Este artigo contém informações básicas sobre numeros reais. Primeiro, a definição de números reais é dada e exemplos são dados. A posição dos números reais na linha de coordenadas é mostrada a seguir. E em conclusão, analisa-se como os números reais são dados na forma de expressões numéricas.

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Definição e exemplos de números reais

Números reais como expressões

Da definição de números reais, fica claro que os números reais são:

• qualquer número natural;
• qualquer número inteiro;
• qualquer fração ordinária (positiva e negativa);
• qualquer número misto;
• qualquer fração decimal (positiva, negativa, finita, periódica infinita, não periódica infinita).

Mas muitas vezes os números reais podem ser vistos na forma , etc. Além disso, a soma, diferença, produto e quociente de números reais também são números reais (veja operações com números reais). Por exemplo, estes são números reais.

E se você for mais longe, então de números reais usando sinais aritméticos, sinais de raiz, graus, logarítmica, funções trigonométricas, etc. você pode compor todos os tipos de expressões numéricas, cujos valores também serão números reais. Por exemplo, valores de expressão e são números reais.

Concluindo este artigo, notamos que o próximo passo na expansão do conceito de número é a transição de números reais para números reais. números complexos.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro para 8 células. instituições educacionais.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

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Os números naturais são definidos como números inteiros positivos. Os números naturais são usados ​​para contar objetos e para muitos outros propósitos. Aqui estão os números:

Esta é uma série natural de números.
Zero é um número natural? Não, zero não é um número natural.
Quantos números naturais existem? Existe um conjunto infinito de números naturais.
Qual é o menor número natural? Um é o menor número natural.
Qual é o maior número natural? Não pode ser especificado, porque existe um conjunto infinito de números naturais.

A soma dos números naturais é um número natural. Então, a adição dos números naturais a e b:

O produto de números naturais é um número natural. Então, o produto dos números naturais a e b:

c é sempre um número natural.

Diferença de números naturais Nem sempre existe um número natural. Se o minuendo for maior que o subtraendo, então a diferença dos números naturais é um número natural, caso contrário não é.

O quociente dos números naturais Nem sempre existe um número natural. Se para os números naturais a e b

onde c é um número natural, significa que a é divisível por b. Neste exemplo, a é o dividendo, b é o divisor, c é o quociente.

O divisor de um número natural é o número natural pelo qual o primeiro número é divisível.

Todo número natural é divisível por 1 e por ele mesmo.

Os números naturais simples são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. Aqui queremos dizer dividido completamente. Exemplo, números 2; 3; 5; 7 só é divisível por 1 e por ele mesmo. São números naturais simples.

Um não é considerado um número primo.

Os números que são maiores que um e que não são primos são chamados de números compostos. Exemplos de números compostos:

Um não é considerado um número composto.

O conjunto dos números naturais consiste em um, números primos e números compostos.

O conjunto dos números naturais é denotado pela letra latina N.

Propriedades de adição e multiplicação de números naturais:

propriedade comutativa de adição

propriedade associativa da adição

(a + b) + c = a + (b + c);

propriedade comutativa da multiplicação

propriedade associativa da multiplicação

(ab)c = a(bc);

propriedade distributiva da multiplicação

a (b + c) = ab + ac;

Números inteiros

Os inteiros são números naturais, zero e o oposto dos números naturais.

Os números opostos aos números naturais são inteiros negativos, por exemplo:

1; -2; -3; -4;…

O conjunto de inteiros é denotado pela letra latina Z.

Números racionais

Os números racionais são números inteiros e frações.

Qualquer número racional pode ser representado como uma fração periódica. Exemplos:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Pode ser visto a partir dos exemplos que qualquer número inteiro é uma fração periódica com um período de zero.

Qualquer número racional pode ser representado como uma fração m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos representar o número 3,(6) do exemplo anterior como uma fração:

Outro exemplo: o número racional 9 pode ser representado como uma fração simples como 18/2 ou como 36/4.

Outro exemplo: o número racional -9 pode ser representado como uma fração simples como -18/2 ou como -72/8.

Este artigo é dedicado ao estudo do tema "Números racionais". A seguir estão definições de números racionais, exemplos são dados e como determinar se um número é racional ou não.

Números racionais. Definições

Antes de dar uma definição de números racionais, vamos lembrar o que são outros conjuntos de números e como eles estão relacionados entre si.

Os números naturais, juntamente com seus opostos e o número zero, formam um conjunto de inteiros. Por sua vez, o conjunto dos números fracionários inteiros forma o conjunto dos números racionais.

Definição 1. Números racionais

Os números racionais são números que podem ser representados como uma fração comum positiva a b , uma fração comum negativa a b ou o número zero.

Assim, podemos deixar uma série de propriedades dos números racionais:

1. Qualquer número natural é um número racional. Obviamente, todo número natural n pode ser representado como uma fração 1 n .
2. Qualquer número inteiro, incluindo o número 0 , é um número racional. De fato, qualquer inteiro positivo e inteiro negativo podem ser facilmente representados como uma fração ordinária positiva ou negativa, respectivamente. Por exemplo, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Qualquer fração comum positiva ou negativa a b é um número racional. Isso segue diretamente da definição acima.
4. Qualquer número misto é racional. De fato, afinal, um número misto pode ser representado como uma fração imprópria ordinária.
5. Qualquer fração decimal finita ou periódica pode ser representada como uma fração comum. Portanto, todo decimal periódico ou final é um número racional.
6. Decimais infinitos e não recorrentes não são números racionais. Eles não podem ser representados na forma de frações ordinárias.

Vamos dar exemplos de números racionais. Os números 5 , 105 , 358 , 1100055 são naturais, positivos e inteiros. Afinal, esses são números racionais. Os números - 2 , - 358 , - 936 são inteiros negativos e também são racionais por definição. As frações comuns 3 5 , 8 7 , - 35 8 também são exemplos de números racionais.

A definição acima de números racionais pode ser formulada de forma mais concisa. Vamos responder a pergunta novamente, o que é um número racional.

Definição 2. Números racionais

Os números racionais são aqueles números que podem ser representados como uma fração ± z n, onde z é um número inteiro, n é um número natural.

Pode-se mostrar que esta definição é equivalente à definição anterior de números racionais. Para fazer isso, lembre-se de que a barra de uma fração é igual ao sinal de divisão. Levando em conta as regras e propriedades da divisão de inteiros, podemos escrever as seguintes desigualdades justas:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Assim, pode-se escrever:

z n = z n , p p e z > 0 0 , p p e z = 0 - z n , p p e z< 0

Na verdade, este registro é a prova. Damos exemplos de números racionais com base na segunda definição. Considere os números - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 e - 1 3 5 . Todos esses números são racionais, pois podem ser escritos como uma fração com um numerador inteiro e um denominador natural: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Apresentamos mais uma forma equivalente da definição de números racionais.

Definição 3. Números racionais

Um número racional é um número que pode ser escrito como uma fração decimal periódica finita ou infinita.

Esta definição segue diretamente da primeira definição deste parágrafo.

Para resumir e formular um resumo sobre este item:

1. Os números fracionários e inteiros positivos e negativos compõem o conjunto dos números racionais.
2. Todo número racional pode ser representado como uma fração, cujo numerador é um número inteiro e o denominador um número natural.
3. Todo número racional também pode ser representado como uma fração decimal: periódica finita ou infinita.

Qual número é racional?

Como já descobrimos, qualquer número natural, inteiro, fração ordinária regular e imprópria, fração periódica e decimal final são números racionais. Armado com esse conhecimento, você pode determinar facilmente se um número é racional.

No entanto, na prática, muitas vezes não se trata de números, mas de expressões numéricas que contêm raízes, potências e logaritmos. Em alguns casos, a resposta à pergunta "Um número é racional?" está longe de ser óbvio. Vamos dar uma olhada em como responder a esta pergunta.

Se um número é dado como uma expressão contendo apenas números racionais e operações aritméticas entre eles, então o resultado da expressão é um número racional.

Por exemplo, o valor da expressão 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) é um número racional e igual a 18 .

Assim, simplificar uma expressão numérica complexa permite determinar se o número dado por ela é racional.

Agora vamos lidar com o sinal da raiz.

Acontece que o número m n dado como a raiz do grau n do número m é racional apenas quando m é a enésima potência de algum número natural.

Vejamos um exemplo. O número 2 não é racional. Considerando que 9, 81 são números racionais. 9 e 81 são os quadrados perfeitos dos números 3 e 9, respectivamente. Os números 199 , 28 , 15 1 não são números racionais, pois os números sob o sinal da raiz não são quadrados perfeitos de nenhum número natural.

Agora vamos pegar um caso mais complicado. O número 243 5 é racional? Se você elevar 3 à quinta potência, você obtém 243 , então a expressão original pode ser reescrita assim: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Portanto, esse número é racional. Agora vamos pegar o número 121 5 . Este número não é racional, pois não há número natural cuja elevação à quinta potência dará 121.

Para descobrir se o logaritmo de algum número a na base b é um número racional, é necessário aplicar o método da contradição. Por exemplo, vamos descobrir se o número log 2 5 é racional. Vamos supor que esse número seja racional. Nesse caso, pode ser escrito como uma fração comum log 2 5 \u003d m n. Pelas propriedades do logaritmo e das propriedades do grau, as seguintes igualdades são verdadeiras:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Obviamente, a última igualdade é impossível, pois os lados esquerdo e direito contêm números pares e ímpares, respectivamente. Portanto, a suposição feita está errada e o número log 2 5 não é um número racional.

Vale a pena notar que, ao determinar a racionalidade e a irracionalidade dos números, não se deve tomar decisões repentinas. Por exemplo, o resultado de um produto de números irracionais nem sempre é um número irracional. Um exemplo ilustrativo: 2 · 2 = 2 .

Há também números irracionais cuja elevação a uma potência irracional dá um número racional. Em uma potência da forma 2 log 2 3, a base e o expoente são números irracionais. No entanto, o número em si é racional: 2 log 2 3 = 3 .

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O conceito de um número real: número real- (número real), qualquer número não negativo ou negativo ou zero. Com a ajuda de números reais, expresse as medidas de cada grandeza física.

real, ou número real surgiu da necessidade de medir as grandezas geométricas e físicas do mundo. Além disso, para realizar operações de extração da raiz, cálculo do logaritmo, resolução de equações algébricas, etc.

Os números naturais foram formados com o desenvolvimento da contagem, e os números racionais com a necessidade de gerenciar partes do todo, então os números reais (reais) são usados ​​para medir quantidades contínuas. Assim, a expansão do estoque de números considerados levou ao conjunto dos números reais, que, além dos números racionais, é composto por outros elementos chamados números irracionais.

O conjunto dos números reais(indicado R) são os conjuntos de números racionais e irracionais juntos.

Os números reais são divididos porracional e irracional.

O conjunto dos números reais é denotado e frequentemente chamado real ou linha numérica. Os números reais são compostos de objetos simples: todo e números racionais.

Um número que pode ser escrito como uma razão, ondemé um número inteiro e né um número naturalnúmero racional.

Qualquer número racional pode ser facilmente representado como uma fração finita ou uma fração decimal periódica infinita.

Exemplo,

Decimal infinito, é uma fração decimal que tem um número infinito de dígitos após o ponto decimal.

Números que não podem ser representados como são números irracionais.

Exemplo:

Qualquer número irracional é fácil de representar como uma fração decimal infinita não periódica.

Exemplo,

Os números racionais e irracionais criam conjunto de números reais. Todos os números reais correspondem a um ponto na linha de coordenadas, que é chamado linha numérica.

Para conjuntos numéricos, a seguinte notação é usada:

• N- conjunto de números naturais;
• Z- conjunto de inteiros;
• Q- conjunto de números racionais;
• Ré o conjunto dos números reais.

Teoria das frações decimais infinitas.

Um número real é definido como decimal infinito, ou seja:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

onde ± é um dos símbolos + ou −, o sinal de um número,

a 0 é um número inteiro positivo,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… é uma sequência de casas decimais, i.e. elementos de um conjunto numérico {0,1,…9}.

Uma fração decimal infinita pode ser explicada como um número que está na reta numérica entre os pontos racionais como:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n e ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) para todos n=0,1,2,…

A comparação de números reais como frações decimais infinitas ocorre pouco a pouco. Por exemplo, suponha que 2 números positivos sejam dados:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Se um um 0 0, então α<β ; E se a0 > b0 então α>β . Quando a 0 = b 0 Vamos passar para a próxima comparação de nível. etc. Quando α≠β , portanto, após um número finito de etapas, o primeiro dígito será encontrado n, de tal modo que a n ≠ b n. Se um um n n, então α<β ; E se a n > b n então α>β .

Mas, ao mesmo tempo, é tedioso prestar atenção ao fato de que o número a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Portanto, se o registro de um dos números comparados, a partir de um determinado dígito, for uma fração decimal periódica, que possui 9 no período, deve ser substituído por um registro equivalente, com zero no período.

As operações aritméticas com frações decimais infinitas são uma continuação contínua das operações correspondentes com números racionais. Por exemplo, a soma dos números reais α e β é um número real α+β , que satisfaz as seguintes condições:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ uma'')∧ (b'⩽ β ⩽ b′′)⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Da mesma forma define a operação de multiplicar frações decimais infinitas.