Instituição educacional autônoma municipal

“Escola secundária nº 56 com estudo aprofundado de matemática” na cidade de Magnitogorsk

Desenvolvimento metodológico da aula

matemática

Antiderivadas e integral definida no Exame de Estado Unificado. Revisão das tarefas do Exame Estadual Unificado sobre o tema “Primordial”)

para alunos do 11º ano

(lição resumida)

Filimonova Tatyana Mikhailovna

Magnitogorsk 2018

anotação

A aula é destinada a alunos do 11º ano. O tema da lição é “Uma antiderivada e uma integral definida no Exame de Estado Unificado.Revisão das tarefas do Exame Estadual Unificado sobre o tema “Primordial”. A etapa de treinamento sobre este tema é a final. A motivação para o estudo deste tema é proporcionada através da utilização das TIC, da utilização de vários tipos de tarefas, da utilização de tarefas do FIPI e das tarefas do site Vou resolver o Exame Estadual Unificado. O objetivo prioritário da aula é aplicar os conhecimentos adquiridos, praticar habilidades e resolver problemas com o Exame Estadual Unificado.

Nota explicativa

O desenvolvimento metodológico é o desenvolvimento de uma aula específica de matemática utilizando ferramentas TIC. A relevância do desenvolvimento reside no fato de os alunos resolverem o problema de encontrar a área de uma figura usando métodos diferentes... Diferentes formas de resolver um problema, clareza, informações históricas e a presença de conexões interdisciplinares contribuem para o desenvolvimento de habilidades cognitivas interesse pela matemática, consciência da importância da matemática na vida cotidiana do ser humano.

Durante a prova, os alunos repetem informações teóricas sobre antiderivada e integral, o que os ajudará a sistematizar a teoria sobre o tema e a se preparar para o próximo exame.

Resumo da lição

Tipo de aula: lição resumida.

Metas:

Educacional:

Formação de competências educacionais, cognitivas e informacionais por meio da generalização e sistematização do conhecimento sobre o tema “Antiderivada.Integrante".

Desenvolvimento:

Formação de competências informacionais e culturais gerais por meio do desenvolvimento da atividade cognitiva, do interesse pela matéria, da capacidade criativa dos alunos, ampliando seus horizontes e desenvolvendo o discurso matemático.

Educacional:

Formação de competência comunicativa e competência de autoaperfeiçoamento pessoal, através do trabalho nas habilidades de comunicação, na capacidade de trabalhar em colaboração e no desenvolvimento de qualidades pessoais como organização e disciplina.

Equipamento:PC, projetor, tela.

Durante as aulas

I. Momento organizacional:

Olá, pessoal! Estou feliz em recebê-lo na aula.CO objetivo da nossa aula é generalizar e sistematizar o conhecimento sobre o tema “Primordial. Integral”, prepare-se para o próximo Exame Estadual Unificado.

II . Verificando o dever de casa:

Encontre a área de uma figura delimitada por linhassim= x2 , você=. A solução é preparada na lâmina.

Uma tarefa para derivar a fórmula do volume de uma esfera foi preparada antecipadamente no quadro.

Duas pessoas se revezam no quadro para explicar brevemente a solução, que

O resto está verificando neste momento.

EU II . Aquecimento.

Cada aluno recebe um teste.

Colete testes concluídos.

A análise das tarefas é realizada frontalmente de acordo com as tarefas exibidas na tela.

EU V . Corrida de revezamento matemático.

Agora vamos! A subida ao “Pico do Conhecimento” não será fácil, podendo haver bloqueios, deslizamentos de terra e desvios. Mas também há paradas onde não apenas as tarefas esperam por você. Para seguir em frente, você precisa mostrar conhecimento.

Os alunos recebem em cada carteira planilhas com trabalhos sobre o tema “Primordial”.

1. O significado da antiderivadaF( x) funçõesf( x)=11 x+5 no ponto 0 é 6. EncontreF(-3).

2. O significado da antiderivadaF( x) funçõesf( x)=8 porquexno ponto -π é 13. EncontreF( π /6).

3. O valor da função antiderivadaF( x) funçõesf( x)=6 no ponto 0 é igual a -18. EncontrarF(ln3).

4. A figura mostra um gráfico de uma antiderivadasim= F( x) funçõesf( x) e oito pontos no eixo x: , ,…, . Em quantos desses pontos a funçãof( x) é positivo?

5. A figura mostra o gráfico da antiderivada y=F( x) funçõesf( x) e oito pontos no eixo x: , , ,…,. Em quantos desses pontos a funçãof(x)negativo?

V . Pare.

“Acidentes felizes só acontecem em mentes preparadas” (Louis Pasteur).

Informações da história do cálculo integral são lidas. São exibidos jornais preparados pelos alunos sobre a história do cálculo integral. Os jornais são dedicados a Newton e Leibniz.

VI. A subida mais difícil.

A próxima tarefa deve ser realizada por escrito, para que os alunos trabalhem em cadernos.

Tarefa. De quantas maneiras você pode encontrar a área de uma figura delimitada por linhas (slide)

Quem tem alguma sugestão? (a figura consiste em dois trapézios curvilíneos e um retângulo) (escolha um método de solução, slide)

Depois de discutir este problema, uma gravação aparece no slide

Método 1: S=S1 +S2 +S

Método 2: S=S1 +SABCD-STOC

Dois alunos resolvem no quadro seguido de explicação da solução, os restantes alunos trabalham em cadernos, escolhendo um dos métodos de solução.

Conclusão (os alunos fazem): encontramos duas formas de resolver este problema, obtendo o mesmo resultado. Discuta qual método é mais fácil.

Todos estão muito cansados, mas quanto mais perto da meta, as tarefas ficam cada vez mais fáceis.

VSH. Resumo da lição (slides)

“O pensamento começa com a admiração”, observou Aristóteles há 2.500 anos. Nosso compatriota Sukhomlinsky acreditava que “o sentimento de surpresa é uma fonte poderosa de desejo de saber; da surpresa ao conhecimento – um passo.” E a matemática é um assunto maravilhoso para surpreender.

Integrais são usados ​​quando:

resolução de problemas da área da física;

resolução de problemas económicos (optimização do trabalho de uma empresa num ambiente competitivo, cálculo da rentabilidade de um crédito ao consumo);

resolução de problemas sociodemográficos (modelo matemático da população terrestre, etc.).

IX . Trabalho de casa. (deslizar)

A tarefa foi compilada pela professora no site “Vou resolver o Exame Estadual Unificado”.

X . Fazendo marcas.

Bibliografia

Vilenkin N.Ya. e etc. Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. V. Parte 2. (nível de perfil). - M.: Mnemosyne, 2009. - 264 p.

Alexandrova L. A. Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. Trabalho independente. - M.: Mnemosyne, 2009. - 100 p.

3. Shipova T.A. Álgebra e os primórdios da análise: Derivada. Integral definida. Testes. - M.: Shkola-Press, 1996. - 64 p.

4. Site metaschool.ru para desenvolvimento de aulas.

5. Site resolverei o Exame Estadual Unificado, catálogo de tarefas, antiderivada.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Contente

Elementos de conteúdo

Derivada, tangente, antiderivada, gráficos de funções e derivadas.

Derivado Seja a função \(f(x)\) definida em alguma vizinhança do ponto \(x_0\).

Derivada da função \(f\) no ponto \(x_0\) chamado limite

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

se esse limite existir.

A derivada de uma função em um ponto caracteriza a taxa de variação desta função em um determinado ponto.

Tabela de derivativos

Função	Derivado
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cponto x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\pecado x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\pecado x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Regras de diferenciação\(f\) e \(g\) são funções dependentes da variável \(x\); \(c\) é um número.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"=f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivada de uma função complexa

Significado geométrico da derivada Equação de uma reta- não paralelo ao eixo \(Oy\) pode ser escrito na forma \(y=kx+b\). O coeficiente \(k\) nesta equação é chamado inclinação de uma linha reta. É igual à tangente ângulo de inclinação esta linha reta.

Ângulo reto- o ângulo entre a direção positiva do eixo \(Ox\) e esta reta, medido na direção dos ângulos positivos (ou seja, na direção da menor rotação do eixo \(Ox\) para o \ (Oy\) eixo).

A derivada da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\) é igual à inclinação da tangente ao gráfico da função neste ponto: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Se \(f"(x_0)=0\), então a tangente ao gráfico da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\) é paralela ao eixo \(Ox\).

Equação tangente

Equação da tangente ao gráfico da função \(f(x)\) no ponto \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonicidade da função Se a derivada de uma função for positiva em todos os pontos do intervalo, então a função aumenta nesse intervalo.

Se a derivada de uma função for negativa em todos os pontos do intervalo, então a função diminui nesse intervalo.

Pontos mínimo, máximo e de inflexão positivo sobre negativo neste ponto, então \(x_0\) é o ponto máximo da função \(f\).

Se a função \(f\) é contínua no ponto \(x_0\), e o valor da derivada desta função \(f"\) muda com negativo sobre positivo neste ponto, então \(x_0\) é o ponto mínimo da função \(f\).

Os pontos nos quais a derivada \(f"\) é igual a zero ou não existe são chamados Pontos críticos funções \(f\).

Pontos internos do domínio de definição da função \(f(x)\), em que \(f"(x)=0\) podem ser pontos de mínimo, máximo ou de inflexão.

Significado físico da derivada Se um ponto material se move retilínea e sua coordenada muda dependendo do tempo de acordo com a lei \(x=x(t)\), então a velocidade deste ponto é igual à derivada da coordenada em relação ao tempo:

A aceleração de um ponto material é igual à derivada da velocidade deste ponto em relação ao tempo:

\(uma(t)=v"(t).\)

Função F(x ) chamado antiderivada para função f(x) em um determinado intervalo, se para todos x deste intervalo a igualdade é válida

F"(x ) = f(x ) .

Por exemplo, a função F(x) = x 2 f(x ) = 2X , porque

F"(x) = (x 2 )" = 2x =f(x). ◄

A principal propriedade da antiderivada

Se F(x) - antiderivada de uma função f(x) em um determinado intervalo, então a função f(x) tem infinitas antiderivadas, e todas essas antiderivadas podem ser escritas na forma F(x) + C, Onde COM é uma constante arbitrária.

Por exemplo. Função F(x) = x 2 + 1 é uma antiderivada da função f(x ) = 2X , porque F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x =f(x); função F(x) = x 2 - 1 é uma antiderivada da função f(x ) = 2X , porque F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x =f(x) ; função F(x) = x 2 - 3 é uma antiderivada da função f(x) = 2X , porque F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x =f(x); qualquer função F(x) = x 2 + COM , Onde COM - uma constante arbitrária, e somente tal função é uma antiderivada da função f(x) = 2X . ◄

Regras para cálculo de antiderivadas

1. Se F(x) - antiderivada para f(x) , A G(x) - antiderivada para g(x) , Que F(x) + G(x) - antiderivada para f(x) + g(x) . Em outras palavras, a antiderivada da soma é igual à soma das antiderivadas .
2. Se F(x) - antiderivada para f(x) , E k - constante, então k · F(x) - antiderivada para k · f(x) . Em outras palavras, o fator constante pode ser retirado do sinal da derivada .
3. Se F(x) - antiderivada para f(x) , E k,b- constante, e k ≠ 0 , Que 1 / k F( k x+ b ) - antiderivada para f(k x+ b) .

Integral indefinida

Integral indefinida da função f(x) chamada expressão F(x) + C, isto é, o conjunto de todas as antiderivadas de uma determinada função f(x) . A integral indefinida é denotada da seguinte forma:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- eles chamam função integrando ;

f(x)dx- eles chamam integrando ;

x - eles chamam variável de integração ;

F(x) - uma das funções primitivas f(x) ;

COM é uma constante arbitrária.

Por exemplo, ∫ 2 xdx =X 2 + COM , ∫ porquexdx = pecado X + COM e assim por diante. ◄

A palavra "integral" vem da palavra latina inteiro , que significa "restaurado". Considerando a integral indefinida de 2 x, parecemos restaurar a função X 2 , cuja derivada é igual a 2 x. Restaurar uma função a partir de sua derivada, ou, o que dá no mesmo, encontrar uma integral indefinida sobre um determinado integrando é chamado integração esta função. A integração é a operação inversa da diferenciação. Para verificar se a integração foi realizada corretamente, basta diferenciar o resultado e obter o integrando.

Propriedades básicas da integral indefinida

1. A derivada da integral indefinida é igual ao integrando:

(∫ f(x)dx )" =f(x) .

2. O fator constante do integrando pode ser retirado do sinal integral:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. A integral da soma (diferença) das funções é igual à soma (diferença) das integrais destas funções:

∫ ( f(x) ±g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Se k,b- constante, e k ≠ 0 , Que

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) +C .

Tabela de antiderivadas e integrais indefinidas

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
EU.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
4.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\pecado x$$	$$-\cosx+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(matriz)+C $$
As integrais antiderivadas e indefinidas fornecidas nesta tabela são geralmente chamadas antiderivadas tabulares E integrais de tabela .

Integral definida

Deixe entre [a; b] uma função contínua é dada y =f(x) , Então integral definida de a até b funções f(x) é chamado de incremento da antiderivada F(x) esta função, ou seja

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Números a E b são chamados de acordo mais baixo E principal limites da integração.

Regras básicas para calcular a integral definida

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) onde k - constante;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), onde f(x) - função par;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), onde f(x) é uma função estranha.

Comente . Em todos os casos, assume-se que os integrandos são integráveis ​​em intervalos numéricos, cujos limites são os limites de integração.

Significado geométrico e físico da integral definida

Significado geométrico integral definida	Significado físico integral definida
Quadrado S trapézio curvilíneo (uma figura limitada pelo gráfico de um positivo contínuo no intervalo [a; b] funções f(x) , eixo Boi e liso x=uma , x=b ) é calculado pela fórmula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Caminho é, que o ponto material superou, movendo-se retilíneamente com uma velocidade variando de acordo com a lei v(t) , por um período de tempo ; b] , então a área da figura limitada pelos gráficos dessas funções e retas x = uma , x =b , calculado pela fórmula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Por exemplo. Vamos calcular a área da figura delimitada por linhas y = x 2 E você = 2-x . Vamos representar esquematicamente os gráficos dessas funções e destacar em uma cor diferente a figura cuja área deseja encontrar. Para encontrar os limites de integração, resolvemos a equação: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\esquerda (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \direita )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volume de um corpo em rotação

	Se um corpo é obtido como resultado da rotação em torno de um eixo Boi trapézio curvilíneo delimitado por um gráfico contínuo e não negativo no intervalo [a; b] funções y =f(x) e liso x = uma E x =b , então é chamado corpo de rotação . O volume de um corpo de revolução é calculado pela fórmula $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Se um corpo de revolução é obtido como resultado da rotação de uma figura delimitada acima e abaixo por gráficos de funções y =f(x) E y =g(x) , respectivamente, então $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Por exemplo. Vamos calcular o volume de um cone com raio R e altura h . Vamos posicionar o cone em um sistema de coordenadas retangulares de modo que seu eixo coincida com o eixo Boi , e o centro da base estava localizado na origem. Rotação do gerador AB define um cone. Já que a equação AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
e para o volume do cone temos $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\esquerda (0-\frac(1)(3) \direita)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

51. A figura mostra um gráfico y=f "(x)- derivada de uma função f(x), definido no intervalo (− 4; 6). Encontre a abscissa do ponto em que a tangente ao gráfico da função y=f(x) paralelo à linha y=3x ou coincide com ele.

Resposta: 5

52. A figura mostra um gráfico y=F(x) f(x) f(x) positivo?

Resposta: 7

53. A figura mostra um gráfico y=F(x) uma das antiderivadas de alguma função f(x) e oito pontos são marcados no eixo x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Em quantos desses pontos a função f(x) negativo?

Resposta: 3

54. A figura mostra um gráfico y=F(x) uma das antiderivadas de alguma função f(x) e dez pontos estão marcados no eixo x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Em quantos desses pontos a função f(x) positivo?

Resposta: 6

55. A figura mostra um gráfico y=F(x f(x), definido no intervalo (− 7; 5). Usando a figura, determine o número de soluções para a equação f(x)=0 no segmento [− 5; 2].

Resposta: 3

56. A figura mostra um gráfico y=F(x) uma das antiderivadas de alguma função f (x), definido no intervalo (− 8; 7). Usando a figura, determine o número de soluções para a equação f(x)= 0 no intervalo [− 5; 5].

Resposta: 4

57. A figura mostra um gráfico y=F(x) uma das antiderivadas de alguma função f(x), definido no intervalo (1;13). Usando a figura, determine o número de soluções para a equação f (x)=0 no segmento .

Resposta: 4

58. A figura mostra um gráfico de uma determinada função y=f(x)(dois raios com um ponto de partida comum). Usando a figura, calcule F(−1)−F(−8), Onde F(x) f(x).

Resposta: 20

59. A figura mostra um gráfico de uma determinada função y=f(x) (dois raios com um ponto de partida comum). Usando a figura, calcule F(−1)−F(−9), Onde F(x)- uma das funções primitivas f(x).

Resposta: 24

60. A figura mostra um gráfico de uma determinada função y=f(x). Função

-uma das funções primitivas f(x). Encontre a área da figura sombreada.

Resposta: 6

61. A figura mostra um gráfico de uma determinada função y=f(x). Função

Uma das funções primitivas f(x). Encontre a área da figura sombreada.

Resposta: 14,5

paralelo à tangente ao gráfico da função

Resposta:0,5

Encontre a abscissa do ponto tangente.

Resposta 1

é tangente ao gráfico da função

Encontrar c.

Resposta: 20

é tangente ao gráfico da função

Encontrar a.

Resposta:0,125

é tangente ao gráfico da função

Encontrar b, levando em consideração que a abcissa do ponto tangente é maior que 0.

Resposta: -33

67. Um ponto material se move retilíneamente de acordo com a lei

Onde x t- tempo em segundos, medido a partir do momento em que o movimento começou. Em que momento (em segundos) sua velocidade era igual a 96 m/s?

Resposta: 18

68. Um ponto material se move retilínea de acordo com a lei

Onde x- distância do ponto de referência em metros, t- tempo em segundos, medido a partir do momento em que o movimento começou. Em que momento (em segundos) sua velocidade era igual a 48 m/s?

Resposta: 9

69. Um ponto material se move retilínea de acordo com a lei

Onde x t t=6 Com.

Resposta: 20

70. Um ponto material se move retilínea de acordo com a lei

Onde x- distância do ponto de referência em metros, t- tempo em segundos medido desde o início do movimento. Encontre sua velocidade (em m/s) no momento t=3 Com.

Resposta: 59

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Antiderivada de função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) (que é uma linha quebrada composta por três segmentos retos). Usando a figura, calcule F(9)-F(5), onde F(x) é uma das antiderivadas da função f(x).

Mostrar solução

Solução

De acordo com a fórmula de Newton-Leibniz, a diferença F(9)-F(5), onde F(x) é uma das antiderivadas da função f(x), é igual à área do trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico da função y=f(x), retas y=0 , x=9 e x=5. A partir do gráfico determinamos que o trapézio curvo indicado é um trapézio com bases iguais a 4 e 3 e altura 3.

Sua área é igual \frac(4+3)(2)\cponto 3=10,5.

Responder

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Antiderivada de função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=F(x) - uma das antiderivadas de alguma função f(x) definida no intervalo (-5; 5). Usando a figura, determine o número de soluções da equação f(x)=0 no segmento [-3; 4].

Mostrar solução

Solução

De acordo com a definição de uma antiderivada, a igualdade é válida: F"(x)=f(x). Portanto, a equação f(x)=0 pode ser escrita como F"(x)=0. Como a figura mostra o gráfico da função y=F(x), precisamos encontrar esses pontos no intervalo [-3; 4], em que a derivada da função F(x) é igual a zero. Fica claro pela figura que estas serão as abcissas dos pontos extremos (máximo ou mínimo) do gráfico F(x). São exatamente 7 deles no intervalo indicado (quatro pontos mínimos e três pontos máximos).

Responder

Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Antiderivada de função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x) (que é uma linha quebrada composta por três segmentos retos). Usando a figura, calcule F(5)-F(0), onde F(x) é uma das antiderivadas da função f(x).

Mostrar solução

Solução

De acordo com a fórmula de Newton-Leibniz, a diferença F(5)-F(0), onde F(x) é uma das antiderivadas da função f(x), é igual à área do trapézio curvilíneo limitado pelo gráfico da função y=f(x), retas y=0 , x=5 e x=0. A partir do gráfico determinamos que o trapézio curvo indicado é um trapézio com bases iguais a 5 e 3 e altura 3.

Sua área é igual \frac(5+3)(2)\cponto 3=12.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Antiderivada de função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=F(x) - uma das antiderivadas de alguma função f(x), definida no intervalo (-5; 4). Usando a figura, determine o número de soluções para a equação f (x) = 0 no segmento (-3; 3].

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Solução

De acordo com a definição de uma antiderivada, a igualdade é válida: F"(x)=f(x). Portanto, a equação f(x)=0 pode ser escrita como F"(x)=0. Como a figura mostra o gráfico da função y=F(x), precisamos encontrar esses pontos no intervalo [-3; 3], em que a derivada da função F(x) é igual a zero.

Fica claro pela figura que estas serão as abcissas dos pontos extremos (máximo ou mínimo) do gráfico F(x). São exatamente 5 deles no intervalo indicado (dois pontos mínimos e três pontos máximos).

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Antiderivada de função

Doença

A figura mostra um gráfico de alguma função y=f(x). A função F(x)=-x^3+4,5x^2-7 é uma das antiderivadas da função f(x).

Encontre a área da figura sombreada.

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Solução

A figura sombreada é um trapézio curvilíneo limitado superiormente pelo gráfico da função y=f(x), retas y=0, x=1 e x=3. De acordo com a fórmula de Newton-Leibniz, sua área S é igual à diferença F(3)-F(1), onde F(x) é a antiderivada da função f(x) especificada na condição. É por isso S = F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cponto 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cponto 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Antiderivada de função

Doença

A figura mostra um gráfico de alguma função y=f(x). A função F(x)=x^3+6x^2+13x-5 é uma das antiderivadas da função f(x). Encontre a área da figura sombreada.