitrário de variáveis ​​aleatórias normais independentes.

  entropia máxima

  A distribuição normal tem a entropia diferencial máxima entre todas as distribuições contínuas cuja variância não excede um determinado valor.

  Modelando Variáveis ​​Pseudo-Aleatórias Normais

  Os métodos de modelagem aproximados mais simples são baseados no teorema central limit . Ou seja, se adicionarmos várias quantidades independentes identicamente distribuídas com uma variância finita , então a soma será distribuída aproximadamente Multar. Por exemplo, se você adicionar 100 padrões independentes uniformemente variáveis ​​aleatórias distribuídas, então a distribuição da soma será aproximadamente normal.

  Para geração de software de variáveis ​​pseudo-aleatórias normalmente distribuídas, é preferível usar a transformação  Box - Muller. Ele permite que você gere um valor normalmente distribuído com base em um uniformemente distribuído.

  Distribuição normal na natureza e aplicações

  A distribuição normal é frequentemente encontrada na natureza. Por exemplo, as seguintes variáveis ​​aleatórias são bem modeladas pela distribuição normal:

  • desvio de tiro.
  • erros de medição (no entanto, os erros de alguns instrumentos de medição têm distribuições não normais).
  • algumas características dos organismos vivos em uma população.

  Essa distribuição é tão difundida porque é uma distribuição contínua infinitamente divisível com variância finita. Portanto, alguns outros o abordam no limite, como o binomial e o de Poisson. Muitos processos físicos não determinísticos são modelados por esta distribuição.

  Relação com outras distribuições

  • A distribuição normal é uma distribuição Pearson do tipo XI.
  • A razão de um par de variáveis ​​aleatórias normalmente distribuídas padrão independente tem uma distribuição Cauchy. Ou seja, se a variável aleatória X (\displaystyle X) representa a relação X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Onde Y (\displaystyle Y) E Z (\displaystyle Z) são variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes), então ela terá uma distribuição de Cauchy.
  • Se z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) são variáveis ​​aleatórias normais padrão conjuntamente independentes, ou seja, z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), então a variável aleatória x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) tem uma distribuição qui-quadrada com k graus de liberdade.
  • Se a variável aleatória X (\displaystyle X) está sujeito a uma distribuição lognormal, então seu logaritmo natural tem uma distribuição normal. Isto é, se X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Que Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). E vice-versa, se Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Que X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \certo)).
  • A razão entre os quadrados de duas variáveis ​​aleatórias normais padrão tem

  Na prática, a maioria das variáveis ​​aleatórias, que são afetadas por um grande número de fatores aleatórios, obedece à lei normal da distribuição de probabilidade. Portanto, em várias aplicações da teoria da probabilidade, esta lei é de particular importância.

  Uma variável aleatória $X$ obedece à lei de distribuição de probabilidade normal se sua densidade de distribuição de probabilidade tiver a seguinte forma

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma)^2)))$$

  Esquematicamente, o gráfico da função $f\left(x\right)$ é mostrado na figura e tem o nome de "Curva Gaussiana". À direita deste gráfico está a nota de 10 marcos alemães, que estava em uso mesmo antes da introdução do euro. Se você olhar de perto, nesta nota poderá ver a curva Gaussiana e seu descobridor, o maior matemático Carl Friedrich Gauss.

  Vamos voltar à nossa função de densidade $f\left(x\right)$ e dar algumas explicações sobre os parâmetros de distribuição $a,\ (\sigma )^2$. O parâmetro $a$ caracteriza o centro de dispersão dos valores da variável aleatória, ou seja, tem o significado da expectativa matemática. Quando o parâmetro $a$ muda e o parâmetro $(\sigma )^2$ permanece inalterado, podemos observar o deslocamento do gráfico da função $f\left(x\right)$ ao longo do eixo das abcissas, enquanto a densidade gráfico em si não muda sua forma.

  

  O parâmetro $(\sigma )^2$ é a variância e caracteriza a forma da curva de densidade $f\left(x\right)$. Ao alterar o parâmetro $(\sigma )^2$ com o parâmetro $a$ inalterado, podemos observar como o gráfico de densidade muda de forma, encolhendo ou esticando, mas não se deslocando ao longo da abcissa.

  

  Probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída cair em um determinado intervalo

  Como se sabe, a probabilidade de uma variável aleatória $X$ cair no intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ pode ser calculada $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\esquerda(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Aqui a função $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ é a Função de Laplace. Os valores desta função são retirados de . As seguintes propriedades da função $\Phi \left(x\right)$ podem ser observadas.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ou seja, a função $\Phi \left(x\right)$ é ímpar.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ é uma função monotonicamente crescente.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ esquerda(x\direita)\ )=-0,5$.

  Para calcular os valores da função $\Phi \left(x\right)$, você também pode usar o assistente de função $f_x$ do pacote Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\à direita )-0,5$. Por exemplo, vamos calcular os valores da função $\Phi \left(x\right)$ para $x=2$.

  

  A probabilidade de que uma variável aleatória normalmente distribuída $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ caia em um intervalo simétrico em relação à expectativa $a$ pode ser calculada pela fórmula

  $$P\esquerda(\esquerda|X-a\direita|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  regra dos três sigmas. É praticamente certo que uma variável aleatória normalmente distribuída $X$ cai no intervalo $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  Exemplo 1 . A variável aleatória $X$ está sujeita à lei de distribuição de probabilidade normal com parâmetros $a=2,\ \sigma =3$. Encontre a probabilidade de que $X$ caia no intervalo $\left(0,5;1\right)$ e a probabilidade de que a desigualdade $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Usando a fórmula

  $$P\esquerda(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  find $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ sobre (3))\direita)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right) =0,191-0,129=$0,062.

  $$P\esquerda(\esquerda|X-a\direita|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Exemplo 2 . Suponha que durante o ano o preço das ações de uma determinada empresa seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei normal com uma expectativa matemática igual a 50 unidades monetárias convencionais e um desvio padrão igual a 10. Qual é a probabilidade de que em um sorteio escolhido aleatoriamente dia do período em discussão, o preço da ação será:

  a) mais de 70 unidades monetárias convencionais?

  b) abaixo de 50 por ação?

  c) entre 45 e 58 unidades monetárias convencionais por ação?

  Seja a variável aleatória $X$ o preço das ações de alguma empresa. Pela condição $X$ está sujeito a distribuição normal com parâmetros $a=50$ - expectativa matemática, $\sigma =10$ - desvio padrão. Probabilidade $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\esquerda(\alfa< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ sobre (10))\direita)=0,5-\Phi \esquerda(2\direita)=0,5-0,4772=0,0228.$$

  $$b)\P\esquerda(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\P\esquerda(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  A lei da distribuição normal de probabilidades de uma variável aleatória contínua ocupa um lugar especial entre várias leis teóricas, pois é a principal em muitos estudos práticos. Ele descreve a maioria dos fenômenos aleatórios associados aos processos de produção.

  Fenômenos aleatórios que obedecem à lei de distribuição normal incluem erros de medição de parâmetros de produção, distribuição de erros tecnológicos de fabricação, altura e peso da maioria dos objetos biológicos, etc.

  Normal chame a lei da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua, que é descrita por uma função diferencial

  a - expectativa matemática de uma variável aleatória;

  O desvio padrão da distribuição normal.

  O gráfico da função diferencial da distribuição normal é chamado de curva normal (curva Gaussiana) (Fig. 7).

  

  Arroz. 7 curva gaussiana

  Propriedades de uma curva normal (curva gaussiana):

  1. a curva é simétrica em relação à reta x = a;

  2. a curva normal está localizada acima do eixo X, ou seja, para todos os valores de X, a função f(x) é sempre positiva;

  3. O eixo do boi é a assíntota horizontal do gráfico, porque

  4. para x = a, a função f(x) tem um máximo igual a

  ,

  nos pontos A e B em e a curva tem pontos de inflexão cujas ordenadas são iguais.

  

  Ao mesmo tempo, a probabilidade de que o valor absoluto do desvio de uma variável aleatória normalmente distribuída de sua expectativa matemática não exceda o desvio padrão é igual a 0,6826.

  nos pontos E e G, para e , o valor da função f(x) é igual a

  

  e a probabilidade de que o valor absoluto do desvio de uma variável aleatória normalmente distribuída de sua expectativa matemática não exceda o dobro do desvio padrão é 0,9544.

  Aproximando-se assintoticamente do eixo das abcissas, a curva Gaussiana nos pontos C e D, em e , aproxima-se muito do eixo das abcissas. Nesses pontos, o valor da função f(x) é muito pequeno

  

  e a probabilidade de que o valor absoluto do desvio de uma variável aleatória normalmente distribuída de sua expectativa matemática não exceda três vezes o desvio padrão é 0,9973. Esta propriedade da curva gaussiana é chamada de " regra dos três sigmas".

  
  
  

  Se uma variável aleatória for normalmente distribuída, então o valor absoluto de seu desvio da expectativa matemática não excede três vezes o desvio padrão.

  Alterar o valor do parâmetro a (a expectativa matemática de uma variável aleatória) não altera a forma da curva normal, mas apenas leva ao seu deslocamento ao longo do eixo X: para a direita se a aumenta e para a esquerda se a diminui.

  Quando a=0, a curva normal é simétrica em relação ao eixo y.

  Alterar o valor do parâmetro (desvio padrão) altera a forma da curva normal: com o aumento das ordenadas da diminuição da curva normal, a curva é esticada ao longo do eixo X e pressionada contra ele. Ao diminuir, as ordenadas da curva normal aumentam, a curva encolhe ao longo do eixo X e torna-se mais "picada".

  Ao mesmo tempo, para quaisquer valores de e, a área delimitada pela curva normal e o eixo X permanece igual a um (ou seja, a probabilidade de uma variável aleatória distribuída normalmente assumir um valor limitado pela curva normal em o eixo X é igual a 1).

  Distribuição normal com parâmetros arbitrários e , ou seja, descrita por uma função diferencial

  

  chamado distribuição normal geral.

  A distribuição normal com parâmetros e é chamada distribuição normalizada(Fig. 8). Em uma distribuição normalizada, a função de distribuição diferencial é:

  

  Arroz. 8 Curva normalizada

  A função integral da distribuição normal geral tem a forma:

  Seja uma variável aleatória X distribuída segundo a lei normal no intervalo (c, d). Então a probabilidade de X assumir um valor pertencente ao intervalo (c, d) é igual a

  

  Exemplo. A variável aleatória X é distribuída de acordo com a lei normal. A expectativa matemática e o desvio padrão dessa variável aleatória são a=30 e . Encontre a probabilidade de X assumir um valor no intervalo (10, 50).

  Por condição: . Então

  Usando tabelas de Laplace prontas (consulte o Apêndice 3), temos.