O conceito de expectativa matemática pode ser considerado usando o exemplo do lançamento de um dado. A cada arremesso, os pontos perdidos são registrados. Valores naturais no intervalo de 1 a 6 são usados ​​para expressá-los.

Após um certo número de lances, usando cálculos simples, você pode encontrar a média aritmética dos pontos que caíram.

Além de descartar qualquer um dos valores de intervalo, esse valor será aleatório.

E se você aumentar o número de lances várias vezes? Com um grande número de lances, o valor médio aritmético dos pontos se aproximará de um número específico, que na teoria das probabilidades é chamado de expectativa matemática.

Assim, a expectativa matemática é entendida como o valor médio de uma variável aleatória. Este indicador também pode ser apresentado como uma soma ponderada de valores prováveis.

Este conceito tem vários sinônimos:

• significa;
• valor médio;
• indicador de tendência central;
• primeiro momento.

Em outras palavras, nada mais é do que um número em torno do qual são distribuídos os valores de uma variável aleatória.

Em várias esferas da atividade humana, as abordagens para entender a expectativa matemática serão um pouco diferentes.

Pode ser visto como:

• o benefício médio obtido com a adoção de uma decisão, no caso em que tal decisão seja considerada do ponto de vista da teoria dos grandes números;
• o valor possível de ganhar ou perder (teoria do jogo), calculado em média para cada uma das apostas. Na gíria, eles soam como "vantagem do jogador" (positivo para o jogador) ou "vantagem do cassino" (negativo para o jogador);
• porcentagem do lucro recebido dos ganhos.

A expectativa matemática não é obrigatória para absolutamente todas as variáveis ​​aleatórias. Está ausente para quem tiver discrepância na soma ou integral correspondente.

Propriedades da expectativa

Como qualquer parâmetro estatístico, a expectativa matemática tem as seguintes propriedades:

Fórmulas básicas para expectativa matemática

O cálculo da expectativa matemática pode ser realizado tanto para variáveis ​​aleatórias caracterizadas tanto pela continuidade (fórmula A) quanto pela discreta (fórmula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, onde xi são os valores da variável aleatória, pi são as probabilidades:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, onde f(x) é uma dada densidade de probabilidade.

Exemplos de cálculo da expectativa matemática

Exemplo A.

É possível descobrir a altura média dos gnomos no conto de fadas sobre a Branca de Neve. Sabe-se que cada um dos 7 gnomos tinha uma certa altura: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 e 0,81m.

O algoritmo de cálculo é bastante simples:

• encontre a soma de todos os valores do indicador de crescimento (variável aleatória):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• A quantidade resultante é dividida pelo número de gnomos:
  6,31:7=0,90.

Assim, a altura média dos gnomos em um conto de fadas é de 90 cm, ou seja, essa é a expectativa matemática do crescimento dos gnomos.

Fórmula de trabalho - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Implementação prática da expectativa matemática

O cálculo de um indicador estatístico de expectativa matemática é utilizado em vários campos de atividade prática. Em primeiro lugar, estamos a falar da esfera comercial. Afinal, a introdução desse indicador pela Huygens está ligada à determinação das chances que podem ser favoráveis ​​ou, ao contrário, desfavoráveis, para algum evento.

Esse parâmetro é amplamente utilizado para avaliação de risco, principalmente quando se trata de aplicações financeiras.
Assim, nos negócios, o cálculo da expectativa matemática funciona como um método de avaliação do risco no cálculo dos preços.

Além disso, esse indicador pode ser usado para calcular a eficácia de certas medidas, por exemplo, sobre proteção ao trabalho. Graças a ele, você pode calcular a probabilidade de um evento ocorrer.

Outra área de aplicação deste parâmetro é a gestão. Também pode ser calculado durante o controle de qualidade do produto. Por exemplo, usando mat. expectativas, você pode calcular o número possível de peças defeituosas de fabricação.

A expectativa matemática é também indispensável durante o processamento estatístico dos resultados obtidos no decurso da investigação científica. Também permite calcular a probabilidade de um resultado desejado ou indesejável de um experimento ou estudo, dependendo do nível de alcance da meta. Afinal, sua realização pode estar associada a ganho e lucro, e sua não realização - como prejuízo ou prejuízo.

Usando a expectativa matemática em Forex

A aplicação prática deste parâmetro estatístico é possível na realização de transações no mercado de câmbio. Ele pode ser usado para analisar o sucesso das transações comerciais. Além disso, um aumento no valor da expectativa indica um aumento em seu sucesso.

Também é importante lembrar que a expectativa matemática não deve ser considerada como o único parâmetro estatístico utilizado para analisar o desempenho de um trader. O uso de vários parâmetros estatísticos junto com o valor médio aumenta a precisão da análise às vezes.

Este parâmetro provou-se bem no monitoramento de observações de contas de negociação. Graças a ele, é realizada uma avaliação rápida do trabalho realizado na conta de depósito. Nos casos em que a atividade do trader é bem-sucedida e ele evita perdas, não é recomendável utilizar apenas o cálculo da expectativa matemática. Nesses casos, os riscos não são levados em consideração, o que reduz a eficácia da análise.

Estudos realizados sobre as táticas dos traders indicam que:

• as mais eficazes são as táticas baseadas em dados aleatórios;
• as menos eficazes são as táticas baseadas em insumos estruturados.

Para alcançar resultados positivos, é igualmente importante:

• táticas de gerenciamento de dinheiro;
• estratégias de saída.

Usando tal indicador como a expectativa matemática, podemos supor qual será o lucro ou prejuízo ao investir 1 dólar. Sabe-se que esse indicador, calculado para todos os jogos praticados no cassino, é favorável à instituição. Isso é o que permite que você ganhe dinheiro. No caso de uma longa série de jogos, a probabilidade de perda de dinheiro por parte do cliente aumenta significativamente.

As partidas de jogadores profissionais são limitadas a pequenos períodos de tempo, o que aumenta a chance de ganhar e reduz o risco de perder. O mesmo padrão é observado no desempenho das operações de investimento.

Um investidor pode ganhar uma quantia significativa com uma expectativa positiva e um grande número de transações em um curto período de tempo.

A expectativa pode ser pensada como a diferença entre a porcentagem de lucro (PW) vezes o lucro médio (AW) e a probabilidade de perda (PL) vezes a perda média (AL).

Como exemplo, considere o seguinte: posição - 12,5 mil dólares, carteira - 100 mil dólares, risco por depósito - 1%. A rentabilidade das transações é de 40% dos casos com um lucro médio de 20%. Em caso de perda, a perda média é de 5%. Calcular a expectativa matemática para uma negociação dá um valor de $ 625.

A expectativa matemática é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória

Expectativa matemática, definição, expectativa matemática de variáveis ​​aleatórias discretas e contínuas, expectativa seletiva, condicional, cálculo, propriedades, tarefas, estimativa de expectativa, variância, função de distribuição, fórmulas, exemplos de cálculo

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A expectativa matemática é, a definição

Um dos conceitos mais importantes em estatística matemática e teoria das probabilidades, caracterizando a distribuição de valores ou probabilidades de uma variável aleatória. Geralmente expresso como uma média ponderada de todos os parâmetros possíveis de uma variável aleatória. É amplamente utilizado na análise técnica, no estudo de séries numéricas, no estudo de processos contínuos e de longo prazo. É importante na avaliação de riscos, prevendo indicadores de preços ao negociar nos mercados financeiros e é usado no desenvolvimento de estratégias e métodos de táticas de jogo na teoria do jogo.

A esperança matemática é o valor médio de uma variável aleatória, a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é considerada na teoria da probabilidade.

A esperança matemática é medida do valor médio de uma variável aleatória na teoria da probabilidade. Expectativa matemática de uma variável aleatória x denotado M(x).

A esperança matemática é

A esperança matemática é na teoria da probabilidade, a média ponderada de todos os valores possíveis que essa variável aleatória pode assumir.

A esperança matemática é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória pelas probabilidades desses valores.

A esperança matemática é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada no quadro da teoria dos grandes números e da longa distância.

A esperança matemática é na teoria do jogo, a quantidade de ganhos que um jogador pode ganhar ou perder, em média, para cada aposta. Na linguagem do jogador, isso às vezes é chamado de "vantagem do jogador" (se for positivo para o jogador) ou "vantagem da casa" (se for negativo para o jogador).

A esperança matemática é Porcentagem de lucro por vitória multiplicada pelo lucro médio menos a probabilidade de perda multiplicada pela perda média.

Expectativa matemática de uma variável aleatória na teoria matemática

Uma das características numéricas importantes de uma variável aleatória é a expectativa matemática. Vamos introduzir o conceito de um sistema de variáveis ​​aleatórias. Considere um conjunto de variáveis ​​aleatórias que são os resultados do mesmo experimento aleatório. Se é um dos valores possíveis do sistema, então o evento corresponde a uma certa probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Uma função definida para quaisquer valores possíveis de variáveis ​​aleatórias é chamada de lei de distribuição conjunta. Esta função permite calcular as probabilidades de quaisquer eventos de. Em particular, a lei conjunta de distribuição de variáveis ​​aleatórias e, que tiram valores do conjunto e, é dada por probabilidades.

O termo "expectativa" foi introduzido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) e originou-se do conceito de "valor esperado de pagamento", que apareceu pela primeira vez no século XVII na teoria do jogo nas obras de Blaise Pascal e Christian Huygens . No entanto, a primeira compreensão e avaliação teórica completa desse conceito foi dada por Pafnuty Lvovich Chebyshev (meados do século XIX).

A lei de distribuição de variáveis ​​numéricas aleatórias (função de distribuição e série de distribuição ou densidade de probabilidade) descreve completamente o comportamento de uma variável aleatória. Mas em vários problemas é suficiente conhecer algumas características numéricas da grandeza em estudo (por exemplo, seu valor médio e possível desvio dele) para responder à questão colocada. As principais características numéricas das variáveis ​​aleatórias são a expectativa matemática, variância, moda e mediana.

A expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é a soma dos produtos de seus valores possíveis e suas probabilidades correspondentes. Às vezes, a expectativa matemática é chamada de média ponderada, pois é aproximadamente igual à média aritmética dos valores observados de uma variável aleatória em um grande número de experimentos. Da definição de esperança matemática, segue-se que seu valor não é menor que o menor valor possível de uma variável aleatória e não maior que o maior. A expectativa matemática de uma variável aleatória é uma variável não aleatória (constante).

A expectativa matemática tem um significado físico simples: se uma unidade de massa é colocada em uma linha reta, colocando alguma massa em alguns pontos (para uma distribuição discreta), ou “manchando-a” com uma certa densidade (para uma distribuição absolutamente contínua), então o ponto correspondente à expectativa matemática será a coordenada “centro de gravidade” reta.

O valor médio de uma variável aleatória é um certo número, que é, por assim dizer, seu “representante” e o substitui em cálculos aproximados. Quando dizemos: “o tempo médio de operação da lâmpada é de 100 horas” ou “o ponto médio de impacto é deslocado em relação ao alvo em 2 m para a direita”, indicamos com isso uma certa característica numérica de uma variável aleatória que descreve sua localização no eixo numérico, ou seja, descrição da posição.

Das características de uma posição na teoria da probabilidade, o papel mais importante é desempenhado pela expectativa matemática de uma variável aleatória, que às vezes é chamada simplesmente de valor médio de uma variável aleatória.

Considere uma variável aleatória X, que tem valores possíveis x1, x2, …, xn com probabilidades p1, p2, …, pn. Precisamos caracterizar por algum número a posição dos valores da variável aleatória no eixo x, levando em consideração o fato de que esses valores têm probabilidades diferentes. Para tanto, é natural utilizar a chamada "média ponderada" dos valores XI, e cada valor xi durante a média deve ser levado em consideração com um “peso” proporcional à probabilidade desse valor. Assim, vamos calcular a média da variável aleatória X, que denotaremos M|X|:

Essa média ponderada é chamada de expectativa matemática da variável aleatória. Assim, introduzimos em consideração um dos conceitos mais importantes da teoria das probabilidades - o conceito de expectativa matemática. A expectativa matemática de uma variável aleatória é a soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e as probabilidades desses valores.

X devido a uma dependência peculiar com a média aritmética dos valores observados de uma variável aleatória com um grande número de experimentos. Essa dependência é do mesmo tipo que a dependência entre frequência e probabilidade, a saber: com um grande número de experimentos, a média aritmética dos valores observados de uma variável aleatória se aproxima (converge em probabilidade) de sua expectativa matemática. Da presença de uma relação entre frequência e probabilidade, pode-se deduzir como consequência a existência de uma relação semelhante entre a média aritmética e a esperança matemática. De fato, considere uma variável aleatória X, caracterizado por uma série de distribuições:

Que seja produzido N experimentos independentes, em cada um dos quais o valor X assume um determinado valor. Suponha o valor x1 apareceu m1 vezes, valor x2 apareceu m2 vezes, significado geral XI apareceu mi vezes. Vamos calcular a média aritmética dos valores observados de X, que, em contraste com a expectativa matemática M|X| nós denotaremos M*|X|:

Com o aumento do número de experimentos N frequências pi aproximará (convergirá em probabilidade) as probabilidades correspondentes. Portanto, a média aritmética dos valores observados da variável aleatória M|X| com um aumento no número de experimentos, ele se aproximará (convergirá em probabilidade) de sua expectativa matemática. A conexão entre a média aritmética e a esperança matemática formulada acima constitui o conteúdo de uma das formas da lei dos grandes números.

Já sabemos que todas as formas da lei dos grandes números afirmam o fato de que certas médias são estáveis ​​em um grande número de experimentos. Aqui estamos falando sobre a estabilidade da média aritmética de uma série de observações do mesmo valor. Com um pequeno número de experimentos, a média aritmética de seus resultados é aleatória; com um aumento suficiente no número de experimentos, torna-se "quase não aleatório" e, estabilizando, aproxima-se de um valor constante - a expectativa matemática.

A propriedade de estabilidade das médias para um grande número de experimentos é fácil de verificar experimentalmente. Por exemplo, pesando qualquer corpo no laboratório em balanças precisas, como resultado da pesagem, obtemos um novo valor a cada vez; para reduzir o erro de observação, pesamos o corpo várias vezes e usamos a média aritmética dos valores obtidos. É fácil ver que com um novo aumento no número de experimentos (pesagens), a média aritmética reage cada vez menos a esse aumento, e com um número suficientemente grande de experimentos ela praticamente deixa de mudar.

Deve-se notar que a característica mais importante da posição de uma variável aleatória - a expectativa matemática - não existe para todas as variáveis ​​aleatórias. É possível fazer exemplos de tais variáveis ​​aleatórias para as quais a expectativa matemática não existe, uma vez que a soma ou integral correspondente diverge. No entanto, para a prática, tais casos não são de interesse significativo. Normalmente, as variáveis ​​aleatórias com as quais estamos lidando têm uma faixa limitada de valores possíveis e, claro, têm uma expectativa.

Além das características mais importantes da posição de uma variável aleatória - a expectativa matemática, outras características de posição são às vezes usadas na prática, em particular, a moda e a mediana da variável aleatória.

A moda de uma variável aleatória é seu valor mais provável. O termo "valor mais provável", estritamente falando, aplica-se apenas a quantidades descontínuas; para uma quantidade contínua, a moda é o valor no qual a densidade de probabilidade é máxima. As figuras mostram a moda para variáveis ​​aleatórias descontínuas e contínuas, respectivamente.

Se o polígono de distribuição (curva de distribuição) tiver mais de um máximo, a distribuição é dita "polimodal".

Às vezes existem distribuições que têm no meio não um máximo, mas um mínimo. Tais distribuições são chamadas de "antimodais".

No caso geral, a moda e a expectativa matemática de uma variável aleatória não coincidem. Em um caso particular, quando a distribuição é simétrica e modal (ou seja, tem uma moda) e há uma expectativa matemática, então ela coincide com a moda e o centro de simetria da distribuição.

Outra característica da posição é frequentemente usada - a chamada mediana de uma variável aleatória. Essa característica geralmente é usada apenas para variáveis ​​aleatórias contínuas, embora possa ser formalmente definida também para uma variável descontínua. Geometricamente, a mediana é a abcissa do ponto em que a área delimitada pela curva de distribuição é bissectada.

No caso de distribuição modal simétrica, a mediana coincide com a média e a moda.

A expectativa matemática é o valor médio de uma variável aleatória - uma característica numérica da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. De maneira mais geral, a expectativa matemática de uma variável aleatória X(w)é definida como a integral de Lebesgue em relação à medida de probabilidade R no espaço de probabilidade original:

A esperança matemática também pode ser calculada como a integral de Lebesgue de X por distribuição de probabilidade px quantidades X:

De forma natural, pode-se definir o conceito de variável aleatória com esperança matemática infinita. Um exemplo típico são os tempos de retorno em alguns passeios aleatórios.

Com a ajuda da expectativa matemática, muitas características numéricas e funcionais da distribuição são determinadas (como a expectativa matemática das funções correspondentes de uma variável aleatória), por exemplo, função geradora, função característica, momentos de qualquer ordem, em particular, variância , covariância.

A expectativa matemática é uma característica da localização dos valores de uma variável aleatória (o valor médio de sua distribuição). Nessa capacidade, a expectativa matemática serve como algum parâmetro de distribuição "típico" e seu papel é semelhante ao papel do momento estático - a coordenada do centro de gravidade da distribuição de massa - na mecânica. De outras características da localização, com a ajuda das quais a distribuição é descrita em termos gerais - medianas, modos, a expectativa matemática difere no maior valor que ela e a característica de espalhamento correspondente - dispersão - têm nos teoremas limite da teoria da probabilidade . Com a maior completude, o significado da expectativa matemática é revelado pela lei dos grandes números (desigualdade de Chebyshev) e pela lei reforçada dos grandes números.

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

Seja alguma variável aleatória que possa assumir um dos vários valores numéricos (por exemplo, o número de pontos em uma jogada de dados pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Muitas vezes, na prática, para tal valor, surge a pergunta: qual valor leva "em média" com um grande número de testes? Qual será nosso retorno médio (ou prejuízo) de cada uma das operações de risco?

Digamos que haja algum tipo de loteria. Queremos entender se é lucrativo ou não participar (ou mesmo participar repetidamente, regularmente). Digamos que a cada quarto bilhete vencedor, o prêmio será de 300 rublos e o preço de qualquer bilhete será de 100 rublos. Com um número infinito de participações, é isso que acontece. Em três quartos dos casos, perderemos, cada três perdas custarão 300 rublos. Em cada quarto caso, ganharemos 200 rublos. (prêmio menos custo), ou seja, para quatro participações, perdemos uma média de 100 rublos, por um - uma média de 25 rublos. No total, a taxa média de nossa ruína será de 25 rublos por ingresso.

Jogamos um dado. Se não for trapaça (sem mudar o centro de gravidade, etc.), então quantos pontos teremos em média de cada vez? Como cada opção é igualmente provável, tomamos a média aritmética estúpida e obtemos 3,5. Como isso é MÉDIO, não há necessidade de se indignar porque nenhum lance específico dará 3,5 pontos - bem, esse cubo não tem uma face com esse número!

Agora vamos resumir nossos exemplos:

Vamos dar uma olhada na imagem logo acima. À esquerda está uma tabela da distribuição de uma variável aleatória. O valor de X pode assumir um dos n valores possíveis (dados na linha superior). Não pode haver outros valores. Sob cada valor possível, sua probabilidade é assinada abaixo. À direita está uma fórmula, onde M(X) é chamado de expectativa matemática. O significado desse valor é que com um grande número de tentativas (com uma amostra grande), o valor médio tenderá a essa expectativa muito matemática.

Vamos voltar ao mesmo cubo de jogo. A expectativa matemática do número de pontos em um arremesso é 3,5 (calcule-se usando a fórmula se você não acredita). Digamos que você jogou algumas vezes. caíram 4 e 6. Em média, saiu 5, ou seja, longe de 3,5. Eles jogaram novamente, 3 caíram, ou seja, em média (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Um pouco longe da expectativa matemática. Agora faça um experimento maluco - role o cubo 1000 vezes! E se a média não for exatamente 3,5, então será próximo disso.

Vamos calcular a expectativa matemática para a loteria descrita acima. A tabela ficará assim:

Então a esperança matemática será, como estabelecemos acima.:

Outra coisa é que também fica "nos dedos", sem fórmula, seria difícil se houvesse mais opções. Bem, digamos que houve 75% de ingressos perdidos, 20% de ingressos vencedores e 5% de ingressos vencedores.

Agora algumas propriedades da esperança matemática.

É fácil provar:

Um multiplicador constante pode ser retirado do sinal de expectativa, ou seja:

Este é um caso especial da propriedade de linearidade da esperança matemática.

Outra consequência da linearidade da esperança matemática:

ou seja, a expectativa matemática da soma das variáveis ​​aleatórias é igual à soma das expectativas matemáticas das variáveis ​​aleatórias.

Sejam X, Y variáveis ​​aleatórias independentes, então:

Isso também é fácil de provar) XY em si é uma variável aleatória, enquanto se os valores iniciais pudessem levar n e m valores, respectivamente, então XY pode assumir valores nm. A probabilidade de cada um dos valores é calculada com base no fato de que as probabilidades de eventos independentes são multiplicadas. Como resultado, obtemos isso:

Expectativa matemática de uma variável aleatória contínua

As variáveis ​​aleatórias contínuas têm uma característica como densidade de distribuição (densidade de probabilidade). De fato, caracteriza a situação em que uma variável aleatória recebe alguns valores do conjunto de números reais com mais frequência, alguns - com menos frequência. Por exemplo, considere este gráfico:

Aqui X- na verdade, uma variável aleatória, f(x)- densidade de distribuição. A julgar por este gráfico, durante os experimentos, o valor X muitas vezes será um número próximo de zero. chances de ultrapassar 3 ou ser menos -3 mais puramente teórico.

Seja, por exemplo, uma distribuição uniforme:

Isso é bastante consistente com a compreensão intuitiva. Digamos que se obtivermos muitos números reais aleatórios com uma distribuição uniforme, cada um dos segmentos |0; 1| , então a média aritmética deve ser cerca de 0,5.

As propriedades da expectativa matemática - linearidade, etc., aplicáveis ​​a variáveis ​​aleatórias discretas, também são aplicáveis ​​aqui.

A relação da expectativa matemática com outros indicadores estatísticos

Na análise estatística, juntamente com a expectativa matemática, existe um sistema de indicadores interdependentes que refletem a homogeneidade dos fenômenos e a estabilidade dos processos. Muitas vezes, os indicadores de variação não têm significado independente e são usados ​​para análises de dados adicionais. A exceção é o coeficiente de variação, que caracteriza a homogeneidade dos dados, que é uma característica estatística valiosa.

O grau de variabilidade ou estabilidade dos processos em ciência estatística pode ser medido usando vários indicadores.

O indicador mais importante que caracteriza a variabilidade de uma variável aleatória é Dispersão, que está mais próxima e diretamente relacionada à expectativa matemática. Este parâmetro é usado ativamente em outros tipos de análise estatística (teste de hipóteses, análise de relações de causa e efeito, etc.). Assim como o desvio linear médio, a variância também reflete a extensão em que os dados se espalham em torno da média.

É útil traduzir a linguagem dos sinais para a linguagem das palavras. Acontece que a variância é o quadrado médio dos desvios. Ou seja, o valor médio é calculado primeiro, depois a diferença entre cada valor original e médio é tirada, elevada ao quadrado, somada e depois dividida pelo número de valores nessa população. A diferença entre o valor individual e a média reflete a medida do desvio. Ele é elevado ao quadrado para garantir que todos os desvios se tornem exclusivamente números positivos e para evitar o cancelamento mútuo de desvios positivos e negativos quando somados. Então, dados os desvios quadrados, simplesmente calculamos a média aritmética. Média - quadrado - desvios. Os desvios são elevados ao quadrado e a média é considerada. A resposta para a palavra mágica "dispersão" são apenas três palavras.

No entanto, em sua forma pura, como, por exemplo, a média aritmética, ou índice, a dispersão não é utilizada. É antes um indicador auxiliar e intermediário que é usado para outros tipos de análise estatística. Ela nem sequer tem uma unidade de medida normal. A julgar pela fórmula, este é o quadrado da unidade de dados original.

Vamos medir uma variável aleatória N vezes, por exemplo, medimos a velocidade do vento dez vezes e queremos encontrar o valor médio. Como o valor médio está relacionado à função de distribuição?

Ou jogaremos os dados um grande número de vezes. O número de pontos que cairão no dado durante cada lançamento é uma variável aleatória e pode assumir quaisquer valores naturais de 1 a 6. N tende a um número muito específico - a expectativa matemática Mx. Neste caso, Mx = 3,5.

Como surgiu esse valor? Deixe entrar N ensaios n1 uma vez que 1 ponto é perdido, n2 vezes - 2 pontos e assim por diante. Então o número de resultados em que um ponto caiu:

Da mesma forma para os resultados quando 2, 3, 4, 5 e 6 pontos caíram.

Suponhamos agora que conhecemos a lei de distribuição da variável aleatória x, ou seja, sabemos que a variável aleatória x pode assumir os valores x1, x2, ..., xk com probabilidades p1, p2, ... , p.

A esperança matemática Mx de uma variável aleatória x é:

A expectativa matemática nem sempre é uma estimativa razoável de alguma variável aleatória. Assim, para estimar o salário médio, é mais razoável utilizar o conceito de mediana, ou seja, um valor tal que o número de pessoas que recebem menos do que o salário mediano e mais, sejam iguais.

A probabilidade p1 de que a variável aleatória x seja menor que x1/2 e a probabilidade p2 de que a variável aleatória x seja maior que x1/2 são iguais e iguais a 1/2. A mediana não é determinada exclusivamente para todas as distribuições.

Padrão ou Desvio Padrão em estatística, o grau de desvio de dados observacionais ou conjuntos do valor AVERAGE é chamado. Denotado pelas letras s ou s. Um pequeno desvio padrão indica que os dados estão agrupados em torno da média e um grande desvio padrão indica que os dados iniciais estão longe dela. O desvio padrão é igual à raiz quadrada de uma quantidade chamada variância. É a média da soma das diferenças quadradas dos dados iniciais desviando-se da média. O desvio padrão de uma variável aleatória é a raiz quadrada da variância:

Exemplo. Em condições de teste ao atirar em um alvo, calcule a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória:

Variação- flutuação, variabilidade do valor do atributo em unidades da população. Valores numéricos separados de um recurso que ocorrem na população estudada são chamados de variantes de valores. A insuficiência do valor médio para uma caracterização completa da população torna necessário complementar os valores médios com indicadores que possibilitem avaliar a tipicidade dessas médias medindo a flutuação (variação) da característica em estudo. O coeficiente de variação é calculado pela fórmula:

Variação do intervalo(R) é a diferença entre os valores máximo e mínimo da característica na população estudada. Este indicador dá a ideia mais geral da flutuação do traço em estudo, pois mostra a diferença apenas entre os valores extremos das opções. A dependência dos valores extremos do atributo confere ao intervalo de variação um caráter instável e aleatório.

Desvio linear médioé a média aritmética dos desvios absolutos (módulos) de todos os valores da população analisada em relação ao seu valor médio:

Expectativa matemática na teoria do jogo

A esperança matemática é a quantidade média de dinheiro que um jogador pode ganhar ou perder em uma determinada aposta. Este é um conceito muito significativo para um jogador, pois é fundamental para a avaliação da maioria das situações de jogo. A expectativa matemática também é a melhor ferramenta para analisar layouts básicos de cartas e situações de jogo.

Digamos que você esteja jogando uma moeda com um amigo, fazendo uma aposta igual de $ 1 a cada vez, não importa o que aconteça. Coroa - você ganha, cara - você perde. As chances de sair coroa são de uma para uma e você está apostando $ 1 a $ 1. Assim, sua expectativa matemática é zero, porque matematicamente falando, você não pode saber se vai ganhar ou perder depois de duas jogadas ou depois de 200.

Seu ganho por hora é zero. O pagamento por hora é a quantidade de dinheiro que você espera ganhar em uma hora. Você pode jogar uma moeda 500 vezes em uma hora, mas não ganhará nem perderá porque suas chances não são nem positivas nem negativas. Se você olhar, do ponto de vista de um jogador sério, esse sistema de apostas não é ruim. Mas é apenas uma perda de tempo.

Mas suponha que alguém queira apostar $ 2 contra seu $ 1 no mesmo jogo. Então você imediatamente tem uma expectativa positiva de 50 centavos de cada aposta. Por que 50 centavos? Em média, você ganha uma aposta e perde a segunda. Aposte o primeiro dólar e perca $1, aposte o segundo e ganhe $2. Você apostou $1 duas vezes e está à frente por $1. Assim, cada uma de suas apostas de um dólar lhe deu 50 centavos.

Se a moeda cair 500 vezes em uma hora, seu ganho por hora já será de $ 250, porque. em média, você perdeu $ 1.250 vezes e ganhou $ 2.250 vezes. $ 500 menos $ 250 é igual a $ 250, que é a vitória total. Observe que o valor esperado, que é o valor que você ganha em média em uma única aposta, é de 50 centavos. Você ganhou $250 apostando um dólar 500 vezes, o que equivale a 50 centavos de sua aposta.

A expectativa matemática não tem nada a ver com resultados de curto prazo. Seu oponente, que decidiu apostar $ 2 contra você, poderia vencê-lo nas primeiras dez jogadas consecutivas, mas você, com uma vantagem de aposta de 2 para 1, tudo o mais sendo igual, ganha 50 centavos em cada $ 1 apostado em qualquer circunstâncias. Não importa se você ganha ou perde uma aposta ou várias apostas, mas apenas com a condição de ter dinheiro suficiente para compensar facilmente os custos. Se você continuar apostando da mesma maneira, por um longo período de tempo seus ganhos chegarão à soma dos valores esperados em jogadas individuais.

Toda vez que você fizer uma melhor aposta (uma aposta que pode ser lucrativa a longo prazo) quando as probabilidades estiverem a seu favor, você certamente ganhará algo com ela, perdendo ou não em uma determinada mão. Por outro lado, se você fez uma aposta pior (uma aposta que não é lucrativa a longo prazo) quando as probabilidades não estão a seu favor, você perde alguma coisa, quer ganhe ou perca a mão.

Você aposta com o melhor resultado se sua expectativa for positiva, e é positiva se as probabilidades estiverem a seu favor. Ao apostar com o pior resultado, você tem uma expectativa negativa, que acontece quando as probabilidades estão contra você. Jogadores sérios só apostam com o melhor resultado, com o pior - eles dão fold. O que significam as probabilidades a seu favor? Você pode acabar ganhando mais do que as probabilidades reais trazem. As chances reais de acertar coroa são de 1 para 1, mas você obtém 2 para 1 devido à proporção de apostas. Neste caso, as probabilidades estão a seu favor. Você definitivamente obtém o melhor resultado com uma expectativa positiva de 50 centavos por aposta.

Aqui está um exemplo mais complexo de expectativa matemática. O amigo anota os números de um a cinco e aposta $5 contra o seu $1 que você não vai escolher o número. Você concorda com essa aposta? Qual é a expectativa aqui?

Em média, você estará errado quatro vezes. Com base nisso, as chances de você adivinhar o número serão de 4 para 1. As chances são de que você perderá um dólar em uma tentativa. No entanto, você ganha 5 a 1, com a possibilidade de perder 4 a 1. Portanto, as probabilidades estão a seu favor, você pode apostar e esperar o melhor resultado. Se você fizer essa aposta cinco vezes, em média, você perderá quatro vezes $ 1 e ganhará $ 5 uma vez. Com base nisso, para todas as cinco tentativas, você ganhará $ 1 com uma expectativa matemática positiva de 20 centavos por aposta.

Um jogador que vai ganhar mais do que aposta, como no exemplo acima, está pegando as probabilidades. Por outro lado, ele arruína as chances quando espera ganhar menos do que aposta. O apostador pode ter uma expectativa positiva ou negativa, dependendo se ele está pegando ou arruinando as probabilidades.

Se você apostar $ 50 para ganhar $ 10 com uma chance de 4 para 1 de ganhar, você terá uma expectativa negativa de $ 2, porque em média, você ganhará quatro vezes $ 10 e perderá $ 50 uma vez, o que mostra que a perda por aposta será de $ 10. Mas se você apostar $ 30 para ganhar $ 10, com as mesmas chances de ganhar 4 para 1, nesse caso você tem uma expectativa positiva de $ 2, porque você novamente ganha quatro vezes $ 10 e perde $ 30 uma vez, para um lucro de $ 10. Esses exemplos mostram que a primeira aposta é ruim e a segunda é boa.

A expectativa matemática é o centro de qualquer situação de jogo. Quando uma casa de apostas incentiva os fãs de futebol a apostar $ 11 para ganhar $ 10, eles têm uma expectativa positiva de 50 centavos para cada $ 10. Se o cassino pagar o mesmo dinheiro da linha de passe de Craps, então a expectativa positiva da casa é de aproximadamente US$ 1,40 para cada US$ 100; este jogo está estruturado para que todos que apostarem nesta linha percam em média 50,7% e ganhem 49,3% das vezes. Sem dúvida, é essa expectativa positiva aparentemente mínima que traz enormes lucros para os proprietários de cassinos em todo o mundo. Como observou o proprietário do cassino Vegas World, Bob Stupak, “um milésimo de um por cento de probabilidade negativa em uma distância longa o suficiente levará à falência o homem mais rico do mundo”.

Expectativa matemática ao jogar poker

O jogo de Poker é o exemplo mais ilustrativo e ilustrativo em termos de uso da teoria e propriedades da expectativa matemática.

O Valor Esperado no Poker é o benefício médio de uma determinada decisão, desde que tal decisão possa ser considerada no quadro da teoria dos grandes números e da longa distância. O pôquer de sucesso é sempre aceitar movimentos com uma expectativa matemática positiva.

O significado matemático da expectativa matemática ao jogar poker é que muitas vezes encontramos variáveis ​​aleatórias ao tomar uma decisão (não sabemos quais cartas estão na mão do oponente, quais cartas virão nas rodadas de apostas subsequentes). Devemos considerar cada uma das soluções do ponto de vista da teoria dos grandes números, que diz que com uma amostra suficientemente grande, o valor médio de uma variável aleatória tenderá a sua expectativa matemática.

Entre as fórmulas específicas para calcular a expectativa matemática, a seguinte é mais aplicável no pôquer:

Ao jogar poker, a expectativa matemática pode ser calculada tanto para apostas quanto para chamadas. No primeiro caso, a fold equity deve ser levada em consideração, no segundo, as probabilidades do próprio pote. Ao avaliar a expectativa matemática de um movimento específico, deve-se lembrar que uma dobra sempre tem uma expectativa matemática zero. Assim, descartar cartas sempre será uma decisão mais lucrativa do que qualquer movimento negativo.

A expectativa diz o que você pode esperar (lucro ou prejuízo) para cada dólar que você arrisca. Os cassinos ganham dinheiro porque a expectativa matemática de todos os jogos que são praticados neles é a favor do cassino. Com uma série de jogos suficientemente longa, pode-se esperar que o cliente perca seu dinheiro, já que a “probabilidade” é a favor do cassino. No entanto, os jogadores profissionais de casino limitam os seus jogos a curtos períodos de tempo, aumentando assim as probabilidades a seu favor. O mesmo vale para investir. Se sua expectativa for positiva, você poderá ganhar mais dinheiro fazendo muitos negócios em um curto período de tempo. A expectativa é sua porcentagem de lucro por vitória vezes seu lucro médio menos sua probabilidade de perda vezes sua perda média.

O pôquer também pode ser considerado em termos de expectativa matemática. Você pode assumir que um determinado movimento é lucrativo, mas em alguns casos pode não ser o melhor, porque outro movimento é mais lucrativo. Digamos que você acerte um full house no poker de cinco cartas. Seu oponente aposta. Você sabe que se você aumentar a aposta, ele vai pagar. Então aumentar parece ser a melhor tática. Mas se você aumentar, os dois jogadores restantes vão desistir com certeza. Mas se você pagar a aposta, você terá certeza absoluta de que os outros dois jogadores depois de você farão o mesmo. Quando você aumenta a aposta, você recebe uma unidade, e simplesmente pagando você recebe duas. Então, pagar dá a você um valor esperado positivo mais alto e é a melhor tática.

A expectativa matemática também pode dar uma ideia de quais táticas de poker são menos lucrativas e quais são mais lucrativas. Por exemplo, se você joga uma mão em particular e acha que sua perda média é de 75 centavos incluindo os antes, então você deve jogar essa mão porque isso é melhor do que desistir quando o ante é $1.

Outra razão importante para entender o valor esperado é que isso lhe dá uma sensação de tranquilidade se você ganha ou não uma aposta: se você fez uma boa aposta ou desistiu a tempo, você saberá que ganhou ou economizou uma certa quantia de dinheiro. dinheiro, que um jogador mais fraco não poderia economizar. É muito mais difícil desistir se você estiver frustrado porque seu oponente tem uma mão melhor no draw. Dito isto, o dinheiro que você economiza por não jogar, em vez de apostar, é adicionado aos seus ganhos noturnos ou mensais.

Apenas lembre-se que se você trocasse de mãos, seu oponente pagaria, e como você verá no artigo do Teorema Fundamental do Poker, esta é apenas uma de suas vantagens. Você deve se alegrar quando isso acontecer. Você pode até aprender a gostar de perder uma mão, porque sabe que outros jogadores no seu lugar perderiam muito mais.

Conforme discutido no exemplo do jogo de moedas no início, a taxa horária de retorno está relacionada à expectativa matemática, e esse conceito é especialmente importante para jogadores profissionais. Quando você vai jogar pôquer, deve estimar mentalmente quanto pode ganhar em uma hora de jogo. Na maioria dos casos, você precisará confiar em sua intuição e experiência, mas também poderá usar alguns cálculos matemáticos. Por exemplo, se você está jogando draw lowball e vê três jogadores apostando $10 e depois tirando duas cartas, o que é uma tática muito ruim, você pode calcular por si mesmo que toda vez que eles apostam $10 eles perdem cerca de $2. Cada um deles faz isso oito vezes por hora, o que significa que todos os três perdem cerca de US$ 48 por hora. Você é um dos quatro jogadores restantes, que são aproximadamente iguais, então esses quatro jogadores (e você entre eles) devem dividir $ 48, e cada um terá um lucro de $ 12 por hora. Sua taxa horária neste caso é simplesmente sua parte da quantidade de dinheiro perdida por três jogadores ruins por hora.

Durante um longo período de tempo, o total de ganhos do jogador é a soma de suas expectativas matemáticas em distribuições separadas. Quanto mais você joga com expectativa positiva, mais você ganha e, inversamente, quanto mais mãos você joga com expectativa negativa, mais você perde. Como resultado, você deve priorizar um jogo que possa maximizar sua expectativa positiva ou negar sua negativa para que você possa maximizar seu ganho por hora.

Expectativa matemática positiva na estratégia de jogo

Se você sabe contar cartas, pode ter uma vantagem sobre o cassino se eles não notarem e o expulsarem. Os cassinos adoram jogadores bêbados e não suportam contar cartas. A vantagem permitirá que você ganhe mais vezes do que perde ao longo do tempo. Um bom gerenciamento de dinheiro usando cálculos de expectativa pode ajudá-lo a capitalizar sua vantagem e reduzir suas perdas. Sem uma vantagem, é melhor dar o dinheiro para caridade. No jogo na bolsa, a vantagem é dada pelo sistema do jogo, que gera mais lucro do que prejuízo, diferenças de preços e comissões. Nenhuma quantidade de gerenciamento de dinheiro salvará um sistema de jogo ruim.

Uma expectativa positiva é definida por um valor maior que zero. Quanto maior esse número, mais forte a expectativa estatística. Se o valor for menor que zero, a expectativa matemática também será negativa. Quanto maior o módulo de um valor negativo, pior a situação. Se o resultado for zero, então a expectativa é de equilíbrio. Você só pode ganhar quando tem uma expectativa matemática positiva, um sistema de jogo razoável. Jogar com a intuição leva ao desastre.

Expectativa matemática e negociação de ações

A expectativa matemática é um indicador estatístico bastante procurado e popular na negociação de câmbio nos mercados financeiros. Em primeiro lugar, este parâmetro é usado para analisar o sucesso da negociação. Não é difícil adivinhar que quanto maior esse valor, mais motivos para considerar o comércio em estudo bem-sucedido. Obviamente, a análise do trabalho de um trader não pode ser realizada apenas com a ajuda desse parâmetro. No entanto, o valor calculado, em combinação com outros métodos de avaliação da qualidade do trabalho, pode aumentar significativamente a precisão da análise.

A expectativa matemática é frequentemente calculada em serviços de monitoramento de contas de negociação, o que permite avaliar rapidamente o trabalho realizado no depósito. Como exceções, podemos citar estratégias que usam o “overstaying” de negociações perdedoras. Um trader pode ter sorte por algum tempo e, portanto, em seu trabalho, pode não haver perdas. Nesse caso, não será possível navegar apenas pela expectativa, pois os riscos utilizados na obra não serão levados em consideração.

Na negociação no mercado, a expectativa matemática é mais frequentemente usada ao prever a lucratividade de uma estratégia de negociação ou ao prever a receita de um trader com base nas estatísticas de suas negociações anteriores.

Em termos de gerenciamento de dinheiro, é muito importante entender que, ao fazer negócios com expectativa negativa, não há esquema de gerenciamento de dinheiro que possa definitivamente trazer altos lucros. Se você continuar a jogar na bolsa nessas condições, independentemente de como gerencie seu dinheiro, perderá toda a sua conta, não importa quão grande ela fosse no início.

Este axioma não é verdadeiro apenas para jogos ou trocas de expectativas negativas, mas também para jogos de probabilidades pares. Portanto, o único caso em que você tem chance de se beneficiar a longo prazo é ao fazer negócios com uma expectativa matemática positiva.

A diferença entre expectativa negativa e expectativa positiva é a diferença entre vida e morte. Não importa quão positiva ou negativa seja a expectativa; o que importa é se é positivo ou negativo. Portanto, antes de considerar a gestão do dinheiro, você deve encontrar um jogo com uma expectativa positiva.

Se você não tiver esse jogo, nenhuma quantidade de gerenciamento de dinheiro no mundo o salvará. Por outro lado, se você tem uma expectativa positiva, então é possível, por meio de uma gestão adequada do dinheiro, transformá-la em uma função de crescimento exponencial. Não importa quão pequena seja a expectativa positiva! Em outras palavras, não importa quão lucrativo seja um sistema de negociação baseado em um contrato. Se você tem um sistema que ganha $ 10 por contrato em uma única negociação (após taxas e derrapagens), você pode usar técnicas de gerenciamento de dinheiro para torná-lo mais lucrativo do que um sistema que mostra um lucro médio de $ 1.000 por negociação (após a dedução de comissões e deslizamento).

O que importa não é quão lucrativo foi o sistema, mas quão certo se pode dizer que o sistema apresentará pelo menos um lucro mínimo no futuro. Portanto, a preparação mais importante que um trader pode fazer é garantir que o sistema mostre um valor esperado positivo no futuro.

Para ter um valor esperado positivo no futuro, é muito importante não limitar os graus de liberdade do seu sistema. Isso é alcançado não apenas eliminando ou reduzindo o número de parâmetros a serem otimizados, mas também reduzindo o maior número possível de regras do sistema. Cada parâmetro que você adiciona, cada regra que você faz, cada pequena mudança que você faz no sistema reduz o número de graus de liberdade. Idealmente, você deseja construir um sistema bastante primitivo e simples que traga constantemente um pequeno lucro em quase todos os mercados. Novamente, é importante que você entenda que não importa quão lucrativo é um sistema, desde que seja lucrativo. O dinheiro que você ganha na negociação será ganho através de uma gestão eficaz do dinheiro.

Um sistema de negociação é simplesmente uma ferramenta que lhe dá uma expectativa matemática positiva para que a gestão do dinheiro possa ser usada. Sistemas que funcionam (mostram pelo menos um lucro mínimo) em apenas um ou alguns mercados, ou têm regras ou parâmetros diferentes para diferentes mercados, provavelmente não funcionarão em tempo real por muito tempo. O problema com a maioria dos traders técnicos é que eles gastam muito tempo e esforço otimizando as várias regras e parâmetros de um sistema de negociação. Isso dá resultados completamente opostos. Em vez de desperdiçar energia e tempo de computador aumentando os lucros do sistema de negociação, direcione sua energia para aumentar o nível de confiabilidade de obter um lucro mínimo.

Sabendo que a gestão do dinheiro é apenas um jogo de números que requer o uso de expectativas positivas, um trader pode parar de procurar o "santo graal" da negociação de ações. Em vez disso, ele pode começar a testar seu método de negociação, descobrir como esse método é logicamente correto, se oferece expectativas positivas. Métodos adequados de gerenciamento de dinheiro aplicados a qualquer método de negociação, mesmo medíocre, farão o resto do trabalho.

Qualquer trader para ter sucesso em seu trabalho precisa resolver três tarefas mais importantes: . Garantir que o número de transações bem-sucedidas exceda os inevitáveis ​​erros e erros de cálculo; Configure seu sistema de negociação para que a oportunidade de ganhar dinheiro seja o mais frequente possível; Alcance um resultado positivo estável de suas operações.

E aqui, para nós, traders que trabalham, a expectativa matemática pode fornecer uma boa ajuda. Este termo na teoria da probabilidade é uma das chaves. Com ele, você pode dar uma estimativa média de algum valor aleatório. A expectativa matemática de uma variável aleatória é como o centro de gravidade, se imaginarmos todas as probabilidades possíveis como pontos com massas diferentes.

Em relação a uma estratégia de negociação, para avaliar sua eficácia, a expectativa matemática de lucro (ou prejuízo) é mais utilizada. Este parâmetro é definido como a soma dos produtos de determinados níveis de lucros e perdas e a probabilidade de sua ocorrência. Por exemplo, a estratégia de negociação desenvolvida pressupõe que 37% de todas as operações trarão lucro e a parte restante - 63% - não será lucrativa. Ao mesmo tempo, a receita média de uma transação bem-sucedida será de US$ 7 e a perda média será de US$ 1,4. Vamos calcular a expectativa matemática de negociação usando o seguinte sistema:

O que este número significa? Diz que, seguindo as regras desse sistema, receberemos em média 1.708 dólares por cada transação fechada. Como a pontuação de eficiência resultante é maior que zero, esse sistema pode ser usado para trabalho real. Se, como resultado do cálculo, a expectativa matemática for negativa, isso já indica uma perda média e essa negociação levará à ruína.

A quantidade de lucro por negociação também pode ser expressa como um valor relativo na forma de%. Por exemplo:

– percentual da receita por 1 transação - 5%;

– porcentagem de operações de negociação bem-sucedidas - 62%;

– porcentagem de perda por 1 negociação - 3%;

- a porcentagem de transações malsucedidas - 38%;

Ou seja, a transação média trará 1,96%.

É possível desenvolver um sistema que, apesar da predominância de negociações perdedoras, dará um resultado positivo, uma vez que seu MO>0.

No entanto, esperar sozinho não é suficiente. É difícil ganhar dinheiro se o sistema fornecer muito poucos sinais de negociação. Nesse caso, sua rentabilidade será comparável aos juros bancários. Deixe cada operação render apenas 0,5 dólar em média, mas e se o sistema assumir 1.000 transações por ano? Esta será uma quantidade muito séria em um tempo relativamente curto. Segue-se logicamente disso que outra característica de um bom sistema de negociação pode ser considerada um curto período de espera.

Fontes e links

dic.academic.ru - dicionário acadêmico online

math.ru - site educacional sobre matemática

nsu.ru - site educacional da Universidade Estadual de Novosibirsk

webmath.ru é um portal educacional para estudantes, candidatos e alunos.

site de matemática educacional exponta.ru

ru.tradimo.com - escola de negociação online gratuita

crypto.hut2.ru - recurso de informação multidisciplinar

poker-wiki.ru - enciclopédia gratuita de poker

sernam.ru - Biblioteca científica de publicações selecionadas de ciências naturais

reshim.su - curso de controle de tarefas do site SOLVE

unfx.ru – Forex no UNFX: educação, sinais de negociação, gerenciamento de confiança

slovopedia.com - Grande Dicionário Enciclopédico

pokermansion.3dn.ru - Seu guia para o mundo do poker

statanaliz.info - blog informativo "Análise de dados estatísticos"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - análise de Forex atualizada

fx-by.com - tudo para um trader

01.02.2018

Valor esperado. Apenas sobre o complexo. Noções básicas de negociação.

Ao fazer apostas de qualquer tipo, há sempre uma certa probabilidade de lucro e o risco de fracasso. O resultado positivo da transação e o risco de perder dinheiro estão inextricavelmente ligados à expectativa matemática. Neste artigo, vamos nos concentrar nesses dois aspectos da negociação em detalhes.

Valor esperado- com o número de amostras ou o número de suas medições (às vezes dizem - o número de testes) tendendo ao infinito.

O ponto é que um valor esperado positivo leva a uma negociação positiva (lucros crescentes), enquanto um valor esperado zero ou negativo significa nenhuma negociação.

Para facilitar a compreensão desse problema, vamos considerar o conceito de expectativa matemática ao jogar roleta. O exemplo da roleta é muito fácil de entender.

Roleta- (O crupiê lança a bola no sentido oposto ao da rotação da roda, a partir do número em que a bola caiu da vez anterior, que deve cair em uma das células numeradas, fazendo pelo menos três voltas completas ao redor da roda.

As células numeradas de 1 a 36 são coloridas em preto e vermelho. Os números não estão em ordem, embora as cores das células se alternem estritamente, começando com 1 - vermelho. A célula marcada com o número 0 é de cor verde e é chamada de zero.

A roleta é um jogo com uma expectativa matemática negativa. Tudo por causa do campo 0. "0", que não é preto nem vermelho.

Porque (geralmente) se nenhuma mudança for aplicada, o jogador perde $ 1 para cada 37 rodadas da roleta (ao apostar $ 1 de cada vez), resultando em uma perda linear de -2,7% que aumenta à medida que o número de apostas aumenta (média) .

Claro, um jogador em um intervalo, por exemplo, em 1000 jogos, pode ter uma série de vitórias, e uma pessoa pode começar a acreditar erroneamente que pode ganhar dinheiro vencendo o cassino e uma série de derrotas. Uma série de vitórias neste caso pode aumentar o capital do jogador em um valor maior do que ele tinha originalmente, neste caso, se o jogador tivesse $ 1000, após 10 jogos de $ 1 cada, ele deveria ter uma média de $ 973 restantes. Mas se em tal cenário o jogador tiver menos ou mais dinheiro, chamaremos essa diferença entre a variação de capital atual. Você só pode ganhar dinheiro jogando roleta dentro da variância. Se o jogador continuar a seguir essa estratégia, eventualmente a pessoa ficará sem dinheiro e o cassino funcionará.

O segundo exemplo são as famosas opções binárias. Você tem permissão para fazer uma aposta, com um resultado bem-sucedido, você recebe até 90% em cima de sua aposta e, se não for bem-sucedida, perde todos os 100. E então os proprietários de BO só precisam esperar, o mercado e o negativo expectativa de xeque-mate fará seu trabalho. E a dispersão de tempo dará esperança ao trader de opções binárias de que é possível ganhar dinheiro neste mercado. Mas isso é temporário.

Qual é a vantagem da negociação de criptomoedas (assim como a negociação no mercado de ações)?

Uma pessoa pode criar um sistema para si mesma. Ele mesmo pode limitar seu risco e tentar tirar o máximo de lucro possível do mercado. (Além disso, se a situação com o segundo for bastante controversa, o risco deve ser controlado com muita clareza.)

Para entender em que direção sua estratégia está levando você, você precisa manter as estatísticas. O comerciante precisa saber:

1. O número de seus negócios. Quanto maior o número de negociações para uma determinada estratégia, mais precisa será a expectativa matemática.
2. A frequência de entradas bem-sucedidas. (Probabilidade) (R)
3. Seu lucro para cada transação positiva.
4. Viés (proporção de vitórias) (B)
5. Tamanho médio da sua aposta (stop order) (S)

Expectativa (E) = B * R - (1 - B) = B * (1 + R) -1

Para descobrir aproximadamente seus ganhos ou perdas finais na conta (EE), por exemplo, a uma distância de 1000 negócios, usaremos a fórmula.

Onde N é o número de negociações que planejamos executar.

Por exemplo, vamos pegar os dados iniciais:

stop loss - 30 dólares.

lucro - 100 dólares.

Número de transações 30

A expectativa matemática é negativa somente se a proporção de negociações lucrativas e perdedoras (R) for 20%/80% ou pior, em outros casos é positiva.

Agora deixe o lucro ser 150. Então a expectativa será negativa na proporção de 16%/84%. Ou inferior.

Conclusão.

O que fazer com isso? Comece a manter as estatísticas, caso ainda não tenha feito isso. Verifique seus negócios, determine sua expectativa de xeque-mate. Encontre algo que possa ser melhorado (número de entradas corretas, somando lucros, reduzindo perdas)

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- o número de meninos entre 10 recém-nascidos.

É bastante claro que esse número não é conhecido com antecedência, e nos próximos dez filhos nascidos pode haver:

Ou meninos - um e somente um das opções listadas.

E, para manter a forma, um pouco de educação física:

- salto de distância (em algumas unidades).

Nem o mestre do esporte é capaz de prever :)

No entanto, quais são suas hipóteses?

2) Variável aleatória contínua - leva tudo valores numéricos de algum intervalo finito ou infinito.

Observação : as abreviaturas DSV e NSV são populares na literatura educacional

Primeiro, vamos analisar uma variável aleatória discreta, então - contínuo.

Lei de distribuição de uma variável aleatória discreta

- isto é conformidade entre os valores possíveis dessa quantidade e suas probabilidades. Na maioria das vezes, a lei é escrita em uma tabela:

O termo é bastante comum fileira distribuição, mas em algumas situações soa ambíguo e, portanto, vou aderir à "lei".

E agora ponto muito importante: uma vez que a variável aleatória necessariamente vai aceitar um dos valores, então os eventos correspondentes formam grupo completo e a soma das probabilidades de sua ocorrência é igual a um:

ou, se escrito dobrado:

Assim, por exemplo, a lei da distribuição de probabilidades de pontos em um dado tem a seguinte forma:

Sem comentários.

Você pode ter a impressão de que uma variável aleatória discreta só pode assumir valores inteiros "bons". Vamos dissipar a ilusão - eles podem ser qualquer coisa:

Exemplo 1

Alguns jogos têm a seguinte lei de distribuição de recompensas:

…provavelmente você sonha com essas tarefas há muito tempo :) Deixe-me contar um segredo - eu também. Especialmente depois de terminar o trabalho em teoria de campo.

Solução: como uma variável aleatória pode assumir apenas um dos três valores, os eventos correspondentes formam grupo completo, o que significa que a soma de suas probabilidades é igual a um:

Expomos o "partidário":

– assim, a probabilidade de ganhar unidades convencionais é de 0,4.

Controle: o que você precisa ter certeza.

Responda:

Não é incomum quando a lei de distribuição precisa ser compilada de forma independente. Para este uso definição clássica de probabilidade, teoremas de multiplicação / adição para probabilidades de eventos e outras fichas tervera:

Exemplo 2

Existem 50 bilhetes de loteria na caixa, 12 dos quais estão ganhando, e 2 deles ganham 1000 rublos cada, e o resto - 100 rublos cada. Elabore uma lei de distribuição de uma variável aleatória - o tamanho dos ganhos, se um bilhete for sorteado aleatoriamente da caixa.

Solução: como você notou, é costume colocar os valores de uma variável aleatória em Ordem ascendente. Portanto, começamos com os menores ganhos, ou seja, rublos.

No total, existem 50 - 12 = 38 bilhetes, e de acordo com definição clássica:
é a probabilidade de que um bilhete sorteado aleatoriamente não ganhe.

Os demais casos são simples. A probabilidade de ganhar rublos é:

Verificando: - e este é um momento particularmente agradável de tais tarefas!

Responda: a lei de distribuição de pagamento necessária:

A seguinte tarefa para uma decisão independente:

Exemplo 3

A probabilidade de o atirador acertar o alvo é . Faça uma lei de distribuição para uma variável aleatória - o número de acertos após 2 tiros.

... Eu sabia que você sentia falta dele :) Lembramos teoremas de multiplicação e adição. Solução e resposta no final da lição.

A lei de distribuição descreve completamente uma variável aleatória, mas na prática é útil (e às vezes mais útil) conhecer apenas uma parte dela. características numéricas .

Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

Em termos simples, este valor médio esperado com testes repetidos. Deixe uma variável aleatória assumir valores com probabilidades respectivamente. Então a esperança matemática desta variável aleatória é igual a soma de obras todos os seus valores pelas probabilidades correspondentes:

ou em forma dobrada:

Vamos calcular, por exemplo, a expectativa matemática de uma variável aleatória - o número de pontos caídos em um dado:

Agora vamos relembrar nosso jogo hipotético:

Surge a pergunta: é mesmo lucrativo jogar este jogo? ... quem tem alguma impressão? Portanto, você não pode dizer “de improviso”! Mas esta pergunta pode ser facilmente respondida calculando a expectativa matemática, em essência - média ponderada probabilidades de ganhar:

Assim, a expectativa matemática deste jogo perdendo.

Não confie em impressões - confie em números!

Sim, aqui você pode ganhar 10 e até 20-30 vezes seguidas, mas a longo prazo seremos inevitavelmente arruinados. E eu não aconselharia você a jogar esses jogos :) Bem, talvez apenas para se divertir.

De todos os itens acima, segue-se que a expectativa matemática NÃO é um valor ALEATÓRIO.

Tarefa criativa para pesquisa independente:

Exemplo 4

O Sr. X joga a roleta europeia de acordo com o seguinte sistema: ele aposta constantemente 100 rublos no vermelho. Componha a lei de distribuição de uma variável aleatória - seu retorno. Calcule a expectativa matemática de ganhos e arredonde para copeques. Quão média o jogador perde para cada cem aposta?

Referência : a roleta europeia contém 18 setores vermelhos, 18 pretos e 1 verde ("zero"). No caso de um "vermelho" cair, o jogador recebe uma aposta dupla, caso contrário, vai para a receita do cassino

Existem muitos outros sistemas de roleta para os quais você pode criar suas próprias tabelas de probabilidade. Mas este é o caso quando não precisamos de quaisquer leis e tabelas de distribuição, porque está estabelecido com certeza que a expectativa matemática do jogador será exatamente a mesma. Apenas muda de sistema para sistema

Como já se sabe, a lei de distribuição caracteriza completamente uma variável aleatória. No entanto, muitas vezes a lei da distribuição é desconhecida e a pessoa tem que se limitar a informações menores. Às vezes é ainda mais lucrativo usar números que descrevam uma variável aleatória no total; esses números são chamados características numéricas de uma variável aleatória. A expectativa matemática é uma das características numéricas importantes.

A expectativa matemática, como será mostrado a seguir, é aproximadamente igual ao valor médio da variável aleatória. Para resolver muitos problemas, basta conhecer a expectativa matemática. Por exemplo, se se sabe que a expectativa matemática do número de pontos marcados pelo primeiro arremessador é maior que a do segundo, então o primeiro arremessador, em média, nocauteia mais pontos do que o segundo e, portanto, arremessa melhor do que o segundo. Embora a expectativa matemática dê muito menos informação sobre uma variável aleatória do que a lei de sua distribuição, mas para resolver problemas como o dado e muitos outros, o conhecimento da expectativa matemática é suficiente.

§ 2. Expectativa matemática de uma variável aleatória discreta

expectativa matemática Uma variável aleatória discreta é chamada de soma dos produtos de todos os seus valores possíveis e suas probabilidades.

Deixe a variável aleatória X só pode receber valores X 1 , X 2 , ..., X P , cujas probabilidades são respectivamente iguais R 1 , R 2 , . . ., R P . Então a esperança matemática M(X) variável aleatória X é definida pela igualdade

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n p n .

Se uma variável aleatória discreta X assume um conjunto contável de valores possíveis, então

M(X)=

além disso, a esperança matemática existe se a série do lado direito da igualdade converge absolutamente.

Comente. Segue-se da definição que a expectativa matemática de uma variável aleatória discreta é uma variável não aleatória (constante). Recomendamos que você se lembre desta declaração, pois ela será usada repetidamente mais tarde. Mais tarde será mostrado que a esperança matemática de uma variável aleatória contínua também é um valor constante.

Exemplo 1 Encontre a esperança matemática de uma variável aleatória X, conhecendo a lei de sua distribuição:

Solução. A expectativa matemática desejada é igual à soma dos produtos de todos os valores possíveis de uma variável aleatória e suas probabilidades:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Exemplo 2 Encontre a expectativa matemática do número de ocorrências de um evento MAS em uma tentativa, se a probabilidade de um evento MASé igual a R.

Solução. Valor aleatório X - número de ocorrências do evento MAS em um teste - pode levar apenas dois valores: X 1 = 1 (evento MAS aconteceu) com uma probabilidade R e X 2 = 0 (evento MAS não ocorreu) com uma probabilidade q= 1 -R. A expectativa matemática desejada

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Então, a expectativa matemática do número de ocorrências de um evento em uma tentativa é igual à probabilidade desse evento. Este resultado será usado a seguir.

§ 3. Significado probabilístico da expectativa matemática

Deixe produzido P testes em que a variável aleatória X aceitaram t 1 vezes o valor X 1 , t 2 vezes o valor X 2 ,...,m k vezes o valor x k , e t 1 + t 2 + …+t para = pág. Então a soma de todos os valores tomados X, é igual a

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X para t para .

Encontre a média aritmética de todos os valores aceitos como variável aleatória, para os quais dividimos a soma encontrada pelo número total de tentativas:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X para t para)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X para (t para /P). (*)

Percebendo que a relação m 1 / n- frequência relativa C 1 valores X 1 , m 2 / n - frequência relativa C 2 valores X 2 etc., escrevemos a relação (*) da seguinte forma:

=X 1 C 1 + x 2 C 2 + .. . + X para C k . (**)

Suponhamos que o número de tentativas seja suficientemente grande. Então a frequência relativa é aproximadamente igual à probabilidade de ocorrência do evento (isso será comprovado no Capítulo IX, § 6):

C 1 p 1 , C 2 p 2 , …, C k p k .

Substituindo as frequências relativas em relação (**) pelas probabilidades correspondentes, obtemos

x 1 p 1 + X 2 R 2 + … + X para R para .

O lado direito desta igualdade aproximada é M(X). Então,

M(X).

O significado probabilístico do resultado obtido é o seguinte: esperança matemática é aproximadamente igual a(quanto mais preciso, maior o número de tentativas) a média aritmética dos valores observados da variável aleatória.

Observação 1. É fácil ver que a esperança matemática é maior que o menor e menor que os maiores valores possíveis. Em outras palavras, no eixo numérico, os valores possíveis estão localizados à esquerda e à direita do valor esperado. Nesse sentido, a expectativa caracteriza a localização da distribuição e, portanto, é muitas vezes referida como Centro de distribuição.

Este termo é emprestado da mecânica: se as massas R 1 , R 2 , ..., R P localizada em pontos com abcissas x 1 , X 2 , ..., X n, e
então a abcissa do centro de gravidade

x c =
.

Dado que
= M (X) e
Nós temos M(X)= x Com .

Assim, a expectativa matemática é a abcissa do centro de gravidade de um sistema de pontos materiais, cujas abcissas são iguais aos valores possíveis de uma variável aleatória, e as massas são iguais às suas probabilidades.

Observação 2. A origem do termo "expectativa" está associada ao período inicial do surgimento da teoria das probabilidades (séculos XVI-XVII), quando seu escopo se limitava ao jogo. O jogador estava interessado no valor médio do payoff esperado, ou, em outras palavras, na expectativa matemática do payoff.