Com frações, você pode executar todas as ações, incluindo divisão. Este artigo mostra a divisão de frações ordinárias. Definições serão dadas, exemplos serão considerados. Vamos nos deter na divisão de frações por números naturais e vice-versa. Será considerada a divisão de uma fração ordinária por um número misto.

Divisão de frações ordinárias

A divisão é o inverso da multiplicação. Ao dividir, o fator desconhecido está no produto conhecido e outro fator, onde seu significado dado é preservado com frações comuns.

Se for necessário dividir a fração ordinária a b por c d, então, para determinar tal número, você precisa multiplicar pelo divisor c d, isso acabará por dar o dividendo a b. Vamos pegar um número e escrevê-lo a b · d c , onde d c é o recíproco do número c d. As igualdades podem ser escritas usando as propriedades da multiplicação, a saber: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , onde a expressão a b d c é o quociente da divisão de a b por c d .

A partir daqui, obtemos e formulamos a regra para dividir frações ordinárias:

Definição 1

Para dividir uma fração ordinária a b por c d, é necessário multiplicar o dividendo pelo recíproco do divisor.

Vamos escrever a regra como uma expressão: a b: c d = a b d c

As regras da divisão são reduzidas à multiplicação. Para cumpri-lo, você precisa ser bem versado na realização da multiplicação de frações comuns.

Vamos passar para a divisão de frações ordinárias.

Exemplo 1

Execute a divisão 9 7 por 5 3 . Escreva o resultado na forma de fração.

Solução

O número 5 3 é o recíproco de 3 5 . Você deve usar a regra para dividir frações comuns. Escrevemos esta expressão da seguinte forma: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.

Responda: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Ao reduzir frações, você deve destacar a parte inteira se o numerador for maior que o denominador.

Exemplo 2

Divide 8 15: 24 65 . Escreva a resposta como uma fração.

Solução

A solução é passar da divisão para a multiplicação. Escrevemos desta forma: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

É necessário fazer uma redução, e isso é feito da seguinte forma: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Selecionamos a parte inteira e obtemos 13 9 = 1 4 9 .

Responda: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Divisão de uma fração extraordinária por um número natural

Usamos a regra de divisão de uma fração por um número natural: para dividir a b por um número natural n, você precisa multiplicar apenas o denominador por n. Daqui obtemos a expressão: a b: n = a b · n .

A regra da divisão é uma consequência da regra da multiplicação. Portanto, representar um número natural como uma fração dará uma igualdade deste tipo: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Considere esta divisão de uma fração por um número.

Exemplo 3

Divida a fração 1645 pelo número 12.

Solução

Aplique a regra para dividir uma fração por um número. Obtemos uma expressão como 16 45: 12 = 16 45 12 .

Vamos reduzir a fração. Obtemos 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

Responda: 16 45: 12 = 4 135 .

Divisão de um número natural por uma fração comum

A regra da divisão é semelhante cerca de a regra de dividir um número natural por uma fração ordinária: para dividir um número natural n por um a b ordinário, é necessário multiplicar o número n pelo recíproco da fração a b .

Com base na regra, temos n: a b \u003d n b a, e graças à regra de multiplicar um número natural por uma fração ordinária, obtemos nossa expressão na forma n: a b \u003d n b a. É necessário considerar esta divisão com um exemplo.

Exemplo 4

Divida 25 por 15 28 .

Solução

Precisamos passar da divisão para a multiplicação. Escrevemos na forma de uma expressão 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Vamos reduzir a fração e obter o resultado na forma de fração 46 2 3 .

Responda: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Divisão de uma fração comum por um número misto

Ao dividir uma fração comum por um número misto, você pode facilmente dividir frações comuns. Você precisa converter um número misto em uma fração imprópria.

Exemplo 5

Divida a fração 35 16 por 3 1 8 .

Solução

Como 3 1 8 é um número misto, vamos representá-lo como uma fração imprópria. Então obtemos 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Agora vamos dividir as frações. Obtemos 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Responda: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

A divisão de um número misto é feita da mesma forma que os números comuns.

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Da última vez, aprendemos a somar e subtrair frações (consulte a lição "Adição e subtração de frações"). O momento mais difícil dessas ações foi trazer as frações para um denominador comum.

Agora é hora de lidar com a multiplicação e divisão. A boa notícia é que essas operações são ainda mais fáceis do que a adição e a subtração. Para começar, considere o caso mais simples, quando há duas frações positivas sem uma parte inteira distinta.

Para multiplicar duas frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente. O primeiro número será o numerador da nova fração e o segundo será o denominador.

Para dividir duas frações, você precisa multiplicar a primeira fração pela segunda "invertida".

Designação:

Da definição segue-se que a divisão de frações é reduzida à multiplicação. Para inverter uma fração, basta trocar o numerador e o denominador. Portanto, toda a lição consideraremos principalmente a multiplicação.

Como resultado da multiplicação, uma fração reduzida pode surgir (e freqüentemente ocorre) - claro, ela deve ser reduzida. Se, após todas as reduções, a fração se revelar incorreta, toda a parte deve ser distinguida nela. Mas o que exatamente não acontecerá com a multiplicação é a redução a um denominador comum: sem métodos cruzados, fatores máximos e mínimos múltiplos comuns.

Por definição temos:

Multiplicação de frações com uma parte inteira e frações negativas

Se houver uma parte inteira nas frações, elas devem ser convertidas em impróprias - e só então multiplicadas de acordo com os esquemas descritos acima.

Se houver menos no numerador de uma fração, no denominador ou antes dele, ele pode ser retirado dos limites de multiplicação ou removido completamente de acordo com as seguintes regras:

1. Mais vezes menos dá menos;
2. Dois negativos formam uma afirmativa.

Até agora, essas regras só foram encontradas ao adicionar e subtrair frações negativas, quando era necessário se livrar da parte inteira. Para um produto, eles podem ser generalizados para “queimar” vários pontos negativos de uma só vez:

1. Riscando os menos em pares até que desapareçam completamente. Em um caso extremo, um menos pode sobreviver - aquele que não encontrou uma correspondência;
2. Se não houver menos, a operação está concluída - você pode começar a multiplicar. Se o último sinal de menos não for riscado, pois não encontrou um par, nós o retiramos dos limites de multiplicação. Você obtém uma fração negativa.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Traduzimos todas as frações em impróprias e, em seguida, retiramos os menos fora dos limites da multiplicação. O que resta é multiplicado de acordo com as regras usuais. Nós temos:

Deixe-me lembrá-lo mais uma vez que o menos que vem antes de uma fração com uma parte inteira realçada refere-se especificamente à fração inteira, e não apenas à sua parte inteira (isso se aplica aos dois últimos exemplos).

Preste atenção também aos números negativos: quando multiplicados, eles ficam entre colchetes. Isso é feito para separar os sinais de menos dos sinais de multiplicação e tornar toda a notação mais precisa.

Reduzindo frações em tempo real

A multiplicação é uma operação muito trabalhosa. Os números aqui são bem grandes e, para simplificar a tarefa, você pode tentar reduzir ainda mais a fração antes da multiplicação. De fato, em essência, os numeradores e denominadores de frações são fatores comuns e, portanto, podem ser reduzidos usando a propriedade básica de uma fração. Dê uma olhada nos exemplos:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

Por definição temos:

Em todos os exemplos, os números que foram reduzidos e o que resta deles estão marcados em vermelho.

Observação: no primeiro caso, os multiplicadores foram reduzidos completamente. As unidades permaneceram em seu lugar, o que, em geral, pode ser omitido. No segundo exemplo, não foi possível obter uma redução completa, mas a quantidade total de cálculos ainda diminuiu.

No entanto, em nenhum caso, não use esta técnica ao adicionar e subtrair frações! Sim, às vezes existem números semelhantes que você só quer reduzir. Olhe aqui:

Você não pode fazer isso!

O erro ocorre devido ao fato de que ao adicionar uma fração, a soma aparece no numerador da fração, e não no produto dos números. Portanto, é impossível aplicar a propriedade principal de uma fração, pois essa propriedade trata especificamente da multiplicação de números.

Simplesmente não há outro motivo para reduzir frações, então a solução correta para o problema anterior é assim:

A decisão certa:

Como você pode ver, a resposta correta acabou não sendo tão bonita. Em geral, tenha cuidado.

Os números fracionários comuns encontram pela primeira vez os alunos da 5ª série e os acompanham ao longo de suas vidas, pois no dia a dia muitas vezes é necessário considerar ou usar algum objeto não inteiramente, mas em partes separadas. O início do estudo deste tópico - compartilhe. As ações são partes iguais em que um objeto é dividido. Afinal, nem sempre é possível expressar, por exemplo, o comprimento ou o preço de um produto como um número inteiro, deve-se levar em consideração partes ou parcelas de qualquer medida. Formado a partir do verbo "esmagar" - dividir em partes, e com raízes árabes, no século VIII a própria palavra "fração" apareceu em russo.

Em contato com

As expressões fracionárias há muito são consideradas a seção mais difícil da matemática. No século 17, quando surgiram os primeiros livros didáticos de matemática, eles eram chamados de "números quebrados", o que era muito difícil de exibir na compreensão das pessoas.

A forma moderna de resíduos fracionários simples, partes das quais são separadas precisamente por uma linha horizontal, foi promovida pela primeira vez por Fibonacci - Leonardo de Pisa. Seus escritos são datados de 1202. Mas o objetivo deste artigo é explicar de forma simples e clara ao leitor como ocorre a multiplicação de frações mistas com denominadores diferentes.

Multiplicando frações com denominadores diferentes

Inicialmente, é necessário determinar variedades de frações:

• correto;
• errado;
• misturado.

Em seguida, você precisa se lembrar de como os números fracionários com os mesmos denominadores são multiplicados. A própria regra desse processo é fácil de formular independentemente: o resultado da multiplicação de frações simples com os mesmos denominadores é uma expressão fracionária, cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores dessas frações . Ou seja, de fato, o novo denominador é o quadrado de um dos existentes inicialmente.

Ao multiplicar frações simples com denominadores diferentes para dois ou mais fatores, a regra não muda:

uma/b * c/d = a*c/ b * d.

A única diferença é que o número formado sob a barra fracionária será o produto de números diferentes e, claro, não pode ser chamado de quadrado de uma expressão numérica.

Vale a pena considerar a multiplicação de frações com denominadores diferentes usando exemplos:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Os exemplos usam maneiras de reduzir expressões fracionárias. Você pode reduzir apenas os números do numerador com os números do denominador; fatores adjacentes acima ou abaixo da barra fracionária não podem ser reduzidos.

Junto com os números fracionários simples, existe o conceito de frações mistas. Um número misto consiste em um inteiro e uma parte fracionária, ou seja, é a soma desses números:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Como funciona a multiplicação?

Vários exemplos são fornecidos para consideração.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

O exemplo usa a multiplicação de um número por parte fracionária ordinária, você pode escrever a regra para esta ação pela fórmula:

uma * b/c = a*b/c.

Na verdade, tal produto é a soma de restos fracionários idênticos, e o número de termos indica esse número natural. Caso especial:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existe outra opção para resolver a multiplicação de um número por um resto fracionário. Você só precisa dividir o denominador por este número:

d* e/f = e/f: d.

É útil usar essa técnica quando o denominador é dividido por um número natural sem resto ou, como dizem, completamente.

Converta números mistos em frações impróprias e obtenha o produto da forma descrita anteriormente:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Este exemplo envolve uma forma de representar uma fração mista como uma fração imprópria, também pode ser representada como uma fórmula geral:

uma bc = a*b+ c / c, onde o denominador da nova fração é formado multiplicando a parte inteira pelo denominador e adicionando-o ao numerador do restante fracionário original, e o denominador permanece o mesmo.

Esse processo também funciona ao contrário. Para selecionar a parte inteira e o restante fracionário, você precisa dividir o numerador de uma fração imprópria por seu denominador com um “canto”.

Multiplicação de frações impróprias produzido da maneira usual. Quando a entrada fica sob uma única linha fracionária, conforme necessário, você precisa reduzir as frações para reduzir os números usando esse método e facilitar o cálculo do resultado.

Existem muitos assistentes na Internet para resolver problemas matemáticos complexos em várias variações do programa. Um número suficiente desses serviços oferece ajuda no cálculo da multiplicação de frações com números diferentes nos denominadores - as chamadas calculadoras online para cálculo de frações. Eles são capazes não apenas de multiplicar, mas também de realizar todas as outras operações aritméticas simples com frações comuns e números mistos. Não é difícil trabalhar com ele, os campos correspondentes são preenchidos na página do site, o sinal da ação matemática é selecionado e “calcular” é pressionado. O programa conta automaticamente.

O tema das operações aritméticas com números fracionários é relevante em toda a educação de alunos do ensino fundamental e médio. No ensino médio, eles não estão mais considerando as espécies mais simples, mas expressões fracionárias inteiras, mas o conhecimento das regras de transformação e cálculos, obtido anteriormente, é aplicado em sua forma original. O conhecimento básico bem aprendido dá total confiança na solução bem-sucedida das tarefas mais complexas.

Para concluir, faz sentido citar as palavras de Leo Tolstoi, que escreveu: “O homem é uma fração. Não está no poder do homem aumentar seu numerador - seus próprios méritos, mas qualquer um pode diminuir seu denominador - sua opinião sobre si mesmo e, com essa diminuição, aproximar-se de sua perfeição.

) e o denominador pelo denominador (temos o denominador do produto).

Fórmula de multiplicação de frações:

Por exemplo:

Antes de proceder à multiplicação de numeradores e denominadores, é necessário verificar a possibilidade de redução de frações. Se você conseguir reduzir a fração, será mais fácil continuar fazendo cálculos.

Divisão de uma fração ordinária por uma fração.

Divisão de frações envolvendo um número natural.

Não é tão assustador quanto parece. Como no caso da adição, convertemos um número inteiro em uma fração com uma unidade no denominador. Por exemplo:

Multiplicação de frações mistas.

Regras para multiplicar frações (mistas):

• converter frações mistas em impróprias;
• multiplique os numeradores e denominadores das frações;
• reduzimos a fração;
• se obtivermos uma fração imprópria, convertemos a fração imprópria em uma fração mista.

Observação! Para multiplicar uma fração mista por outra fração mista, primeiro você precisa trazê-los para a forma de frações impróprias e, em seguida, multiplicar de acordo com a regra de multiplicação de frações comuns.

A segunda maneira de multiplicar uma fração por um número natural.

É mais conveniente usar o segundo método de multiplicar uma fração comum por um número.

Observação! Para multiplicar uma fração por um número natural, é necessário dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador inalterado.

Do exemplo acima, fica claro que esta opção é mais conveniente de usar quando o denominador de uma fração é dividido sem resto por um número natural.

Frações multiníveis.

No ensino médio, frequentemente são encontradas frações de três andares (ou mais). Exemplo:

Para trazer essa fração à sua forma usual, é usada a divisão por 2 pontos:

Observação! Ao dividir frações, a ordem da divisão é muito importante. Tenha cuidado, é fácil ficar confuso aqui.

Observação, por exemplo:

Ao dividir um por qualquer fração, o resultado será a mesma fração, só que invertida:

Dicas práticas para multiplicar e dividir frações:

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é precisão e atenção. Faça todos os cálculos com cuidado e precisão, concentração e clareza. É melhor escrever algumas linhas extras em um rascunho do que se confundir com os cálculos em sua cabeça.

2. Em tarefas com diferentes tipos de frações - vá para o tipo de frações comuns.

3. Reduzimos todas as frações até que não seja mais possível reduzir.

4. Transformamos expressões fracionárias de vários níveis em expressões comuns, usando a divisão por 2 pontos.

5. Dividimos a unidade em uma fração em nossa mente, simplesmente virando a fração.

É divisão. Neste artigo vamos falar sobre divisão de frações ordinárias. Primeiro, daremos uma regra para dividir frações comuns e veremos exemplos de divisão de frações. Em seguida, vamos nos concentrar na divisão de uma fração comum por um número natural e um número por uma fração. Finalmente, considere como a divisão de uma fração comum por um número misto é realizada.

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Divisão de uma fração comum por uma fração comum

Sabe-se que a divisão é o inverso da multiplicação (veja a conexão entre divisão e multiplicação). Ou seja, a divisão envolve encontrar um fator desconhecido quando o produto e outro fator são conhecidos. O mesmo sentido de divisão é preservado ao dividir frações comuns.

Considere exemplos de divisão de frações comuns.

Observe que não devemos esquecer a redução de frações e a seleção da parte inteira de uma fração imprópria.

Divisão de uma fração comum por um número natural

Nós daremos imediatamente regra para dividir uma fração por um número natural: para dividir a fração a/b por um número natural n, é preciso deixar o numerador igual, e multiplicar o denominador por n, ou seja, .

Esta regra de divisão segue diretamente da regra de divisão para frações ordinárias. De fato, a representação de um número natural como uma fração leva às seguintes igualdades .

Considere um exemplo de divisão de uma fração por um número.

Exemplo.

Divida a fração 16/45 pelo número natural 12.

Solução.

Pela regra da divisão de uma fração por um número, temos . Vamos fazer a redução: . Esta divisão está concluída.

Responda:

.

Divisão de um número natural por uma fração comum

A regra para dividir frações é semelhante regra para dividir um número natural por uma fração comum: para dividir um número natural n por uma fração comum a / b, você precisa multiplicar o número n pelo recíproco da fração a / b.

De acordo com a regra expressa, , e a regra de multiplicar um número natural por uma fração comum permite reescrevê-lo na forma.

Considere um exemplo.

Exemplo.

Divida o número natural 25 pela fração 15/28.

Solução.

Vamos passar da divisão para a multiplicação, temos . Após redução e seleção da parte inteira, obtemos .

Responda:

.

Divisão de uma fração comum por um número misto

Divisão de uma fração comum por um número misto facilmente reduzido à divisão de frações ordinárias. Para isso, basta