Hoje lidamos com o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares. Você pode ler sobre o que são esses sistemas no artigo anterior dedicado a resolver o mesmo SLAE pelo método Cramer. O método de Gauss não requer nenhum conhecimento específico, apenas cuidados e consistência são necessários. Apesar de, do ponto de vista da matemática, a preparação escolar ser suficiente para sua aplicação, o domínio desse método muitas vezes causa dificuldades para os alunos. Neste artigo, tentaremos reduzi-los a nada!

Método de Gauss

M Método de Gaussé o método mais universal para resolver SLAE (com exceção de sistemas muito grandes). Ao contrário do discutido anteriormente, é adequado não apenas para sistemas que possuem uma solução única, mas também para sistemas que possuem um número infinito de soluções. Há três opções aqui.

1. O sistema tem solução única (o determinante da matriz principal do sistema não é igual a zero);
2. O sistema tem um número infinito de soluções;
3. Não há soluções, o sistema é inconsistente.

Então, temos um sistema (deixe-o ter uma solução), e vamos resolvê-lo usando o método gaussiano. Como funciona?

O método gaussiano consiste em duas etapas - direta e inversa.

Método de Gauss direto

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada do sistema. Para fazer isso, adicionamos uma coluna de membros livres à matriz principal.

Toda a essência do método gaussiano é reduzir essa matriz a uma forma escalonada (ou, como dizem, triangular) por meio de transformações elementares. Nesta forma, deve haver apenas zeros abaixo (ou acima) da diagonal principal da matriz.

O que pode ser feito:

1. Você pode reorganizar as linhas da matriz;
2. Se houver linhas idênticas (ou proporcionais) na matriz, você poderá excluir todas, exceto uma;
3. Você pode multiplicar ou dividir uma string por qualquer número (exceto zero);
4. As linhas zero são removidas;
5. Você pode adicionar uma string multiplicada por um número diferente de zero a uma string.

Método de Gauss reverso

Depois de transformarmos o sistema dessa maneira, uma incógnita xn torna-se conhecido, e é possível encontrar todas as incógnitas restantes em ordem inversa, substituindo os x já conhecidos nas equações do sistema, até o primeiro.

Quando a Internet está sempre à mão, você pode resolver o sistema de equações usando o método de Gauss conectados . Tudo o que você precisa fazer é inserir as probabilidades na calculadora online. Mas você deve admitir, é muito mais agradável perceber que o exemplo foi resolvido não por um programa de computador, mas pelo seu próprio cérebro.

Um exemplo de resolução de um sistema de equações usando o método de Gauss

E agora - um exemplo, para que tudo fique claro e compreensível. Seja dado um sistema de equações lineares, e é necessário resolvê-lo pelo método de Gauss:

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:

Agora vamos dar uma olhada nas transformações. Lembre-se de que precisamos obter uma forma triangular da matriz. Multiplique a 1ª linha por (3). Multiplique a 2ª linha por (-1). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª e obter:

Em seguida, multiplique a 3ª linha por (-1). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:

Multiplique a 1ª linha por (6). Multiplique a 2ª linha por (13). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:

Voila - o sistema é trazido para o formulário apropriado. Resta encontrar as incógnitas:

O sistema neste exemplo tem uma solução única. Consideraremos a solução de sistemas com um conjunto infinito de soluções em um artigo separado. Talvez no começo você não saiba por onde começar com as transformações de matrizes, mas após a prática apropriada você colocará as mãos nela e clicará no SLAE gaussiano como nozes. E se você de repente se deparar com um SLAU, que acaba sendo um osso duro de roer, entre em contato com nossos autores! você pode deixando um aplicativo na Correspondência. Juntos vamos resolver qualquer problema!

Método de Gaussótimo para resolver sistemas de equações algébricas lineares (SLAE). Tem várias vantagens sobre outros métodos:

• em primeiro lugar, não há necessidade de pré-investigar o sistema de equações para compatibilidade;
• em segundo lugar, o método de Gauss pode ser usado para resolver não apenas SLAEs em que o número de equações coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas e a matriz principal do sistema é não degenerada, mas também sistemas de equações em que o número de equações não não coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas ou o determinante da matriz principal é igual a zero;
• em terceiro lugar, o método de Gauss leva a um resultado com um número relativamente pequeno de operações computacionais.

Breve revisão do artigo.

Primeiro, damos as definições necessárias e introduzimos algumas notações.

A seguir, descrevemos o algoritmo do método de Gauss para o caso mais simples, ou seja, para sistemas de equações algébricas lineares, o número de equações em que coincide com o número de variáveis ​​desconhecidas e o determinante da matriz principal do sistema não é igual a zero. Ao resolver tais sistemas de equações, a essência do método de Gauss é mais claramente visível, que consiste na eliminação sucessiva de variáveis ​​desconhecidas. Portanto, o método gaussiano também é chamado de método de eliminação sucessiva de incógnitas. Vamos mostrar soluções detalhadas de vários exemplos.

Em conclusão, consideramos a solução gaussiana de sistemas de equações algébricas lineares cuja matriz principal é retangular ou degenerada. A solução de tais sistemas possui algumas características, que analisaremos detalhadamente por meio de exemplos.

Navegação da página.

Definições básicas e notação.

Considere um sistema de p equações lineares com n incógnitas (p pode ser igual a n):

Onde são variáveis ​​desconhecidas, são números (reais ou complexos), são membros livres.

Se um , então o sistema de equações algébricas lineares é chamado homogêneo, por outro lado - heterogêneo.

O conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas, no qual todas as equações do sistema se transformam em identidades, é chamado Decisão SLAU.

Se houver pelo menos uma solução para um sistema de equações algébricas lineares, então ele é chamado articulação, por outro lado - incompatível.

Se um SLAE tem uma solução única, então é chamado certo. Se houver mais de uma solução, o sistema é chamado de incerto.

Diz-se que o sistema está escrito em formulário de coordenadas se tem a forma
.

Este sistema em forma de matriz registros tem o formato , onde - a matriz principal do SLAE, - a matriz da coluna de variáveis ​​desconhecidas, - a matriz de membros livres.

Se adicionarmos à matriz A como a (n + 1)-ésima coluna a coluna-matriz de termos livres, obtemos o chamado matriz expandida sistemas de equações lineares. Normalmente, a matriz aumentada é denotada pela letra T, e a coluna de membros livres é separada por uma linha vertical do restante das colunas, ou seja,

A matriz quadrada A é chamada degenerar se seu determinante for zero. Se , então a matriz A é chamada não degenerado.

O seguinte ponto deve ser observado.

Se as seguintes ações forem executadas com um sistema de equações algébricas lineares

• troque duas equações,
• multiplique ambos os lados de qualquer equação por um número real (ou complexo) arbitrário e diferente de zero k,
• a ambas as partes de qualquer equação adicione as partes correspondentes da outra equação, multiplicada por um número arbitrário k,

então obtemos um sistema equivalente que tem as mesmas soluções (ou, como o original, não tem soluções).

Para uma matriz estendida de um sistema de equações algébricas lineares, essas ações significarão transformações elementares com linhas:

• trocando duas cordas
• multiplicação de todos os elementos de qualquer linha da matriz T por um número diferente de zero k ,
• somando aos elementos de qualquer linha da matriz os elementos correspondentes de outra linha, multiplicados por um número arbitrário k .

Agora podemos prosseguir para a descrição do método de Gauss.

Resolução de sistemas de equações algébricas lineares, em que o número de equações é igual ao número de incógnitas e a matriz principal do sistema é não degenerada, pelo método de Gauss.

O que faríamos na escola se tivéssemos a tarefa de encontrar uma solução para um sistema de equações .

Alguns o fariam.

Observe que, adicionando o lado esquerdo da primeira equação ao lado esquerdo da segunda equação e o lado direito ao lado direito, você pode se livrar das variáveis ​​desconhecidas x 2 e x 3 e encontrar imediatamente x 1:

Substituímos o valor encontrado x 1 \u003d 1 na primeira e terceira equações do sistema:

Se multiplicarmos ambas as partes da terceira equação do sistema por -1 e as somarmos às partes correspondentes da primeira equação, nos livraremos da variável desconhecida x 3 e podemos encontrar x 2:

Substituímos o valor obtido x 2 \u003d 2 na terceira equação e encontramos a variável desconhecida restante x 3:

Outros teriam feito o contrário.

Vamos resolver a primeira equação do sistema em relação à variável desconhecida x 1 e substituir a expressão resultante na segunda e terceira equações do sistema para excluir essa variável delas:

Agora vamos resolver a segunda equação do sistema em relação a x 2 e substituir o resultado obtido na terceira equação para excluir a variável desconhecida x 2 dela:

Pode-se ver pela terceira equação do sistema que x 3 = 3. Da segunda equação encontramos , e da primeira equação obtemos .

Soluções familiares, certo?

O mais interessante aqui é que o segundo método de solução é essencialmente o método de eliminação sequencial de incógnitas, ou seja, o método de Gauss. Quando expressamos variáveis ​​desconhecidas (primeiro x 1 , próximo x 2 ) e as substituímos no restante das equações do sistema, nós as excluímos. Realizamos a exceção até o momento em que a última equação deixou apenas uma variável desconhecida. O processo de eliminação sequencial de incógnitas é chamado método de Gauss direto. Após a conclusão do movimento para frente, temos a oportunidade de calcular a variável desconhecida na última equação. Com sua ajuda, da penúltima equação, encontramos a próxima variável desconhecida e assim por diante. O processo de encontrar sucessivamente variáveis ​​desconhecidas enquanto se move da última equação para a primeira é chamado método de Gauss reverso.

Deve-se notar que quando expressamos x 1 em termos de x 2 e x 3 na primeira equação e, em seguida, substituímos a expressão resultante na segunda e na terceira equações, as seguintes ações levam ao mesmo resultado:

De fato, tal procedimento também nos permite excluir a variável desconhecida x 1 da segunda e terceira equações do sistema:

Nuances com a eliminação de variáveis ​​desconhecidas pelo método de Gauss surgem quando as equações do sistema não contêm algumas variáveis.

Por exemplo, no SLAU na primeira equação, não há variável desconhecida x 1 (em outras palavras, o coeficiente na frente dela é zero). Portanto, não podemos resolver a primeira equação do sistema em relação a x 1 para excluir essa variável desconhecida do restante das equações. A saída para esta situação é trocar as equações do sistema. Como estamos considerando sistemas de equações lineares cujos determinantes das matrizes principais são diferentes de zero, sempre há uma equação na qual a variável que precisamos está presente, e podemos rearranjar essa equação para a posição que precisamos. Para o nosso exemplo, basta trocar a primeira e a segunda equações do sistema , então você pode resolver a primeira equação para x 1 e excluí-la do resto das equações do sistema (embora x 1 já esteja ausente na segunda equação).

Esperamos que você entenda a essência.

Vamos descrever Algoritmo do método de Gauss.

Vamos precisar resolver um sistema de n equações algébricas lineares com n variáveis ​​desconhecidas da forma , e seja o determinante de sua matriz principal diferente de zero.

Vamos supor que , já que sempre podemos conseguir isso reorganizando as equações do sistema. Excluímos a variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, começando pela segunda. Para fazer isso, adicione a primeira equação multiplicada por à segunda equação do sistema, adicione a primeira multiplicada por à terceira equação e assim por diante, adicione a primeira multiplicada por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um .

Chegaríamos ao mesmo resultado se expressássemos x 1 em termos de outras variáveis ​​desconhecidas na primeira equação do sistema e substituíssemos a expressão resultante em todas as outras equações. Assim, a variável x 1 é excluída de todas as equações, a partir da segunda.

Em seguida, agimos de forma semelhante, mas apenas com uma parte do sistema resultante, que está marcado na figura

Para fazer isso, adicione o segundo multiplicado por à terceira equação do sistema, adicione o segundo multiplicado por à quarta equação e assim por diante, adicione o segundo multiplicado por à enésima equação. O sistema de equações após tais transformações terá a forma

onde um . Assim, a variável x 2 é excluída de todas as equações, a partir da terceira.

Em seguida, procedemos à eliminação da incógnita x 3, agindo de forma semelhante com a parte do sistema marcada na figura

Então continuamos o curso direto do método de Gauss até que o sistema tome a forma

A partir deste momento, começamos o curso inverso do método de Gauss: calculamos x n da última equação como , usando o valor obtido x n encontramos x n-1 da penúltima equação, e assim por diante, encontramos x 1 da primeira equação.

Vamos analisar o algoritmo com um exemplo.

Exemplo.

Método Gaussiano.

Solução.

O coeficiente a 11 é diferente de zero, então vamos ao curso direto do método de Gauss, ou seja, à eliminação da variável desconhecida x 1 de todas as equações do sistema, exceto a primeira. Para fazer isso, às partes esquerda e direita da segunda, terceira e quarta equações, some as partes esquerda e direita da primeira equação, multiplicadas por , respectivamente, e :

A variável desconhecida x 1 foi eliminada, vamos para a exclusão x 2 . Às partes esquerda e direita da terceira e quarta equações do sistema, adicionamos as partes esquerda e direita da segunda equação, multiplicadas por e :

Para completar o curso direto do método de Gauss, precisamos excluir a variável desconhecida x 3 da última equação do sistema. Adicione aos lados esquerdo e direito da quarta equação, respectivamente, os lados esquerdo e direito da terceira equação, multiplicado por :

Você pode iniciar o curso inverso do método de Gauss.

Da última equação temos ,
da terceira equação obtemos ,
a partir do segundo
desde o primeiro.

Para verificar, você pode substituir os valores obtidos de variáveis ​​desconhecidas no sistema de equações original. Todas as equações se transformam em identidades, o que significa que a solução pelo método de Gauss foi encontrada corretamente.

Responda:

E agora vamos dar a solução do mesmo exemplo pelo método de Gauss em forma de matriz.

Exemplo.

Encontrar uma solução para o sistema de equações Método Gaussiano.

Solução.

A matriz estendida do sistema tem a forma . Acima de cada coluna, são escritas as variáveis ​​desconhecidas, que correspondem aos elementos da matriz.

O curso direto do método de Gauss aqui envolve trazer a matriz estendida do sistema para uma forma trapezoidal usando transformações elementares. Este processo é semelhante à exclusão de variáveis ​​desconhecidas que fizemos com o sistema em forma de coordenadas. Agora você estará convencido disso.

Vamos transformar a matriz para que todos os elementos da primeira coluna, começando pela segunda, se tornem zero. Para fazer isso, aos elementos da segunda, terceira e quarta linhas, adicione os elementos correspondentes da primeira linha multiplicados por , e respectivamente:

Em seguida, transformamos a matriz resultante para que, na segunda coluna, todos os elementos, a partir da terceira, se tornem zero. Isso corresponderia a excluir a variável desconhecida x 2 . Para fazer isso, adicione aos elementos da terceira e quarta linhas os elementos correspondentes da primeira linha da matriz, multiplicados por e :

Resta excluir a variável desconhecida x 3 da última equação do sistema. Para fazer isso, aos elementos da última linha da matriz resultante, adicionamos os elementos correspondentes da penúltima linha, multiplicados por :

Note-se que esta matriz corresponde ao sistema de equações lineares

que foi obtido anteriormente após o movimento direto.

É hora de voltar. Na forma matricial da notação, o curso inverso do método de Gauss envolve tal transformação da matriz resultante de modo que a matriz marcada na figura

tornou-se diagonal, ou seja, tomou a forma

onde estão alguns números.

Essas transformações são semelhantes às do método de Gauss, mas são realizadas não da primeira à última linha, mas da última à primeira.

Adicione aos elementos da terceira, segunda e primeira linhas os elementos correspondentes da última linha, multiplicado por , e assim por diante respectivamente:

Agora vamos adicionar aos elementos da segunda e primeira linha os elementos correspondentes da terceira linha, multiplicados por e por, respectivamente:

Na última etapa do movimento reverso do método gaussiano, adicionamos os elementos correspondentes da segunda linha, multiplicados por , aos elementos da primeira linha:

A matriz resultante corresponde ao sistema de equações , a partir do qual encontramos as variáveis ​​desconhecidas.

Responda:

NOTA.

Ao usar o método de Gauss para resolver sistemas de equações algébricas lineares, cálculos aproximados devem ser evitados, pois isso pode levar a resultados absolutamente incorretos. Recomendamos que você não arredonde decimais. É melhor passar de frações decimais para frações ordinárias.

Exemplo.

Resolva o Sistema de Três Equações pelo Método Gaussiano .

Solução.

Observe que neste exemplo, as variáveis ​​desconhecidas têm uma designação diferente (não x 1 , x 2 , x 3 , mas x, y, z ). Vamos para frações ordinárias:

Elimine a incógnita x da segunda e terceira equações do sistema:

No sistema resultante, não há variável desconhecida y na segunda equação, e y está presente na terceira equação, portanto, trocamos a segunda e a terceira equações:

Neste ponto, o curso direto do método de Gauss acabou (você não precisa excluir y da terceira equação, pois essa variável desconhecida não existe mais).

Vamos voltar.

Da última equação encontramos ,
do penúltimo


da primeira equação temos

Responda:

X=10, y=5, z=-20.

A solução de sistemas de equações algébricas lineares, em que o número de equações não coincide com o número de incógnitas, ou a matriz principal do sistema é degenerada, pelo método de Gauss.

Sistemas de equações cuja matriz principal é retangular ou quadrada degenerada podem não ter soluções, podem ter uma única solução ou podem ter um número infinito de soluções.

Agora vamos entender como o método de Gauss permite estabelecer a compatibilidade ou inconsistência de um sistema de equações lineares e, no caso de sua compatibilidade, determinar todas as soluções (ou uma única solução).

Em princípio, o processo de eliminação de variáveis ​​desconhecidas no caso de tais SLAEs permanece o mesmo. No entanto, vale a pena se deter em detalhes sobre algumas situações que podem surgir.

Vamos para o passo mais importante.

Então, vamos supor que o sistema de equações algébricas lineares após a conclusão da execução do método de Gauss toma a forma e nenhuma das equações reduzida a (neste caso, concluiríamos que o sistema é inconsistente). Surge uma pergunta lógica: "O que fazer a seguir"?

Escrevemos as variáveis ​​desconhecidas que estão em primeiro lugar de todas as equações do sistema resultante:

Em nosso exemplo, são x 1 , x 4 e x 5 . Nas partes esquerdas das equações do sistema, deixamos apenas os termos que contêm as variáveis ​​desconhecidas escritas x 1, x 4 e x 5, transferimos os termos restantes para o lado direito das equações com o sinal oposto:

Vamos atribuir valores arbitrários às variáveis ​​desconhecidas que estão do lado direito das equações, onde - números arbitrários:

Depois disso, os números são encontrados nas partes certas de todas as equações do nosso SLAE e podemos proceder ao curso inverso do método de Gauss.

Da última equação do sistema temos , da penúltima equação encontramos , da primeira equação temos

A solução do sistema de equações é o conjunto de valores de variáveis ​​desconhecidas

Dando números valores diferentes, obteremos soluções diferentes para o sistema de equações. Ou seja, nosso sistema de equações tem infinitas soluções.

Responda:

Onde - números arbitrários.

Para consolidar o material, analisaremos detalhadamente as soluções de vários outros exemplos.

Exemplo.

Resolver Sistema Homogêneo de Equações Algébricas Lineares Método Gaussiano.

Solução.

Vamos excluir a variável desconhecida x da segunda e terceira equações do sistema. Para fazer isso, adicione às partes esquerda e direita da segunda equação, respectivamente, as partes esquerda e direita da primeira equação, multiplicadas por , e às partes esquerda e direita da terceira equação - as partes esquerda e direita da equação primeira equação, multiplicada por:

Agora excluímos y da terceira equação do sistema de equações resultante:

O SLAE resultante é equivalente ao sistema .

Deixamos apenas os termos contendo as variáveis ​​desconhecidas x e y no lado esquerdo das equações do sistema e transferimos os termos com a variável desconhecida z para o lado direito:

Continuamos a considerar sistemas de equações lineares. Esta lição é a terceira sobre o tema. Se você tem uma vaga ideia do que é um sistema de equações lineares em geral, se sente como um bule, recomendo começar com o básico na próxima página, é útil estudar a lição.

O método de Gauss é fácil! Por quê? O famoso matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss, durante sua vida, recebeu o reconhecimento como o maior matemático de todos os tempos, um gênio, e até o apelido de "Rei da Matemática". E tudo que é engenhoso, como você sabe, é simples! A propósito, não apenas otários, mas também gênios caem no dinheiro - o retrato de Gauss foi exibido em uma nota de 10 marcos alemães (antes da introdução do euro), e Gauss ainda sorri misteriosamente para os alemães de selos postais comuns.

O método de Gauss é simples, pois é SUFICIENTE O CONHECIMENTO DE UM ALUNO DE QUINTA SÉRIE para dominá-lo. Deve ser capaz de somar e multiplicar! Não é por acaso que o método de eliminação sucessiva de incógnitas é frequentemente considerado pelos professores nas eletivas de matemática da escola. É um paradoxo, mas o método de Gauss causa as maiores dificuldades para os alunos. Nada surpreendente - é tudo sobre a metodologia, e tentarei contar de forma acessível sobre o algoritmo do método.

Primeiro, sistematizamos um pouco o conhecimento sobre sistemas de equações lineares. Um sistema de equações lineares pode:

1) Tenha uma solução única. 2) Tenha infinitas soluções. 3) Não tenha soluções (seja incompatível).

O método de Gauss é a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar uma solução algum sistemas de equações lineares. Como nos lembramos Regra de Cramer e método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Um método de eliminação sucessiva de incógnitas de qualquer forma nos leve à resposta! Nesta lição, vamos considerar novamente o método de Gauss para o caso No. 1 (a única solução para o sistema), um artigo é reservado para as situações dos pontos No. 2-3. Observo que o próprio algoritmo do método funciona da mesma maneira nos três casos.

Vamos voltar ao sistema mais simples da lição Como resolver um sistema de equações lineares? e resolva usando o método gaussiano.

O primeiro passo é escrever sistema de matriz estendida: . Por qual princípio os coeficientes são registrados, acho que todos podem ver. A linha vertical dentro da matriz não tem nenhum significado matemático - é apenas um rasurado para facilitar o design.

Referência : recomendo lembrar termos álgebra Linear. Matriz do Sistema é uma matriz composta apenas de coeficientes para incógnitas, neste exemplo, a matriz do sistema: . Matriz de sistema estendida é a mesma matriz do sistema mais uma coluna de membros livres, neste caso: . Qualquer uma das matrizes pode ser chamada simplesmente de matriz por brevidade.

Depois que a matriz estendida do sistema é escrita, é necessário realizar algumas ações com ela, que também são chamadas de transformações elementares.

Existem as seguintes transformações elementares:

1) Cordas matrizes posso reorganizar lugares. Por exemplo, na matriz em consideração, você pode reorganizar com segurança a primeira e a segunda linhas:

2) Se houver (ou aparecer) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma. Considere, por exemplo, a matriz . Nesta matriz, as três últimas linhas são proporcionais, então basta deixar apenas uma delas: .

3) Se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir. Não vou desenhar, é claro, a linha zero é a linha em que apenas zeros.

4) A linha da matriz pode ser multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero. Considere, por exemplo, a matriz . Aqui é aconselhável dividir a primeira linha por -3 e multiplicar a segunda linha por 2: . Esta ação é muito útil, pois simplifica outras transformações da matriz.

5) Essa transformação causa mais dificuldades, mas na verdade também não há nada complicado. Para a linha da matriz, você pode adicionar outra string multiplicada por um número, diferente de zero. Considere nossa matriz a partir de um exemplo prático: . Primeiro, descreverei a transformação em grande detalhe. Multiplique a primeira linha por -2: , e à segunda linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -2: . Agora a primeira linha pode ser dividida "voltar" por -2: . Como você pode ver, a linha que é ADICIONADA LI – não mudou. É sempre a linha é alterada, A QUAL ADICIONADA UT.

Na prática, é claro, eles não pintam com tantos detalhes, mas escrevem mais curto: Mais uma vez: para a segunda linha adicionou a primeira linha multiplicada por -2. A linha geralmente é multiplicada oralmente ou em um rascunho, enquanto o curso mental dos cálculos é algo assim:

“Reescrevo a matriz e reescrevo a primeira linha: »

Primeira coluna primeiro. Abaixo eu preciso obter zero. Portanto, multiplico a unidade acima por -2: e adiciono a primeira à segunda linha: 2 + (-2) = 0. Escrevo o resultado na segunda linha: »

“Agora a segunda coluna. Acima de -1 vezes -2: . Eu adiciono a primeira à segunda linha: 1 + 2 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: »

“E a terceira coluna. Acima de -5 vezes -2: . Eu adiciono a primeira linha à segunda linha: -7 + 10 = 3. Escrevo o resultado na segunda linha: »

Por favor, pense cuidadosamente sobre este exemplo e entenda o algoritmo de cálculo sequencial, se você entender isso, então o método de Gauss está praticamente "no seu bolso". Mas, é claro, ainda estamos trabalhando nessa transformação.

Transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações

! ATENÇÃO: manipulações consideradas não pode usar, se lhe for oferecida uma tarefa em que as matrizes são dadas "por si mesmas". Por exemplo, com "clássico" matrizes em nenhum caso você deve reorganizar algo dentro das matrizes! Vamos voltar ao nosso sistema. Ela está praticamente quebrada em pedaços.

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e, usando transformações elementares, reduzi-la a vista escalonada:

(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. E novamente: por que multiplicamos a primeira linha por -2? Para obter zero na parte inferior, o que significa se livrar de uma variável na segunda linha.

(2) Divida a segunda linha por 3.

O propósito das transformações elementares – converta a matriz para a forma de degrau: . No design da tarefa, eles desenham diretamente a “escada” com um lápis simples e também circulam os números localizados nos “degraus”. O termo "visão escalonada" em si não é inteiramente teórico; na literatura científica e educacional, é freqüentemente chamado de vista trapezoidal ou vista triangular.

Como resultado de transformações elementares, obtemos equivalente sistema de equações original:

Agora o sistema precisa ser "destorcido" na direção oposta - de baixo para cima, esse processo é chamado método de Gauss reverso.

Na equação inferior, já temos o resultado final: .

Considere a primeira equação do sistema e substitua o valor já conhecido de “y” nela:

Consideremos a situação mais comum, quando o método gaussiano é necessário para resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.

Exemplo 1

Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss:

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:

Agora vou desenhar imediatamente o resultado a que chegaremos no decorrer da solução: E repito, nosso objetivo é trazer a matriz para uma forma escalonada usando transformações elementares. Por onde começar a agir?

Primeiro, olhe para o número superior esquerdo: Deveria quase sempre estar aqui unidade. De um modo geral, -1 (e às vezes outros números) também servirá, mas de alguma forma tradicionalmente acontece que uma unidade geralmente é colocada lá. Como organizar uma unidade? Nós olhamos para a primeira coluna - temos uma unidade finalizada! Transformação um: troque a primeira e a terceira linhas:

Agora a primeira linha permanecerá inalterada até o final da solução. Agora tudo bem.

A unidade no canto superior esquerdo está organizada. Agora você precisa obter zeros nestes lugares:

Zeros são obtidos apenas com a ajuda de uma transformação "difícil". Primeiro, lidamos com a segunda linha (2, -1, 3, 13). O que precisa ser feito para obter zero na primeira posição? Precisar na segunda linha soma a primeira linha multiplicada por -2. Mentalmente ou em um rascunho, multiplicamos a primeira linha por -2: (-2, -4, 2, -18). E realizamos consistentemente (novamente mentalmente ou em um rascunho) adição, à segunda linha adicionamos a primeira linha, já multiplicada por -2:

O resultado é escrito na segunda linha:

Da mesma forma, lidamos com a terceira linha (3, 2, -5, -1). Para obter zero na primeira posição, você precisa à terceira linha adicione a primeira linha multiplicada por -3. Mentalmente ou em um rascunho, multiplicamos a primeira linha por -3: (-3, -6, 3, -27). E à terceira linha adicionamos a primeira linha multiplicada por -3:

O resultado está escrito na terceira linha:

Na prática, essas ações geralmente são realizadas verbalmente e escritas em uma única etapa:

Não há necessidade de contar tudo de uma vez e ao mesmo tempo. A ordem dos cálculos e "inserção" dos resultados consistente e geralmente assim: primeiro nós reescrevemos a primeira linha, e bufamos silenciosamente - CONSISTENTEMENTE e COM CUIDADO:
E já considerei o curso mental dos próprios cálculos acima.

Neste exemplo, isso é fácil de fazer, dividimos a segunda linha por -5 (já que todos os números são divisíveis por 5 sem deixar resto). Ao mesmo tempo, dividimos a terceira linha por -2, pois quanto menor o número, mais simples é a solução:

No estágio final das transformações elementares, mais um zero deve ser obtido aqui:

Por esta à terceira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -2:
Tente analisar esta ação você mesmo - multiplique mentalmente a segunda linha por -2 e realize a adição.

A última ação realizada é o penteado do resultado, divida a terceira linha por 3.

Como resultado de transformações elementares, um sistema inicial equivalente de equações lineares foi obtido: Legal.

Agora entra em jogo o curso inverso do método gaussiano. As equações "desenrolam" de baixo para cima.

Na terceira equação, já temos o resultado final:

Vejamos a segunda equação: . O significado de "z" já é conhecido, assim:

E finalmente, a primeira equação: . "Y" e "Z" são conhecidos, o assunto é pequeno:

Responda:

Como tem sido repetidamente observado, para qualquer sistema de equações, é possível e necessário verificar a solução encontrada, felizmente, isso não é difícil e rápido.

Exemplo 2

Este é um exemplo de auto-resolução, uma amostra de acabamento e uma resposta no final da aula.

Deve-se notar que sua curso de ação pode não coincidir com o meu curso de ação, e esta é uma característica do método de Gauss. Mas as respostas devem ser as mesmas!

Exemplo 3

Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss

Nós olhamos para o "passo" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há nenhum na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Eu fiz isso: (1) À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a adição da primeira e da segunda linha, enquanto a segunda linha não mudou.

Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar um gesto adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).

(2) A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha e a primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.

(3) A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para o segundo lugar, assim, no segundo “passo, tivemos a unidade desejada.

(4) A segunda linha multiplicada por 2 foi adicionada à terceira linha.

(5) A terceira linha foi dividida por 3.

Um sinal ruim que indica um erro de cálculo (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado “ruim”. Ou seja, se tivermos algo como abaixo e, consequentemente, , então com um alto grau de probabilidade pode-se argumentar que um erro foi cometido no curso de transformações elementares.

Cobramos o movimento inverso, no design de exemplos, o próprio sistema muitas vezes não é reescrito, e as equações são “retiradas diretamente da matriz dada”. O movimento inverso, relembro, funciona de baixo para cima. Sim, aqui está um presente:

Responda: .

Exemplo 4

Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss

Este é um exemplo de solução independente, é um pouco mais complicado. Tudo bem se alguém ficar confuso. Solução completa e amostra de design no final da lição. Sua solução pode ser diferente da minha.

Na última parte, consideramos algumas características do algoritmo de Gauss. A primeira característica é que às vezes algumas variáveis ​​estão faltando nas equações do sistema, por exemplo: Como escrever corretamente a matriz aumentada do sistema? Já falei sobre esse momento na aula. Regra de Cramer. Método de matriz. Na matriz expandida do sistema, colocamos zeros no lugar das variáveis ​​ausentes: A propósito, este é um exemplo bastante fácil, pois já existe um zero na primeira coluna e há menos transformações elementares a serem executadas.

A segunda característica é esta. Em todos os exemplos considerados, colocamos –1 ou +1 nos “passos”. Poderia haver outros números? Em alguns casos podem. Considere o sistema: .

Aqui no "degrau" superior esquerdo temos um empate. Mas notamos o fato de que todos os números da primeira coluna são divisíveis por 2 sem deixar resto - e outros dois e seis. E o empate no canto superior esquerdo vai nos servir! Na primeira etapa, você precisa realizar as seguintes transformações: adicione a primeira linha multiplicada por -1 à segunda linha; à terceira linha adicione a primeira linha multiplicada por -3. Assim, obteremos os zeros desejados na primeira coluna.

Ou outro exemplo hipotético: . Aqui, o triplo no segundo “degrau” também nos convém, pois 12 (o lugar onde precisamos obter zero) é divisível por 3 sem deixar resto. É necessário realizar a seguinte transformação: à terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por -4, como resultado do qual o zero que precisamos será obtido.

O método de Gauss é universal, mas há uma peculiaridade. Você pode aprender com confiança como resolver sistemas por outros métodos (método de Cramer, método de matriz) literalmente desde a primeira vez - existe um algoritmo muito rígido. Mas para se sentir confiante no método de Gauss, você deve “encher sua mão” e resolver pelo menos 5-10 dez sistemas. Portanto, a princípio pode haver confusão, erros nos cálculos, e não há nada de incomum ou trágico nisso.

Tempo chuvoso de outono fora da janela .... Portanto, para todos, um exemplo mais complexo para uma solução independente:

Exemplo 5

Resolva um sistema de 4 equações lineares com quatro incógnitas usando o método de Gauss.

Tal tarefa na prática não é tão rara. Eu acho que mesmo um bule que estudou esta página em detalhes entende o algoritmo para resolver esse sistema intuitivamente. Basicamente o mesmo - apenas mais ação.

Os casos em que o sistema não tem soluções (inconsistentes) ou tem infinitas soluções são considerados na lição. Sistemas incompatíveis e sistemas com uma solução comum. Lá você pode corrigir o algoritmo considerado do método de Gauss.

Desejo-lhe sucesso!

Soluções e respostas:

Exemplo 2: Solução : Vamos escrever a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma escalonada.
Transformações elementares realizadas: (1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1. Atenção! Aqui pode ser tentador subtrair a primeira da terceira linha, eu não recomendo subtrair - o risco de erro aumenta muito. Nós apenas dobramos! (2) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A segunda e terceira linhas foram trocadas. Nota que nos “degraus” estamos satisfeitos não apenas com um, mas também com -1, o que é ainda mais conveniente. (3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 5. (4) O sinal da segunda linha foi alterado (multiplicado por -1). A terceira linha foi dividida por 14.

Movimento reverso:

Responda : .

Exemplo 4: Solução : Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Conversões realizadas: (1) A segunda linha foi adicionada à primeira linha. Assim, a unidade desejada é organizada no “degrau” superior esquerdo. (2) A primeira linha multiplicada por 7 foi adicionada à segunda linha e a primeira linha multiplicada por 6 foi adicionada à terceira linha.

Com o segundo "passo" tudo fica pior , os "candidatos" para isso são os números 17 e 23, e precisamos de um ou -1. As transformações (3) e (4) terão como objetivo a obtenção da unidade desejada (3) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1. (4) A terceira linha, multiplicada por -3, foi adicionada à segunda linha. A coisa necessária no segundo passo é recebida . (5) À terceira linha somada a segunda, multiplicada por 6. (6) A segunda linha foi multiplicada por -1, a terceira linha foi dividida por -83.

Movimento reverso:

Responda :

Exemplo 5: Solução : Vamos escrever a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazê-la para uma forma passo a passo:

Conversões realizadas: (1) A primeira e a segunda linha foram trocadas. (2) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -3. (3) A segunda linha multiplicada por 4 foi adicionada à terceira linha e a segunda linha multiplicada por -1 foi adicionada à quarta linha. (4) O sinal da segunda linha foi alterado. A quarta linha foi dividida por 3 e colocada no lugar da terceira linha. (5) A terceira linha foi adicionada à quarta linha, multiplicada por -5.

Movimento reverso:

Responda :

Seja dado um sistema de equações algébricas lineares, que deve ser resolvido (encontre tais valores das incógnitas хi que transformam cada equação do sistema em uma igualdade).

Sabemos que um sistema de equações algébricas lineares pode:

1) Não tem soluções (seja incompatível).
2) Tenha infinitas soluções.
3) Tenha uma solução única.

Como lembramos, a regra de Cramer e o método matricial são inadequados nos casos em que o sistema tem infinitas soluções ou é inconsistente. Método de Gauss – a ferramenta mais poderosa e versátil para encontrar soluções para qualquer sistema de equações lineares, que o Em todo caso nos leve à resposta! O algoritmo do método nos três casos funciona da mesma maneira. Se os métodos de Cramer e matricial requerem conhecimento de determinantes, então a aplicação do método de Gauss requer conhecimento apenas de operações aritméticas, o que o torna acessível até mesmo para alunos do ensino fundamental.

Transformações de matriz estendida ( esta é a matriz do sistema - uma matriz composta apenas pelos coeficientes das incógnitas, mais uma coluna de termos livres) sistemas de equações algébricas lineares no método de Gauss:

1) Com troky matrizes posso reorganizar lugares.

2) se houver (ou houver) linhas proporcionais (como um caso especial - idênticas) na matriz, segue-se excluir da matriz, todas essas linhas, exceto uma.

3) se uma linha zero apareceu na matriz durante as transformações, também segue excluir.

4) a linha da matriz pode multiplicar (dividir) para qualquer número diferente de zero.

5) para a linha da matriz, você pode adicionar outra string multiplicada por um número, diferente de zero.

No método de Gauss, as transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações.

O método de Gauss consiste em duas etapas:

1. "Movimento direto" - usando transformações elementares, traga a matriz estendida do sistema de equações algébricas lineares para uma forma "triangular" escalonada: os elementos da matriz estendida localizados abaixo da diagonal principal são iguais a zero (movimento de cima para baixo ). Por exemplo, para este tipo:

Para fazer isso, execute as seguintes etapas:

1) Consideremos a primeira equação de um sistema de equações algébricas lineares e o coeficiente em x 1 é igual a K. A segunda, terceira, etc. transformamos as equações da seguinte forma: dividimos cada equação (coeficientes para incógnitas, incluindo termos livres) pelo coeficiente para incógnita x 1, que está em cada equação, e multiplicamos por K. Depois disso, subtraímos a primeira da segunda equação ( coeficientes para incógnitas e termos livres). Obtemos em x 1 na segunda equação o coeficiente 0. Da terceira equação transformada subtraímos a primeira equação, então até que todas as equações, exceto a primeira, com incógnita x 1, não terão um coeficiente 0.

2) Passe para a próxima equação. Seja esta a segunda equação e o coeficiente em x 2 é igual a M. Com todas as equações "subordinadas", procedemos como descrito acima. Assim, "sob" a incógnita x 2 em todas as equações serão zeros.

3) Passamos para a próxima equação e assim sucessivamente até restar um último termo livre desconhecido e transformado.

1. O "movimento reverso" do método de Gauss é obter uma solução para um sistema de equações algébricas lineares (o movimento "de baixo para cima"). Da última equação "inferior" obtemos uma primeira solução - a incógnita x n. Para fazer isso, resolvemos a equação elementar A * x n \u003d B. No exemplo acima, x 3 \u003d 4. Substituimos o valor encontrado na próxima equação “superior” e resolvemos em relação à próxima incógnita. Por exemplo, x 2 - 4 \u003d 1, ou seja, x 2 \u003d 5. E assim por diante até encontrarmos todas as incógnitas.

Exemplo.

Resolvemos o sistema de equações lineares usando o método de Gauss, como alguns autores aconselham:

Escrevemos a matriz estendida do sistema e, usando transformações elementares, a transformamos em um degrau:

Nós olhamos para o "passo" superior esquerdo. Lá deveríamos ter uma unidade. O problema é que não há nenhum na primeira coluna, então nada pode ser resolvido reorganizando as linhas. Nesses casos, a unidade deve ser organizada usando uma transformação elementar. Isso geralmente pode ser feito de várias maneiras. Vamos fazer assim:
1 passo . À primeira linha adicionamos a segunda linha, multiplicada por -1. Ou seja, multiplicamos mentalmente a segunda linha por -1 e realizamos a adição da primeira e da segunda linha, enquanto a segunda linha não mudou.

Agora no canto superior esquerdo "menos um", o que nos convém perfeitamente. Quem quiser obter +1 pode realizar uma ação adicional: multiplique a primeira linha por -1 (mude seu sinal).

2 passos . A primeira linha multiplicada por 5 foi adicionada à segunda linha e a primeira linha multiplicada por 3 foi adicionada à terceira linha.

3 passos . A primeira linha foi multiplicada por -1, em princípio, isso é para beleza. O sinal da terceira linha também foi alterado e passou para o segundo lugar, assim, no segundo “passo, tivemos a unidade desejada.

4 passos . À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 2.

5 passos . A terceira linha é dividida por 3.

Um sinal que indica um erro nos cálculos (menos frequentemente um erro de digitação) é um resultado “ruim”. Ou seja, se obtivermos algo como (0 0 11 | 23) abaixo e, portanto, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, então com um alto grau de probabilidade podemos dizer que um erro foi cometido durante o ensino fundamental. transformações.

Realizamos um movimento inverso, no design de exemplos, o próprio sistema geralmente não é reescrito e as equações são “retiradas diretamente da matriz fornecida”. O movimento inverso, lembro a você, funciona "de baixo para cima". Neste exemplo, o presente acabou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, portanto x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Responda: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Vamos resolver o mesmo sistema usando o algoritmo proposto. Nós temos

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divida a segunda equação por 5 e a terceira por 3. Obtemos:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplicando a segunda e terceira equações por 4, temos:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtraindo a primeira equação da segunda e terceira equações, temos:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divida a terceira equação por 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplique a terceira equação por 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtraia a segunda equação da terceira equação, obtemos a matriz aumentada “escalonada”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Assim, como um erro se acumulou no processo de cálculos, obtemos x 3 \u003d 0,96, ou aproximadamente 1.

x 2 \u003d 3 e x 1 \u003d -1.

Resolvendo dessa forma, você nunca ficará confuso nos cálculos e, apesar dos erros de cálculo, obterá o resultado.

Este método de resolução de um sistema de equações algébricas lineares é facilmente programável e não leva em conta as características específicas dos coeficientes para incógnitas, pois na prática (em cálculos econômicos e técnicos) é preciso lidar com coeficientes não inteiros.

Desejo-lhe sucesso! Vejo você na aula! Tutor.

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Desde o início dos séculos 16 e 18, os matemáticos começaram a estudar intensamente as funções, graças às quais muita coisa mudou em nossas vidas. A tecnologia da computação sem esse conhecimento simplesmente não existiria. Para resolver problemas complexos, equações lineares e funções, vários conceitos, teoremas e técnicas de solução foram criados. Um desses métodos e técnicas universais e racionais para resolver equações lineares e seus sistemas foi o método de Gauss. Matrizes, sua classificação, determinante - tudo pode ser calculado sem o uso de operações complexas.

O que é SLAU

Em matemática, existe o conceito de SLAE - um sistema de equações algébricas lineares. O que ela representa? Este é um conjunto de m equações com as n incógnitas necessárias, geralmente denotadas como x, y, z ou x 1 , x 2 ... x n ou outros símbolos. Resolver este sistema pelo método gaussiano significa encontrar todas as incógnitas desconhecidas. Se um sistema tem o mesmo número de incógnitas e equações, ele é chamado de sistema de n-ésima ordem.

Os métodos mais populares para resolver SLAE

Em instituições de ensino de ensino médio, vários métodos de resolução de tais sistemas estão sendo estudados. Na maioria das vezes, são equações simples que consistem em duas incógnitas, portanto, qualquer método existente para encontrar a resposta para elas não levará muito tempo. Pode ser como um método de substituição, quando outra equação é derivada de uma equação e substituída na original. Ou subtração e adição termo a termo. Mas o método de Gauss é considerado o mais fácil e universal. Permite resolver equações com qualquer número de incógnitas. Por que essa técnica é considerada racional? Tudo é simples. O método da matriz é bom porque não requer várias vezes reescrever caracteres desnecessários na forma de incógnitas, basta fazer operações aritméticas nos coeficientes - e você obterá um resultado confiável.

Onde os SLAEs são usados ​​na prática?

A solução do SLAE são os pontos de intersecção das linhas nos gráficos das funções. Na era da informática de alta tecnologia, as pessoas que estão intimamente envolvidas no desenvolvimento de jogos e outros programas precisam saber como resolver tais sistemas, o que eles representam e como verificar a correção do resultado resultante. Na maioria das vezes, os programadores desenvolvem calculadoras especiais de álgebra linear, o que inclui um sistema de equações lineares. O método de Gauss permite calcular todas as soluções existentes. Outras fórmulas e técnicas simplificadas também são usadas.

Critério de compatibilidade SLAE

Tal sistema só pode ser resolvido se for compatível. Para maior clareza, apresentamos o SLAE na forma Ax=b. Tem uma solução se rang(A) for igual a rang(A,b). Neste caso, (A,b) é uma matriz de forma estendida que pode ser obtida da matriz A reescrevendo-a com termos livres. Acontece que resolver equações lineares usando o método gaussiano é bastante fácil.

Talvez alguma notação não esteja totalmente clara, por isso é necessário considerar tudo com um exemplo. Digamos que existe um sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consiste em apenas duas equações nas quais existem 2 incógnitas. O sistema terá solução somente se o posto de sua matriz for igual ao posto da matriz aumentada. O que é uma classificação? Este é o número de linhas independentes do sistema. No nosso caso, o posto da matriz é 2. A matriz A consistirá nos coeficientes localizados próximos às incógnitas, e os coeficientes atrás do sinal “=” também se encaixarão na matriz expandida.

Por que o SLAE pode ser representado em forma de matriz

Com base no critério de compatibilidade de acordo com o comprovado teorema de Kronecker-Capelli, o sistema de equações algébricas lineares pode ser representado na forma matricial. Usando o método da cascata gaussiana, você pode resolver a matriz e obter a única resposta confiável para todo o sistema. Se o posto de uma matriz ordinária for igual ao posto de sua matriz estendida, mas menor que o número de incógnitas, o sistema terá um número infinito de respostas.

Transformações de matriz

Antes de passar para a resolução de matrizes, é necessário saber quais ações podem ser realizadas em seus elementos. Existem várias transformações elementares:

• Reescrevendo o sistema em forma de matriz e realizando sua solução, é possível multiplicar todos os elementos da série pelo mesmo coeficiente.
• Para converter uma matriz para a forma canônica, duas linhas paralelas podem ser trocadas. A forma canônica implica que todos os elementos da matriz que estão localizados ao longo da diagonal principal se tornem uns, e os restantes se tornem zeros.
• Os elementos correspondentes das linhas paralelas da matriz podem ser somados um ao outro.

Método Jordan-Gauss

A essência da solução de sistemas de equações lineares homogêneas e não homogêneas pelo método de Gauss é eliminar gradualmente as incógnitas. Digamos que temos um sistema de duas equações em que existem duas incógnitas. Para encontrá-los, você precisa verificar a compatibilidade do sistema. A equação gaussiana é resolvida de forma muito simples. É necessário escrever os coeficientes localizados perto de cada incógnita em uma forma de matriz. Para resolver o sistema, você precisa escrever a matriz aumentada. Se uma das equações contém um número menor de incógnitas, então "0" deve ser colocado no lugar do elemento ausente. Todos os métodos de transformação conhecidos são aplicados à matriz: multiplicação, divisão por um número, somando os elementos correspondentes das linhas entre si e outros. Acontece que em cada linha é necessário deixar uma variável com o valor "1", o restante deve ser reduzido a zero. Para uma compreensão mais precisa, é necessário considerar o método de Gauss com exemplos.

Um exemplo simples de resolver um sistema 2x2

Para começar, vamos pegar um sistema simples de equações algébricas, no qual haverá 2 incógnitas.

Vamos reescrevê-lo em uma matriz aumentada.

Para resolver este sistema de equações lineares, são necessárias apenas duas operações. Precisamos trazer a matriz para a forma canônica para que haja unidades ao longo da diagonal principal. Assim, traduzindo da forma matricial de volta para o sistema, obtemos as equações: 1x+0y=b1 e 0x+1y=b2, onde b1 e b2 são as respostas obtidas no processo de resolução.

1. O primeiro passo para resolver a matriz aumentada será o seguinte: a primeira linha deve ser multiplicada por -7 e os elementos correspondentes adicionados à segunda linha, respectivamente, para se livrar de uma incógnita na segunda equação.
2. Como a solução de equações pelo método de Gauss implica trazer a matriz para a forma canônica, então é necessário fazer as mesmas operações com a primeira equação e remover a segunda variável. Para fazer isso, subtraímos a segunda linha da primeira e obtemos a resposta necessária - a solução do SLAE. Ou, como mostrado na figura, multiplicamos a segunda linha por um fator de -1 e adicionamos os elementos da segunda linha à primeira linha. Esse é o mesmo.

Como você pode ver, nosso sistema é resolvido pelo método Jordan-Gauss. Reescrevemos na forma exigida: x=-5, y=7.

Um exemplo de solução de SLAE 3x3

Suponha que temos um sistema mais complexo de equações lineares. O método de Gauss torna possível calcular a resposta mesmo para o sistema aparentemente mais confuso. Portanto, para aprofundar a metodologia de cálculo, podemos passar para um exemplo mais complexo com três incógnitas.

Como no exemplo anterior, reescrevemos o sistema na forma de uma matriz expandida e começamos a trazê-lo para a forma canônica.

Para resolver este sistema, você precisará realizar muito mais ações do que no exemplo anterior.

1. Primeiro você precisa fazer na primeira coluna um único elemento e o resto zeros. Para fazer isso, multiplique a primeira equação por -1 e adicione a segunda equação a ela. É importante lembrar que reescrevemos a primeira linha em sua forma original e a segunda - já em uma forma modificada.
2. Em seguida, removemos a mesma primeira incógnita da terceira equação. Para fazer isso, multiplicamos os elementos da primeira linha por -2 e os adicionamos à terceira linha. Agora, a primeira e a segunda linhas são reescritas em sua forma original e a terceira - já com alterações. Como você pode ver pelo resultado, temos o primeiro no início da diagonal principal da matriz e o resto são zeros. Mais algumas ações e o sistema de equações pelo método de Gauss será resolvido de forma confiável.
3. Agora você precisa fazer operações em outros elementos das linhas. A terceira e quarta etapas podem ser combinadas em uma. Precisamos dividir a segunda e a terceira linhas por -1 para nos livrarmos das negativas na diagonal. Já trouxemos a terceira linha para o formulário necessário.
4. Em seguida, canonizamos a segunda linha. Para fazer isso, multiplicamos os elementos da terceira linha por -3 e os adicionamos à segunda linha da matriz. Pode-se ver pelo resultado que a segunda linha também é reduzida à forma que precisamos. Resta fazer mais algumas operações e remover os coeficientes das incógnitas da primeira linha.
5. Para fazer 0 do segundo elemento de uma linha, você precisa multiplicar a terceira linha por -3 e adicioná-la à primeira linha.
6. O próximo passo decisivo é adicionar os elementos necessários da segunda linha à primeira linha. Assim, obtemos a forma canônica da matriz e, consequentemente, a resposta.

Como você pode ver, a solução de equações pelo método de Gauss é bastante simples.

Um exemplo de resolução de um sistema de equações 4x4

Alguns sistemas de equações mais complexos podem ser resolvidos pelo método gaussiano usando programas de computador. É necessário direcionar coeficientes para incógnitas em células vazias existentes, e o programa calculará o resultado necessário passo a passo, descrevendo cada ação em detalhes.

As instruções passo a passo para resolver esse exemplo são descritas abaixo.

Na primeira etapa, coeficientes livres e números para incógnitas são inseridos em células vazias. Assim, obtemos a mesma matriz aumentada que escrevemos à mão.

E todas as operações aritméticas necessárias são realizadas para trazer a matriz estendida para a forma canônica. Deve ser entendido que a resposta para um sistema de equações nem sempre é inteiro. Às vezes, a solução pode ser de números fracionários.

Verificando a correção da solução

O método de Jordan-Gauss prevê a verificação da exatidão do resultado. Para descobrir se os coeficientes foram calculados corretamente, basta substituir o resultado no sistema de equações original. O lado esquerdo da equação deve corresponder ao lado direito, que está atrás do sinal de igual. Se as respostas não corresponderem, você precisará recalcular o sistema ou tentar aplicar outro método de solução de SLAE conhecido por você, como substituição ou subtração e adição termo a termo. Afinal, a matemática é uma ciência que possui um grande número de diferentes métodos de resolução. Mas lembre-se: o resultado deve ser sempre o mesmo, não importa qual método de solução você tenha usado.

Método de Gauss: os erros mais comuns na resolução de SLAE

Durante a solução de sistemas lineares de equações, os erros ocorrem com mais frequência, como a transferência incorreta de coeficientes para uma forma matricial. Existem sistemas em que algumas incógnitas estão faltando em uma das equações, então, transferindo os dados para a matriz expandida, elas podem ser perdidas. Como resultado, ao resolver este sistema, o resultado pode não corresponder ao real.

Outro dos principais erros pode ser a escrita incorreta do resultado final. Deve ser claramente entendido que o primeiro coeficiente corresponderá ao primeiro desconhecido do sistema, o segundo - ao segundo e assim por diante.

O método de Gauss descreve em detalhes a solução de equações lineares. Graças a ele, é fácil realizar as operações necessárias e encontrar o resultado certo. Além disso, esta é uma ferramenta universal para encontrar uma resposta confiável para equações de qualquer complexidade. Talvez seja por isso que é tão frequentemente usado na resolução de SLAE.