1. A programação de um dia contém 5 aulas. Determine o número de tais horários ao escolher entre onze disciplinas.
2. A comissão é composta por um presidente, seu vice e outras cinco pessoas. De quantas maneiras os membros da comissão podem distribuir tarefas entre si.
3. De quantas maneiras podem ser escolhidos três atendentes de um grupo de 20 pessoas?
4. Quantas combinações de sons diferentes podem ser feitas em dez teclas de piano selecionadas, se cada combinação de som pode conter de três a dez sons.
5. Há 10 cravos vermelhos e 5 rosas em um vaso. De quantas maneiras podemos escolher cinco cravos da mesma cor de um vaso?
6. Os números das rotas dos bondes às vezes são indicados por duas luzes coloridas. Quantas rotas diferentes podem ser marcadas usando lanternas de oito cores.
7. De um grupo de 15 pessoas, são selecionados quatro participantes da corrida de revezamento 800 + 400 + 200 + 100. De quantas maneiras os atletas podem ser colocados nas etapas do revezamento.
8. Uma equipe de cinco compete em uma competição de natação com 20 outros atletas. De quantas maneiras podem ser distribuídos os lugares ocupados pelos membros desta equipe.
9. De um grupo de 12 pessoas, dois atendentes são selecionados diariamente durante 6 dias. Determine o número de listas de tarefas diferentes se cada pessoa estiver de serviço uma vez.
Questões para discussão no fórum
1. Resolução de problemas de combinatória.
Lista de literatura adicional:
1. Gorbatov V.A. Fundamentos de matemática discreta. M.: Escola superior, 2000. - 544 p.
2. V. A. Kofman, Introdução à combinatória aplicada. M.: Rádio e comunicação, 1982. 431s.
Seminário №7. Teoria dos grafos
O objetivo da oficina:
Considerar questões relacionadas com a aplicação prática da teoria dos grafos na tomada de decisões.
Plano de aula:
Semina é dedicada à teoria dos grafos. O primeiro tópico são os conceitos básicos e operações em grafos, depois o tópico é dedicado a rotas e árvores. A oficina é de 2 horas.
Tarefa 1. A Figura 7.1 mostra gráficos - com quatro vértices em cada um. Compare gráficos.
Arroz. 7.1. Contagens -
Solução.
Os resultados da comparação de gráficos são os seguintes:
não orientado;
Orientado;
Completo, e = ;
Não está completo, pois embora cada par de vértices seja conectado por uma aresta, existe um laço. Às vezes, um grafo completo é um grafo com laços em todos os vértices, cada par é conectado por uma aresta. O gráfico não atende a essa definição.
Todos os vértices deste grafo são isolados (um grafo com um conjunto vazio de arestas, ou seja, 0);
E eles se complementam: = e = ;
Multigrafo porque contém várias arestas uma e b, assim como e e f;
Dirigido, correspondendo canonicamente a um grafo não dirigido;
E não é igual, pois possuem arestas diferentes (4,1) - e (1,4) em ;
Multigrafo direcionado: arestas uma e b são múltiplos, enquanto não é um multigrafo, uma vez que as arestas nele uma e b orientado de forma diferente.
Tarefa 2. Quais são os graus dos vértices dos gráficos da Fig. 7.2.
Arroz. 7.2. Contagens e
Solução.
Ambos os grafos têm quatro vértices: . Graus de vértices de um grafo não direcionado: , , , , se concordarmos em considerar a contribuição do laço para o grau do vértice. A soma dos graus de todos os vértices do gráfico é 14, ou seja, duas vezes o número de arestas no gráfico:
Onde m=7 é o número de arestas do gráfico.
Graus de vértices de um grafo direcionado:
As somas dos graus dos vértices do primeiro e do segundo tipo de gráfico coincidem e são iguais ao número m arestas do gráfico: .
Tarefa 3. Na fig. 7.3 mostra um gráfico de rede (modelo de rede) para realizar um conjunto de operações (trabalhos) de um determinado programa. Nela, as setas indicam operações, vértices - eventos que caracterizam o fim de alguns trabalhos e o início de outros. A direção das setas reflete a sequência desses eventos. Defina um gráfico de rede de várias maneiras.
Arroz. 7.3. gráfico de rede
Solução.
O modelo de rede representado é um gráfico direcionado que pode ser totalmente especificado de várias maneiras:
1) graficamente (ver figura acima);
2) especificando dois conjuntos: e ;
3) a matriz de incidência (Tabela 7.1). Uma característica do modelo de rede é que as setas saem do evento inicial 1 e entram apenas no evento final 6. Portanto, na primeira linha da matriz de incidência há unidades apenas com sinal negativo e na última linha apenas com sinal positivo;
Tabela 7.1. Matriz de incidência
4) matriz de adjacência (Tabela 7.2). Pelo motivo indicado no parágrafo 3, apenas zeros são colocados na última linha da matriz de adjacência;
Tabela 7.2. Matriz de adjacência
5) a lista de arestas define um grafo de rede de maneira óbvia, pois as arestas do grafo são denotadas por seus vértices finais. Neste caso, os números dos vértices indicados na coluna "arestas" serão repetidos na coluna "vértices" da lista, e na sequência em que as setas - arestas são indicadas neste caso.
Tarefa 4. Faça os gráficos da Fig. 7.4 abaixo são ciclos hamiltonianos, cadeias.
Arroz. 7.4. Contagens e
Solução.
Um ciclo hamiltoniano como um ciclo simples que passa por todos os vértices do grafo existe no grafo - ele vai ao longo das arestas ( a, b, c, d, e, f, g, q, n, m, l, h, a). Há também uma cadeia hamiltoniana em B, para a qual basta remover qualquer aresta no ciclo hamiltoniano.
Não há ciclo hamiltoniano em um grafo: para percorrer os vértices a, b, c o triângulo externo do gráfico deve conter todas as arestas situadas nesses lados, mas não passa pelo vértice localizado no centro do triângulo d.No entanto, existe uma cadeia hamiltoniana no grafo, por exemplo, com o início no vértice uma, o fim d e uma sequência de arestas conectando os vértices a, f, b, g, c, e, d.
Tarefa 5. Problema do caminho mais curto. Qual é o caminho mais curto para ir de um vértice do grafo para outro. Em termos de gestão da produção: como ir do ponto A ao ponto B da forma mais curta (e, portanto, com o menor consumo de combustível e tempo) vértice de início a vértice de fim. Considere o gráfico mostrado na Fig. 7.5.
Arroz. 7.5. Gráfico
A situação pode ser descrita não apenas por um gráfico direcionado com pesos atribuídos aos arcos, mas também por uma tabela (ver tabela abaixo). Nesta tabela, dois vértices - o início do caminho e o final do caminho - estão associados ao tempo de viagem. Na tabela. 7.3 considera caminhos sem paradas intermediárias. Rotas mais complexas são compostas de segmentos elementares listados na tabela.
Tabela 7.3. Dados iniciais para o problema do caminho mais curto.
A pergunta é feita no problema: como ir do vértice 1 ao vértice 4 da maneira mais curta.
Solução. Vamos introduzir a notação: A PARTIR DE(T) - comprimento do caminho mais curto do vértice 1 ao vértice T. (Como qualquer caminho a ser considerado consiste em arcos, e há um número finito de arcos, e cada arco entra no máximo uma vez, há um número finito de candidatos para o caminho mais curto, e o mínimo de um número finito de elementos é sempre alcançado .) O problema em consideração é calcular A PARTIR DE(4) e uma indicação do caminho no qual esse mínimo é atingido.
Para os dados iniciais apresentados na fig. acima e na tabela. acima, apenas uma seta entra no vértice 3, apenas a partir do vértice 1, e próximo a essa seta há seu comprimento igual a 1, portanto A PARTIR DE(3) = 1. Além disso, é óbvio que A PARTIR DE(1) = 0.
Você pode chegar ao vértice 4 a partir do vértice 2, percorrendo um caminho igual a 4, ou do vértice 5, percorrendo um caminho igual a 5. Portanto, a relação
A PARTIR DE(4) = min(С(2) + 4; A PARTIR DE(5) + 5}.
Assim, a reestruturação (simplificação) do problema foi realizada - a determinação С(4) foi reduzida à descoberta С(2) e A PARTIR DE(5).
Você pode chegar ao vértice 5 a partir do vértice 3, percorrendo um caminho igual a 2, ou do vértice 6, percorrendo um caminho igual a 3. Portanto, a relação
A PARTIR DE(5) = min ( A PARTIR DE(3) + 2; A PARTIR DE(6) + 3}.
Nós sabemos isso A PARTIR DE(3) = 1. Portanto
A PARTIR DE(5) = min(3; A PARTIR DE(6) + 3}.
Já que é óbvio que A PARTIR DE(6) é um número positivo, então segue da última relação que A PARTIR DE(5) = 3.
Você pode chegar ao vértice 2 tanto do vértice 1, percorrendo um caminho igual a 7, ou do vértice 3, percorrendo um caminho igual a 5, ou do vértice 5, percorrendo um caminho igual a 2. Portanto, a relação
A PARTIR DE(2) = min (С(1) + 7; С(3) + 5; A PARTIR DE(5) + 2}.
Nós sabemos isso A PARTIR DE(1) = 0, A PARTIR DE(3) = 1, A PARTIR DE(5) = 3. Portanto
A PARTIR DE(2) = min(0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) = 5.
Agora podemos encontrar A PARTIR DE(4):
A PARTIR DE(4) = min ( A PARTIR DE(2) + 4; A PARTIR DE(5) + 5) = min(5 + 4; 3 + 5) = 8.
Assim, o comprimento do caminho mais curto é 8. Fica claro pela última relação que se deve ir do vértice 4 ao vértice 5. Voltando ao cálculo A PARTIR DE(5), vemos que devemos ir do vértice 5 pelo vértice 3. E podemos chegar ao vértice 3 apenas a partir do vértice 1. Assim, o caminho mais curto é o seguinte:
1 → 3 → 5 → 4 .
Tarefa 6. O problema do fluxo máximo: como (ou seja, em quais rotas) enviar a maior quantidade possível de mercadorias do ponto de partida ao ponto final, se a capacidade dos caminhos entre os pontos for limitada.
Para resolver este problema, cada arco do grafo direcionado correspondente ao sistema de transporte deve ser associado a um número - a capacidade desse arco. Considere o gráfico da Fig. 7.6.
Arroz. 7.6. Gráfico
Os dados iniciais sobre o sistema de transporte, por exemplo, na planta, mostrados na fig. 7.6., Você também pode definir a tabela na Tabela 7.4.
Tabela 7.4. Dados iniciais para o problema do caminho mais curto.
Solução.
A solução do problema de fluxo máximo pode ser obtida a partir das seguintes considerações.
Obviamente, a capacidade máxima do sistema de transporte não excede 6, pois não podem ser enviadas mais de 6 unidades de carga do ponto de partida 0, ou seja, 2 unidades para o ponto 1, 3 unidades para o ponto 2 e 1 unidade para o ponto 3 .
Em seguida, é necessário garantir que todas as 6 unidades de carga que saem do ponto 0 cheguem ao ponto final 4. Obviamente, 2 unidades de carga que chegaram ao ponto 1 podem ser enviadas diretamente ao ponto 4. As mercadorias que chegaram ao ponto 2 terão a ser dividido: 2 unidades enviadas imediatamente para o ponto 4, e 1 unidade - para o ponto intermediário 3 (devido à capacidade limitada do trecho entre os pontos 2 e 4). As seguintes cargas foram entregues no ponto 3: 1 unidade do ponto 0 e 1 unidade do ponto 2. Enviamos para o ponto 4.
Assim, a capacidade máxima do sistema de transporte considerado é de 6 unidades de carga. Ao mesmo tempo, não são utilizados trechos internos (ramificações) entre os pontos 1 e 2, bem como entre os pontos 1 e 3. O ramal entre os pontos 1 e 4 não está totalmente carregado - 2 unidades de carga são enviadas junto com um rendimento de 3 unidades.
A solução pode ser apresentada na forma de uma tabela. 7.5.
Tabela 7.5. Resolvendo o problema de fluxo máximo
Omnibus N 9-10 2007.
Alma do mar das luzes da rota.
O misterioso é a tradição. A princípio, eles a observam cuidadosamente, tentando resistir a todas as nuances, levando-a à superstição, então de repente descobrem que ela não corresponde às expectativas colocadas nela, não atende à lógica, não tem justificativa científica - e quebra com a tradição, e posteriormente noto com tristeza que com ela Perdeu algo belo e necessário. . .
Mais recentemente, havia uma tradição de dar às rotas de bonde não apenas uma designação digital, mas também colorida - as luzes da rota eram acesas em ambos os lados do número da rota, na frente e atrás do carro. As ruas com tráfego de bonde se distinguiam por uma elegância especial e festiva, motoristas, passageiros, trabalhadores de via, despachantes e comutadores eram guiados pelas luzes da rota no fluxo do bonde, muitos não conseguiam imaginar um bonde sem luzes coloridas. O sistema de luzes de rota de Moscou foi construído em uma correspondência um-para-um entre números e cores. "1" é sempre vermelho, "2" é verde, "5" é verde-oliva, "7" é azul e assim por diante. Mas em Leningrado, as luzes "falaram" em uma língua diferente, e sua leitura "em Moscou" na maioria das vezes levava ao absurdo, pois não havia 10 luzes, como em Moscou, mas apenas cinco. Eles diferiam bem, e suas combinações sempre pareciam muito bonitas. No entanto, de cinco luzes, 25 combinações diferentes de duas são possíveis, enquanto as rotas em São Petersburgo-Leningrado acabaram se tornando cerca de 70, para que os sinais das rotas pudessem ser repetidos. Por exemplo, dois brancos - 9, 43; vermelho e amarelo - 1, 51, 64; azul e vermelho - 33, 52, 54; dois vermelhos - 5, 36, 39, 45, 47. E apenas a rota N 20 foi designada da mesma maneira de acordo com os sistemas de Moscou e São Petersburgo: verde e branco.
Aconteceu que as luzes da rota em São Petersburgo mudaram. Se acontecesse que depois de alterar uma das rotas funcionasse em um trecho suficientemente longo com outra rota com as mesmas cores, uma dessas rotas teria que alterar a composição das luzes.
A rota N 4 costumava ir da ilha dos dezembristas ao cemitério de Volkov e era indicada por duas luzes amarelas (laranjas). Em seguida, o percurso foi fechado e com o mesmo número foi aberto em outro local com luzes diferentes: azul + azul, pois tinha um trecho comum com o 35º bonde (dois amarelos).
A Rota N 43 originalmente tinha luzes: vermelho + branco. Quando alargado ao porto em 1985, os semáforos mudaram: branco + branco, pois o percurso passou a partilhar um troço com o eléctrico N 28 (vermelho + branco). A Rota 3 foi marcada com as cores verde e branca. Quando as luzes foram restauradas em 2007, a combinação foi alterada para amarelo + verde. Ao mesmo tempo, as combinações em várias outras rotas também mudaram: 48 (era: branco + branco, agora: azul + azul); 61 (era: branco + branco, agora: branco + amarelo), etc.
O sistema de luzes de rota de São Petersburgo, tão simples na aparência e tão intrincado, está conectado com a tradição, em primeiro lugar, das cidades europeias de bonde. Assim, já em 1907, uma carta ao jornal Novoye Vremya continha um pedido dos "habitantes da ilha Vasilevsky" para introduzir luzes coloridas nos bondes, "como fazem no exterior, em particular em Frankfurt am Main". Atualmente, os remanescentes dos antigos sistemas foram preservados na forma de iluminação diagonal colorida nos sinais de rota dos bondes em Amsterdã. Essa tradição, por sua vez, provavelmente remonta às luzes de navegação. Por que exatamente para o mar e não, digamos, para a ferrovia? Sim, porque as luzes da rota, como as luzes do mar, não proíbem nada, não forçam ninguém, mas simplesmente ajudam a se orientar no escuro.
As luzes da navegação marítima são decifradas em livros marítimos especiais - direções de navegação dos mares. As luzes da rota também são descritas nos guias da cidade. O primeiro deles foi o "Guia móvel dos bondes de São Petersburgo", publicado pela editora E.I. Marco (1910).
A composição das cores usadas nas luzes da rota de São Petersburgo (branco, vermelho, laranja ou amarelo, verde, azul) difere pouco das cores das luzes do mar (branco, vermelho, laranja, verde, azul, roxo).
Olhando de perto, você pode encontrar outras semelhanças, mas é muito mais importante entender por que um sistema tão não rigoroso de luzes de rota se enraizou na prudente Petersburgo, exigindo ajustes constantes. A resposta é simples: afinal, São Petersburgo é uma cidade litorânea, e a severidade das formas arquitetônicas e a frivolidade do carnaval são igualmente características dela, o que significa que as cores alegres das luzes da rota também são características.
Em 2007, a tradição tomou um novo rumo. Agora os carros estão equipados com lâmpadas LED para luzes de rota. Eles brilharão não apenas no crepúsculo da tarde, mas também na luz do dia.
Tarefa número 3. Tabela 26 Opção Nº Trabalho
Tabela 26
c) O metrô faz 16 paradas onde todos os passageiros descem. De quantas maneiras 100 passageiros podem embarcar no trem na parada final ser distribuídos entre essas paradas?
ELEMENTOS DE COMBINATÓRIA.
Regras de soma e produto.
Combinatória (ou teoria composta) é um ramo da matemática que estuda questões sobre quantas combinações diferentes que satisfazem certas condições podem ser feitas a partir de determinados objetos.
No caso em que a interseção dos conjuntos A e B não é vazia, vale a seguinte igualdade: n(AÈB) = n(A) + n(B) – n(AÇB).
O número de elementos na união de três conjuntos pode ser encontrado pela fórmula
n(AÈBÈC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(AÇB) -n(AÇC) - n(BÇC) - - n(AÇBÇC)
Exemplo. Dos 40 alunos do grupo, 35 foram aprovados no exame em matemática e 37 em russo. Dois alunos obtiveram notas insatisfatórias em ambas as disciplinas. Quantos alunos têm dívida acadêmica?
Solução. Seja A o conjunto de alunos que obtiveram nota insatisfatória em matemática, então n(A) = 40 - 35 = 5; e B é o conjunto de alunos que receberam nota insatisfatória na língua russa, então n(B) = 40 - 37 = 3. Então o número de alunos com dívida acadêmica é n(AÈB). Portanto, n(AÈB) = n(A) + n(B) - n(AÇB) = 5 + 3 – 2 = 6.
Se AÇB = Æ, então n(AÈB) = n(A) + n(B)
regra de soma e é formulado da seguinte forma: se o elemento x pode ser escolhido de k maneiras, e o elemento y de m maneiras e, e nenhuma maneira de escolher o elemento x é igual a qualquer maneira de escolher o elemento y, então a escolha de "x ou y" pode ser feito de k + m maneiras.
Para conjuntos, também temos n(А´В) = n(А) × n(В)
Em combinatória, essa regra é chamada Regra do produto e é formulado da seguinte forma: se o elemento x pode ser escolhido de k maneiras, e se após cada escolha o elemento y pode ser escolhido de m maneiras, então a escolha de um par ordenado (x, y), ou seja, o a escolha "e x, e y" pode ser feita de k × m maneiras.
Exemplo. Existem 3 estradas da cidade A para a cidade B e 2 estradas da B para C. Quantas maneiras existem para viajar de A a C via B?
Solução. Se denotarmos os números 1, 2, 3 e as estradas de B a C - as letras x e y, cada opção do caminho de A a C é dada por um par ordenado de números e letras. Mas podemos escolher um número de três maneiras e uma letra de duas maneiras, então o número desses pares ordenados é 3 × 2 = 6.
Acomodações.
Seja n(A) = m. Uma tupla de comprimento k (k £ m), cujos componentes são elementos do conjunto A, e todos os componentes são distintos aos pares, é chamado colocação sem repetição
Para qualquer conjunto A tal que n(A) = m, o número de arranjos possíveis de m elementos por k é denotado
E é calculado de acordo com a fórmula
Exemplo. 5 alunos e 15 alunos participam do torneio de xadrez. De quantas maneiras podem ser distribuídas as vagas ocupadas pelos escolares no torneio se se sabe que dois participantes não marcaram o mesmo número de pontos?
Solução. No total, são 20 participantes no torneio. Consequentemente, de 20 lugares, os escolares pertencem a 5. Portanto, a solução do problema está associada à formação de todas as tuplas possíveis de comprimento 5 a partir dos elementos do conjunto, no qual existem 20 elementos, ou seja, estamos falando sobre posicionamentos sem repetições de 20 elementos de 5 elementos.
Seja n(A) = m. Uma tupla de comprimento k, cujos componentes são elementos do conjunto A, é chamada colocação com repetições de m elementos para k elementos.
Para qualquer conjunto A tal que n(A) = m, o número de arranjos possíveis com repetições de m elementos por k é denotado e calculado pela fórmula .
Exemplo. São 5 cadeiras diferentes e 7 rolos de estofados em cores diferentes. De quantas maneiras as cadeiras podem ser estofadas?
Solução. Como as cadeiras são diferentes, cada estofamento é uma tupla de comprimento 5, composta por elementos de um determinado conjunto de cores de tecido, contendo 7 elementos. Isso significa que existem tantas formas de estofamento de cadeiras quantas são essas tuplas, ou seja, colocações com repetições de 7 elementos por 5. Obtemos .
Permutações.
Seja n(A) = m. Permutação sem repetição de m elementos qualquer conjunto ordenado de m-elementos é chamado.
O número de diferentes permutações de m elementos é igual ao produto de números naturais consecutivos de 1 a m inclusive, ou seja
Exemplo. Quantos números diferentes de cinco algarismos podem ser escritos usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 se nenhum algarismo no número for repetido duas vezes?
Solução. O número de todas as permutações possíveis de cinco dígitos é P 5 = 5!. E como o número zero não pode ocupar o primeiro lugar, o número desejado é:
P 5 - P 4 \u003d 5! - quatro! = 120 - 24 = 96.
permutação com repetições dos elementos a, b,…, l, em que esses elementos são repetidos m 1 , m 2 , ..., m k vezes, respectivamente, é chamado de tupla de comprimento m = m 1 + m 2 + ... + m k , entre os quais uma ocorre m 1 vezes, b- m 2 vezes e assim por diante eu- mk vezes.
O número de permutações com repetições é indicado pelo símbolo
Número de permutações diferentes com repetições de elementos a, b,…, l, em que esses elementos são repetidos m 1 , m 2 , ..., m k vezes, respectivamente, é determinado pela fórmula
Exemplo. Quantos números de oito algarismos podem ser escritos usando os números 1, 3, 5, desde que o número 1 seja repetido quatro vezes em cada número, os números 3 e 5 - 2 vezes cada?
Solução. O número desejado é o número de permutações diferentes com repetições dos números 1, 3, 5, em que o número 1 é repetido quatro vezes e os números 3 e 5 são repetidos duas vezes. Portanto, pela fórmula, temos: 
.
Combinações.
Qualquer subconjunto de k elementos de um conjunto de m elementos (k £ m) é chamado combinação sem repetição de m elementos por k.
O número de combinações diferentes de m elementos por k é indicado pelo símbolo
Exemplo. De quantas maneiras você pode escolher três atendentes entre 30 alunos?
Solução. Como a ordem de escolha dos atendentes não influencia, o problema é selecionar de um conjunto em que há 30 elementos de subconjuntos contendo três elementos cada, ou seja, combinações sem repetições de trinta elementos de três.
Consequentemente, 
.
Combinação com repetições de dados m diferentes tipos de elementos por k elementos, qualquer coleção contendo k elementos é chamada, cada um dos quais é um dos elementos dos tipos especificados.
O número de combinações diferentes com repetições de m elementos por k elementos será denotado pelo símbolo .
O número de combinações diferentes com repetições de m tipos de elementos para k elementos é determinado pela fórmula
Exemplo. Os correios vendem quatro tipos de cartões postais. De quantas maneiras 9 postais podem ser comprados aqui?
Solução. O número de maneiras de comprar cartões postais é igual ao número de combinações diferentes com repetições de 4 elementos por 9, ou seja, igual a 
.
O número de subconjuntos de um conjunto finito.
Seja n(A) = m.
O número de todos os subconjuntos do conjunto A é 2 n .
Exercício 6
1. Há 30 pessoas na turma freqüentando aulas opcionais de física e matemática. Sabe-se que 10 pessoas estudam a fundo as duas disciplinas e 25 pessoas estudam matemática.Quantas pessoas frequentam aulas opcionais apenas de física?
2. De 50 alunos, 20 falam alemão e 15 falam inglês. Qual poderia ser o número de alunos que conhecem os dois idiomas; conhecendo pelo menos um idioma?
3. De 100 pessoas, 28 estudam inglês, 30 – alemão, 10 – francês, 5 – alemão e francês, 15 – alemão e inglês, 6 – inglês e francês. Todos os três idiomas são estudados por 3 alunos. Quantos alunos estudam apenas uma língua? Quantos alunos não estudam nenhuma língua?
Tarefas para trabalho independente sobre o tema "Combinatória" .
1. A programação de um dia contém 5 aulas em diferentes disciplinas. Determine o número de tais horários ao escolher entre 11 assuntos.
2. A comissão é composta por um presidente, seu suplente e mais cinco pessoas. De quantas maneiras os membros da comissão podem distribuir entre si as funções de presidente e vice?
3. De quantas maneiras podem ser escolhidos três atendentes de um grupo de 20 pessoas?
4. Quantas combinações de sons diferentes podem ser feitas em dez teclas de piano selecionadas, se cada combinação de som pode conter de três a dez sons?
5. Em um vaso há 10 cravos vermelhos e 5 rosas. De quantas maneiras podemos escolher cinco cravos da mesma cor de um vaso?
6. Às vezes, os números das rotas dos bondes são indicados por duas luzes coloridas. Quantas rotas diferentes podem ser marcadas com lanternas de oito cores?
7. O campeonato, no qual participam 16 equipes, é realizado em duas rodadas (ou seja, cada equipe se defronta duas vezes). Determinar o número de reuniões a serem realizadas.
8. A fechadura só abre se um determinado número de três dígitos for discado. A tentativa consiste em digitar aleatoriamente três dígitos dos cinco dígitos dados. Era possível adivinhar o número apenas na última de todas as tentativas possíveis. Quantas tentativas houve antes de uma bem sucedida?
9. De um grupo de 15 pessoas, quatro participantes do revezamento são selecionados 800 + 400 + 200 + 100. De quantas maneiras os atletas podem ser colocados nas etapas do revezamento?
10. Uma equipe de cinco atletas compete em uma competição de natação com outros 20 atletas. De quantas maneiras podem ser distribuídos os lugares ocupados pelos membros dessa equipe?
11. De quantas maneiras duas torres podem ser colocadas em um tabuleiro de xadrez para que uma não possa capturar a outra? (Uma torre pode capturar outra se estiver na mesma fileira ou coluna no tabuleiro de xadrez com ela.)
12. Duas torres de cores diferentes são colocadas em um tabuleiro de xadrez para que cada uma possa capturar a outra. Quantos desses locais existem?
13. A ordem de apresentação de oito participantes na competição é determinada por sorteio. Quantos resultados diferentes do sorteio são possíveis?
14. Trinta pessoas estão divididas em três grupos I, II e III de dez pessoas cada. Quantas composições de grupos diferentes podem existir?
15. Quantos números de quatro algarismos divisíveis por 5 podem ser formados a partir dos números 0, 1, 3, 5, 7, se cada número não deve conter os mesmos algarismos?
16. Quantos anéis luminosos diferentes podem ser feitos colocando 10 lâmpadas multicoloridas ao redor de um círculo (os anéis são considerados iguais se as cores estiverem na mesma ordem)?
17. Há 30 volumes em uma estante. De quantas maneiras eles podem ser dispostos para que o primeiro e o segundo volumes não fiquem lado a lado?
18. Quatro atiradores devem acertar oito alvos (dois cada). De quantas maneiras eles podem distribuir os alvos entre si?
19. De um grupo de 12 pessoas, dois oficiais de serviço são selecionados diariamente por 6 dias. Determine o número de listas de tarefas diferentes se cada pessoa estiver de serviço uma vez.
20. Quantos números de quatro algarismos compostos pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5 contêm o número 3 (os números nos números não se repetem)?
21. Dez grupos estão envolvidos em dez salas de aula consecutivas. Quantas opções de horários existem em que os grupos 1 e 2 estariam em salas adjacentes?
22. 16 jogadores de xadrez participam do torneio. Determine o número de horários diferentes para a primeira rodada (os horários são considerados diferentes se diferirem nos participantes de pelo menos um jogo; a cor das peças e o número do tabuleiro não são levados em consideração).
23. Seis caixas de diversos materiais são entregues em cinco andares do canteiro de obras. De quantas maneiras os materiais podem ser determinados pelos pisos? Em quantas variantes qualquer material é entregue ao quinto andar?
24. Dois carteiros devem entregar 10 cartas para 10 endereços. De quantas maneiras eles podem distribuir o trabalho?
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Data de criação da página: 2016-08-20
Anteriormente, os números dos bondes eram marcados com duas lanternas coloridas. Quantas rotas diferentes podem ser marcadas usando oito cores diferentes de luzes?
Respostas:
a fórmula será: 8²=64 64 rotas diferentes.
Perguntas semelhantes
- Lembre-se das construções arquitetônicas e esculturas do Renascimento, que têm algo parecido com a Catedral do Renascimento, e a estátua de Verrocchio. Anote seus nomes.
- Insira em vez de lacunas os números de série das palavras correspondentes da lista proposta. As palavras são dadas na lista no singular, no caso nominativo. ATENÇÃO: há mais palavras na lista do que lacunas no texto! Uma classificação que, dependendo dos motivos e condições de aquisição de ____, é amplamente utilizada em ____, distingue o pessoal em ____ partidos. Os primeiros se distinguem pelo fato de serem formados em torno de um grupo de ___ políticos, e a base de sua estrutura é um comitê de ativistas. Os partidos de pessoal geralmente são formados "de cima" com base em várias facções ___, associações da burocracia partidária. Essas partes geralmente intensificam suas atividades apenas pelo tempo ___. Outros partidos são organizações centralizadas e bem disciplinadas. Eles atribuem grande importância à unidade dos membros do partido. Tais partidos são na maioria das vezes formados "de baixo", com base em movimentos sindicais e outros ___, refletindo vários interesses sociais. grupos 1) Sociologia 10) eleições 2) público 11) norma 3 fator 12) partido 4) eleitoral 13) parlamentar 5) nacional 14) consenso 6) sociedade 15) ideológico 7) massa 16) sistema 8) impeachment 17) líder 9) Ciência Política
- No. 1 Resolva: 28/5 * 4 No. 2 O número a está marcado na linha de coordenadas _______o____|___|___|___________> a -1 0 1 1) a; a -1;\frac(1)(a) 2) a;\frac(1)(a);a-1 3) a-1;\frac(1)(a);a 4)a-1; a;\frac(1)(a)
- é o número 2008*2011*2012*2014+1 um quadrado exato
- Há 300 apartamentos no prédio recém-construído. No primeiro dia, 120 apartamentos foram ocupados, no segundo dia - um terço do restante. Quantos apartamentos faltam para ser ocupados?
- Tolik multiplicou um número de cinco dígitos pela soma de seus dígitos. Então Tolik multiplicou o resultado pela soma de seus dígitos (resultados). Surpreendentemente, acabou sendo um número de cinco dígitos novamente. Que número Tolik multiplicou pela primeira vez? (Encontre todas as respostas possíveis.)
