Expansão da série de Fourier de acordo com os exemplos do gráfico. Expansão de funções em séries de potência

Como inserir fórmulas matemáticas no site?

Se você precisar adicionar uma ou duas fórmulas matemáticas a uma página da Web, a maneira mais fácil de fazer isso é conforme descrito no artigo: as fórmulas matemáticas são facilmente inseridas no site na forma de imagens que o Wolfram Alpha gera automaticamente. Além da simplicidade, esse método universal ajudará a melhorar a visibilidade do site nos mecanismos de pesquisa. Funciona há muito tempo (e acho que funcionará para sempre), mas está moralmente desatualizado.

Se você estiver constantemente usando fórmulas matemáticas em seu site, recomendo que você use MathJax, uma biblioteca JavaScript especial que exibe notação matemática em navegadores da Web usando marcação MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.

Existem duas maneiras de começar a usar o MathJax: (1) usando um código simples, você pode conectar rapidamente um script MathJax ao seu site, que será carregado automaticamente de um servidor remoto no momento certo (lista de servidores); (2) carregue o script MathJax de um servidor remoto para o seu servidor e conecte-o a todas as páginas do seu site. O segundo método é mais complexo e demorado e permitirá que você acelere o carregamento das páginas do seu site, e se o servidor MathJax pai ficar temporariamente indisponível por algum motivo, isso não afetará seu próprio site de forma alguma. Apesar dessas vantagens, optei pelo primeiro método, por ser mais simples, rápido e não exigir habilidades técnicas. Siga meu exemplo e em 5 minutos você poderá usar todos os recursos do MathJax em seu site.

Você pode conectar o script da biblioteca MathJax de um servidor remoto usando duas opções de código retiradas do site principal do MathJax ou da página de documentação:

Uma dessas opções de código precisa ser copiada e colada no código da sua página da web, de preferência entre as tags E ou logo após a tag . De acordo com a primeira opção, o MathJax carrega mais rápido e torna a página menos lenta. Mas a segunda opção rastreia e carrega automaticamente as versões mais recentes do MathJax. Se você inserir o primeiro código, ele precisará ser atualizado periodicamente. Se você colar o segundo código, as páginas carregarão mais lentamente, mas você não precisará monitorar constantemente as atualizações do MathJax.

A maneira mais fácil de conectar o MathJax é no Blogger ou WordPress: no painel de controle do site, adicione um widget projetado para inserir código JavaScript de terceiros, copie a primeira ou a segunda versão do código de carregamento acima e coloque o widget mais próximo de o início do modelo (aliás, isso não é necessário , pois o script MathJax é carregado de forma assíncrona). Isso é tudo. Agora aprenda a sintaxe de marcação MathML, LaTeX e ASCIIMathML e você estará pronto para incorporar fórmulas matemáticas em suas páginas da web.

Qualquer fractal é construído de acordo com uma determinada regra, que é aplicada consistentemente um número ilimitado de vezes. Cada um desses tempos é chamado de iteração.

O algoritmo iterativo para a construção de uma esponja Menger é bastante simples: o cubo original com lado 1 é dividido por planos paralelos às suas faces em 27 cubos iguais. Um cubo central e 6 cubos adjacentes a ele ao longo das faces são removidos dele. Acontece um conjunto composto por 20 cubos menores restantes. Fazendo o mesmo com cada um desses cubos, obtemos um conjunto composto por 400 cubos menores. Continuando esse processo indefinidamente, obtemos a esponja Menger.

Na teoria das séries funcionais, a seção dedicada à expansão de uma função em uma série ocupa um lugar central.

Assim, o problema é colocado: para uma dada função é necessário encontrar tal série de potências

que convergiram em algum intervalo e sua soma foi igual a
, aqueles.

= ..

Esta tarefa é chamada o problema de expandir uma função em uma série de potências.

Uma condição necessária para a expansão de uma função em uma série de potênciasé a sua diferenciabilidade um número infinito de vezes - isso decorre das propriedades das séries de potências convergentes. Esta condição é satisfeita, via de regra, para funções elementares em seu domínio de definição.

Então, vamos supor que a função
tem derivadas de qualquer ordem. Pode ser expandido em uma série de potências, em caso afirmativo, como encontrar essa série? A segunda parte do problema é mais fácil de resolver, então vamos começar com ela.

Vamos supor que a função
pode ser representado como a soma de uma série de potências convergindo em um intervalo contendo um ponto x 0 :

= .. (*)

Onde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – coeficientes incertos (ainda).

Vamos colocar em igualdade (*) o valor x = x 0 , então nós pegamos

Diferenciamos a série de potências (*) termo a termo

= ..

e colocando aqui x = x 0 , Nós temos

Com a próxima diferenciação, obtemos a série

= ..

assumindo x = x 0 , Nós temos
, onde
.

Depois P-diferenciação dobrada obtemos

Assumindo na última igualdade x = x 0 , Nós temos
, onde

Então os coeficientes são encontrados

,
,
, …,
,….,

substituindo which em uma linha (*), obtemos

A série resultante é chamada perto de taylor para função
.

Assim, estabelecemos que se a função pode ser expandida em uma série de potências em potências (x - x 0 ), então essa expansão é única e a série resultante é necessariamente uma série de Taylor.

Observe que a série de Taylor pode ser obtida para qualquer função que tenha derivadas de qualquer ordem no ponto x = x 0 . Mas isso ainda não significa que um sinal de igual pode ser colocado entre a função e a série resultante, ou seja, que a soma da série é igual à função original. Em primeiro lugar, tal igualdade só pode fazer sentido na região de convergência, e a série de Taylor obtida para a função pode divergir e, em segundo lugar, se a série de Taylor convergir, sua soma pode não coincidir com a função original.

3.2. Condições suficientes para a expansão de uma função em uma série de Taylor

Vamos formular uma declaração com a ajuda da qual o problema declarado será resolvido.

Se a função
em alguma vizinhança do ponto x 0 tem derivadas até (n+ 1)-ésima ordem inclusive, então nesta vizinhança temosFórmula Taylor

OndeR n (x)- termo residual da fórmula de Taylor - tem a forma (forma de Lagrange)

Onde pontoξ fica entre x e x 0 .

Observe que há uma diferença entre a série de Taylor e a fórmula de Taylor: a fórmula de Taylor é uma soma finita, ou seja, P- Número fixo.

Lembre-se que a soma da série S(x) pode ser definido como o limite da sequência funcional de somas parciais S P (x) em algum intervalo x:

De acordo com isso, expandir uma função em uma série de Taylor significa encontrar uma série tal que para qualquer xx

Escrevemos a fórmula de Taylor na forma em que

notar que
define o erro que obtemos, substitua a função f(x) polinomial S n (x).

Se
, Que
,aqueles. a função se expande em uma série de Taylor. Reciprocamente, se
, Que
.

Assim, temos provado critério para a expansão de uma função em uma série de Taylor.

Para que em algum intervalo a funçãof(x) se expande em uma série de Taylor, é necessário e suficiente que neste intervalo
, OndeR n (x) é o restante da série de Taylor.

Com a ajuda do critério formulado, pode-se obter suficientecondições para a expansão de uma função em uma série de Taylor.

Se emalguma vizinhança do ponto x 0 os valores absolutos de todas as derivadas de uma função são limitados pelo mesmo número M≥ 0, ou seja

, To nesta vizinhança, a função se expande em uma série de Taylor.

Do exposto segue algoritmoexpansão de função f(x) em uma série de Taylor nas proximidades do ponto x 0 :

1. Encontrando funções derivadas f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. Calculamos o valor da função e os valores de suas derivadas no ponto x 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Escrevemos formalmente a série de Taylor e encontramos a região de convergência da série de potências resultante.

4. Verificamos o cumprimento de condições suficientes, ou seja, estabelecer para que x da região de convergência, termo restante R n (x) tende a zero em
ou
.

A expansão de funções em uma série de Taylor de acordo com este algoritmo é chamada expansão de uma função em uma série de Taylor por definição ou decomposição direta.

Como inserir fórmulas matemáticas no site?

Você pode conectar o script da biblioteca MathJax de um servidor remoto usando duas opções de código retiradas do site principal do MathJax ou da página de documentação:

Qualquer fractal é construído de acordo com uma determinada regra, que é aplicada consistentemente um número ilimitado de vezes. Cada um desses tempos é chamado de iteração.

Se a função f(x) tem em algum intervalo contendo um ponto A, derivadas de todas as ordens, então a fórmula de Taylor pode ser aplicada a ela:

Onde rn- o chamado termo residual ou resto da série, pode ser estimado pela fórmula de Lagrange:

, onde o número x está entre x E A.

Se por algum valor x r n®0 em n®¥, então no limite a fórmula de Taylor para este valor se transforma em uma fórmula convergente série taylor:

então a função f(x) pode ser expandido em uma série de Taylor no ponto considerado x, Se:

1) possui derivativos de todas as ordens;

2) a série construída converge neste ponto.

No A=0 obtemos uma série chamada perto de Maclaurin:

Exemplo 1 f(x)= 2x.

Solução. Vamos encontrar os valores da função e suas derivadas em x=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x Em 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Substituindo os valores obtidos das derivadas na fórmula da série de Taylor, obtemos:

O raio de convergência desta série é igual ao infinito, então esta expansão é válida para -¥<x<+¥.

Exemplo 2 x+4) para a função f(x)= e x.

Solução. Encontrando as derivadas da função e x e seus valores no ponto x=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Portanto, a série de Taylor desejada da função tem a forma:

Esta decomposição também é válida para -¥<x<+¥.

Exemplo 3 . Expandir função f(x)=ln x em uma série por graus ( X- 1),

(ou seja, em uma série de Taylor nas proximidades do ponto x=1).

Solução. Achamos as derivadas dessa função.

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos a série de Taylor desejada:

Com a ajuda do teste de d'Alembert, pode-se verificar que a série converge quando

½ X- 1½<1. Действительно,

A série converge se ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При x=2 obtemos uma série alternada que satisfaz as condições do teste de Leibniz. No x=0 função não está definida. Assim, a região de convergência da série de Taylor é o intervalo semiaberto (0;2].

Apresentamos as expansões assim obtidas na série de Maclaurin (ou seja, numa vizinhança do ponto x=0) para algumas funções elementares:

(2) ,

(3) ,

( a última expansão é chamada série binomial)

Exemplo 4 . Expanda a função em uma série de potências

Solução. Na decomposição (1), substituímos x sobre - x 2, obtemos:

Exemplo 5 . Expanda a função em uma série de Maclaurin

Solução. Nós temos

Usando a fórmula (4), podemos escrever:

substituindo em vez de x na fórmula -X, Nós temos:

A partir daqui encontramos:

Expandindo os colchetes, rearranjando os termos da série e fazendo uma redução dos termos semelhantes, obtemos

Esta série converge no intervalo

(-1;1) pois é derivada de duas séries, cada uma das quais converge neste intervalo.

Comente .

As fórmulas (1)-(5) também podem ser usadas para expandir as funções correspondentes em uma série de Taylor, ou seja, para a expansão de funções em potências inteiras positivas ( ha). Para fazer isso, é necessário realizar tais transformações idênticas em uma determinada função para obter uma das funções (1) - (5), na qual, em vez de x custos k( ha) m , onde k é um número constante, m é um número inteiro positivo. Muitas vezes é conveniente mudar a variável t=ha e expanda a função resultante em relação a t na série de Maclaurin.

Este método ilustra o teorema da unicidade da expansão de uma função em uma série de potências. A essência deste teorema é que nas proximidades do mesmo ponto não podem ser obtidas duas séries de potências diferentes que convergiriam para a mesma função, não importa como sua expansão seja realizada.

Exemplo 6 . Expanda a função em uma série de Taylor em uma vizinhança de um ponto x=3.

Solução. Este problema pode ser resolvido, como antes, usando a definição da série de Taylor, para a qual é necessário encontrar as derivadas das funções e seus valores em x=3. No entanto, será mais fácil usar a decomposição existente (5):

A série resultante converge em ou -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Exemplo 7 . Escreva uma série de Taylor em potências ( x-1) características .

Solução.

A série converge em , ou 2< x£ 5.

Série de Fourier de funções periódicas de período 2π.

A série de Fourier permite estudar funções periódicas decompondo-as em componentes. Correntes e tensões alternadas, deslocamentos, velocidade e aceleração de mecanismos de manivela e ondas acústicas são exemplos práticos típicos da aplicação de funções periódicas em cálculos de engenharia.

A expansão da série de Fourier é baseada na suposição de que todas as funções de importância prática no intervalo -π ≤ x ≤ π podem ser expressas como séries trigonométricas convergentes (uma série é considerada convergente se a sequência de somas parciais composta por seus membros converge) :

Notação padrão (=usual) através da soma de senx e cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 senx+b 2 sen2x+b 3 sen3x+...,

onde a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. são constantes reais, ou seja,

Onde, para o intervalo de -π a π, os coeficientes da série de Fourier são calculados pelas fórmulas:

Os coeficientes a o , a n e b n são chamados Coeficientes de Fourier, e se eles puderem ser encontrados, então a série (1) é chamada perto de Fourier, correspondente à função f(x). Para a série (1), o termo (a 1 cosx+b 1 senx) é chamado de primeiro ou gaita principal,

Outra maneira de escrever uma série é usar a relação acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Onde a o é uma constante, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 são as amplitudes dos vários componentes e é igual a a n \ u003d arctg a n /b n.

Para a série (1), o termo (a 1 cosx + b 1 senx) ou c 1 sen (x + α 1) é chamado de primeiro ou gaita principal,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) ou c 2 sin(2x+α 2) é chamado segundo harmônico e assim por diante.

Para representar com precisão um sinal complexo, geralmente é necessário um número infinito de termos. Entretanto, em muitos problemas práticos é suficiente considerar apenas os primeiros termos.

Série de Fourier de funções não periódicas de período 2π.

Decomposição de funções não periódicas.

Se a função f(x) for não periódica, então ela não pode ser expandida em uma série de Fourier para todos os valores de x. No entanto, é possível definir uma série de Fourier representando uma função em qualquer faixa de largura 2π.

Dada uma função não periódica, pode-se compor uma nova função escolhendo valores de f(x) dentro de um determinado intervalo e repetindo-os fora desse intervalo em intervalos de 2π. Como a nova função é periódica com período de 2π, ela pode ser expandida em uma série de Fourier para todos os valores de x. Por exemplo, a função f(x)=x não é periódica. No entanto, se for necessário expandi-lo em uma série de Fourier no intervalo de 0 a 2π, então uma função periódica com período de 2π é construída fora desse intervalo (conforme mostrado na figura abaixo).

Para funções não periódicas como f(x)=x, a soma da série de Fourier é igual ao valor de f(x) em todos os pontos do intervalo dado, mas não é igual a f(x) para pontos fora da faixa. Para encontrar a série de Fourier de uma função não periódica no intervalo 2π, usa-se a mesma fórmula dos coeficientes de Fourier.

Funções pares e ímpares.

Eles dizem que a função y=f(x) até se f(-x)=f(x) para todos os valores de x. Gráficos de funções pares são sempre simétricos em relação ao eixo y (ou seja, são espelhados). Dois exemplos de funções pares: y=x 2 e y=cosx.

Eles dizem que a função y=f(x) chance, se f(-x)=-f(x) para todos os valores de x. Gráficos de funções ímpares são sempre simétricos em relação à origem.

Muitas funções não são nem pares nem ímpares.

Expansão em série de Fourier em cossenos.

A série de Fourier de uma função periódica par f(x) com período 2π contém apenas termos de cosseno (ou seja, não contém termos de seno) e pode incluir um termo constante. Por isso,

onde são os coeficientes da série de Fourier,

A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) com período 2π contém apenas termos com senos (ou seja, não contém termos com cossenos).

Por isso,

onde são os coeficientes da série de Fourier,

Série de Fourier em um semiciclo.

Se uma função é definida para um intervalo, digamos 0 a π, e não apenas 0 a 2π, ela pode ser expandida em uma série apenas em termos de senos ou apenas em termos de cossenos. A série de Fourier resultante é chamada perto de Fourier em meio ciclo.

Se você deseja obter uma decomposição Fourier em um meio ciclo em cossenos funções f(x) no intervalo de 0 a π, então é necessário compor uma função periódica par. Na fig. abaixo está a função f(x)=x construída no intervalo de x=0 a x=π. Como a função par é simétrica em relação ao eixo f(x), desenhamos a linha AB, conforme mostrado na Fig. abaixo. Se assumirmos que fora do intervalo considerado, a forma triangular resultante é periódica com um período de 2π, então o gráfico final tem a forma, display. na fig. abaixo. Como é necessário obter a expansão de Fourier em cossenos, como antes, calculamos os coeficientes de Fourier a o e an

Se você precisa obter Expansão de Fourier de meio ciclo senoidal função f(x) no intervalo de 0 a π, então é necessário compor uma função periódica ímpar. Na fig. abaixo está a função f(x)=x construída no intervalo de x=0 a x=π. Como a função ímpar é simétrica em relação à origem, construímos a linha CD, conforme mostrado na Fig. Se assumirmos que fora do intervalo considerado, o sinal dente de serra recebido é periódico com período de 2π, então o gráfico final tem a forma mostrada na Fig. Como é necessário obter a expansão de Fourier em um meio ciclo em termos de senos, como antes, calculamos o coeficiente de Fourier. b

Série de Fourier para um intervalo arbitrário.

Expansão de uma função periódica com período L.

A função periódica f(x) se repete à medida que x aumenta em L, ou seja, f(x+L)=f(x). A transição das funções de período 2π consideradas anteriormente para funções de período L é bastante simples, pois pode ser feita por meio de uma mudança de variável.

Para encontrar a série de Fourier da função f(x) no intervalo -L/2≤x≤L/2, introduzimos uma nova variável u de modo que a função f(x) tenha um período de 2π em relação a u. Se u=2πx/L, então x=-L/2 para u=-π ex=L/2 para u=π. Seja também f(x)=f(Lu/2π)=F(u). A série de Fourier F(u) tem a forma

(Os limites de integração podem ser substituídos por qualquer intervalo de comprimento L, por exemplo, de 0 a L)

Série de Fourier em semiciclo para funções dadas no intervalo L≠2π.

Para a substituição u=πx/L, o intervalo de x=0 a x=L corresponde ao intervalo de u=0 a u=π. Portanto, a função pode ser expandida em uma série apenas em termos de cossenos ou apenas em termos de senos, ou seja, V Série de Fourier em um meio ciclo.

A expansão em cossenos no intervalo de 0 a L tem a forma

Portal para o aluno. Autotreinamento

3.2. Condições suficientes para a expansão de uma função em uma série de Taylor

ARTIGOS RELACIONADOS