Para a=b=R a equação (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descreve um círculo de raio R centrado no ponto O"(x_0,y_0) .

Equação paramétrica de uma elipse

Equação paramétrica de uma elipse no sistema de coordenadas canônicas tem a forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

De fato, substituindo essas expressões na equação (3.49), chegamos à identidade trigonométrica básica \cos^2t+\sin^2t=1.

Exemplo 3.20. desenhar elipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 no sistema de coordenadas canônicas Oxy. Encontre semieixos, distância focal, excentricidade, relação de aspecto, parâmetro focal, equações de diretriz.

Solução. Comparando a equação dada com a canônica, determinamos os semieixos: a=2 - o semieixo maior, b=1 - o semieixo menor da elipse. Construímos o retângulo principal com lados 2a=4,~2b=2 centrados na origem (Fig.3.39). Dada a simetria da elipse, nós a encaixamos no retângulo principal. Se necessário, determinamos as coordenadas de alguns pontos da elipse. Por exemplo, substituindo x = 1 na equação da elipse, obtemos

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Portanto, pontos com coordenadas \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pertencem a uma elipse.

Calcule a taxa de compressão k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); comprimento focal 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricidade e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parâmetro focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Compomos as equações da diretriz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

11.1. Conceitos Básicos

Considere as linhas definidas por equações do segundo grau em relação às coordenadas atuais

Os coeficientes da equação são números reais, mas pelo menos um dos números A, B ou C é diferente de zero. Tais linhas são chamadas de linhas (curvas) de segunda ordem. Será estabelecido abaixo que a equação (11.1) define um círculo, elipse, hipérbole ou parábola no plano. Antes de prosseguir com esta afirmação, vamos estudar as propriedades das curvas enumeradas.

11.2. Círculo

A curva mais simples de segunda ordem é um círculo. Lembre-se de que um círculo de raio R centrado em um ponto é o conjunto de todos os pontos Μ do plano que satisfazem a condição . Seja um ponto em um sistema de coordenadas retangulares com coordenadas x 0, y 0 a - um ponto arbitrário do círculo (veja a Fig. 48).

Então da condição obtemos a equação

(11.2)

A Equação (11.2) é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto no círculo dado e não é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto que não esteja no círculo.

A equação (11.2) é chamada a equação canônica do círculo

Em particular, assumindo e , obtemos a equação de um círculo centrado na origem .

A equação do círculo (11.2) após transformações simples tomará a forma . Ao comparar esta equação com a equação geral (11.1) de uma curva de segunda ordem, é fácil ver que duas condições são satisfeitas para a equação do círculo:

1) os coeficientes em x 2 e y 2 são iguais entre si;

2) não há membro contendo o produto xy das coordenadas atuais.

Vamos considerar o problema inverso. Colocando na equação (11.1) os valores e , obtemos

Vamos transformar essa equação:

(11.4)

Segue que a equação (11.3) define um círculo sob a condição . Seu centro está no ponto , e o raio

.

Se , então a equação (11.3) tem a forma

.

É satisfeito pelas coordenadas de um único ponto . Neste caso, eles dizem: “o círculo degenerou em um ponto” (tem raio zero).

Se um , então a equação (11.4) e, portanto, a equação equivalente (11.3), não determinará nenhuma reta, pois o lado direito da equação (11.4) é negativo e o lado esquerdo não é negativo (digamos: “círculo imaginário”).

11.3. Elipse

Equação canônica de uma elipse

Elipse é o conjunto de todos os pontos do plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados deste plano, chamado truques , é um valor constante maior que a distância entre os focos.

Denote os focos por F1 e F2, a distância entre eles em 2 c, e a soma das distâncias de um ponto arbitrário da elipse aos focos - através de 2 uma(ver fig. 49). Por definição 2 uma > 2c, ou seja uma > c.

Para derivar a equação de uma elipse, escolhemos um sistema de coordenadas para que os focos F1 e F2 estão no eixo , e a origem coincide com o ponto médio do segmento F 1 F 2. Então os focos terão as seguintes coordenadas: e .

Let Ser um ponto arbitrário da elipse. Então, de acordo com a definição de uma elipse, ou seja,

Esta, na verdade, é a equação de uma elipse.

Transformamos a equação (11.5) para uma forma mais simples da seguinte forma:

Porque uma>Com, então . Vamos colocar

(11.6)

Então a última equação assume a forma ou

(11.7)

Pode-se provar que a equação (11.7) é equivalente à equação original. É chamado a equação canônica da elipse .

A elipse é uma curva de segunda ordem.

Estudo da forma de uma elipse de acordo com sua equação

Vamos estabelecer a forma da elipse usando sua equação canônica.

1. A Equação (11.7) contém x e y apenas em potências pares, portanto, se um ponto pertence a uma elipse, então os pontos ,, também pertencem a ela. Segue que a elipse é simétrica em relação aos eixos e , assim como em relação ao ponto , que é chamado de centro da elipse.

2. Encontre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados. Colocando , encontramos dois pontos e , nos quais o eixo intercepta a elipse (veja a Fig. 50). Colocando na equação (11.7), encontramos os pontos de intersecção da elipse com o eixo: e . pontos UMA 1 , A2 , B1, B2 chamado os vértices da elipse. Segmentos UMA 1 A2 e B1 B2, bem como seus comprimentos 2 uma e 2 b são chamados respectivamente eixos maior e menor elipse. Números uma e b são chamados de grandes e pequenos, respectivamente. semi-eixos elipse.

3. Segue da equação (11.7) que cada termo do lado esquerdo não excede um, ou seja, existem desigualdades e ou e . Portanto, todos os pontos da elipse estão dentro do retângulo formado pelas linhas retas.

4. Na equação (11.7), a soma dos termos não negativos e é igual a um. Consequentemente, à medida que um termo aumenta, o outro diminui, ou seja, se aumenta, diminui e vice-versa.

Do que foi dito, segue-se que a elipse tem a forma mostrada na Fig. 50 (curva oval fechada).

Mais sobre a elipse

A forma da elipse depende da proporção. Quando a elipse se transforma em um círculo, a equação da elipse (11.7) assume a forma . Como característica da forma de uma elipse, a proporção é mais usada. A razão de metade da distância entre os focos e o semi-eixo maior da elipse é chamada de excentricidade da elipse e o6o é denotado pela letra ε ("épsilon"):

com 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Isso mostra que quanto menor a excentricidade da elipse, menos oblata será a elipse; se colocarmos ε = 0, então a elipse se transforma em um círculo.

Seja M(x; y) um ponto arbitrário da elipse com focos F 1 e F 2 (ver Fig. 51). Os comprimentos dos segmentos F 1 M=r 1 e F 2 M = r 2 são chamados de raios focais do ponto M. Obviamente,

Existem fórmulas

As retas são chamadas

Teorema 11.1. Se é a distância de um ponto arbitrário da elipse a algum foco, d é a distância do mesmo ponto à diretriz correspondente a esse foco, então a razão é um valor constante igual à excentricidade da elipse:

Segue da igualdade (11.6) que . Se , então a equação (11.7) define uma elipse, cujo eixo maior está no eixo Oy e o eixo menor está no eixo Ox (ver Fig. 52). Os focos de tal elipse estão nos pontos e , onde .

11.4. Hipérbole

Equação canônica de uma hipérbole

Hipérbole o conjunto de todos os pontos do plano é chamado, o módulo da diferença nas distâncias de cada um deles a dois pontos dados deste plano, chamado truques , é um valor constante, menor que a distância entre os focos.

Denote os focos por F1 e F2 a distância entre eles através 2 segundos, e o módulo da diferença nas distâncias de cada ponto da hipérbole aos focos através de 2a. Por definição 2a < 2 segundos, ou seja uma < c.

Para derivar a equação da hipérbole, escolhemos um sistema de coordenadas para que os focos F1 e F2 estão no eixo , e a origem coincidiu com o ponto médio do segmento F 1 F 2(ver fig. 53). Então os focos terão coordenadas e

Let Ser um ponto arbitrário da hipérbole. Então, de acordo com a definição de uma hipérbole ou , ou seja, após simplificações, como foi feito ao derivar a equação da elipse, obtemos equação canônica de uma hipérbole

(11.9)

(11.10)

Uma hipérbole é uma linha de segunda ordem.

Investigação da forma de uma hipérbole de acordo com sua equação

Vamos estabelecer a forma da hipérbole usando sua equação cacônica.

1. A equação (11.9) contém xey apenas em potências pares. Portanto, a hipérbole é simétrica em relação aos eixos e , assim como em relação ao ponto , que é chamado o centro da hipérbole.

2. Encontre os pontos de interseção da hipérbole com os eixos coordenados. Colocando na equação (11.9), encontramos dois pontos de intersecção da hipérbole com o eixo : ​​e . Colocando em (11.9), obtemos , que não pode ser. Portanto, a hipérbole não intercepta o eixo y.

Os pontos e são chamados picos hipérboles e o segmento

eixo real , segmento de linha - semieixo real hipérbole.

O segmento de reta que liga os pontos é chamado eixo imaginário , número b- eixo imaginário . Retângulo com lados 2a e 2b chamado o retângulo principal de uma hipérbole .

3. Segue da equação (11.9) que o minuendo não é menor que um, ou seja, aquele ou . Isso significa que os pontos da hipérbole estão localizados à direita da linha (o ramo direito da hipérbole) e à esquerda da linha (o ramo esquerdo da hipérbole).

4. Da equação (11.9) da hipérbole, pode-se ver que quando ela aumenta, então também aumenta. Isso decorre do fato de que a diferença mantém um valor constante igual a um.

Segue-se do que foi dito que a hipérbole tem a forma mostrada na Figura 54 (uma curva que consiste em dois ramos ilimitados).

Assíntotas de uma hipérbole

A linha L é chamada de assíntota de uma curva ilimitada K se a distância d do ponto M da curva K até esta linha tende a zero à medida que o ponto M se move ao longo da curva K indefinidamente a partir da origem. A Figura 55 ilustra o conceito de uma assíntota: a linha L é uma assíntota para a curva K.

Vamos mostrar que a hipérbole tem duas assíntotas:

(11.11)

Como as retas (11.11) e a hipérbole (11.9) são simétricas em relação aos eixos coordenados, basta considerar apenas os pontos das retas indicadas que se encontram no primeiro quadrante.

Pegue em uma linha reta um ponto N com a mesma abcissa x como um ponto em uma hipérbole (veja a Fig. 56), e encontre a diferença ΜN entre as ordenadas da linha reta e o ramo da hipérbole:

Como você pode ver, à medida que x aumenta, o denominador da fração aumenta; numerador é um valor constante. Portanto, o comprimento do segmento ΜN tende a zero. Como ΜN é maior que a distância d do ponto Μ à linha, então d tende ainda mais a zero. Assim, as linhas são assíntotas da hipérbole (11.9).

Ao construir uma hipérbole (11.9), é aconselhável primeiro construir o retângulo principal da hipérbole (ver Fig. 57), desenhar linhas passando pelos vértices opostos deste retângulo - as assíntotas da hipérbole e marcar os vértices e , hipérbole .

A equação de uma hipérbole equilátero.

cujas assíntotas são os eixos coordenados

A hipérbole (11.9) é chamada equilátero se seus semieixos são iguais (). Sua equação canônica

(11.12)

As assíntotas de uma hipérbole equilátero têm equações e são, portanto, bissetrizes dos ângulos coordenados.

Considere a equação desta hipérbole no novo sistema de coordenadas (veja a Fig. 58), obtido do antigo girando os eixos de coordenadas em um ângulo. Usamos as fórmulas para a rotação dos eixos coordenados:

Substituímos os valores de x e y na equação (11.12):

A equação de uma hipérbole equilátera, para a qual os eixos Ox e Oy são assíntotas, terá a forma .

Mais sobre hipérbole

excentricidade hipérbole (11.9) é a razão entre a distância entre os focos e o valor do eixo real da hipérbole, denotado por ε:

Como para uma hipérbole , a excentricidade da hipérbole é maior que um: . A excentricidade caracteriza a forma de uma hipérbole. De fato, segue-se da igualdade (11.10) que i.e. e .

A partir disso, pode-se ver que quanto menor a excentricidade da hipérbole, menor a razão - de seus semieixos, o que significa que mais seu retângulo principal é estendido.

A excentricidade de uma hipérbole equilátero é . Sério,

Raios focais e para os pontos do ramo direito da hipérbole têm a forma e , e para a esquerda - e .

As linhas retas são chamadas de diretrizes de uma hipérbole. Como para a hipérbole ε > 1, então . Isso significa que a diretriz direita está localizada entre o centro e o vértice direito da hipérbole, a diretriz esquerda está entre o centro e o vértice esquerdo.

As diretrizes de uma hipérbole têm a mesma propriedade que as diretrizes de uma elipse.

A curva definida pela equação também é uma hipérbole, cujo eixo real 2b está localizado no eixo Oy e o eixo imaginário 2 uma- no eixo Ox. Na Figura 59, ele é mostrado como uma linha pontilhada.

Obviamente, as hipérboles e têm assíntotas comuns. Tais hipérboles são chamadas de conjugadas.

11.5. Parábola

Equação da parábola canônica

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos em um plano, cada um dos quais está igualmente distante de um determinado ponto, chamado de foco, e de uma determinada linha, chamada de diretriz. A distância do foco F à diretriz é chamada de parâmetro da parábola e é denotada por p (p > 0).

Para derivar a equação da parábola, escolhemos o sistema de coordenadas Oxy para que o eixo Oxy passe pelo foco F perpendicular à diretriz na direção da diretriz para F, e a origem O esteja localizada no meio entre o foco e a diretriz (ver Fig. 60). No sistema selecionado, o foco F tem coordenadas , e a equação da diretriz tem a forma , ou .

1. Na equação (11.13), a variável y está incluída em um grau par, o que significa que a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox; o eixo x é o eixo de simetria da parábola.

2. Como ρ > 0, segue de (11.13) que . Portanto, a parábola está localizada à direita do eixo y.

3. Quando temos y \u003d 0. Portanto, a parábola passa pela origem.

4. Com um aumento ilimitado em x, o módulo y também aumenta indefinidamente. A parábola tem a forma (forma) mostrada na Figura 61. O ponto O (0; 0) é chamado de vértice da parábola, o segmento FM \u003d r é chamado de raio focal do ponto M.

Equações , , ( p>0) também definem parábolas, elas são mostradas na Figura 62

É fácil mostrar que o gráfico de um trinômio quadrado, onde , B e C são quaisquer números reais, é uma parábola no sentido de sua definição acima.

11.6. Equação geral de linhas de segunda ordem

Equações de curvas de segunda ordem com eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados

Vamos primeiro encontrar a equação de uma elipse centrada no ponto , cujos eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy e os semieixos, respectivamente, são uma e b. Coloquemos no centro da elipse O 1 a origem do novo sistema de coordenadas , cujos eixos e semi-eixos uma e b(ver fig. 64):

E, finalmente, as parábolas mostradas na Figura 65 têm equações correspondentes.

A equação

As equações de uma elipse, hipérbole, parábola e a equação de um círculo após transformações (abra colchetes, mova todos os termos da equação em uma direção, traga termos semelhantes, introduza nova notação para os coeficientes) podem ser escritas usando uma única equação de a forma

onde os coeficientes A e C não são iguais a zero ao mesmo tempo.

Surge a pergunta: alguma equação da forma (11.14) determina uma das curvas (círculo, elipse, hipérbole, parábola) de segunda ordem? A resposta é dada pelo seguinte teorema.

Teorema 11.2. A Equação (11.14) sempre define: ou um círculo (para A = C), ou uma elipse (para A C > 0), ou uma hipérbole (para A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Equação geral de segunda ordem

Considere agora a equação geral do segundo grau com duas incógnitas:

Difere da equação (11.14) pela presença de um termo com o produto de coordenadas (B¹ 0). É possível, girando os eixos coordenados de um ângulo a, transformar essa equação de modo que o termo com o produto de coordenadas esteja ausente nela.

Usando fórmulas para eixos de giro

Vamos expressar as coordenadas antigas em termos das novas:

Escolhemos o ângulo a para que o coeficiente em x "y" se anule, ou seja, para que a igualdade

Assim, quando os eixos são girados em um ângulo a que satisfaça a condição (11.17), a equação (11.15) se reduz à equação (11.14).

Conclusão: a equação geral de segunda ordem (11.15) define no plano (exceto nos casos de degenerescência e decaimento) as seguintes curvas: círculo, elipse, hipérbole, parábola.

Nota: Se A = C, então a equação (11.17) perde seu significado. Neste caso cos2α = 0 (ver (11.16)), então 2α = 90°, ou seja, α = 45°. Assim, em A = C, o sistema de coordenadas deve ser girado em 45°.

Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados F_1, e F_2 é um valor constante (2a), maior que a distância (2c) entre esses pontos dados (Fig. 3.36, a). Essa definição geométrica expressa propriedade focal de uma elipse.

Propriedade focal de uma elipse

Os pontos F_1 e F_2 são chamados de focos da elipse, a distância entre eles 2c=F_1F_2 é a distância focal, o ponto médio O do segmento F_1F_2 é o centro da elipse, o número 2a é o comprimento do eixo maior da elipse (respectivamente, o número a é o principal semieixo da elipse). Os segmentos F_1M e F_2M conectando um ponto arbitrário M da elipse com seus focos são chamados de raios focais do ponto M . Um segmento de linha que liga dois pontos de uma elipse é chamado de corda da elipse.

A razão e=\frac(c)(a) é chamada de excentricidade da elipse. Da definição (2a>2c) segue que 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definição geométrica de uma elipse, expressando sua propriedade focal, é equivalente à sua definição analítica - a linha dada pela equação canônica da elipse:

De fato, vamos introduzir um sistema de coordenadas retangulares (Fig. 3.36, c). O centro O da elipse é tomado como origem do sistema de coordenadas; a linha reta que passa pelos focos (o eixo focal ou o primeiro eixo da elipse), tomaremos como eixo das abcissas (a direção positiva sobre ela do ponto F_1 ao ponto F_2); a linha reta perpendicular ao eixo focal e passando pelo centro da elipse (o segundo eixo da elipse) é tomada como o eixo y (a direção no eixo y é escolhida de modo que o sistema de coordenadas retangulares Oxy seja correto ).

Vamos formular a equação de uma elipse usando sua definição geométrica, que expressa a propriedade focal. No sistema de coordenadas selecionado, determinamos as coordenadas dos focos F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para um ponto arbitrário M(x,y) pertencente à elipse, temos:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Escrevendo esta igualdade na forma coordenada, obtemos:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Transferimos o segundo radical para o lado direito, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado e fornecemos termos semelhantes:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Dividindo por 4, elevamos ao quadrado os dois lados da equação:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

denotando b=\sqrt(a^2-c^2)>0, Nós temos b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dividindo ambas as partes por a^2b^2\ne0 , chegamos à equação canônica da elipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Portanto, o sistema de coordenadas escolhido é canônico.

Se os focos da elipse coincidem, então a elipse é um círculo (Fig. 3.36.6), pois a=b. Neste caso, qualquer sistema de coordenadas retangulares com origem no ponto O\equiv F_1\equiv F_2, e a equação x^2+y^2=a^2 é a equação de um círculo com centro O e raio a .

Raciocinando para trás, pode-se mostrar que todos os pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (3.49), e somente eles, pertencem ao lugar geométrico dos pontos, chamado de elipse. Em outras palavras, a definição analítica de uma elipse é equivalente à sua definição geométrica, que expressa a propriedade focal da elipse.

Propriedade de diretório de uma elipse

As diretrizes de uma elipse são duas linhas retas que passam paralelas ao eixo y do sistema de coordenadas canônicas à mesma distância \frac(a^2)(c) dele. Para c=0 , quando a elipse é um círculo, não há diretrizes (podemos supor que as diretrizes são removidas infinitamente).

Elipse com excentricidade 0 lugar geométrico dos pontos no plano, para cada um dos quais a razão entre a distância a um dado ponto F (foco) e a distância a uma dada reta d (diretriz) que não passa por um dado ponto é constante e igual a excentricidade e ( propriedade do diretório elipse). Aqui F e d são um dos focos da elipse e uma de suas diretrizes, localizadas no mesmo lado do eixo y do sistema de coordenadas canônicas, ou seja, F_1,d_1 ou F_2,d_2.

De fato, por exemplo, para o foco F_2 e a diretriz d_2 (Fig. 3.37.6) a condição \frac(r_2)(\rho_2)=e pode ser escrito na forma de coordenadas:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Livrar-se da irracionalidade e substituir e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, chegamos à equação canônica da elipse (3.49). Raciocínio semelhante pode ser realizado para o foco F_1 e a diretriz d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Equação da elipse em coordenadas polares

A equação da elipse no sistema de coordenadas polares F_1r\varphi (Fig.3.37,ce 3.37(2)) tem a forma

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

onde p=\frac(b^2)(a) é o parâmetro focal da elipse.

De fato, vamos escolher o foco esquerdo F_1 da elipse como o pólo do sistema de coordenadas polares, e o raio F_1F_2 como o eixo polar (Fig. 3.37, c). Então para um ponto arbitrário M(r,\varphi) , de acordo com a definição geométrica (propriedade focal) de uma elipse, temos r+MF_2=2a . Expressamos a distância entre os pontos M(r,\varphi) e F_2(2c,0) (veja o ponto 2 das observações 2.8):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(alinhado)

Portanto, na forma de coordenadas, a equação da elipse F_1M+F_2M=2a tem a forma

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Isolamos o radical, elevamos ao quadrado ambos os lados da equação, dividimos por 4 e fornecemos termos semelhantes:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Expressamos o raio polar r e fazemos a substituição e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

O significado geométrico dos coeficientes na equação da elipse

Vamos encontrar os pontos de interseção da elipse (veja a Fig. 3.37, a) com os eixos coordenados (vértices dos zllips). Substituindo y=0 na equação, encontramos os pontos de interseção da elipse com o eixo das abcissas (com o eixo focal): x=\pm a . Portanto, o comprimento do segmento do eixo focal dentro da elipse é igual a 2a. Este segmento, como observado acima, é chamado de eixo maior da elipse, e o número a é o semi-eixo maior da elipse. Substituindo x=0 , obtemos y=\pm b . Portanto, o comprimento do segmento do segundo eixo da elipse dentro da elipse é igual a 2b. Esse segmento é chamado de eixo menor da elipse, e o número b é chamado de semieixo menor da elipse.

Sério, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, e a igualdade b=a é obtida apenas no caso c=0 quando a elipse é uma circunferência. Atitude k=\frac(b)(a)\leqslant1é chamado de fator de contração da elipse.

Observações 3.9

1. As linhas x=\pm a,~y=\pm b limitam o retângulo principal no plano coordenado, dentro do qual a elipse está localizada (ver Fig. 3.37, a).

2. Uma elipse pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos obtidos pela contração de um círculo ao seu diâmetro.

De fato, deixe no sistema de coordenadas retangulares Oxy a equação do círculo ter a forma x^2+y^2=a^2 . Quando comprimido no eixo x com um fator de 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Substituindo x=x" e y=\frac(1)(k)y" na equação do círculo, obtemos uma equação para as coordenadas da imagem M"(x",y") do ponto M(x) ,y):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

uma vez que b=k\cdot a . Esta é a equação canônica da elipse.

3. Os eixos de coordenadas (do sistema de coordenadas canônico) são os eixos de simetria da elipse (chamados de eixos principais da elipse), e seu centro é o centro de simetria.

De fato, se o ponto M(x,y) pertence à elipse . então os pontos M"(x,-y) e M""(-x,y) , simétricos ao ponto M em relação aos eixos coordenados, também pertencem à mesma elipse.

4. Da equação de uma elipse em um sistema de coordenadas polares r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(veja a Fig. 3.37, c), o significado geométrico do parâmetro focal é esclarecido - isso é metade do comprimento da corda da elipse que passa por seu foco perpendicular ao eixo focal ( r = p em \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. A excentricidade e caracteriza a forma da elipse, ou seja, a diferença entre a elipse e o círculo. Quanto maior e, mais alongada a elipse, e quanto mais próximo e estiver de zero, mais próxima a elipse estará do círculo (Fig. 3.38, a). De fato, dado que e=\frac(c)(a) e c^2=a^2-b^2 , obtemos

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

onde k é o fator de contração da elipse, 0

6. Equação \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 para

7. Equação \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b define uma elipse centrada no ponto O "(x_0, y_0), cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados (Fig. 3.38, c). Esta equação é reduzida à canônica usando a tradução paralela (3.36).