Descrição bibliográfica: Pryamostanov S. M., Lysogorova L. V. Métodos para extrair uma raiz quadrada // Jovem cientista. - 2017. - Não. 2.2. - S. 76-77..02.2019).



Palavras-chave : raiz quadrada, extração de raiz quadrada.

Nas aulas de matemática, me familiarizei com o conceito de raiz quadrada e a operação de extrair uma raiz quadrada. Fiquei interessado em extrair a raiz quadrada só é possível usando uma tabela de quadrados, usando uma calculadora, ou existe uma forma de extraí-la manualmente. Encontrei vários caminhos: a fórmula da Antiga Babilônia, através da solução de equações, o método de descartar o quadrado inteiro, o método de Newton, o método geométrico, o método gráfico (, ), o método de adivinhação, o método de subtração de números ímpares.

Considere os seguintes métodos:

Vamos decompor em fatores primos usando os sinais de divisibilidade 27225=5*5*3*3*11*11. Nesse caminho

1. Para Método canadense. Este método rápido foi descoberto por jovens cientistas em uma das principais universidades do Canadá no século 20. Sua precisão não é superior a duas ou três casas decimais.

onde x é o número para tirar a raiz, c é o número do quadrado mais próximo), por exemplo:

=5,92

1. coluna. Este método permite encontrar o valor aproximado da raiz de qualquer número real com qualquer precisão predeterminada. As desvantagens do método incluem o aumento da complexidade do cálculo com o aumento do número de dígitos encontrados. Para extrair manualmente a raiz, é usada uma notação semelhante à divisão por uma coluna.

Algoritmo de raiz quadrada

1. Divida separadamente a parte fracionária e a parte inteira separadamente da vírgula na borda de dois números em cada rosto ( beijo parte - da direita para a esquerda; fracionário- da esquerda para a direita). É possível que a parte inteira contenha um dígito e a parte fracionária contenha zeros.

2. A extração começa da esquerda para a direita e selecionamos um número cujo quadrado não exceda o número da primeira face. Nós elevamos esse número ao quadrado e o escrevemos sob o número na primeira face.

3. Encontramos a diferença entre o número na primeira face e o quadrado do primeiro número selecionado.

4. Para a diferença resultante demolimos a próxima face, o número resultante será divisível. Nós formamos divisor. Dobramos o primeiro dígito selecionado da resposta (multiplicamos por 2), obtemos o número de dezenas do divisor e o número de unidades deve ser tal que seu produto pelo divisor inteiro não exceda o dividendo. Nós anotamos o número selecionado na resposta.

5. Para a diferença resultante, demolimos a próxima face e executamos ações de acordo com o algoritmo. Se esse rosto for o rosto da parte fracionária, coloque uma vírgula na resposta. (Figura 1.)

Dessa forma, você pode extrair números com precisão diferente, por exemplo, com precisão de milésimos. (Figura 2)

Considerando os vários métodos de extração da raiz quadrada, podemos concluir: em cada caso específico, você precisa decidir sobre a escolha do mais eficaz para gastar menos tempo na resolução

Literatura:

1. Kiselev A. Elementos de Álgebra e Análise. Parte um.-M.-1928

Palavras-chave: raiz quadrada, raiz quadrada.

Anotação: O artigo descreve métodos para extrair uma raiz quadrada e fornece exemplos de extração de raízes.

Em matemática, a questão de como criar uma raiz é considerada relativamente fácil. Se elevarmos ao quadrado os números da série natural: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, obteremos a seguinte série de quadrados: 1, 4, 9, 16 ... n 2. A série de quadrados é infinita, e se você olhar atentamente para ela, verá que não há muitos inteiros nela. Por que isso é assim será explicado um pouco mais tarde.

A raiz do número: regras de cálculo e exemplos

Então, elevamos o número 2 ao quadrado, ou seja, multiplicamos por ele mesmo e obtivemos 4. Mas como tirar a raiz do número 4? Digamos imediatamente que as raízes podem ser quadradas, cúbicas e de qualquer grau até o infinito.

O grau da raiz é sempre um número natural, ou seja, é impossível resolver tal equação: a raiz elevada à potência de 3,6 de n.

Raiz quadrada

Voltemos à questão de como extrair a raiz quadrada de 4. Como elevamos o número 2 ao quadrado, também extrairemos a raiz quadrada. Para tirar corretamente a raiz de 4, você só precisa escolher o número certo que, ao quadrado, daria o número 4. E isso, claro, é 2. Veja o exemplo:

• 2 2 =4
• Raiz de 4 = 2

Este exemplo é bem simples. Vamos tentar extrair a raiz quadrada de 64. Que número, quando multiplicado por ele mesmo, dá 64? Obviamente são 8.

• 8 2 =64
• Raiz de 64=8

raiz cúbica

Como mencionado acima, as raízes não são apenas quadradas, usando um exemplo tentaremos explicar mais claramente como extrair uma raiz cúbica ou uma raiz de terceiro grau. O princípio de extrair uma raiz cúbica é o mesmo de uma raiz quadrada, a única diferença é que o número desejado foi inicialmente multiplicado por si mesmo não uma, mas duas vezes. Então, digamos que tomamos o seguinte exemplo:

• 3x3x3=27
• Naturalmente, a raiz cúbica do número 27 será três:
• Raiz 3 de 27 = 3

Suponha que você precise encontrar a raiz cúbica de 64. Para resolver essa equação, basta encontrar um número que, elevado à terceira potência, daria 64.

• 4 3 =64
• Raiz 3 de 64 = 4

Extrair a raiz de um número em uma calculadora

Claro, é melhor aprender a extrair quadrado, cubo e outras potências pela prática, resolvendo muitos exemplos e memorizando uma tabela de quadrados e cubos de números pequenos. No futuro, isso facilitará muito e reduzirá o tempo de resolução de equações. Embora, deve-se notar que às vezes é necessário extrair a raiz de um número tão grande que custará muito trabalho, se for o caso, encontrar o número quadrado correto. Uma calculadora comum virá em socorro na extração da raiz quadrada. Como tirar uma raiz em uma calculadora? É muito simples inserir o número a partir do qual você deseja encontrar o resultado. Agora dê uma olhada nos botões da calculadora. Mesmo no mais simples deles, há uma chave com um ícone de raiz. Ao clicar nele, você obterá imediatamente o resultado final.

Nem todo número pode ser tomado como uma raiz inteira, considere o seguinte exemplo:

Raiz de 1859 = 43,116122…

Você pode tentar resolver este exemplo em uma calculadora em paralelo. Como você pode ver, o número resultante não é um inteiro; além disso, o conjunto de dígitos após o ponto decimal não é finito. Um resultado mais preciso pode ser dado por calculadoras especiais de engenharia, mas o resultado completo simplesmente não cabe na tela das calculadoras comuns. E se você continuar a série de quadrados que começou antes, não encontrará o número 1859 nela, precisamente porque o número que você elevou ao quadrado para obtê-lo não é um número inteiro.

Se você precisar extrair a raiz do terceiro grau em uma calculadora simples, precisará clicar duas vezes no botão com o sinal da raiz. Por exemplo, vamos pegar o número 1859 usado acima e extrair a raiz cúbica dele:

Raiz 3 de 1859 = 6,5662867…

Ou seja, se o número 6,5662867 ... for elevado à terceira potência, obteremos aproximadamente 1859. Assim, extrair raízes de números não é difícil, basta lembrar os algoritmos acima.

O que é uma raiz quadrada?

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Este conceito é muito simples. Naturais, eu diria. Os matemáticos tentam encontrar uma reação para cada ação. Há adição e há subtração. Há multiplicação e há divisão. Há quadratura ... Então também há extraindo a raiz quadrada! Isso é tudo. Esta acção ( tirando a raiz quadrada) em matemática é indicado por este ícone:

O ícone em si é chamado de bela palavra " radical".

Como extrair a raiz?É melhor considerar exemplos.

Qual é a raiz quadrada de 9? E que número ao quadrado nos dará 9? 3 ao quadrado nos dá 9! Aqueles:

Qual é a raiz quadrada de zero? Sem problemas! Que número ao quadrado zero dá? Sim, ele mesmo dá zero! Significa:

Apanhado o que é uma raiz quadrada? Então consideramos exemplos:

Respostas (em desordem): 6; 1; quatro; 9; 5.

Decidiu? Realmente, é muito mais fácil!

Mas... O que uma pessoa faz quando vê alguma tarefa com raízes?

Uma pessoa começa a ansiar... Não acredita na simplicidade e na leveza das raízes. Embora ele pareça saber o que é raiz quadrada...

Isso ocorre porque uma pessoa ignorou vários pontos importantes ao estudar as raízes. Então esses modismos se vingam brutalmente de testes e exames ...

Ponto um. As raízes devem ser reconhecidas pela vista!

Qual é a raiz quadrada de 49? Sete? Certo! Como você sabia que eram sete? Sete ao quadrado e obteve 49? Corretamente! Observe que extrair a raiz de 49, tivemos que fazer a operação inversa - quadrado 7! E certifique-se de que não erramos. Ou podem perder...

Aí está a dificuldade extração de raiz. Quadratura qualquer número é possível sem problemas. Multiplique o número por ele mesmo em uma coluna - e isso é tudo. Mas pelo extração de raiz não existe uma tecnologia tão simples e sem problemas. responsável por pegar responda e verifique se acertou ao quadrado.

Este processo criativo complexo - escolher uma resposta - é bastante simplificado se você lembrar quadrados de números populares. Como uma tabuada de multiplicação. Se, digamos, você precisa multiplicar 4 por 6 - você não soma os quatro por 6 vezes, não é? A resposta aparece imediatamente 24. Embora nem todos a tenham, sim ...

Para um trabalho livre e bem-sucedido com raízes, basta conhecer os quadrados dos números de 1 a 20. Além disso, lá e de volta. Aqueles. você deve ser capaz de nomear facilmente ambos, digamos, 11 ao quadrado e a raiz quadrada de 121. Para conseguir essa memorização, há duas maneiras. A primeira é aprender a tabuada de quadrados. Isso vai ajudar muito com exemplos. A segunda é resolver mais exemplos. É ótimo lembrar da tabela de quadrados.

E nada de calculadoras! Apenas para verificação. Caso contrário, você desacelerará impiedosamente durante o exame ...

Então, o que é raiz quadrada E como extrair raízes- Acho que é compreensível. Agora vamos descobrir DO QUE você pode extraí-los.

Ponto dois. Raiz, não te conheço!

De quais números você pode extrair raízes quadradas? Sim, quase qualquer. É mais fácil entender o que é proibido extraí-los.

Vamos tentar calcular essa raiz:

Para fazer isso, você precisa pegar um número que ao quadrado nos dará -4. Nós selecionamos.

O que não está selecionado? 2 2 dá +4. (-2) 2 dá +4 novamente! É isso... Não há números que, ao elevar ao quadrado, nos dê um número negativo! Mesmo sabendo os números. Mas eu não vou te dizer.) Vá para a faculdade e descubra por si mesmo.

A mesma história será com qualquer número negativo. Daí a conclusão:

Uma expressão na qual um número negativo está sob o sinal da raiz quadrada - não faz sentido! Esta é uma operação proibida. Tão proibido quanto a divisão por zero. Mantenha este fato em mente! Ou, em outras palavras:

Você não pode extrair raízes quadradas de números negativos!

Mas de todo o resto - você pode. Por exemplo, é possível calcular

À primeira vista, isso é muito difícil. Pegue as frações, mas faça o quadrado... Não se preocupe. Quando tratamos das propriedades das raízes, tais exemplos serão reduzidos à mesma tabela de quadrados. A vida vai ficar mais fácil!

Ok frações. Mas ainda encontramos expressões como:

Tudo bem. Tudo o mesmo. A raiz quadrada de dois é o número que, quando elevado ao quadrado, nos dará um deuce. Apenas o número é completamente desigual... Aqui está:

Curiosamente, essa fração nunca acaba... Esses números são chamados de irracionais. Em raízes quadradas, esta é a coisa mais comum. A propósito, é por isso que expressões com raízes são chamadas irracional. É claro que escrever uma fração tão infinita o tempo todo é inconveniente. Portanto, em vez de uma fração infinita, eles deixam assim:

Se, ao resolver o exemplo, você obtiver algo que não é extraível, como:

então deixamos assim. Esta será a resposta.

Você precisa entender claramente o que está sob os ícones

Claro, se a raiz do número for tirada suave, você deve fazê-lo. A resposta da tarefa no formulário, por exemplo

uma resposta bastante completa.

E, claro, você precisa saber os valores aproximados de memória:

Esse conhecimento ajuda muito a avaliar a situação em tarefas complexas.

Ponto três. O mais astuto.

A principal confusão no trabalho com as raízes é trazida justamente por esse modismo. É ele quem dá dúvida... Vamos lidar bem com essa moda!

Para começar, extraímos novamente a raiz quadrada de seus quatro. O que, eu já te peguei com essa raiz?) Nada, agora vai ser interessante!

Que número dará no quadrado de 4? Bem, dois, dois - ouço respostas insatisfeitas ...

Certo. Dois. Mas também menos dois vai dar 4 ao quadrado... Enquanto isso, a resposta

correto e a resposta

erro mais grosseiro. Assim.

Então, qual é o problema?

De fato, (-2) 2 = 4. E sob a definição da raiz quadrada de quatro menos dois bastante adequado ... Esta é também a raiz quadrada de quatro.

Mas! No curso escolar de matemática, costuma-se considerar raízes quadradas apenas números não negativos! Ou seja, zero e todos positivos. Até um termo especial foi cunhado: do número uma- isto é não negativo número cujo quadrado é uma. Resultados negativos ao extrair a raiz quadrada aritmética são simplesmente descartados. Na escola, todas as raízes quadradas - aritmética. Embora não seja especificamente mencionado.

Ok, isso é compreensível. Melhor ainda não mexer com resultados negativos... Ainda não é confusão.

A confusão começa ao resolver equações quadráticas. Por exemplo, você precisa resolver a seguinte equação.

A equação é simples, escrevemos a resposta (como ensinado):

Esta resposta (bastante correta, por sinal) é apenas uma notação abreviada dois respostas:

Para para! Um pouco mais alto eu escrevi que a raiz quadrada é um número sempre não negativo! E aqui está uma das respostas - negativo! Transtorno. Esse é o primeiro (mas não o último) problema que causa desconfiança das raízes... Vamos resolver esse problema. Vamos anotar as respostas (puramente para entender!) assim:

Os parênteses não alteram a essência da resposta. só separei com colchetes sinais a partir de raiz. Agora é visto claramente que a própria raiz (entre parênteses) ainda é um número não negativo! E os sinais são o resultado da resolução da equação. Afinal, ao resolver qualquer equação, devemos escrever tudo x, que, quando substituído na equação original, dará o resultado correto. A raiz de cinco (positiva!) é adequada para nossa equação com mais e menos.

Assim. Se você é só tirar a raiz quadrada de qualquer coisa que você sempre pegue um não negativo resultado. Por exemplo:

Porque isso - raiz quadrada aritmética.

Mas se você resolver alguma equação quadrática como:

então sempre acontece que dois resposta (com mais e menos):

Porque é a solução de uma equação.

Ter esperança, o que é raiz quadrada você acertou com seus pontos. Agora resta descobrir o que pode ser feito com as raízes, quais são suas propriedades. E quais são os modismos e caixas subaquáticas... com licença, pedras!)

Tudo isso - nas próximas lições.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Fórmulas de raiz. propriedades das raízes quadradas.

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Na lição anterior, descobrimos o que é uma raiz quadrada. É hora de descobrir quais são fórmulas para raízes, o que são propriedades da raiz e o que pode ser feito sobre tudo isso.

Fórmulas raiz, propriedades raiz e regras para ações com raízes- é essencialmente a mesma coisa. Existem surpreendentemente poucas fórmulas para raízes quadradas. O que, claro, agrada! Em vez disso, você pode escrever muitos tipos de fórmulas, mas apenas três são suficientes para um trabalho prático e confiante com raízes. Todo o resto flui desses três. Embora muitos se desviem nas três fórmulas das raízes, sim...

Vamos começar com o mais simples. Lá está ela:

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Os alunos sempre perguntam: “Por que não posso usar uma calculadora em um exame de matemática? Como extrair a raiz quadrada de um número sem calculadora? Vamos tentar responder a esta pergunta.

Como extrair a raiz quadrada de um número sem a ajuda de uma calculadora?

Ação extração de raiz quadrada o oposto da quadratura.

√81= 9 9 2 =81

Se tirarmos a raiz quadrada de um número positivo e elevarmos o resultado ao quadrado, obtemos o mesmo número.

De pequenos números que são quadrados exatos de números naturais, por exemplo 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, raízes quadradas podem ser extraídas verbalmente. Normalmente na escola ensinam uma tabuada de quadrados de números naturais até vinte. Conhecendo essa tabela, fica fácil extrair as raízes quadradas dos números 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. De números maiores que 400, você pode extrair usando o método de seleção usando algumas dicas. Vamos tentar um exemplo para considerar este método.

Exemplo: Extraia a raiz do número 676.

Notamos que 20 2 \u003d 400 e 30 2 \u003d 900, o que significa 20< √676 < 900.

Quadrados exatos de números naturais terminam em 0; 1; quatro; 5; 6; 9.
O número 6 é dado por 4 2 e 6 2 .
Então, se a raiz é tirada de 676, então é 24 ou 26.

Resta verificar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Responda: √676 = 26 .

Mais exemplo: √6889 .

Desde 80 2 \u003d 6400 e 90 2 \u003d 8100, então 80< √6889 < 90.
O número 9 é dado por 3 2 e 7 2, então √6889 é 83 ou 87.

Verifique: 83 2 = 6889.

Responda: √6889 = 83 .

Se você achar difícil resolver pelo método de seleção, poderá fatorar a expressão raiz.

Por exemplo, encontrar √893025.

Vamos fatorar o número 893025, lembre-se, você fez isso na sexta série.

Obtemos: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Mais exemplo: √20736. Vamos fatorar o número 20736:

Obtemos √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Claro, fatoração requer conhecimento de critérios de divisibilidade e habilidades de fatoração.

E por fim, há regra da raiz quadrada. Vejamos esta regra com um exemplo.

Calcular √279841.

Para extrair a raiz de um inteiro com vários dígitos, dividimos da direita para a esquerda em faces contendo 2 dígitos cada (pode haver um dígito na face extrema esquerda). Escreva assim 27'98'41

Para obter o primeiro dígito da raiz (5), extraímos a raiz quadrada do maior quadrado exato contido na primeira face esquerda (27).
Em seguida, o quadrado do primeiro dígito da raiz (25) é subtraído da primeira face e a próxima face (98) é atribuída (demolida) à diferença.
À esquerda do número recebido 298, eles escrevem o dígito duplo da raiz (10), dividem por ele o número de todas as dezenas do número obtido anteriormente (29/2 ≈ 2), experimentam o quociente (102 ∙ 2 = 204 não deve ser superior a 298) e escreva (2) após o primeiro dígito da raiz.
Então o quociente resultante 204 é subtraído de 298, e a próxima faceta (41) é atribuída (demolida) à diferença (94).
À esquerda do número resultante 9441, eles escrevem o duplo produto dos dígitos da raiz (52 ∙ 2 = 104), dividem por este produto o número de todas as dezenas do número 9441 (944/104 ≈ 9), experiência o quociente (1049 ∙ 9 = 9441) deve ser 9441 e anote (9) após o segundo dígito da raiz.

Obtivemos a resposta √279841 = 529.

Da mesma forma extrair raízes de decimais. Apenas o número radical deve ser dividido em faces para que a vírgula fique entre as faces.

Exemplo. Encontre o valor √0,00956484.

Basta lembrar que, se a fração decimal tiver um número ímpar de casas decimais, a raiz quadrada não será extraída exatamente dela.

Então, agora você viu três maneiras de extrair a raiz. Escolha o que mais combina com você e pratique. Para aprender a resolver problemas, você precisa resolvê-los. E se tiver alguma dúvida, inscreva-se nas minhas aulas.

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