Mas muitos números naturais são igualmente divisíveis por outros números naturais.

Por exemplo:

O número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Os números pelos quais o número é divisível (para 12 é 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados divisores de números. Divisor de um número natural umaé o número natural que divide o número dado uma sem deixar vestígios. Um número natural que tem mais de dois fatores é chamado composto. Observe que os números 12 e 36 têm divisores comuns. Estes são os números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12.

Divisor comum de dois números dados uma e bé o número pelo qual ambos os números dados são divisíveis sem deixar resto uma e b. Divisor Comum de Números Múltiplos (GCD)é o número que serve de divisor para cada um deles.

Resumidamente o máximo divisor comum dos números uma e b são escritos assim:

Exemplo: mdc (12; 36) = 12.

Os divisores de números no registro da solução são indicados por uma letra maiúscula "D".

Exemplo:

mdc (7; 9) = 1

Os números 7 e 9 têm apenas um divisor comum - o número 1. Esses números são chamados coprimechi slam.

Números primos são números naturais que têm apenas um divisor comum - o número 1. Seu mdc é 1.

Máximo Divisor Comum (GCD), propriedades.

• Propriedade principal: máximo divisor comum m e né divisível por qualquer divisor comum desses números. Exemplo: para os números 12 e 18 o máximo divisor comum é 6; é divisível por todos os divisores comuns desses números: 1, 2, 3, 6.
• Corolário 1: conjunto de divisores comuns m e n coincide com o conjunto de divisores gcd( m, n).
• Corolário 2: conjunto de múltiplos comuns m e n coincide com o conjunto de vários LCMs ( m, n).

Isso significa, em particular, que para reduzir uma fração a uma forma irredutível, é necessário dividir seu numerador e denominador por seus mdc.

• Máximo Divisor Comum de Números m e n pode ser definido como o menor elemento positivo do conjunto de todas as suas combinações lineares:

e, portanto, representam como uma combinação linear de números m e n:

Essa proporção é chamada Razão de Bezout, e os coeficientes você e v — coeficientes de bezout. Os coeficientes de Bézout são calculados eficientemente pelo algoritmo estendido de Euclides. Esta afirmação é generalizada para conjuntos de números naturais - seu significado é que o subgrupo do grupo gerado pelo conjunto é cíclico e é gerado por um elemento: gcd ( uma 1 , uma 2 , … , um).

Cálculo do máximo divisor comum (mdc).

Maneiras eficientes de calcular o mdc de dois números são Algoritmo de Euclides e binárioalgoritmo. Além disso, o valor GCD ( m,n) pode ser facilmente calculado se a expansão canônica dos números for conhecida m e n para fatores primos:

onde são primos distintos e e são inteiros não negativos (eles podem ser zero se o primo correspondente não estiver na decomposição). Então mdc ( m,n) e LCM ( m,n) são expressos pelas fórmulas:

Se houver mais de dois números: , seu GCD é encontrado de acordo com o seguinte algoritmo:

— este é o GCD desejado.

Também, para encontrar máximo divisor comum, você pode decompor cada um dos números fornecidos em fatores primos. Em seguida, escreva separadamente apenas os fatores que estão incluídos em todos os números dados. Em seguida, multiplicamos os números escritos entre si - o resultado da multiplicação é o máximo divisor comum .

Vamos analisar o cálculo do máximo divisor comum passo a passo:

1. Decomponha os divisores de números em fatores primos:

Os cálculos são convenientemente escritos usando uma barra vertical. À esquerda da linha, primeiro anote o dividendo, à direita - o divisor. Além disso, na coluna da esquerda, anotamos os valores de private. Vamos explicar imediatamente com um exemplo. Vamos fatorar os números 28 e 64 em fatores primos.

2. Sublinhamos os mesmos fatores primos em ambos os números:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Encontramos o produto de fatores primos idênticos e escrevemos a resposta:

GCD (28; 64) = 2. 2 = 4

Resposta: GCD (28; 64) = 4

Você pode organizar a localização do GCD de duas maneiras: em uma coluna (como foi feito acima) ou “em uma linha”.

A primeira maneira de escrever GCD:

Encontre GCD 48 e 36.

GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12

A segunda maneira de escrever GCD:

Agora vamos escrever a solução de pesquisa GCD em uma linha. Encontre GCD 10 e 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Vamos resolver o problema. Temos dois tipos de cookies. Alguns são chocolate e alguns são simples. São 48 pedaços de chocolate, e simples 36. É necessário fazer o máximo possível de presentes desses biscoitos, e todos eles devem ser usados.

Primeiro, vamos anotar todos os divisores de cada um desses dois números, já que ambos os números devem ser divisíveis pelo número de presentes.

Nós temos

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Vamos encontrar entre os divisores os comuns que o primeiro e o segundo número possuem.

Os divisores comuns serão: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

O máximo divisor comum de todos é 12. Esse número é chamado de máximo divisor comum de 36 e 48.

Com base no resultado, podemos concluir que podem ser feitos 12 brindes a partir de todos os cookies. Um desses presentes conterá 4 biscoitos de chocolate e 3 biscoitos normais.

Encontrando o máximo divisor comum

• O maior número natural pelo qual dois números a e b são divisíveis sem deixar resto é chamado de máximo divisor comum desses números.

Às vezes, a abreviação GCD é usada para abreviar a entrada.

Alguns pares de números têm um como seu máximo divisor comum. Tais números são chamados números primos. Por exemplo, números 24 e 35. Tenha GCD =1.

Como encontrar o máximo divisor comum

Para encontrar o máximo divisor comum, não é necessário escrever todos os divisores desses números.

Você pode fazer o contrário. Primeiro, fatore os dois números em fatores primos.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Agora, dos fatores incluídos na expansão do primeiro número, excluímos todos aqueles que não estão incluídos na expansão do segundo número. No nosso caso, são dois duques.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Os fatores 2, 2 e 3 permanecem. Seu produto é 12. Esse número será o máximo divisor comum dos números 48 e 36.

Essa regra pode ser estendida para o caso de três, quatro e assim por diante. números.

Esquema geral para encontrar o máximo divisor comum

• 1. Decomponha os números em fatores primos.
• 2. Dos fatores incluídos na expansão de um desses números, risque aqueles que não estão incluídos na expansão de outros números.
• 3. Calcule o produto dos fatores restantes.

Encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) e o máximo divisor comum (GCD) de números naturais.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Escrevemos os fatores incluídos na expansão do primeiro desses números e adicionamos a eles o fator ausente 5 da expansão do segundo número. Obtemos: 2*2*3*5*5=300. Encontrado NOC, ou seja, esta soma = 300. Não esqueça a dimensão e escreva a resposta:
Resposta: Mamãe dá 300 rublos cada.

Definição de GCD: Máximo Divisor Comum (GCD) números naturais uma e dentro nome do maior número natural c, ao qual e uma, e b dividido sem deixar vestígios. Aqueles. cé o menor número natural para o qual e uma e b são múltiplos.

Lembrete: Existem duas abordagens para a definição de números naturais

• números utilizados em: enumeração (numeração) de itens (primeiro, segundo, terceiro, ...); - nas escolas, geralmente.
• indicando o número de itens (sem pokemon - zero, um pokemon, dois pokemon, ...).

Números negativos e não inteiros (racionais, reais, ...) não são naturais. Alguns autores incluem o zero no conjunto dos números naturais, outros não. O conjunto de todos os números naturais é geralmente denotado pelo símbolo N

Lembrete: Divisor de um número natural uma ligue para o número b, ao qual uma dividido sem resto. Múltiplo do número natural b chamado de número natural uma, que é dividido por b sem deixar vestígios. Se número b- divisor de números uma, então uma múltiplo de b. Exemplo: 2 é um divisor de 4 e 4 é um múltiplo de 2. 3 é um divisor de 12 e 12 é um múltiplo de 3.
Lembrete: Os números naturais são chamados primos se forem divisíveis sem resto apenas por eles mesmos e por 1. Coprimos são números que têm apenas um divisor comum igual a 1.

Definição de como encontrar o GCD no caso geral: Para encontrar o GCD (Maior Divisor Comum) Vários números naturais são necessários:
1) Decomponha-os em fatores primos. (O gráfico de números primos pode ser muito útil para isso.)
2) Escreva os fatores incluídos na expansão de um deles.
3) Exclua aqueles que não estão incluídos na expansão dos números restantes.
4) Multiplique os fatores obtidos no parágrafo 3).

Tarefa 2 em (NOK): No ano novo, Kolya Puzatov comprou 48 hamsters e 36 cafeteiras na cidade. Fekla Dormidontova, como a garota mais honesta da classe, recebeu a tarefa de dividir essa propriedade no maior número possível de conjuntos de presentes para professores. Qual é o número de conjuntos? Qual é a composição dos conjuntos?

Exemplo 2.1. resolvendo o problema de encontrar GCD. Encontrar GCD por seleção.
Solução: Cada um dos números e 48 e 36 devem ser divisíveis pelo número de presentes.
1) Escreva os divisores 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Escreva os divisores 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Escolha o máximo divisor comum. Op-la-la! Encontrado, este é o número de conjuntos de 12 peças.
3) Divida 48 por 12, obtemos 4, divida 36 por 12, obtemos 3. Não esqueça a dimensão e escreva a resposta:
Resposta: Você receberá 12 conjuntos de 4 hamsters e 3 cafeteiras em cada conjunto.

O mínimo múltiplo comum de dois números está diretamente relacionado ao máximo divisor comum desses números. este ligação entre GCD e NOCé definida pelo seguinte teorema.

Teorema.

O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos a e b é igual ao produto de a e b dividido pelo máximo divisor comum de a e b, ou seja, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Prova.

Deixar M é um múltiplo dos números a e b. Ou seja, M é divisível por a, e pela definição de divisibilidade, existe algum inteiro k tal que a igualdade M=a·k é verdadeira. Mas M também é divisível por b, então a k é divisível por b.

Denote mdc(a, b) como d . Então podemos escrever as igualdades a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:de b 1 =b:d serão números primos. Portanto, a condição obtida no parágrafo anterior de que a k é divisível por b pode ser reformulada da seguinte forma: a 1 d k é divisível por b 1 d , e isso, devido às propriedades de divisibilidade, equivale à condição de que a 1 k é divisível por b um.

Também precisamos escrever dois corolários importantes do teorema considerado.

Os múltiplos comuns de dois números são iguais aos múltiplos do seu mínimo múltiplo comum.

Isso é verdade, pois qualquer múltiplo comum de M números a e b é definido pela igualdade M=LCM(a, b) t para algum valor inteiro t .

O mínimo múltiplo comum de números positivos coprimos a e b é igual ao seu produto.

A razão para este fato é bastante óbvia. Como a e b são primos, então gcd(a, b)=1 , portanto, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Mínimo múltiplo comum de três ou mais números

Encontrar o mínimo múltiplo comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sucessivamente o MMC de dois números. Como isso é feito é indicado no seguinte teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidem com múltiplos comuns dos números m k-1 e a k , portanto, coincidem com múltiplos de m k . E como o mínimo múltiplo positivo do número m k é o próprio número m k, então o mínimo múltiplo comum dos números a 1 , a 2 , …, a k é m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
• Vinogradov I. M. Fundamentos da teoria dos números.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teoria dos Números.
• Kulikov L.Ya. e outros Coleção de problemas em álgebra e teoria dos números: livro didático para estudantes de fiz.-mat. especialidades dos institutos pedagógicos.

Esse artigo é sobre encontrar o máximo divisor comum (mdc) dois ou mais números. Primeiro, considere o algoritmo de Euclides, ele permite encontrar o MDC de dois números. Depois disso, vamos nos deter em um método que nos permite calcular o MDC dos números como um produto de seus fatores primos comuns. A seguir, trataremos de encontrar o máximo divisor comum de três ou mais números e também daremos exemplos de cálculo do MDC de números negativos.

Navegação da página.

Algoritmo de Euclides para encontrar GCD

Observe que, se tivéssemos voltado para a tabela de números primos desde o início, teríamos descoberto que os números 661 e 113 são primos, a partir do qual poderíamos dizer imediatamente que seu máximo divisor comum é 1.

Responda:

mdc(661, 113)=1.

Encontrando o MDC fatorando números em fatores primos

Considere outra maneira de encontrar o GCD. O máximo divisor comum pode ser encontrado fatorando os números em fatores primos. Vamos formular a regra: O mdc de dois inteiros positivos a e b é igual ao produto de todos os fatores primos comuns nas fatorações de a e b em fatores primos.

Vamos dar um exemplo para explicar a regra para encontrar o GCD. Vamos conhecer as expansões dos números 220 e 600 em fatores primos, eles têm a forma 220=2 2 5 11 e 600=2 2 2 3 5 5 . Os fatores primos comuns envolvidos na expansão dos números 220 e 600 são 2 , 2 e 5 . Portanto, mdc(220, 600)=2 2 5=20 .

Assim, se decompusermos os números a e b em fatores primos e encontrarmos o produto de todos os seus fatores comuns, então encontraremos o máximo divisor comum dos números a e b.

Considere um exemplo de encontrar o GCD de acordo com a regra anunciada.

Exemplo.

Encontre o máximo divisor comum de 72 e 96.

Solução.

Vamos fatorar os números 72 e 96:

Ou seja, 72=2 2 2 3 3 e 96=2 2 2 2 2 3 . Fatores primos comuns são 2 , 2 , 2 e 3 . Então mdc(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Responda:

mdc(72, 96)=24.

Concluindo esta seção, notamos que a validade da regra acima para encontrar o mdc decorre da propriedade do máximo divisor comum, que afirma que GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), onde m é qualquer número inteiro positivo.

Encontrar GCD de três ou mais números

Encontrar o máximo divisor comum de três ou mais números pode ser reduzido a encontrar sucessivamente o mdc de dois números. Mencionamos isso ao estudar as propriedades do GCD. Lá formulamos e provamos o teorema: o máximo divisor comum de vários números a 1 , a 2 , …, a k é igual ao número d k , que é encontrado no cálculo sequencial de gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3 ) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

Vamos ver como é o processo de encontrar o MDC de vários números considerando a solução do exemplo.

Exemplo.

Encontre o máximo divisor comum dos quatro números 78 , 294 , 570 e 36 .

Solução.

Neste exemplo a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Primeiro, usando o algoritmo de Euclides, determinamos o máximo divisor comum d 2 dos dois primeiros números 78 e 294 . Ao dividir, obtemos as igualdades 294=78 3+60 ; 78=60 1+18; 60=18 3+6 e 18=6 3 . Assim, d2 =GCD(78, 294)=6.

Agora vamos calcular d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Novamente aplicamos o algoritmo de Euclides: 570=6·95 , portanto, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Resta calcular d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Como 36 é divisível por 6, então d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Assim, o máximo divisor comum dos quatro números dados é d 4 =6 , ou seja, mdc(78, 294, 570, 36)=6 .

Responda:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

A decomposição de números em fatores primos também permite calcular o MDC de três ou mais números. Nesse caso, o máximo divisor comum é encontrado como o produto de todos os fatores primos comuns dos números fornecidos.

Exemplo.

Calcule o MDC dos números do exemplo anterior usando suas fatorações primárias.

Solução.

Decompomos os números 78 , 294 , 570 e 36 em fatores primos, obtemos 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . 3. Os fatores primos comuns de todos os quatro números dados são os números 2 e 3. Consequentemente, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.