Nesta lição, aprenderemos como decompor trinômios quadrados em fatores lineares. Para isso, é necessário relembrar o teorema de Vieta e seu inverso. Essa habilidade nos ajudará a decompor rápida e convenientemente trinômios quadrados em fatores lineares e também simplificar a redução de frações compostas por expressões.

Então, de volta à equação quadrática, onde .

O que temos no lado esquerdo é chamado de trinômio quadrado.

O teorema é verdadeiro: Se são as raízes de um trinômio quadrado, então a identidade é verdadeira

Onde é o coeficiente principal, são as raízes da equação.

Então, temos uma equação quadrática - um trinômio quadrado, onde as raízes da equação quadrática também são chamadas de raízes do trinômio quadrático. Portanto, se temos as raízes de um trinômio quadrado, esse trinômio é decomposto em fatores lineares.

Prova:

A prova deste fato é feita usando o teorema de Vieta, que consideramos nas lições anteriores.

Vamos lembrar o que o teorema de Vieta nos diz:

Se são as raízes de um trinômio quadrado para o qual , então .

Este teorema implica a seguinte afirmação de que .

Vemos que, de acordo com o teorema de Vieta, ou seja, substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos a seguinte expressão

Q.E.D.

Lembre-se de que provamos o teorema de que se são as raízes de um trinômio quadrado, então a decomposição é válida.

Agora vamos relembrar um exemplo de equação quadrática, para a qual selecionamos as raízes usando o teorema de Vieta. A partir deste fato podemos obter a seguinte igualdade graças ao teorema provado:

Agora vamos verificar a exatidão deste fato simplesmente expandindo os colchetes:

Vemos que fatoramos corretamente, e qualquer trinômio, se tiver raízes, pode ser fatorado em fatores lineares de acordo com este teorema pela fórmula

No entanto, vamos verificar se para qualquer equação tal fatoração é possível:

Vamos pegar a equação por exemplo. Primeiro, verifique o sinal do discriminante

E lembramos que para cumprir o teorema que aprendemos, D deve ser maior que 0, então em este caso a fatoração pelo teorema estudado é impossível.

Portanto, formulamos um novo teorema: se um trinômio quadrado não tem raízes, então não pode ser decomposto em fatores lineares.

Assim, consideramos o teorema de Vieta, a possibilidade de decompor um trinômio quadrado em fatores lineares, e agora vamos resolver vários problemas.

Tarefa nº 1

Neste grupo, vamos realmente resolver o problema inverso ao proposto. Tínhamos uma equação e encontramos suas raízes, decompondo em fatores. Aqui faremos o contrário. Digamos que temos as raízes de uma equação quadrática

O problema inverso é este: escreva uma equação quadrática de modo que sejam suas raízes.

Existem 2 maneiras de resolver este problema.

Como são as raízes da equação, então é uma equação quadrática cujas raízes são números. Agora vamos abrir os colchetes e verificar:

Esta foi a primeira maneira que criamos uma equação quadrática com raízes dadas que não tem outras raízes, já que qualquer equação quadrática tem no máximo duas raízes.

Este método envolve o uso do teorema inverso de Vieta.

Se são as raízes da equação, então elas satisfazem a condição de que .

Para a equação quadrática reduzida , , ou seja, neste caso, e .

Assim, criamos uma equação quadrática que tem as raízes dadas.

Tarefa nº 2

Você precisa reduzir a fração.

Temos um trinômio no numerador e um trinômio no denominador, e os trinômios podem ou não ser fatorados. Se tanto o numerador quanto o denominador são fatorados, então entre eles pode haver fatores iguais que podem ser reduzidos.

Em primeiro lugar, é necessário fatorar o numerador.

Primeiro, você precisa verificar se esta equação pode ser fatorada, encontre o discriminante . Como , então o sinal depende do produto (deve ser menor que 0), neste exemplo, ou seja, a equação dada tem raízes.

Para resolver, usamos o teorema de Vieta:

Neste caso, como estamos lidando com raízes, será muito difícil simplesmente pegar as raízes. Mas vemos que os coeficientes estão balanceados, ou seja, se assumirmos que , e substituirmos esse valor na equação, obtém-se o seguinte sistema: ou seja, 5-5=0. Assim, escolhemos uma das raízes desta equação quadrática.

Vamos procurar a segunda raiz substituindo o que já é conhecido no sistema de equações, por exemplo, , ou seja. .

Assim, encontramos as duas raízes da equação quadrática e podemos substituir seus valores na equação original para fatorá-la:

Lembre-se do problema original, precisávamos reduzir a fração.

Vamos tentar resolver o problema substituindo em vez do numerador .

É necessário não esquecer que neste caso o denominador não pode ser igual a 0, ou seja,.

Se essas condições forem atendidas, reduzimos a fração original à forma .

Tarefa nº 3 (tarefa com um parâmetro)

Em quais valores do parâmetro é a soma das raízes da equação quadrática

Se as raízes desta equação existem, então , a questão é quando .

A fatoração de trinômios quadrados é uma das tarefas escolares que todos enfrentam mais cedo ou mais tarde. Como fazer isso? Qual é a fórmula para fatorar um trinômio quadrado? Vamos passar por isso passo a passo com exemplos.

Fórmula geral

A fatoração de trinômios quadrados é realizada resolvendo uma equação quadrática. Esta é uma tarefa simples que pode ser resolvida por vários métodos - encontrando o discriminante, usando o teorema de Vieta, há também uma maneira gráfica de resolvê-lo. Os dois primeiros métodos são estudados no ensino médio.

A fórmula geral fica assim:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritmo de execução de tarefas

Para fatorar trinômios quadrados, você precisa conhecer o teorema de Wit, ter um programa para resolver em mãos, ser capaz de encontrar uma solução graficamente ou procurar as raízes de uma equação do segundo grau através da fórmula discriminante. Se um trinômio quadrado é dado e deve ser fatorado, o algoritmo de ações é o seguinte:

1) Iguale a expressão original a zero para obter a equação.

2) Dê termos semelhantes (se necessário).

3) Encontre as raízes por qualquer método conhecido. O método gráfico é melhor usado se for conhecido de antemão que as raízes são números inteiros e pequenos. Deve-se lembrar que o número de raízes é igual ao grau máximo da equação, ou seja, a equação quadrática tem duas raízes.

4) Valor substituto X na expressão (1).

5) Escreva a fatoração de trinômios quadrados.

Exemplos

A prática permite que você finalmente entenda como essa tarefa é realizada. Exemplos ilustram a fatoração de um trinômio quadrado:

você precisa expandir a expressão:

Vamos usar nosso algoritmo:

1) x 2 -17x+32=0

2) termos semelhantes são reduzidos

3) de acordo com a fórmula de Vieta, é difícil encontrar as raízes para este exemplo, portanto, é melhor usar a expressão para o discriminante:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Substitua as raízes que encontramos na fórmula principal de expansão:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Então a resposta será:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Vamos verificar se as soluções encontradas pelo discriminante correspondem às fórmulas de Vieta:

14,845 . 2,155=32

Para essas raízes, aplica-se o teorema de Vieta, elas foram encontradas corretamente, o que significa que a fatoração que obtivemos também está correta.

Da mesma forma, expandimos 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

No caso anterior, as soluções eram não inteiras, mas números reais, que são fáceis de encontrar com uma calculadora à sua frente. Agora considere um exemplo mais complexo em que as raízes são complexas: fatorize x 2 + 4x + 9. De acordo com a fórmula de Vieta, as raízes não podem ser encontradas e o discriminante é negativo. As raízes estarão no plano complexo.

D=-20

Com base nisso, obtemos as raízes em que estamos interessados ​​-4 + 2i * 5 1/2 e -4-2i * 5 1/2 porque (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Obtemos a expansão desejada substituindo as raízes na fórmula geral.

Outro exemplo: você precisa fatorar a expressão 23x 2 -14x + 7.

temos a equação 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Então as raízes são 14+21.166i e 14-21.166i. A resposta será:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21.166i )*(X- 14+21.166i ).

Vamos dar um exemplo que pode ser resolvido sem a ajuda do discriminante.

Seja necessário decompor a equação quadrática x 2 -32x + 255. Obviamente, também pode ser resolvido pelo discriminante, mas neste caso é mais rápido encontrar as raízes.

x 1 = 15

x2=17

Significa x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Calculadora on-line.
Seleção do quadrado do binômio e fatoração do trinômio quadrado.

Este programa de matemática extrai o quadrado do binômio do trinômio quadrado, ou seja faz uma transformação da forma:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q\) e fatora o trinômio quadrado: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Aqueles. os problemas são reduzidos a encontrar os números \(p, q \) e \(n, m \)

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também mostra o processo de solução.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Neste caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um trinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrado

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como este: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Neste caso, ao resolver, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Exemplo de solução detalhada

Seleção do quadrado do binômio.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Fatoração.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\esquerda(x^2+x-2 \direita) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Responda:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Decidir

Verificou-se que alguns scripts necessários para resolver esta tarefa não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Nesse caso, desative-o e atualize a página.

Você desativou o JavaScript em seu navegador.
O JavaScript deve estar habilitado para que a solução apareça.
Aqui estão as instruções sobre como habilitar o JavaScript no seu navegador.

Porque Tem muita gente querendo resolver o problema, seu pedido está na fila.
Após alguns segundos, a solução aparecerá abaixo.
Espere, por favor seg...

Se você notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback .
Não esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.

Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:

Um pouco de teoria.

Extração de um binômio quadrado de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 + bx + c é representado como a (x + p) 2 + q, onde p e q são números reais, então eles dizem que de trinômio quadrado, o quadrado do binômio é destacado.

Vamos extrair o quadrado do binômio do trinômio 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Para fazer isso, representamos 6x como um produto de 2 * 3 * x e, em seguida, adicionamos e subtraímos 3 2 . Nós temos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Este. nós selecionou o quadrado do binômio do trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Fatoração de um trinômio quadrado

Se o trinômio quadrado ax 2 +bx+c é representado como a(x+n)(x+m), onde n e m são números reais, então diz-se que a operação foi realizada fatorações de um trinômio quadrado.

Vamos usar um exemplo para mostrar como essa transformação é feita.

Vamos fatorar o trinômio quadrado 2x 2 +4x-6.

Vamos tirar o coeficiente a dos parênteses, ou seja. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Vamos transformar a expressão entre colchetes.
Para fazer isso, representamos 2x como a diferença 3x-1x e -3 como -1*3. Nós temos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Este. nós fatorar o trinômio quadrado, e mostrou que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Observe que a fatoração de um trinômio quadrado só é possível quando a equação quadrática correspondente a esse trinômio tem raízes.
Aqueles. no nosso caso, fatorar o trinômio 2x 2 +4x-6 é possível se a equação quadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiver raízes. No processo de fatoração, descobrimos que a equação 2x 2 +4x-6 =0 tem duas raízes 1 e -3, porque com esses valores, a equação 2(x-1)(x+3)=0 se transforma em uma verdadeira igualdade.

Livros (livros didáticos) Resumos do Exame do Estado Unificado e testes OGE on-line Jogos, quebra-cabeças Representação gráfica de funções Dicionário de ortografia da língua russa Dicionário de gírias juvenis Catálogo de escolas russas Catálogo de escolas secundárias na Rússia Catálogo de universidades russas Lista de tarefas

Fatoração de um trinômio quadrado pode ser útil ao resolver desigualdades do problema C3 ou do problema com o parâmetro C5. Além disso, muitos problemas de palavras B13 serão resolvidos muito mais rapidamente se você conhecer o teorema de Vieta.

Este teorema, é claro, pode ser considerado do ponto de vista da 8ª série, na qual é aprovado pela primeira vez. Mas nossa tarefa é se preparar bem para o exame e aprender a resolver as tarefas do exame da maneira mais eficiente possível. Portanto, nesta lição, a abordagem é ligeiramente diferente da da escola.

A fórmula para as raízes da equação de acordo com o teorema de Vieta conheça (ou pelo menos tenha visto) muitos:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

onde `a, b` e `c` são os coeficientes do trinômio quadrado `ax^2+bx+c`.

Para aprender a usar o teorema facilmente, vamos entender de onde ele vem (será muito mais fácil lembrar dessa maneira).

Vamos ter a equação `ax^2+ bx+ c = 0`. Para maior conveniência, dividimos por `a` e obtemos `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Tal equação é chamada de equação quadrática reduzida.

Pontos importantes da lição: qualquer polinômio quadrado que tenha raízes pode ser decomposto em colchetes. Suponha que o nosso possa ser representado como `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, onde `k` e `l` - algumas constantes.

Vamos ver como os colchetes se abrem:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Assim, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Isso é um pouco diferente da interpretação clássica Teoremas de Vieta- nele estamos procurando as raízes da equação. Proponho procurar termos para expansões de colchetes- então você não precisa se lembrar do menos da fórmula (significando `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Basta escolher dois desses números, cuja soma é igual ao coeficiente médio e o produto é igual ao termo livre.

Se precisarmos de uma solução para a equação, então é óbvio: as raízes `x=-k` ou `x=-l` (já que nesses casos um dos colchetes será nulo, o que significa que toda a expressão será igual a zero).

Por exemplo, vou mostrar o algoritmo, como decompor um polinômio quadrado em colchetes.

Exemplo um. Algoritmo para fatorar um trinômio quadrado

O caminho que temos é o trinômio quadrado `x^2+5x+4`.

É reduzido (o coeficiente de `x^2` é igual a um). Ele tem raízes. (Para ter certeza, você pode estimar o discriminante e certificar-se de que é maior que zero.)

Etapas adicionais (elas precisam ser aprendidas completando todas as tarefas de treinamento):

1. Faça a seguinte notação: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Deixe espaço livre em vez de pontos, adicionaremos os números e sinais apropriados lá.
2. Ver tudo opções possíveis, como você pode decompor o número `4` no produto de dois números. Obtemos pares de "candidatos" para as raízes da equação: `2, 2` e `1, 4`.
3. Estime de qual par você pode obter o coeficiente médio. Obviamente é `1, 4`.
4. Escreva $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. O próximo passo é colocar sinais na frente dos números inseridos.

   Como entender e lembrar para sempre quais sinais devem estar na frente dos números entre parênteses? Tente expandi-los (colchetes). O coeficiente antes de `x` elevado à primeira potência será `(± 4 ± 1)` (ainda não sabemos os sinais - precisamos escolher), e deve ser igual a `5`. Obviamente, haverá duas vantagens aqui $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Execute esta operação várias vezes (olá, tarefas de treinamento!) e nunca haverá mais problemas com isso.

Se você precisa resolver a equação `x^2+5x+4`, agora sua solução não é difícil. Suas raízes são `-4, -1`.

Segundo exemplo. Fatoração de um trinômio quadrado com coeficientes de sinais diferentes

Suponha que precisamos resolver a equação `x^2-x-2=0`. À primeira vista, o discriminante é positivo.

Seguimos o algoritmo.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Existe apenas uma fatoração inteira de 2: `2 · 1`.
3. Nós pulamos o ponto - não há nada para escolher.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. O produto de nossos números é negativo (`-2` é um termo livre), o que significa que um deles será negativo e o outro positivo.
   Como sua soma é igual a `-1` (coeficiente de `x`), então `2` será negativo (explicação intuitiva - dois é o maior dos dois números, ele "puxará" mais na direção negativa). Obtemos $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Terceiro exemplo. Fatoração de um trinômio quadrado

Equação `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Decomposição de 84 em fatores inteiros: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Como precisamos que a diferença (ou soma) dos números seja 5, o par `7, 12` servirá.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Ter esperança, decomposição deste trinômio quadrado em colchetes Claro.

Se você precisa de uma solução para a equação, então aqui está: `12, -7`.

Tarefas para treinamento

Aqui estão alguns exemplos que são fáceis de são resolvidos usando o teorema de Vieta.(Exemplos retirados de Matemática, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Alguns anos depois que o artigo foi escrito, uma coleção de 150 tarefas apareceu para expandir um polinômio quadrático usando o teorema de Vieta.

Curta e tire suas dúvidas nos comentários!

8 exemplos de fatoração de polinômios são dados. Eles incluem exemplos com a resolução de equações quadráticas e biquadráticas, exemplos com polinômios recorrentes e exemplos com a descoberta de raízes inteiras de polinômios de terceiro e quarto graus.

1. Exemplos com a solução de uma equação quadrática

Exemplo 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Solução

Tira x 2 para colchetes:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Raízes da equação:
, .

.

Responda

Exemplo 1.2

Fatorando um polinômio de terceiro grau:
x 3 + 6x 2 + 9x.

Solução

Tiramos x dos colchetes:
.
Resolvemos a equação quadrática x 2 + 6x + 9 = 0:
Seu discriminante é .
Como o discriminante é igual a zero, as raízes da equação são múltiplas: ;
.

A partir daqui, obtemos a decomposição do polinômio em fatores:
.

Responda

Exemplo 1.3

Fatorando um polinômio de quinto grau:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Solução

Tira x 3 para colchetes:
.
Resolvemos a equação quadrática x 2 - 2 x + 10 = 0.
Seu discriminante é .
Como o discriminante é menor que zero, as raízes da equação são complexas: ;
, .

A fatoração de um polinômio tem a forma:
.

Se estivermos interessados ​​em fatorar com coeficientes reais, então:
.

Responda

Exemplos de fatoração de polinômios usando fórmulas

Exemplos com polinômios biquadráticos

Exemplo 2.1

Fatorize o polinômio biquadrático:
x 4 + x 2 - 20.

Solução

Aplique as fórmulas:
uma 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
uma 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Responda

Exemplo 2.2

Fatorando um polinômio que se reduz a um biquadrático:
x 8 + x 4 + 1.

Solução

Aplique as fórmulas:
uma 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
uma 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Responda

Exemplo 2.3 com polinômio recursivo

Fatorando o polinômio recursivo:
.

Solução

O polinômio recursivo tem um grau ímpar. Portanto, tem uma raiz x = - 1 . Dividimos o polinômio por x - (-1) = x + 1. Como resultado, obtemos:
.
Fazemos uma substituição:
, ;
;


;
.

Responda

Exemplos de fatoração de polinômios com raízes inteiras

Exemplo 3.1

Fatorando um polinômio:
.

Solução

Suponha a equação

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Assim, encontramos três raízes:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Como o polinômio original é de terceiro grau, ele não possui mais de três raízes. Como encontramos três raízes, elas são simples. Então
.

Responda

Exemplo 3.2

Fatorando um polinômio:
.

Solução

Suponha a equação

tem pelo menos uma raiz inteira. Então é o divisor do número 2 (um membro sem x). Ou seja, a raiz inteira pode ser um dos números:
-2, -1, 1, 2 .
Substitua esses valores um por um:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Se assumirmos que esta equação tem uma raiz inteira, então ela é um divisor do número 2 (um membro sem x). Ou seja, a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 2, -1, -2 .
Substitua x = -1 :
.

Então encontramos outra raiz x 2 = -1 . Seria possível, como no caso anterior, dividir o polinômio por , mas agruparemos os termos:
.

Como a equação x 2 + 2 = 0 não tem raízes reais, então a fatoração do polinômio tem a forma.