Pela primeira vez com uma operação aritmética como a multiplicação, os alunos se familiarizam no banco da escola. O professor de matemática entre as inúmeras regras levanta o tema da “multiplicação por zero”. Apesar da não ambiguidade do texto, os alunos têm muitas perguntas. Vejamos o que acontece se multiplicarmos por 0.
A regra de que não se pode multiplicar por zero gera muitas disputas entre professores e seus alunos. É importante entender que a multiplicação por zero é um aspecto controverso devido à sua ambiguidade.
Em primeiro lugar, a atenção está voltada para a falta de um nível suficiente de conhecimento entre os alunos do ensino médio. Atravessando o limiar de uma instituição de ensino, um participante do processo educacional na maioria das vezes não pensa no objetivo principal que deve ser perseguido.
Durante a formação, o professor aborda várias questões. Estes incluem a situação, o que acontece se você multiplicar por 0. Em um esforço para antecipar a narração do professor, alguns alunos entram em polêmica. Eles provam, pelo menos tentam, que a multiplicação por 0 é válida. Mas, infelizmente, este não é o caso. Multiplicar qualquer número por 0 não resulta em nada. Em algumas fontes literárias, há até a menção de que qualquer número multiplicado por zero forma um vazio.
Importante! Os ouvintes atentos percebem imediatamente que se o número for multiplicado por 0, então o resultado será 0. Um desenvolvimento diferente dos eventos pode ser observado no caso daqueles alunos que sistematicamente faltam às aulas. Alunos desatentos ou sem escrúpulos são mais propensos do que outros a pensar em quanto será se multiplicarem por zero.
Em decorrência do desconhecimento sobre o tema, o professor e o aluno negligente encontram-se em lados opostos de uma situação contraditória.
A diferença de pontos de vista sobre o tema da disputa está no grau de instrução sobre se é possível multiplicar por 0 ou ainda não. A única maneira aceitável de sair dessa situação é tentar apelar ao pensamento lógico para encontrar a resposta certa.
Não é recomendado usar o exemplo a seguir para explicar a regra. Vanya tem 2 maçãs na bolsa para um lanche. No almoço, pensou em colocar mais maçãs na pasta. Mas naquele momento não havia uma única fruta por perto. Vânia não colocou nada. Em outras palavras, ele colocou 0 maçãs em 2 maçãs.
Em termos de aritmética, neste exemplo, verifica-se que se 2 for multiplicado por 0, não haverá vazio. A resposta neste caso é clara. Para este exemplo, a regra da multiplicação por zero não é relevante. A solução correta é a soma. É por isso que a resposta correta é 2 maçãs.
Caso contrário, o professor não tem escolha a não ser compor uma série de tarefas. A última medida é redefinir a passagem do tópico e pesquisar exceções na multiplicação.
Essência da ação
É aconselhável começar a estudar o algoritmo de ações ao multiplicar por zero, indicando a essência da operação aritmética.
A essência da ação de multiplicar foi originalmente determinada exclusivamente para um número natural. Se o mecanismo de ação for revelado, um certo número envolvido no cálculo será adicionado a si mesmo.
É importante considerar o número de adições. Dependendo deste critério, um resultado diferente é obtido. A adição de um número em relação a si mesmo determina uma propriedade dele como naturalidade.
Vejamos um exemplo. É necessário multiplicar o número 15 por 3. Quando multiplicado por 3, o número 15 aumenta três vezes em seu valor. Em outras palavras, a ação se parece com 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Com base no mecanismo de cálculo, fica óbvio que, se um número é multiplicado por outro número natural, há uma aparência de adição de forma simplificada .
É aconselhável iniciar o algoritmo de ações ao multiplicar por 0 fornecendo uma característica por zero.
Observação! De acordo com a sabedoria convencional, zero representa todo o nada. Para vazios deste tipo, uma designação é fornecida em aritmética. Apesar deste fato, o valor zero não carrega nada.
Deve-se notar que tal opinião na sociedade científica do mundo moderno difere do ponto de vista dos antigos cientistas orientais. De acordo com a teoria que eles sustentavam, zero era igual a infinito.
Em outras palavras, se você multiplicar por zero, terá várias opções. No valor zero, os cientistas consideraram uma espécie de profundidade do universo.
Como confirmação da possibilidade de multiplicar por 0, os matemáticos citaram o seguinte fato. Se você colocar 0 ao lado de qualquer número natural, obterá um valor dez vezes maior que o original.
O exemplo dado é um dos argumentos. Além de provas desse tipo, existem muitos outros exemplos. São eles que fundamentam as disputas em curso ao se multiplicar pelo vazio.
A viabilidade de tentar
Entre os alunos, muitas vezes, no início do domínio do material educacional, há tentativas de multiplicar um número por 0. Essa ação é um erro grosseiro.
Em essência, nada acontecerá com tais tentativas, mas também não haverá benefício. Se você multiplicar por um valor zero, obtém uma nota insatisfatória no diário.
O único pensamento que deve surgir ao se multiplicar pelo vazio é a impossibilidade de ação. A memorização neste caso desempenha um papel importante. Tendo aprendido a regra de uma vez por todas, o aluno evita o surgimento de situações controversas.
Como exemplo a ser utilizado na multiplicação por zero, é permitida a seguinte situação. Sasha decidiu comprar maçãs. Enquanto ela estava no supermercado, ela escolheu 5 grandes maçãs maduras. Indo para o departamento de laticínios, ela sentiu que isso não seria suficiente para ela. A menina colocou mais 5 peças em sua cesta.
Depois de pensar um pouco mais, ela pegou mais 5. Como resultado, no caixa, Sasha obteve: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 maçãs. Se ela colocasse 5 maçãs apenas 2 vezes, então seria 5 * 2 = 5 + 5 = 10. Caso Sasha não colocasse 5 maçãs na cesta, seria 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Em outras palavras, comprar maçãs 0 vezes significa não comprar nenhuma.
Vídeo útil
Resumindo
A regra da multiplicação por zero gera muita polêmica. Para entender sua essência, basta considerar alguns exemplos. Apenas memorizar o texto deixará claro se você pode multiplicar por 0 ou não.
Para trás para a frente
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Alvo:
- Introduzir casos especiais de multiplicação com 0 e 1.
- Consolidar o significado de multiplicação e a propriedade comutativa da multiplicação, para desenvolver competências computacionais.
- Desenvolver a atenção, a memória, as operações mentais, a fala, a criatividade, o interesse pela matemática.
Equipamento: Apresentação de slides: Apêndice1.
Durante as aulas
1. Momento organizacional.
Hoje é um dia inusitado para nós. Há convidados na aula. Agradem a mim, amigos, convidados com seus sucessos. Cadernos abertos, anote o número, trabalho de classe. Na margem, marque seu humor no início da lição. Slide 2.
Verbalmente, toda a classe repete a tabuada nas cartas, falando em voz alta (As crianças marcam as respostas erradas com palmas).
Fizkultminutka (“Ginástica cerebral”, “Chapéu para reflexão”, para respirar).
2. Declaração da tarefa de aprendizagem.
2.1. Tarefas para o desenvolvimento da atenção.
No quadro e na mesa, as crianças têm uma imagem de duas cores com números:
– O que há de interessante nos números escritos? (Escritos em cores diferentes; todos os números “vermelhos” são pares e os “azul” são ímpares.)
Qual é o número extra? (10 é redondo e o resto não; 10 é dois dígitos e o resto é um dígito; 5 é repetido duas vezes e o resto é um de cada vez.)
- Vou fechar o número 10. Existe algum extra entre os outros números? (3 - ele não tem um par abaixo de 10, mas os outros sim.)
– Encontre a soma de todos os números “vermelhos” e anote-a no quadrado vermelho.
(30.)
– Encontre a soma de todos os números “azuis” e anote-a no quadrado azul. (23.)
Quanto mais é 30 do que 23? (Em 7.)
Quanto é 23 menos que 30? (Também às 7.)
Qual ação você estava procurando? (Subtração.) Slide 3.
2.2. Tarefas para o desenvolvimento da memória e da fala. Atualização de conhecimento.
a) - Repita na ordem as palavras que vou nomear: termo, termo, soma, reduzido, subtraído, diferença. (As crianças tentam reproduzir a ordem das palavras.)
Quais componentes de ação foram nomeados? (Adição e subtração.)
Qual ação você conhece? (Multiplicação, divisão.)
- Nomeie os componentes da multiplicação. (Multiplicador, multiplicador, produto.)
O que significa o primeiro multiplicador? (Termos iguais na soma.)
O que significa o segundo multiplicador? (O número de tais termos.)
Escreva a definição de multiplicação.
um + uma+… + uma= um
b) Observe as notas. Que tarefa você vai fazer?
12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a
(Substitua a soma pelo produto.)
O que vai acontecer? (A primeira expressão tem 5 termos, cada um dos quais é igual a 12, então é igual a 12 5. Da mesma forma - 33 4 e 3)
c) Nomeie a operação inversa. (Substitua o produto pela soma.)
– Substitua o produto pela soma nas expressões: 99 2. 8 4. b 3.(99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). slide 4.
d) As equações são escritas no quadro:
81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5
As imagens são colocadas ao lado de cada igualdade.
Os animais da escola da floresta estavam em missão. Eles fizeram certo?
As crianças estabelecem que o elefante, o tigre, a lebre e o esquilo cometeram um erro, explicam quais são os seus erros. Slide 5.
e) Compare as expressões:
8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
um 3... um 2 + um
(8 5 \u003d 5 8, pois a soma não muda com o rearranjo dos termos;
5 6 > 3 6, pois há 6 termos à esquerda e à direita, mas os termos à esquerda são maiores;
34 9 > 31 2. pois há mais termos à esquerda e os próprios termos são maiores;
a 3 \u003d a 2 + a, pois existem 3 termos à esquerda e à direita, iguais a a.)
Que propriedade de multiplicação foi usada no primeiro exemplo? (Deslocamento.) Slide 6.
2.3. Formulação do problema. Definição de metas.
As igualdades são verdadeiras? Por quê? (Correto, já que a soma 5 + 5 + 5 = 15. Então a soma se torna mais um termo 5, e a soma aumenta em 5.)
5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30
– Continue este padrão para a direita. (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
- Continue agora para a esquerda. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- O que significa a expressão 5 1? cinquenta? (? Problema!)
Resultado da discussão:
No entanto, as expressões 5 1 e 5 0 não fazem sentido. Podemos concordar em considerar essas igualdades verdadeiras. Mas para isso precisamos verificar se violamos a propriedade comutativa da multiplicação.
Então, o objetivo da nossa lição é determinar se podemos contar as igualdades 5 1 = 5 e 5 0 = 0 correto?
Problema da lição! Slide 7.
3. “Descoberta” de novos conhecimentos pelas crianças.
a) - Siga os passos: 1 7, 1 4, 1 5.
As crianças resolvem exemplos com comentários em um caderno e no quadro:
1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5
- Faça uma conclusão: 1 a -? (1a = a.) O cartão está exposto: 1 a = a
b) - As expressões 7 1, 4 1, 5 1 fazem sentido? Por quê? (Não, pois a soma não pode ter um termo.)
– A que devem ser iguais para não violar a propriedade comutativa da multiplicação? (7 1 também deve ser igual a 7, então 7 1 = 7.)
4 1 = 4; 5 1 = 5.
- Faça uma conclusão: a 1 =? (a 1 = a.)
A carta está exposta: a 1 = a. O primeiro cartão é sobreposto ao segundo: a 1 \u003d 1 a \u003d a.
- Nossa conclusão coincide com o que obtivemos no feixe numérico? (Sim.)
– Traduza esta igualdade para o russo. (Quando você multiplica um número por 1 ou 1 por um número, obtém o mesmo número.)
- Bem feito! Portanto, consideraremos: a 1 \u003d 1 a \u003d a. slide 8.
2) O caso da multiplicação com 0 é estudado de forma semelhante.
- quando um número é multiplicado por 0 ou 0 por um número, obtém-se zero: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. slide 9.
- Compare ambas as igualdades: o que 0 e 1 te lembram?
As crianças expressam suas opiniões. Você pode chamar a atenção deles para as imagens:
1 - "espelho", 0 - "fera terrível" ou "tampa de invisibilidade".
Bem feito! Então, multiplicando por 1 dá o mesmo número. (1 - “espelho”), e quando multiplicado por 0, obtemos 0 ( 0 - “limite de invisibilidade”).
4. Educação física (para os olhos - “círculo”, “para cima - para baixo”, para as mãos - “trava”, “cams”).
5. Fixação primária.
Exemplos são escritos no quadro:
23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =
As crianças os resolvem em um caderno e em um quadro-negro com a pronúncia das regras recebidas em um discurso alto, por exemplo:
3 1 = 3, pois ao multiplicar um número por 1, obtém-se o mesmo número (1 é um “espelho”), etc.
a) 145x = 145; b) x 437 = 437.
- Ao multiplicar 145 por um número desconhecido, resultou em 145. Então, eles multiplicaram por 1 x = 1. Etc.
a) 8x = 0; b) x 1 \u003d 0.
- Multiplicar 8 por um número desconhecido resultou em 0. Então, multiplicado por 0 x \u003d 0. E assim por diante.
6. Trabalho independente com verificação de classe. slide 10.
As crianças resolvem independentemente exemplos gravados. Então terminou
eles verificam suas respostas com pronúncia em voz alta, marcam exemplos resolvidos corretamente com um sinal de adição, corrigem os erros cometidos. Aqueles que cometeram erros recebem uma tarefa semelhante em um cartão e trabalham nela individualmente enquanto a classe resolve problemas de repetição.
7. Tarefas de repetição. (Trabalho em dupla). Slide 11.
a) - Quer saber o que o espera no futuro? Você pode descobrir decifrando o registro:
G – 49:7 cerca de – 9 8 n – 9 9 dentro – 45:5 º – 6 6 d – 7 8 s – 24:3
| 81 | 72 | 5 | 8 | 36 | 7 | 72 | 56 |
"Então, o que está reservado para nós?" (Ano Novo.)
b) - “Pensei em um número, subtraí 7, somei 15, depois somei 4 e obtive 45. Em que número pensei?”
As operações inversas devem ser feitas na ordem inversa: 45 - 4 - 15 + 7 = 31.
8. O resultado da lição.slide 12.
Quais são as novas regras?
O que você gostou? O que foi difícil?
Esse conhecimento pode ser aplicado na vida real?
Nas margens, você pode expressar seu humor no final da lição.
Preencha a tabela de autoavaliação:
Eu quero saber mais
ok mas posso fazer melhor
Enquanto estou em apuros
Obrigado pelo seu trabalho, você fez um ótimo trabalho!
9. Lição de casa
pp. 72–73 Regra, nº 6.
Mesmo na escola, os professores tentavam martelar a regra mais simples em nossas cabeças: "Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero!", - mas ainda muita controvérsia surge constantemente em torno dele. Alguém acabou de memorizar a regra e não se incomoda com a pergunta “por quê?”. “Você não pode fazer tudo aqui, porque na escola eles diziam, a regra é a regra!” Alguém pode preencher metade de um caderno com fórmulas, comprovando essa regra ou, inversamente, sua falta de lógica.
Quem está certo no final
Durante essas disputas, ambas as pessoas, tendo pontos de vista opostos, olham uma para a outra como um carneiro e provam com todas as suas forças que estão certas. Embora, se você olhar para eles de lado, você pode ver não um, mas dois carneiros descansando um contra o outro com seus chifres. A única diferença entre eles é que um é um pouco menos educado do que o outro. Na maioria das vezes, aqueles que consideram essa regra errada tentam chamar a lógica desta maneira:
Eu tenho duas maçãs na minha mesa, se eu colocar zero maçãs nelas, ou seja, eu não colocar uma única, então minhas duas maçãs não desaparecerão disso! A regra é ilógica!
De fato, as maçãs não desaparecerão em nenhum lugar, mas não porque a regra é ilógica, mas porque uma equação ligeiramente diferente é usada aqui: 2 + 0 \u003d 2. Portanto, descartaremos imediatamente essa conclusão - é ilógica, embora tenha a objetivo oposto - para chamar a lógica.
Isso é interessante: como encontrar a diferença de números em matemática?
O que é multiplicação
A regra de multiplicação original foi definido apenas para números naturais: a multiplicação é um número adicionado a si mesmo um certo número de vezes, o que implica a naturalidade do número. Assim, qualquer número com multiplicação pode ser reduzido a esta equação:
Desta equação segue a conclusão, que a multiplicação é uma adição simplificada.
O que é zero
Qualquer pessoa sabe desde a infância: zero é o vazio. Apesar de esse vazio ter uma designação, ele não carrega nada. Os antigos cientistas orientais pensavam de forma diferente - eles abordaram a questão filosoficamente e traçaram alguns paralelos entre o vazio e o infinito e viram um significado profundo nesse número. Afinal, zero, que tem o valor do vazio, ao lado de qualquer número natural, o multiplica dez vezes. Daí toda a polêmica sobre a multiplicação - esse número carrega tanta inconsistência que fica difícil não se confundir. Além disso, o zero é constantemente usado para determinar dígitos vazios em frações decimais, isso é feito antes e depois do ponto decimal.
É possível multiplicar por vazio
É possível multiplicar por zero, mas é inútil, porque, não importa o que se diga, mas mesmo multiplicando números negativos, o zero ainda será obtido. Basta lembrar-se dessa regra mais simples e nunca mais fazer essa pergunta. Na verdade, tudo é mais simples do que parece à primeira vista. Não há significados e segredos ocultos, como os cientistas antigos acreditavam. A explicação mais lógica será dada abaixo de que essa multiplicação é inútil, porque ao multiplicar um número por ele, a mesma coisa ainda será obtida - zero.
Isso é interessante: qual é o módulo de um número?
Voltando ao início, o argumento sobre duas maçãs, 2 vezes 0 é assim:
Afinal, comer uma maçã 0 vezes significa não comer uma única. Isso ficará claro até para a criança menor. Goste ou não, 0 sairá, dois ou três podem ser substituídos por absolutamente qualquer número e absolutamente a mesma coisa sairá. E para simplificar, zero não é nada e quando você tem não há nada, então não importa o quanto você multiplique - é tudo a mesma coisa será zero. Não há mágica, e nada fará uma maçã, mesmo que você multiplique 0 por um milhão. Esta é a explicação mais simples, mais compreensível e lógica da regra da multiplicação por zero. Para uma pessoa que está longe de todas as fórmulas e matemáticas, tal explicação será suficiente para a dissonância na cabeça se resolver e tudo se encaixar.
De todos os itens acima segue outra regra importante:
Você não pode dividir por zero!
Essa regra também foi teimosamente martelada em nossas cabeças desde a infância. Só sabemos que é impossível e pronto, sem encher a cabeça com informações desnecessárias. Se de repente você for perguntado, por que razão é proibido dividir por zero, a maioria ficará confusa e não poderá responder claramente à pergunta mais simples do currículo escolar, porque não há tantas disputas e contradições em torno desta regra.
Todo mundo acabou de memorizar a regra e não divide por zero, não suspeitando que a resposta esteja na superfície. Adição, multiplicação, divisão e subtração são desiguais, apenas a multiplicação e a adição estão cheias do acima, e todas as outras manipulações com números são construídas a partir delas. Ou seja, a entrada 10: 2 é uma abreviação da equação 2 * x = 10. Portanto, a entrada 10: 0 é a mesma abreviação de 0 * x = 10. Acontece que a divisão por zero é uma tarefa para encontrar um número, multiplicando por 0, você obtém 10 E já descobrimos que esse número não existe, o que significa que essa equação não tem solução e será a priori incorreta.
Deixe-me dizer-lhe
Para não dividir por 0!
Corte 1 como quiser, junto,
Só não divida por 0!
obrazovanie.guru
Divisão por zero. Matemática fascinante
O número 0 pode ser representado como uma espécie de fronteira que separa o mundo dos números reais dos imaginários ou negativos. Devido à posição ambígua, muitas operações com este valor numérico não obedecem à lógica matemática. A incapacidade de dividir por zero é um excelente exemplo disso. E as operações aritméticas permitidas com zero podem ser realizadas usando definições geralmente aceitas.
História do Zero
Zero é o ponto de referência em todos os sistemas numéricos padrão. Os europeus começaram a usar esse número há relativamente pouco tempo, mas os sábios da Índia antiga usaram o zero por mil anos antes que o número vazio fosse usado regularmente pelos matemáticos europeus. Mesmo antes dos índios, o zero era um valor obrigatório no sistema numérico maia. Esse povo americano usava o sistema duodecimal e começava o primeiro dia de cada mês com zero. Curiosamente, entre os maias, o sinal de "zero" coincidia completamente com o sinal de "infinito". Assim, os antigos maias concluíram que essas quantidades eram idênticas e incognoscíveis.
Operações matemáticas com zero
Operações matemáticas padrão com zero podem ser reduzidas a algumas regras.
Adição: se você adicionar zero a um número arbitrário, ele não alterará seu valor (0+x=x).
Subtração: ao subtrair zero de qualquer número, o valor do subtraído permanece inalterado (x-0=x).
Multiplicação: qualquer número multiplicado por 0 dá 0 no produto (a*0=0).
Divisão: Zero pode ser dividido por qualquer número diferente de zero. Neste caso, o valor de tal fração será 0. E a divisão por zero é proibida. 
Exponenciação. Esta ação pode ser realizada com qualquer número. Um número arbitrário elevado à potência de zero dará 1 (x 0 = 1).
Zero para qualquer potência é igual a 0 (0 a \u003d 0).
Nesse caso, surge imediatamente uma contradição: a expressão 0 0 não faz sentido.
Paradoxos da matemática
O fato de a divisão por zero ser impossível, muitas pessoas sabem da escola. Mas por algum motivo não é possível explicar o motivo de tal proibição. De fato, por que a fórmula da divisão por zero não existe, mas outras ações com esse número são bastante razoáveis e possíveis? A resposta a esta pergunta é dada por matemáticos.
A questão é que as operações aritméticas usuais que os alunos estudam nas séries primárias estão, na verdade, longe de ser tão iguais quanto pensamos. Todas as operações simples com números podem ser reduzidas a duas: adição e multiplicação. Essas operações são a essência do próprio conceito de número, e o restante das operações é baseado no uso desses dois.
Adição e multiplicação
Vamos dar um exemplo de subtração padrão: 10-2=8. Na escola, é considerado simplesmente: se dois são tirados de dez objetos, oito permanecem. Mas os matemáticos encaram essa operação de maneira bem diferente. Afinal, não existe operação como subtração para eles. Este exemplo pode ser escrito de outra forma: x+2=10. Para os matemáticos, a diferença desconhecida é simplesmente o número que deve ser adicionado a dois para formar oito. E nenhuma subtração é necessária aqui, você só precisa encontrar um valor numérico adequado.
A multiplicação e a divisão são tratadas da mesma maneira. No exemplo de 12:4=3, pode-se entender que estamos falando da divisão de oito objetos em duas pilhas iguais. Mas, na realidade, esta é apenas uma fórmula invertida para escrever 3x4 \u003d 12. Esses exemplos de divisão podem ser dados infinitamente. 
Exemplos de divisão por 0
É aqui que fica um pouco claro por que é impossível dividir por zero. A multiplicação e a divisão por zero têm suas próprias regras. Todos os exemplos por divisão desta quantidade podem ser formulados como 6:0=x. Mas esta é uma expressão invertida da expressão 6 * x = 0. Mas, como você sabe, qualquer número multiplicado por 0 dá no produto apenas 0. Essa propriedade é inerente ao próprio conceito de valor zero.
Acontece que tal número, que multiplicado por 0, dá algum valor tangível, não existe, ou seja, esse problema não tem solução. Não se deve ter medo de tal resposta, é uma resposta natural para problemas desse tipo. Apenas escrever 6:0 não faz nenhum sentido, e não pode explicar nada. Em suma, esta expressão pode ser explicada pelo imortal "sem divisão por zero".
Existe uma operação 0:0? De fato, se a operação de multiplicação por 0 é legal, zero pode ser dividido por zero? Afinal, uma equação da forma 0x5=0 é bastante legal. Em vez do número 5, você pode colocar 0, o produto não mudará a partir disso. 
De fato, 0x0=0. Mas você ainda não pode dividir por 0. Como mencionado, a divisão é apenas o inverso da multiplicação. Assim, se no exemplo 0x5=0, você precisa determinar o segundo fator, obtemos 0x0=5. Ou 10. Ou infinito. Dividindo o infinito por zero - como você gosta?
Mas se qualquer número se encaixa na expressão, então não faz sentido, não podemos escolher um de um conjunto infinito de números. E se sim, significa que a expressão 0:0 não faz sentido. Acontece que mesmo zero em si não pode ser dividido por zero.
matemática superior
A divisão por zero é uma dor de cabeça para a matemática do ensino médio. A análise matemática estudada em universidades técnicas expande ligeiramente o conceito de problemas que não têm solução. Por exemplo, à expressão já conhecida 0:0, são adicionadas novas que não têm solução nos cursos de matemática escolar:
É impossível resolver tais expressões por métodos elementares. Mas a matemática superior, graças a possibilidades adicionais para vários exemplos semelhantes, fornece soluções finais. Isso é especialmente evidente na consideração de problemas da teoria dos limites.
Divulgação de incerteza
Na teoria dos limites, o valor 0 é substituído por uma variável condicional infinitesimal. E expressões em que a divisão por zero é obtida ao substituir o valor desejado são convertidas. Abaixo está um exemplo padrão de expansão de limite usando as transformações algébricas usuais:
Como você pode ver no exemplo, uma simples redução de uma fração traz seu valor para uma resposta completamente racional.
Ao considerar os limites das funções trigonométricas, suas expressões tendem a ser reduzidas ao primeiro limite notável. Ao considerar os limites em que o denominador vai para 0 quando o limite é substituído, utiliza-se o segundo limite notável.
Método L'Hopital
Em alguns casos, os limites das expressões podem ser substituídos pelo limite de suas derivadas. Guillaume Lopital é um matemático francês, fundador da escola francesa de análise matemática. Ele provou que os limites das expressões são iguais aos limites das derivadas dessas expressões. Em notação matemática, sua regra é a seguinte. 
Atualmente, o método L'Hopital é usado com sucesso na resolução de incertezas do tipo 0:0 ou ∞:∞.
Matemática: divisão longa e multiplicação
A multiplicação e divisão de números de um dígito não será difícil para qualquer aluno que tenha aprendido a tabuada. Está incluído no currículo de matemática da 2ª série. Outra coisa é quando é necessário realizar operações matemáticas com números de vários dígitos. Eles começam tais ações nas aulas de matemática na 3ª série. Analisamos o novo tópico "Divisão e multiplicação em uma coluna"
Multiplicação de números de vários dígitos
Dividir e multiplicar números complexos é mais fácil em uma coluna. Para fazer isso, você precisa dos dígitos do número: centenas, dezenas, unidades:
235 = 200 (centenas) + 30 (dezenas) + 5 (unidades).
Vamos precisar disso para o registro correto de números ao multiplicar.
Ao escrever dois números que precisam ser multiplicados, eles são escritos um sob o outro, colocando os números em dígitos (unidades sob unidades, dezenas sob dezenas). Ao multiplicar um número de vários dígitos por um número de um dígito, não haverá dificuldades:
A gravação é feita assim: 
O cálculo é realizado a partir do final - da categoria de unidades. Ao multiplicar pelo primeiro dígito - da categoria de unidades - o registro também é realizado a partir do final:
- 3 x 5 = 15, escreva 5 (unidades), dezenas (1) lembre-se;
- 2 x 5 \u003d 10 e 1 dez que lembramos, apenas 11, escrevemos 1 (dezenas), lembramos centenas (1);
- como não temos mais dígitos no exemplo, anotamos centenas (1 - que foi lembrado).
O próximo passo é multiplicar pelo segundo dígito (dezena):
Como multiplicamos por um número da casa das dezenas, começaremos a escrever da mesma forma, a partir do final, começando pela segunda casa à direita (onde está a casa das dezenas).
1. você precisa escrever a multiplicação em uma coluna por dígitos;
2. fazer cálculos a partir de unidades;
3. anote o total por algarismos - se multiplicarmos por um algarismo da ordem das unidades - iniciamos o registro da última coluna, do algarismo - dezenas - desta coluna e mantemos o registro.
A regra que se aplica à multiplicação em uma coluna por um número de dois dígitos também se aplica a números com um grande número de dígitos.
Para facilitar a memorização das regras para escrever exemplos de multiplicação de números com vários dígitos em uma coluna, você pode fazer cartões destacando dígitos diferentes em cores diferentes.
Se os números são multiplicados em uma coluna com zeros no final, eles não são levados em consideração no cálculo e o registro é mantido de modo que o algarismo significativo fique abaixo do significativo e os zeros permaneçam à direita. Após os cálculos, seu número é adicionado à direita:
O matemático Yakov Trakhtenberg desenvolveu um sistema de contagem rápida. O método de Trachtenberg facilita a multiplicação se um determinado sistema de cálculos for aplicado. Por exemplo, multiplicando por 11. Para obter o resultado, você precisa adicionar um número ao próximo:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Provar verdade é simples: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Os algoritmos de cálculo para números diferentes são diferentes, mas permitem realizar cálculos rapidamente.
Vídeo "Multiplicação de colunas"
Divisão de números de vários dígitos
Dividir por uma coluna pode parecer difícil para crianças, mas lembrar do algoritmo não é difícil. Considere dividir números de vários dígitos por um número de um dígito:
215: 5 = ?
O cálculo é escrito da seguinte forma: 
Sob o divisor vamos escrever o resultado. A divisão é realizada da seguinte forma: comparamos o dígito mais à esquerda do dividendo com o divisor: 2 é menor que 5, não podemos dividir 2 por 5, então pegamos mais um dígito: 21 é maior que 5, ao dividir resulta : 20: 5 = 4 (restante 1)
Demolimos a seguinte figura para o resto resultante: obtemos 15. 15 é mais que 5, dividimos: 15: 5 = 3
A solução ficará assim:
É assim que a divisão é feita sem resto. De acordo com o mesmo algoritmo, a divisão em uma coluna com resto é realizada, com a única diferença de que a última entrada conterá não zero, mas o restante.
Se for necessário dividir números de três dígitos em uma coluna por dois dígitos, o procedimento será o mesmo da divisão por um número de um dígito.
Seguem alguns exemplos de divisão:
Da mesma forma, o cálculo é realizado ao dividir um número de vários dígitos por um número de dois dígitos com resto: 853: 15 = 50 e (3) o resto 
Preste atenção a esta entrada: se durante os cálculos intermediários o resultado for 0, mas o exemplo não for resolvido até o fim, o zero não será anotado, mas o próximo dígito será imediatamente demolido e o cálculo prosseguirá.
Ajudará a aprender as regras para dividir números de vários dígitos em uma coluna de tutorial em vídeo. Tendo memorizado o algoritmo e seguindo a sequência de cálculos de registro, exemplos de multiplicação e divisão em uma coluna na 4ª série não parecerão mais tão complicados.
Importante! Segue o registro: os dígitos devem ser escritos embaixo dos dígitos, em uma coluna.
Vídeo "Divisão em uma coluna"
Se na 2ª série uma criança aprendeu a tabuada, exemplos de multiplicação e divisão de um número de dois ou três dígitos nas aulas de matemática para a 4ª série não lhe causarão nenhuma dificuldade.
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Regras de multiplicação e divisão
Depois que a tabuada é aprendida, os alunos são explicados as regras de multiplicação e divisão, ensinadas a usá-las no cálculo de expressões matemáticas.
O que é multiplicação? É adição inteligente
Ao adicionar e subtrair, multiplicar e dividir números em expressões simples, as crianças não têm dificuldades:
Nesses cálculos, você só precisa conhecer as regras de adição e subtração e a tabuada de multiplicação.
Quando iniciam exercícios mais complexos, os exemplos consistem em duas ou mais ações e, mesmo com colchetes, as crianças apresentam erros na hora de resolver. E o principal é a ordem errada das ações.
Qual é a diferença?
De fato, é tão importante - qual ação no exemplo executar primeiro, qual segundo?
Se executarmos as etapas em ordem, obteremos:
Temos duas respostas diferentes. Mas não deveria ser assim, portanto, a ordem em que as ações são executadas importa. Especialmente se a expressão contiver parênteses:
Estamos tentando resolver de duas maneiras:
As respostas são diferentes e, para determinar a ordem das ações, há colchetes na expressão - eles mostram qual ação deve ser executada primeiro. Então a solução correta seria:
Não deve haver outra solução para a resposta no exemplo.
O que é mais importante, multiplicação ou adição?
Ao resolver exemplos
Organizar o curso de ação.
Multiplique ou divida - em primeiro lugar.
Para expressões em que não há adição ou subtração, mas sim multiplicação ou divisão, aplica-se a mesma regra: todas as operações com números são realizadas em ordem, começando pela esquerda:
Um caso mais difícil é quando a multiplicação ou divisão com adição ou subtração ocorre em um problema. Qual é a ordem dos cálculos então?
Se você executar todas as etapas em ordem, primeira divisão e depois adição. Como resultado, obtemos:
Então o exemplo está correto. E se contiver parênteses?
Qualquer coisa entre parênteses sempre tem precedência.É por isso que eles estão na expressão. Portanto, a ordem dos cálculos em tais expressões será a seguinte:
Exemplo:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
E qual será a prioridade: multiplicação - ou divisão, subtração - ou adição, se ambas as ações ocorrerem na tarefa? Nada, eles são iguais, neste caso a primeira regra se aplica - as ações são executadas uma após a outra, começando pela esquerda.
Algoritmo para resolver a expressão:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Resposta: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Importante! Se a expressão contiver letras, o procedimento permanece o mesmo.
A rodada zero é tão bonita
Mas isso não significa nada.
Nos exemplos, o zero não ocorre como número, mas pode ser resultado de alguma ação intermediária, por exemplo:
Ao multiplicar por 0, a regra diz que o resultado será sempre 0. Por quê? Pode ser explicado simplesmente: o que é multiplicação? Este é o mesmo número, adicionado ao seu próprio tipo várias vezes. Por outro lado:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Dividir por 0 não tem sentido, e dividir zero por qualquer número sempre resultará em 0:
0: 5 = 0.
Lembre-se de outras operações aritméticas com zero:
Multiplicação e divisão por um
As operações matemáticas com um são diferentes das operações com zero. Quando um número é multiplicado ou dividido por 1, o próprio número original é obtido:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
Claro, se você tem 7 amigos, e cada um lhe deu um doce, você terá 7 doces, e se você os comeu sozinho, ou seja, compartilhou apenas com você mesmo, todos eles acabaram no seu estômago.
Cálculos com frações, potências e funções complexas
Esses são casos complexos de computação que não são abordados no ensino fundamental.
Multiplicar frações simples entre si não é difícil, basta multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador.
Exemplo:
Após a redução temos: \(\) = \(\).
Dividir frações simples não é tão difícil quanto parece à primeira vista. Basta transformar o problema - transformá-lo em um exemplo com multiplicação. Para fazer isso é simples - você precisa inverter a fração para que o denominador se torne o numerador e o numerador se torne o denominador.
Exemplo:
Se um número for encontrado no problema, representado como uma potência, seu valor é calculado antes de todos os outros (você pode imaginar que ele está entre colchetes - e as ações entre colchetes são executadas primeiro).
Exemplo:
Ao converter um número representado como uma potência em uma expressão regular com uma ação de multiplicação, resolver o exemplo ficou simples: primeiro a multiplicação, depois a subtração (porque está entre colchetes) e a divisão.
Como tais funções são estudadas apenas no âmbito do ensino médio, não as consideraremos, basta dizer que elas, como no caso dos poderes, têm prioridade no cálculo: primeiro, encontra-se o valor dessa expressão , então a ordem de cálculo é normal - colchetes, multiplicação com divisão e, em seguida, da esquerda para a direita.
Principais regras sobre o tema
Falando sobre as operações matemáticas principais e não principais, deve-se dizer que as quatro operações principais podem ser reduzidas a duas: adição e multiplicação. Se a subtração e a divisão parecem difíceis para as crianças em idade escolar, elas se lembram das regras de adição e multiplicação mais rapidamente. De fato, a expressão 5 - 2 pode ser escrita de maneira diferente:
Nos casos com multiplicação, aplicam-se regras semelhantes às propriedades da adição: o produto não mudará a partir de um rearranjo de fatores:
Ao resolver problemas complexos, a primeira ação é aquela que está destacada entre parênteses, depois a divisão ou multiplicação, depois todas as outras ações em ordem.
Quando você precisa resolver exemplos sem colchetes, primeiro é realizada a multiplicação ou divisão, depois a subtração ou adição.
Multiplicação e divisão de inteiros
Ao multiplicar e dividir números inteiros, várias regras se aplicam. Nesta lição, veremos cada um deles.
Ao multiplicar e dividir números inteiros, preste atenção aos sinais dos números. Vai depender deles qual regra aplicar. Você também precisa aprender algumas leis de multiplicação e divisão. Aprender essas regras o ajudará a evitar alguns erros embaraçosos no futuro.
Leis da multiplicação
Algumas das leis da matemática consideramos na lição as leis da matemática. Mas não consideramos todas as leis. Existem muitas leis na matemática, e seria mais sensato estudá-las sequencialmente conforme necessário.
Primeiro, vamos lembrar em que consiste a multiplicação. A multiplicação consiste em três parâmetros: multiplicando, multiplicador e funciona. Por exemplo, na expressão 3 × 2 = 6, o número 3 é o multiplicando, o número 2 é o multiplicador e o número 6 é o produto.
Multiplicando mostra exatamente o que estamos aumentando. Em nosso exemplo, aumentamos o número 3.
Fator Mostra quantas vezes você precisa aumentar o multiplicando. No nosso exemplo, o multiplicador é o número 2. Esse multiplicador mostra quantas vezes você precisa aumentar o multiplicador 3. Ou seja, durante a operação de multiplicação, o número 3 será duplicado.
Trabalhar este é realmente o resultado da operação de multiplicação. No nosso exemplo, o produto é o número 6. Este produto é o resultado da multiplicação de 3 por 2.
A expressão 3 × 2 também pode ser entendida como a soma de duas triplas. O multiplicador 2 neste caso mostrará quantas vezes você precisa pegar o número 3:
Assim, se você pegar o número 3 duas vezes seguidas, obtém o número 6.
Lei comutativa da multiplicação
O multiplicador e o multiplicador são chamados de uma palavra comum - fatores. A lei comutativa da multiplicação fica assim:
Da permutação dos lugares dos fatores, o produto não muda.
Vamos verificar se este é o caso. Multiplique por exemplo 3 por 5. Aqui 3 e 5 são fatores.
Agora vamos trocar os fatores:
Em ambos os casos, obtemos a resposta 15, o que significa que podemos colocar um sinal de igual entre as expressões 3 × 5 e 5 × 3, pois são iguais ao mesmo valor:
E com a ajuda de variáveis, a lei comutativa da multiplicação pode ser escrita da seguinte forma:
Onde uma e b- fatores
Lei associativa da multiplicação
Esta lei diz que se uma expressão consiste em vários fatores, então o produto não dependerá da ordem das operações.
Por exemplo, a expressão 3 × 2 × 4 consiste em vários fatores. Para calculá-lo, você pode multiplicar 3 e 2 e, em seguida, multiplicar o produto resultante pelo número restante 4. Ficará assim:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
Esta foi a primeira solução. A segunda opção é multiplicar 2 e 4 e, em seguida, multiplicar o produto resultante pelo número 3 restante. Ficará assim:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
Em ambos os casos, obtemos a resposta 24. Portanto, entre as expressões (3 × 2) × 4 e 3 × (2 × 4) podemos colocar um sinal de igual, pois são iguais ao mesmo valor:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
e com a ajuda de variáveis, a lei associativa da multiplicação pode ser escrita da seguinte forma:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
onde em vez de a, b, c pode ser qualquer número.
Lei distributiva da multiplicação
A lei distributiva da multiplicação permite que você multiplique uma soma por um número. Para fazer isso, cada termo dessa soma é multiplicado por esse número e, em seguida, os resultados são somados.
Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão (2 + 3) × 5
A expressão entre parênteses é a soma. Esse valor deve ser multiplicado pelo número 5. Para isso, cada termo dessa soma, ou seja, os números 2 e 3, deve ser multiplicado pelo número 5, depois somar os resultados:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Portanto, o valor da expressão (2 + 3) × 5 é 25 .
Com a ajuda de variáveis, a lei distributiva da multiplicação é escrita da seguinte forma:
(a + b) × c = a × c + b × c
onde em vez de a, b, c pode ser qualquer número.
A lei da multiplicação por zero
Esta lei diz que se em qualquer multiplicação houver pelo menos um zero, então a resposta será zero.
O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero.
Por exemplo, a expressão 0 × 2 é zero
Nesse caso, o número 2 é um multiplicador e mostra quantas vezes você precisa aumentar o multiplicando. Ou seja, quantas vezes aumentar zero. Literalmente, esta expressão é lida como "aumentar zero duas vezes". Mas como você pode dobrar zero se é zero?
Em outras palavras, se “nada” for duplicado, ou mesmo um milhão de vezes, ainda será “nada”.
E se na expressão 0 × 2 trocamos os fatores, novamente obtemos zero. Sabemos isso da lei de deslocamento anterior:
Exemplos de aplicação da lei da multiplicação por zero:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
Nos dois últimos exemplos, há vários fatores. Vendo zero neles, imediatamente colocamos zero na resposta, aplicando a lei da multiplicação por zero.
Consideramos as leis básicas da multiplicação. Em seguida, considere a multiplicação de inteiros.
Multiplicação de inteiros
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão -5 × 2
Esta é a multiplicação de números com sinais diferentes. -5 é negativo e 2 é positivo. Para esses casos, a seguinte regra deve ser aplicada:
Para multiplicar números com sinais diferentes, você precisa multiplicar seus módulos e colocar um menos antes da resposta recebida.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Geralmente escrito mais curto: −5 × 2 = −10
Qualquer multiplicação pode ser representada como uma soma de números. Por exemplo, considere a expressão 2 × 3. É igual a 6.
O multiplicador nesta expressão é o número 3. Este multiplicador mostra quantas vezes você precisa aumentar os dois. Mas a expressão 2 × 3 também pode ser entendida como a soma de três dois:
A mesma coisa acontece com a expressão −5 × 2. Esta expressão pode ser representada como uma soma
E a expressão (-5) + (-5) é igual a -10, e sabemos disso na última lição. Esta é a adição de números negativos. Lembre-se de que o resultado da adição de números negativos é um número negativo.
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão 12 × (−5)
Esta é a multiplicação de números com sinais diferentes. 12 é um número positivo, (-5) é negativo. Novamente, aplicamos a regra anterior. Multiplicamos os módulos de números e colocamos um menos antes da resposta recebida:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Geralmente escrito mais curto: 12 × (−5) = −60
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 10 × (−4) × 2
Essa expressão consiste em vários fatores. Primeiro, multiplique 10 e (−4), depois multiplique o número resultante por 2. Ao longo do caminho, aplique as regras estudadas anteriormente:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Segunda ação:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Portanto, o valor da expressão 10 × (−4) × 2 é −80
Geralmente escrito mais curto: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Exemplo 4 Encontre o valor da expressão (−4) × (−2)
Esta é a multiplicação de números negativos. Nesses casos, a seguinte regra deve ser aplicada:
Para multiplicar números negativos, você precisa multiplicar seus módulos e colocar um sinal de mais na frente da resposta recebida.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Além disso, por tradição, não escrevemos, então apenas escrevemos a resposta 8.
Geralmente escrito mais curto (−4) × (−2) = 8
Surge a pergunta por que, ao multiplicar números negativos, um número positivo resulta de repente. Vamos tentar provar que (−4) × (−2) é igual a 8 e nada mais.
Primeiro, escrevemos a seguinte expressão:
Vamos colocá-lo entre parênteses:
Vamos adicionar nossa expressão (−4) × (−2) a essa expressão. Vamos colocar entre parênteses também:
Igualamos tudo isso a zero:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Agora começa a diversão. A linha inferior é que devemos calcular o lado esquerdo desta expressão e, como resultado, obter 0.
Portanto, o primeiro produto (4 × (−2)) é −8. Vamos escrever o número −8 em nossa expressão em vez do produto (4 × (−2))
Agora, em vez do segundo produto, colocamos temporariamente reticências
Agora vamos olhar atentamente para a expressão −8 + […] = 0. Que número deve ser usado no lugar das reticências para que a igualdade seja observada? A resposta sugere-se. Em vez de reticências, deve haver um número 8 positivo e nenhum outro. Só assim a igualdade será mantida. Porque −8 + 8 é igual a 0.
Voltamos à expressão −8 + ((−4) × (−2)) = 0 e em vez do produto ((−4) × (−2)) escrevemos o número 8
Exemplo 5 Encontre o valor da expressão −2 × (6 + 4)
Aplicamos a lei distributiva da multiplicação, ou seja, multiplicamos o número -2 por cada termo da soma (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Agora vamos avaliar as expressões entre colchetes. Em seguida, somamos os resultados. Ao longo do caminho, aplique as regras aprendidas anteriormente. A entrada com módulos pode ser omitida para não confundir a expressão
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
Terceira ação:
Portanto, o valor da expressão −2 × (6 + 4) é −20
Geralmente escrito mais curto: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Exemplo 6 Encontre o valor da expressão (−2) × (−3) × (−4)
A expressão consiste em vários fatores. Primeiro, multiplicamos os números -2 e -3, e o produto resultante é multiplicado pelo número restante -4. Pulamos a entrada com módulos para não confundir a expressão
Portanto, o valor da expressão (−2) × (−3) × (−4) é −24
Geralmente escrito mais curto: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Leis de divisão
Antes de dividir números inteiros, é necessário estudar duas leis de divisão.
Antes de tudo, vamos lembrar em que consiste a divisão. A divisão consiste em três parâmetros: divisível, divisor e privado. Por exemplo, na expressão 8: 2 = 4, 8 é o dividendo, 2 é o divisor, 4 é o quociente.
Dividendo mostra exatamente o que compartilhamos. Em nosso exemplo, estamos dividindo o número 8.
Divisor Mostra quantas partes dividir o dividendo. No nosso exemplo, o divisor é o número 2. Esse divisor mostra em quantas partes dividir o dividendo 8. Ou seja, durante a operação de divisão, o número 8 será dividido em duas partes.
Privadoé o resultado real da operação de divisão. Em nosso exemplo, o quociente é 4. Esse quociente é o resultado da divisão de 8 por 2.
Não pode dividir por zero
Qualquer número não pode ser dividido por zero. Isso ocorre porque a divisão é o inverso da multiplicação. Por exemplo, se 2 × 6 = 12, então 12:6 = 2
Pode-se ver que a segunda expressão é escrita na ordem inversa.
Agora faremos o mesmo para a expressão 5 × 0. Sabemos pelas leis da multiplicação que o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Então a expressão 5 × 0 também é zero
Se escrevermos esta expressão na ordem inversa, teremos:
A resposta que imediatamente chama a atenção é 5, que é o resultado da divisão de zero por zero. É impossível e estúpido.
Outra expressão semelhante pode ser escrita em ordem inversa, por exemplo 2 × 0 = 0
No primeiro caso, dividindo zero por zero, temos 5, e no segundo caso, 2. Ou seja, cada vez que dividimos zero por zero, podemos obter valores diferentes, e isso é inaceitável.
A segunda explicação é que dividir o dividendo pelo divisor significa encontrar um número que, quando multiplicado pelo divisor, dará o dividendo.
Por exemplo, a expressão 8:2 significa encontrar um número que, quando multiplicado por 2, dará 8
Aqui, em vez das reticências, deve haver um número que, multiplicado por 2, dê a resposta 8. Para encontrar esse número, basta escrever esta expressão na ordem inversa:
Agora imagine que você precisa encontrar o valor da expressão 5: 0. Nesse caso, 5 é o dividendo, 0 é o divisor. Dividir 5 por 0 significa encontrar um número que, quando multiplicado por 0, dará 5
Aqui, em vez das reticências, deve haver um número que, multiplicado por 0, dê 5 como resposta. Mas não há número que, multiplicado por zero, dê 5.
A expressão […] × 0 = 5 contraria a lei da multiplicação por zero, que afirma que o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Então escrever a expressão […] × 0 = 5 na ordem inversa, dividindo 5 por 0 não faz sentido. É por isso que dizem que você não pode dividir por zero.
Com a ajuda de variáveis, esta lei é escrita da seguinte forma:
No b ≠ 0
Número uma pode ser dividido por um número b, providenciou que b não igual a zero.
propriedade privada
Esta lei diz que se o dividendo e o divisor forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número, o quociente não mudará.
Por exemplo, considere a expressão 12: 4. O valor desta expressão é 3
Vamos tentar multiplicar o dividendo e o divisor pelo mesmo número, por exemplo, pelo número 4. Se acreditarmos na propriedade do quociente, devemos novamente obter o número 3 na resposta
(12×4): (4×4)
(12 × 4): (4 × 4) = 48: 16 = 3
Agora vamos tentar não multiplicar, mas dividir o dividendo e o divisor pelo número 4
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
Recebeu uma resposta 3.
Vemos que se o dividendo e o divisor são multiplicados ou divididos pelo mesmo número, o quociente não muda.
Divisão de inteiros
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão 12: (−2)
Esta é a divisão de números com sinais diferentes. 12 é um número positivo, (-2) é negativo. Nesses casos, você precisa
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Geralmente escrito menor que 12: (−2) = −6
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão -24: 6
Esta é a divisão de números com sinais diferentes. −24 é negativo, 6 é positivo. Nesses casos, novamente, divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e coloque um sinal de menos na frente da resposta recebida.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Geralmente escrito com menos de -24: 6 = -4
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão (−45) : (−5)
Esta é a divisão de números negativos. Nesses casos, você precisa divida o módulo do dividendo pelo módulo do divisor e coloque um sinal de mais na frente da resposta recebida.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Geralmente escrito mais curto (−45): (−5) = 9
Exemplo 4 Encontre o valor da expressão (−36) : (−4) : (−3)
De acordo com a ordem das operações, se a expressão contiver apenas multiplicação ou divisão, todas as ações devem ser executadas da esquerda para a direita na ordem em que aparecem.
Divida (−36) por (−4) e divida o número resultante por (−3)
Primeira ação:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Geralmente escrito mais curto (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
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Mesmo na escola, os professores tentavam martelar a regra mais simples em nossas cabeças: "Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero!", - mas ainda muita controvérsia surge constantemente em torno dele. Alguém acabou de memorizar a regra e não se incomoda com a pergunta “por quê?”. “Você não pode fazer tudo aqui, porque na escola eles diziam, a regra é a regra!” Alguém pode preencher metade de um caderno com fórmulas, comprovando essa regra ou, inversamente, sua falta de lógica.
Quem está certo no final
Durante essas disputas, ambas as pessoas, tendo pontos de vista opostos, olham uma para a outra como um carneiro e provam com todas as suas forças que estão certas. Embora, se você olhar para eles de lado, você pode ver não um, mas dois carneiros descansando um contra o outro com seus chifres. A única diferença entre eles é que um é um pouco menos educado do que o outro.
Na maioria das vezes, aqueles que consideram essa regra errada tentam chamar a lógica desta maneira:
Eu tenho duas maçãs na minha mesa, se eu colocar zero maçãs nelas, ou seja, eu não colocar uma única, então minhas duas maçãs não desaparecerão disso! A regra é ilógica!
De fato, as maçãs não desaparecerão em nenhum lugar, mas não porque a regra é ilógica, mas porque uma equação ligeiramente diferente é usada aqui: 2 + 0 \u003d 2. Portanto, descartaremos imediatamente essa conclusão - é ilógica, embora tenha a objetivo oposto - para chamar a lógica.
O que é multiplicação
A regra de multiplicação original foi definido apenas para números naturais: a multiplicação é um número adicionado a si mesmo um certo número de vezes, o que implica a naturalidade do número. Assim, qualquer número com multiplicação pode ser reduzido a esta equação:
- 25x3=75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25x3 = 25 + 25 + 25
Desta equação segue a conclusão, que a multiplicação é uma adição simplificada.
O que é zero
Qualquer pessoa sabe desde a infância: zero é o vazio. Apesar de esse vazio ter uma designação, ele não carrega nada. Os antigos cientistas orientais pensavam de forma diferente - eles abordaram a questão filosoficamente e traçaram alguns paralelos entre o vazio e o infinito e viram um significado profundo nesse número. Afinal, zero, que tem o valor do vazio, ao lado de qualquer número natural, o multiplica dez vezes. Daí toda a polêmica sobre a multiplicação - esse número carrega tanta inconsistência que fica difícil não se confundir. Além disso, o zero é constantemente usado para determinar dígitos vazios em frações decimais, isso é feito antes e depois do ponto decimal.
É possível multiplicar por vazio
É possível multiplicar por zero, mas é inútil, porque, não importa o que se diga, mas mesmo multiplicando números negativos, o zero ainda será obtido. Basta lembrar-se dessa regra mais simples e nunca mais fazer essa pergunta. Na verdade, tudo é mais simples do que parece à primeira vista. Não há significados e segredos ocultos, como os cientistas antigos acreditavam. A explicação mais lógica será dada abaixo de que essa multiplicação é inútil, porque ao multiplicar um número por ele, a mesma coisa ainda será obtida - zero.
Voltando ao início, o argumento sobre duas maçãs, 2 vezes 0 é assim:
- Se você comer duas maçãs cinco vezes, então comeu 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 maçãs
- Se você comer duas delas três vezes, então comeu 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 maçãs
- Se você comer duas maçãs zero vezes, nada será comido - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0
Afinal, comer uma maçã 0 vezes significa não comer uma única. Isso ficará claro até para a criança menor. Goste ou não, 0 sairá, dois ou três podem ser substituídos por absolutamente qualquer número e absolutamente a mesma coisa sairá. E para simplificar, zero não é nada e quando você tem não há nada, então não importa o quanto você multiplique - é tudo a mesma coisa será zero. Não há mágica, e nada fará uma maçã, mesmo que você multiplique 0 por um milhão. Esta é a explicação mais simples, mais compreensível e lógica da regra da multiplicação por zero. Para uma pessoa que está longe de todas as fórmulas e matemáticas, tal explicação será suficiente para a dissonância na cabeça se resolver e tudo se encaixar.
Divisão
De todos os itens acima segue outra regra importante:
Você não pode dividir por zero!
Essa regra também foi teimosamente martelada em nossas cabeças desde a infância. Só sabemos que é impossível e pronto, sem encher a cabeça com informações desnecessárias. Se de repente você for perguntado, por que razão é proibido dividir por zero, a maioria ficará confusa e não poderá responder claramente à pergunta mais simples do currículo escolar, porque não há tantas disputas e contradições em torno desta regra.
Todo mundo acabou de memorizar a regra e não divide por zero, não suspeitando que a resposta esteja na superfície. Adição, multiplicação, divisão e subtração são desiguais, apenas a multiplicação e a adição estão cheias do acima, e todas as outras manipulações com números são construídas a partir delas. Ou seja, a entrada 10: 2 é uma abreviação da equação 2 * x = 10. Portanto, a entrada 10: 0 é a mesma abreviação de 0 * x = 10. Acontece que a divisão por zero é uma tarefa para encontrar um número, multiplicando por 0, você obtém 10 E já descobrimos que esse número não existe, o que significa que essa equação não tem solução e será a priori incorreta.
Deixe-me dizer-lhe
Para não dividir por 0!
Corte 1 como quiser, junto,
Só não divida por 0!
Apresentação para a aula
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- Introduzir casos especiais de multiplicação com 0 e 1.
- Consolidar o significado de multiplicação e a propriedade comutativa da multiplicação, para desenvolver competências computacionais.
- Desenvolver a atenção, a memória, as operações mentais, a fala, a criatividade, o interesse pela matemática.
Equipamento: Apresentação de slides: Apêndice1.
1. Momento organizacional.
Hoje é um dia inusitado para nós. Há convidados na aula. Agradem a mim, amigos, convidados com seus sucessos. Cadernos abertos, anote o número, trabalho de classe. Na margem, marque seu humor no início da lição. Slide 2.
Verbalmente, toda a classe repete a tabuada nas cartas, falando em voz alta (As crianças marcam as respostas erradas com palmas).
Fizkultminutka (“Ginástica cerebral”, “Chapéu para reflexão”, para respirar).
2. Declaração da tarefa de aprendizagem.
2.1. Tarefas para o desenvolvimento da atenção.
No quadro e na mesa, as crianças têm uma imagem de duas cores com números:
– O que há de interessante nos números escritos? (Escritos em cores diferentes; todos os números “vermelhos” são pares e os “azul” são ímpares.)
Qual é o número extra? (10 é redondo e o resto não; 10 é dois dígitos e o resto é um dígito; 5 é repetido duas vezes e o resto é um de cada vez.)
- Vou fechar o número 10. Existe algum extra entre os outros números? (3 - ele não tem um par abaixo de 10, mas os outros sim.)
– Encontre a soma de todos os números “vermelhos” e anote-a no quadrado vermelho. (30.)
– Encontre a soma de todos os números “azuis” e anote-a no quadrado azul. (23.)
Quanto mais é 30 do que 23? (Em 7.)
Quanto é 23 menos que 30? (Também às 7.)
Qual ação você estava procurando? (Subtração.) Slide 3.
2.2. Tarefas para o desenvolvimento da memória e da fala. Atualização de conhecimento.
a) - Repita na ordem as palavras que vou nomear: termo, termo, soma, reduzido, subtraído, diferença. (As crianças tentam reproduzir a ordem das palavras.)
Quais componentes de ação foram nomeados? (Adição e subtração.)
Qual ação você conhece? (Multiplicação, divisão.)
- Nomeie os componentes da multiplicação. (Multiplicador, multiplicador, produto.)
O que significa o primeiro multiplicador? (Termos iguais na soma.)
O que significa o segundo multiplicador? (O número de tais termos.)
Escreva a definição de multiplicação.
b) Observe as notas. Que tarefa você vai fazer?
12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
a + a + a
(Substitua a soma pelo produto.)
O que vai acontecer? (A primeira expressão tem 5 termos, cada um dos quais é igual a 12, então é igual a 12 5. Da mesma forma - 33 4 e 3)
c) Nomeie a operação inversa. (Substitua o produto pela soma.)
– Substitua o produto pela soma nas expressões: 99 2. 8 4. b 3. (99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, b + b + b). slide 4.
d) As equações são escritas no quadro:
81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5
As imagens são colocadas ao lado de cada igualdade.
Os animais da escola da floresta estavam em missão. Eles fizeram certo?
As crianças estabelecem que o elefante, o tigre, a lebre e o esquilo cometeram um erro, explicam quais são os seus erros. Slide 5.
e) Compare as expressões:
8 5. 5 8
5 6. 3 6
34 9… 31 2
a 3. a 2 + a
(8 5 \u003d 5 8, pois a soma não muda com o rearranjo dos termos;
5 6 > 3 6, pois há 6 termos à esquerda e à direita, mas os termos à esquerda são maiores;
34 9 > 31 2. pois há mais termos à esquerda e os próprios termos são maiores;
a 3 \u003d a 2 + a, pois existem 3 termos à esquerda e à direita, iguais a a.)
Que propriedade de multiplicação foi usada no primeiro exemplo? (Deslocamento.) Slide 6.
2.3. Formulação do problema. Definição de metas.
As igualdades são verdadeiras? Por quê? (Correto, já que a soma 5 + 5 + 5 = 15. Então a soma se torna mais um termo 5, e a soma aumenta em 5.)
5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30
– Continue este padrão para a direita. (5 7 = 35; 5 8 = 40.)
- Continue agora para a esquerda. (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- O que significa a expressão 5 1? cinquenta? (? Problema!)
No entanto, as expressões 5 1 e 5 0 não fazem sentido. Podemos concordar em considerar essas igualdades verdadeiras. Mas para isso precisamos verificar se violamos a propriedade comutativa da multiplicação.
Então, o objetivo da nossa lição é determinar se podemos contar as igualdades 5 1 = 5 e 5 0 = 0 correto?
Problema da lição! Slide 7.
3. “Descoberta” de novos conhecimentos pelas crianças.
a) - Siga os passos: 1 7, 1 4, 1 5.
As crianças resolvem exemplos com comentários em um caderno e no quadro:
1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5
- Faça uma conclusão: 1 a -? (1a = a.) O cartão está exposto: 1 a = a
b) - As expressões 7 1, 4 1, 5 1 fazem sentido? Por quê? (Não, pois a soma não pode ter um termo.)
– A que devem ser iguais para não violar a propriedade comutativa da multiplicação? (7 1 também deve ser igual a 7, então 7 1 = 7.)
4 1 = 4; 5 1 = 5.
- Faça uma conclusão: a 1 =? (a 1 = a.)
A carta está exposta: a 1 = a. O primeiro cartão é sobreposto ao segundo: a 1 \u003d 1 a \u003d a.
- Nossa conclusão coincide com o que obtivemos no feixe numérico? (Sim.)
– Traduza esta igualdade para o russo. (Quando você multiplica um número por 1 ou 1 por um número, obtém o mesmo número.)
- Bem feito! Portanto, consideraremos: a 1 \u003d 1 a \u003d a. slide 8.
2) O caso da multiplicação com 0 é estudado de forma semelhante.
- quando um número é multiplicado por 0 ou 0 por um número, obtém-se zero: a 0 \u003d 0 a \u003d 0. slide 9.
- Compare ambas as igualdades: o que 0 e 1 te lembram?
As crianças expressam suas opiniões. Você pode chamar a atenção deles para as imagens:
1 - "espelho", 0 - "fera terrível" ou "tampa de invisibilidade".
Bem feito! Então, multiplicando por 1 dá o mesmo número. (1 - “espelho”), e quando multiplicado por 0, obtemos 0 ( 0 - “limite de invisibilidade”).
4. Educação física (para os olhos - “círculo”, “para cima - para baixo”, para as mãos - “trava”, “cams”).
5. Fixação primária.
Exemplos são escritos no quadro:
As crianças os resolvem em um caderno e em um quadro-negro com a pronúncia das regras recebidas em um discurso alto, por exemplo:
3 1 = 3, pois ao multiplicar um número por 1, obtém-se o mesmo número (1 é um “espelho”), etc.
a) 145x = 145; b) x 437 = 437.
- Ao multiplicar 145 por um número desconhecido, resultou em 145. Então, eles multiplicaram por 1 x = 1. Etc.
- Multiplicar 8 por um número desconhecido resultou em 0. Então, multiplicado por 0 x \u003d 0. E assim por diante.
6. Trabalho independente com verificação de classe. slide 10.
As crianças resolvem independentemente exemplos gravados. Então terminou
eles verificam suas respostas com pronúncia em voz alta, marcam exemplos resolvidos corretamente com um sinal de adição, corrigem os erros cometidos. Aqueles que cometeram erros recebem uma tarefa semelhante em um cartão e trabalham nela individualmente enquanto a classe resolve problemas de repetição.
7. Tarefas de repetição. (Trabalho em dupla). Slide 11.
a) - Quer saber o que o espera no futuro? Você pode descobrir decifrando o registro:
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Multiplicação por 1 e 0 regra
De acordo com a definição geralmente aceita, zeroé o número que separa os números positivos dos números negativos na reta numérica. Zero- este é o lugar mais problemático da matemática, que não obedece à lógica, e todas as operações matemáticas com zero baseado não em lógica, mas em definições geralmente aceitas.
O primeiro exemplo de problema zero são números naturais. nas escolas russas zero não é um número natural, em outras escolas zero é um número natural. Como o conceito de “números naturais” é uma separação artificial de alguns números de todos os outros números de acordo com certos critérios, não pode haver prova matemática da naturalidade ou não naturalidade do zero. O zero é considerado um elemento neutro em relação às operações de adição e subtração.
Zero é considerado um número inteiro, sem sinal. Também zeroé considerado um número par, pois quando você divide zero por 2, obtém um número inteiro zero.
Zeroé o primeiro dígito em todos os sistemas numéricos padrão. Nos sistemas de numeração posicionais, aos quais pertence o sistema de numeração decimal que nos é familiar, o dígito zero indicar a ausência de um valor para este bit ao escrever um número. Os índios maias usavam o zero em seu sistema de numeração duodecimal mil anos antes dos matemáticos indianos. Todos os meses começavam do dia zero no calendário maia. Curiosamente, o mesmo sinal zero Os matemáticos maias também denotavam o infinito - o segundo problema da matemática moderna.
Palavra " zero" em árabe soa como "syfr". Da palavra árabe zero(syfr) ocorreu a palavra "número".
Como soletrar - zero ou zero? As palavras zero e zero têm o mesmo significado, mas diferem no uso. Usualmente, zero usado na fala cotidiana e em uma série de combinações estáveis, zero- na terminologia, no discurso científico. Ambas as grafias desta palavra estão corretas. Por exemplo: Divisão por zero. Zero inteiro. Atenção zero. Zero sem uma varinha. Zero absoluto. Zero ponto cinco.
Na gramática, palavras derivadas de palavras zero e zero são escritos assim: zero ou zero, zero ou zero, zero ou zero, zero ou menos comum zero, zero-zero. Por exemplo: Abaixo de zero. Igual a zero. Reduza a zero. Meridiano zero. Zero quilometragem. Às doze zero zero.
Em operações matemáticas com zero, os seguintes resultados foram definidos até o momento:
Adição- se você adicionar a qualquer número zero, o número permanecerá inalterado; se para zero adicione qualquer número, o resultado da adição será o mesmo de qualquer número:
subtração- se você subtrair de qualquer número zero, o número permanecerá inalterado; se de zero subtrair qualquer número, o resultado será o mesmo qualquer número com o sinal oposto:
multiplicação- se algum número for multiplicado por zero, o resultado é zero; Se zero é multiplicado por qualquer número, o resultado é zero:
divisão- divisão por zero proibido porque o resultado não existe; a visão geralmente aceita do problema da divisão por zero é apresentada no trabalho de Alexander Sergeev " Por que você não pode dividir por zero?» ; para os curiosos, foi escrito outro artigo que discute a possibilidade de dividir por zero:
a: 0 = sem divisão por zero, em que uma não igual a zero
zero dividir por zero- a expressão não faz sentido, pois não pode ser definida:
0: 0 = expressão não faz sentido
zero dividido por um número- E se zero dividido por um número o resultado será sempre zero, não importa qual número esteja no denominador (uma exceção a esta regra é o número zero, Veja acima):
0:a=0, em que uma não igual a zero
zero à potência — zero igual em qualquer medida zero:
0 a = 0, em que uma não igual a zero
exponenciação- qualquer número elevado à potência zeroé igual a um (número elevado à potência de 0):
a 0 = 1, em que uma não igual a zero
zero elevado a zero- a expressão não faz sentido, pois não pode ser definida (zero elevado a zero, 0 elevado a 0):
0 0 = expressão não faz sentido
extração de raizé qualquer raiz de grau de zeroé igual a zero:
0 1/a = 0, em que uma não igual a zero
fatorial- fatorial de zero, ou fatorial zero, é igual a um:
distribuição de dígitos- ao calcular a distribuição de números zero considerado um número insignificante. Alterando a abordagem nas regras para contar a distribuição de dígitos quando zero considerado um dígito SIGNIFICATIVO permitirá obter resultados mais precisos da distribuição de dígitos em todos os sistemas numéricos padrão, incluindo o sistema numérico binário.
Quem está interessado na questão de zero, proponho a leitura do artigo "The History of Zero" de J. J. O'Connor e E. F. Robertson, traduzido por I. Yu. Osmolovsky.
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Como multiplicar por 0,1
Vamos analisar a regra e ver exemplos de como multiplicar qualquer número por 0,1.
Portanto, a multiplicação de um número por 0,1 pode ser substituída pela divisão por 10. Em termos gerais, isso pode ser escrito da seguinte forma:
É aí que entra a regra.
0,1 regra de multiplicação
Para multiplicar um número por 0,1, você precisa mover a vírgula no registro desse número um dígito para a esquerda.
Ao escrever um número natural, não escreva uma vírgula no final:
Multiplicar um número natural por 0,1 significa mover esta vírgula um caractere para a esquerda:
Se o último dígito no registro de um número natural for zero, como resultado da multiplicação desse número por 0,1, obtemos um número natural (já que o zero após o ponto decimal no final do número não é escrito):
Para multiplicar uma fração ordinária por 0,1, ambas as frações devem ser reduzidas para a mesma forma - ou a fração ordinária é convertida em decimal, ou a fração decimal é convertida em ordinária.
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Regra para multiplicar qualquer número por zero
Mesmo na escola, os professores tentavam martelar a regra mais simples em nossas cabeças: "Qualquer número multiplicado por zero é igual a zero!", - mas ainda muita controvérsia surge constantemente em torno dele. Alguém acabou de memorizar a regra e não se incomoda com a pergunta “por quê?”. “Você não pode fazer tudo aqui, porque na escola eles diziam, a regra é a regra!” Alguém pode preencher metade de um caderno com fórmulas, comprovando essa regra ou, inversamente, sua falta de lógica.
Quem está certo no final
Durante essas disputas, ambas as pessoas, tendo pontos de vista opostos, olham uma para a outra como um carneiro e provam com todas as suas forças que estão certas. Embora, se você olhar para eles de lado, você pode ver não um, mas dois carneiros descansando um contra o outro com seus chifres. A única diferença entre eles é que um é um pouco menos educado do que o outro.
Isso é interessante: termos de bits - o que é isso?
Na maioria das vezes, aqueles que consideram essa regra errada tentam chamar a lógica desta maneira:
Eu tenho duas maçãs na minha mesa, se eu colocar zero maçãs nelas, ou seja, eu não colocar uma única, então minhas duas maçãs não desaparecerão disso! A regra é ilógica!
De fato, as maçãs não desaparecerão em nenhum lugar, mas não porque a regra é ilógica, mas porque uma equação ligeiramente diferente é usada aqui: 2 + 0 \u003d 2. Portanto, descartaremos imediatamente essa conclusão - é ilógica, embora tenha a objetivo oposto - para chamar a lógica.
Isso é interessante: como encontrar a diferença de números em matemática?
O que é multiplicação
A regra de multiplicação original foi definido apenas para números naturais: a multiplicação é um número adicionado a si mesmo um certo número de vezes, o que implica a naturalidade do número. Assim, qualquer número com multiplicação pode ser reduzido a esta equação:
- 25x3=75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25x3 = 25 + 25 + 25
Desta equação segue a conclusão, que a multiplicação é uma adição simplificada.
Isso é interessante: o que é uma corda circular em geometria, definição e propriedades.
O que é zero
Qualquer pessoa sabe desde a infância: zero é o vazio. Apesar de esse vazio ter uma designação, ele não carrega nada. Os antigos cientistas orientais pensavam de forma diferente - eles abordaram a questão filosoficamente e traçaram alguns paralelos entre o vazio e o infinito e viram um significado profundo nesse número. Afinal, zero, que tem o valor do vazio, ao lado de qualquer número natural, o multiplica dez vezes. Daí toda a polêmica sobre a multiplicação - esse número carrega tanta inconsistência que fica difícil não se confundir. Além disso, o zero é constantemente usado para determinar dígitos vazios em frações decimais, isso é feito antes e depois do ponto decimal.
É possível multiplicar por vazio
É possível multiplicar por zero, mas é inútil, porque, não importa o que se diga, mas mesmo multiplicando números negativos, o zero ainda será obtido. Basta lembrar-se dessa regra mais simples e nunca mais fazer essa pergunta. Na verdade, tudo é mais simples do que parece à primeira vista. Não há significados e segredos ocultos, como os cientistas antigos acreditavam. A explicação mais lógica será dada abaixo de que essa multiplicação é inútil, porque ao multiplicar um número por ele, a mesma coisa ainda será obtida - zero.
Isso é interessante: qual é o módulo de um número?
Voltando ao início, o argumento sobre duas maçãs, 2 vezes 0 é assim:
- Se você comer duas maçãs cinco vezes, então comeu 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 maçãs
- Se você comer duas delas três vezes, então comeu 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 maçãs
- Se você comer duas maçãs zero vezes, nada será comido - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0
Afinal, comer uma maçã 0 vezes significa não comer uma única. Isso ficará claro até para a criança menor. Goste ou não, 0 sairá, dois ou três podem ser substituídos por absolutamente qualquer número e absolutamente a mesma coisa sairá. E para simplificar, zero não é nada e quando você tem não há nada, então não importa o quanto você multiplique - é tudo a mesma coisa será zero. Não há mágica, e nada fará uma maçã, mesmo que você multiplique 0 por um milhão. Esta é a explicação mais simples, mais compreensível e lógica da regra da multiplicação por zero. Para uma pessoa que está longe de todas as fórmulas e matemáticas, tal explicação será suficiente para a dissonância na cabeça se resolver e tudo se encaixar.
De todos os itens acima segue outra regra importante:
Você não pode dividir por zero!
Essa regra também foi teimosamente martelada em nossas cabeças desde a infância. Só sabemos que é impossível e pronto, sem encher a cabeça com informações desnecessárias. Se de repente você for perguntado, por que razão é proibido dividir por zero, a maioria ficará confusa e não poderá responder claramente à pergunta mais simples do currículo escolar, porque não há tantas disputas e contradições em torno desta regra.
Todo mundo acabou de memorizar a regra e não divide por zero, não suspeitando que a resposta esteja na superfície. Adição, multiplicação, divisão e subtração são desiguais, apenas a multiplicação e a adição estão cheias do acima, e todas as outras manipulações com números são construídas a partir delas. Ou seja, a entrada 10: 2 é uma abreviação da equação 2 * x = 10. Portanto, a entrada 10: 0 é a mesma abreviação de 0 * x = 10. Acontece que a divisão por zero é uma tarefa para encontrar um número, multiplicando por 0, você obtém 10 E já descobrimos que esse número não existe, o que significa que essa equação não tem solução e será a priori incorreta.
Deixe-me dizer-lhe
Para não dividir por 0!
Corte 1 como quiser, junto,
Só não divida por 0!
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Multiplicação com 0 e 1. 2º ano
Apresentação para a aula
Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.
Lições objetivas:
- Educacional:
- formar a capacidade de realizar a multiplicação com zero e um;
- para formar a capacidade de ler corretamente expressões matemáticas, nomeie os componentes da multiplicação;
- consolidar a capacidade de substituir o produto dos números pela soma e calcular verbalmente seu valor; para formar as habilidades iniciais de trabalhar com o teste.
- Educacional:
- para promover o desenvolvimento da fala matemática, memória de trabalho, atenção voluntária, pensamento visual-eficaz.
- Educacional:
- cultivar uma cultura de comportamento no trabalho frontal, trabalho individual; interesse pelo assunto.
Tipo de lição- uma lição na descoberta de novos conhecimentos.
A formação de novas habilidades só é possível na atividade, portanto, no desenvolvimento da aula, foi utilizada a tecnologia do método da atividade. O uso desta tecnologia é um fator significativo para aumentar a eficiência do domínio do conhecimento do assunto pelos alunos, a formação de ações educacionais universais: regulatório, comunicativo, cognitivo.
A aula desenvolvida tem a seguinte estrutura:
1. Aquisição de experiência primária na realização de uma ação e motivação.
2. Formação de um novo método (algoritmo) de ação, estabelecimento de vínculos primários com métodos existentes.
3. Treinamento, esclarecimento de conexões, autocontrole e correção.
4. Controle.
Equipamento para a aula:
- Padrão: um livro didático, uma tabela para preencher as respostas dos testes, estrelas de papel coloridas, memorandos para os alunos.
- Inovativa: projetor multimídia, quadro interativo, apresentação multimídia "Jornada ao Planeta da Multiplicação"
A utilização de componentes multimédia na aula introduz um elemento de novidade, torna o processo de trabalho visual e ajuda o professor a concentrar-se nos pontos principais. O trabalho em cada etapa da aula é construído como uma espécie de diálogo entre o professor e os alunos, em que a lousa interativa serve como demonstrador para a resolução de questões. A sua utilização no processo educativo permite alcançar um elevado grau de eficácia.
Química, Novas atribuições USE, Doronkin V.N., 2016 Química, Novas atribuições USE, Doronkin V.N., 2016. O manual foi compilado de acordo com as alterações na redação e conteúdo das atribuições nos testes USE de acordo com a nova especificação e é [… ]
