Tipo de trabalho: 14

Doença

Em uma pirâmide triangular regular DABC com base ABC, o lado da base é igual a 6\sqrt(3), e a altura da pirâmide é 8 . Os pontos M , N e K são respectivamente marcados nas arestas AB , AC e AD de modo que AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2) e AK=\frac(5)(2).

a) Prove que os planos MNK e DBC são paralelos.

b) Encontre a distância do ponto K ao plano DBC.

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Solução

a) Os planos MNK e DBC são paralelos se duas linhas de interseção em um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de interseção no outro plano. Vamos provar isso. Considere as linhas MN e KM do plano MNK e as linhas BC e DB do plano DBC.

No triângulo AOD : \angle AOD = 90^\circ e pelo teorema de Pitágoras AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).

Encontre AO usando \bigtriangleup ABC está correto.

AO=\frac(2)(3)AO_1, onde AO_1 é a altura de \bigtriangleup ABC, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2), onde a é o lado de \bigtriangleup ABC.

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9, então AO = 6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. Desde \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2): 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2): 6\sqrt(3)=\frac(1)(4) e \angle DAB é geral, então \bigtriangleup AKM \sim ADB.

Segue da similaridade que \angle AKM = \angle ADB. Estes são os ângulos correspondentes para as retas KM e BD e a secante AD . Então KM \parallel BD.

2. Desde \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) e \angle CAB é comum, então \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

Segue da similaridade que \angle ANM = \angle ACB. Esses ângulos correspondem às linhas MN e BC e secante AC . Então MN \parallel BC.

Conclusão: como as duas linhas de interseção KM e MN do plano MNK são respectivamente paralelas às duas linhas de interseção BD e BC do plano DBC , esses planos são paralelos - MNK \parallel DBC.

b) Vamos encontrar a distância do ponto K ao plano BDC.

Como o plano MNK é paralelo ao plano DBC , a distância do ponto K ao plano DBC é igual à distância do ponto O_2 ao plano DBC e é igual ao comprimento do segmento O_2 H. Vamos provar .

BC \perp AO_1 e BC \perp DO_1 (como as alturas dos triângulos ABC e DBC ), então BC é perpendicular ao plano ADO_1, e então BC é perpendicular a qualquer linha desse plano, por exemplo, O_2 H. Pela construção O_2H \perp DO_1, então O_2H é perpendicular a duas retas que se cruzam no plano BCD, e então o segmento O_2 H é perpendicular ao plano BCD e é igual à distância de O_2 ao plano BCD.

Em um triângulo O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sen\ângulo HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \ângulo DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

Responda

\frac(54)(\sqrt(73))

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame 2017. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 14
Tópico: Distância de um ponto a um plano

Doença

ABCDA_1B_1C_1D_1 é um prisma quadrangular regular.

a) Prove que o plano é BB_1D_1 \perp AD_1C .

b) Sabendo que AB = 5 e AA_1 = 6, encontre a distância do ponto B_1 ao plano AD_1C.

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Solução

a) Como este prisma é regular, então BB_1 \perp ABCD , logo BB_1 \perp AC . Como ABCD é um quadrado, então AC \perp BD . Então AC \perp BD e AC \perp BB_1 . Como as linhas BD e BB_1 se cruzam, então, de acordo com o sinal de perpendicularidade de uma linha e um plano, AC \perp BB_1D_1D . Agora com base na perpendicularidade dos planos AD_1C \perp BB_1D_1 .

b) Denote por O o ponto de intersecção das diagonais AC e BD do quadrado ABCD. Os planos AD_1C e BB_1D_1 se cruzam ao longo da linha reta OD_1 . Seja B_1H uma perpendicular traçada no plano BB_1D_1 à linha OD_1 . Então B_1H \perp AD_1C . Seja E=OD_1 \cap BB_1 . Para triângulos semelhantes D_1B_1E e OBE (a igualdade dos ângulos correspondentes segue da condição BO \parallel B_1D_1 ) temos \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

Então B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Como B_1D_1=5\sqrt(2) , então a hipotenusa D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194). Em seguida, usamos o método da área no triângulo D_1B_1E para calcular a altura de B_1H abaixada para a hipotenusa D_1E :

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

Responda

\frac(60\sqrt(97))(97)

Fonte: "Matemática. Preparação para o exame-2016. nível do perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabalho: 14
Tópico: Distância de um ponto a um plano

Doença

ABCDA_1B_1C_1D_1 é uma caixa retangular. Arestas AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .

a) Prove que as distâncias dos pontos B e D ao plano ACD_(1) são iguais.

b) Encontre essa distância.

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Solução

a) Considere uma pirâmide triangular D_1ACD .

Nesta pirâmide, a distância do ponto D ao plano de base ACD_1-DH é igual à altura da pirâmide traçada do ponto D à base ACD_1 .

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, dessa igualdade obtemos

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

Considere a pirâmide D_1ABC. A distância do ponto B ao plano ACD_1 é igual à altura caída do topo de B até o fundo de ACD_1 . Vamos denotar essa distância BK . Então V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, a partir disso obtemos BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\: Mas V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , pois se considerarmos as bases nas pirâmides ADC e ABC , então a altura D_1D é total e S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABC em duas pernas). Então BK=DH.

b) Encontre o volume da pirâmide D_1ACD .

Altura D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

A área da face de ACD_1 é igual a \frac1(2)AC \cdot D_1P.

AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

Sabendo que o cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional à hipotenusa e ao segmento da hipotenusa entre o cateto e a altura traçada a partir do vértice do ângulo reto, no triângulo ADC temos AD^(2)=AC \cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

Em um triângulo retângulo AD_1P pelo teorema de Pitágoras D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\esquerda (\frac(49)(25) \direita)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3\cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

Qualquer plano no sistema de coordenadas cartesianas pode ser definido pela equação `Ax + By + Cz + D = 0`, onde pelo menos um dos números `A`, `B`, `C` é diferente de zero. Seja o ponto `M (x_0;y_0;z_0)`, encontre a distância dele até o plano `Ax + By + Cz + D = 0`.

Deixe a linha que passa pelo ponto `M` perpendicular ao plano `alfa`, intercepta-o no ponto `K` com coordenadas `(x; y; z)`. Vetor `vec(MK)` perpendicular ao plano `alfa`, assim como o vetor `vecn` `(A;B;C)`, ou seja, os vetores `vec(MK)` e `vecn` colinear, `vec(MK)=λvecn`.

Desde `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` e `vecn(A,B,C)`, então `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

Ponto `K` encontra-se no plano `alfa` (Fig. 6), suas coordenadas satisfazem a equação do plano. Substituindo `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` na equação `Ax+By+Cz+D=0`, obtemos

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

de onde `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`.

Encontre o comprimento do vetor `vec(MK)`, que é igual à distância do ponto `M(x_0;y_0;z_0)` ao plano `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

Então, a distância `h` do ponto `M(x_0;y_0;z_0)` ao plano `Ax + By + Cz + D = 0` é

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

Com o método geométrico de encontrar a distância do ponto `A` ao plano `alpha`, encontre a base da perpendicular `A A^"`, abaixada do ponto `A` ao plano `alpha`. Se o ponto `A^"` está fora da seção do plano `alpha` especificado no problema, então uma linha `c` é desenhada através do ponto `A`, paralela ao plano `alpha`, e um ponto mais conveniente `C ` é escolhido nele, cuja projeção ortogonal é `C^"` pertence à seção dada do plano `alfa`. Comprimento do segmento `C C^"`será igual à distância desejada do ponto 'A'até o plano `alfa`.

Em um prisma hexagonal regular `A...F_1`, onde todas as arestas são iguais a `1`, encontre a distância do ponto `B` ao plano `AF F_1`.

Seja 'O' o centro da base inferior do prisma (Fig. 7). A linha `BO` é paralela à linha `AF` e, portanto, a distância do ponto `B` ao plano `AF F_1` é igual à distância `OH` do ponto `O` ao plano `AF F_1`. No triângulo `AOF` temos `AO=OF=AF=1`. A altura `OH` deste triângulo é `(sqrt3)/2`. Portanto, a distância necessária é igual a `(sqrt3)/2`.

Vamos mostrar outra maneira (método de volume auxiliar) encontrar a distância de um ponto a um plano. Sabe-se que o volume da pirâmide `V` , sua área de base `S`e altura comprimento `h`ligados pela fórmula `h=(3V)/S`. Mas o comprimento da altura da pirâmide nada mais é do que a distância do topo ao plano da base. Portanto, para calcular a distância de um ponto a um plano, basta encontrar o volume e a área da base de alguma pirâmide com um vértice neste ponto e com uma base situada em um determinado plano.

Um prisma regular `A...D_1` é fornecido, no qual `AB=a`, `A A_1=2a`. Encontre a distância do ponto de intersecção das diagonais da base `A_1B_1C_1D_1` ao plano `BDC_1`.

Considere o tetraedro `O_1DBC_1` (Fig. 8). A distância desejada `h` é o comprimento da altura deste tetraedro, abaixado do ponto `O_1` até o plano da face `BDC_1` . Para encontrá-lo, basta conhecer o volume `V`tetraedro `O_1DBC_1` e área triângulo `DBC_1`. Vamos calculá-los. Observe que a linha `O_1C_1` perpendicular ao plano `O_1DB`, uma vez que é perpendicular a `BD` e `B B_1` . Assim, o volume do tetraedro `O_1DBC_1` é igual a

Determinação da distância entre: 1 - ponto e plano; 2 - reto e plano; 3 - aviões; 4 - as retas cruzadas são consideradas conjuntamente, pois o algoritmo de solução para todos esses problemas é essencialmente o mesmo e consiste em construções geométricas que devem ser realizadas para determinar a distância entre o ponto A dado e o plano α. Se houver alguma diferença, então consiste apenas no fato de que nos casos 2 e 3, antes de começar a resolver o problema, deve-se marcar um ponto arbitrário A na linha m (caso 2) ou no plano β (caso 3) . distâncias entre linhas oblíquas, nós as envolvemos preliminarmente em planos paralelos α e β com posterior determinação da distância entre esses planos.

Vamos considerar cada um dos casos observados de resolução de problemas.

1. Determinando a distância entre um ponto e um plano.

A distância de um ponto a um plano é determinada pelo comprimento do segmento perpendicular caído do ponto ao plano.

Portanto, a solução deste problema consiste na execução sequencial das seguintes operações gráficas:

1) do ponto A abaixamos a perpendicular ao plano α (Fig. 269);

2) encontre o ponto M de intersecção desta perpendicular com o plano M = a ∩ α;

3) determine o comprimento do segmento.

Se o plano α está em posição geral, então para baixar uma perpendicular sobre este plano, é necessário primeiro determinar a direção das projeções da horizontal e frontal deste plano. Encontrar o ponto de encontro desta perpendicular com o plano também requer construções geométricas adicionais.

A solução do problema é simplificada se o plano α ocupa uma posição particular em relação aos planos de projeção. Nesse caso, tanto a projeção da perpendicular quanto a descoberta do ponto de encontro com o plano são realizadas sem quaisquer construções auxiliares adicionais.

EXEMPLO 1. Determine a distância do ponto A ao plano α que se projeta frontalmente (Fig. 270).

SOLUÇÃO. Por A "traçamos uma projeção horizontal da perpendicular l" ⊥ h 0α, e por A "- sua projeção frontal l" ⊥ f 0α. Marcamos o ponto M" = l" ∩ f 0α . Desde AM || π 2 , então [À" М"] == |AM| = D.

A partir do exemplo considerado, pode-se ver como o problema é resolvido de forma simples quando o plano ocupa uma posição de projeção. Portanto, se um plano genérico for especificado nos dados iniciais, antes de prosseguir com a solução, o plano deve ser transferido para uma posição perpendicular a qualquer plano de projeção.

EXEMPLO 2. Determine a distância do ponto K ao plano dado por ΔАВС (Fig. 271).

1. Transferimos o plano ΔАВС para a posição de projeção *. Para fazer isso, passamos do sistema xπ 2 / π 1 para x 1 π 3 / π 1: a direção do novo eixo x 1 é escolhida perpendicularmente à projeção horizontal do plano horizontal do triângulo.

2. Projetamos ΔАВС em um novo plano π 3 (o plano ΔАВС é projetado em π 3, em [С" 1 В" 1 ]).

3. Projetamos o ponto K (K "→ K" 1) no mesmo plano.

4. Através do ponto K "1 desenhamos (K" 1 M "1) ⊥ o segmento [C" 1 B "1]. A distância desejada d \u003d | K "1 M" 1 |.

A solução do problema é simplificada se o plano for dado por traços, pois não há necessidade de realizar projeções de linhas de nível.

EXEMPLO 3. Determine a distância do ponto K ao plano α, dada por traços (Fig. 272).

* A maneira mais racional de transferir o plano do triângulo para a posição de projeção é o método de substituição dos planos de projeção, pois neste caso basta construir apenas uma projeção auxiliar.

SOLUÇÃO. Substituímos o plano π 1 pelo plano π 3, para isso desenhamos um novo eixo x 1 ⊥ f 0α. Em h 0α marcamos um ponto arbitrário 1 "e determinamos sua nova projeção horizontal no plano π 3 (1" 1). Através dos pontos X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 ∩ x 1) e 1 "1, desenhamos h 0α 1. Definimos uma nova projeção horizontal do ponto K → K" 1. A partir do ponto K "1, abaixamos a perpendicular a h 0α 1 e marcamos o ponto de sua interseção com h 0α 1 - M" 1. O comprimento do segmento K "1 M" 1 indicará a distância necessária.

2. Determinação da distância entre uma linha reta e um plano.

A distância entre a reta e o plano é determinada pelo comprimento do segmento da perpendicular baixado de um ponto arbitrário da reta até o plano (ver Fig. 248).

Portanto, a solução para o problema de determinar a distância entre uma linha reta m e um plano α não é diferente dos exemplos considerados no parágrafo 1 para determinar a distância entre um ponto e um plano (ver Fig. 270 ... 272) . Qualquer ponto pertencente à linha m pode ser considerado um ponto.

3. Determinação da distância entre os planos.

A distância entre os planos é determinada pelo valor do segmento da perpendicular baixado de um ponto tomado em um plano para outro plano.

Segue-se desta definição que o algoritmo para resolver o problema de encontrar a distância entre os planos α e β difere do algoritmo similar para resolver o problema de determinar a distância entre a linha m e o plano α apenas porque a linha m deve pertencem ao plano α, ou seja, para determinar a distância entre os planos α e β segue:

1) pegue uma linha m no plano α;

2) selecione um ponto arbitrário A na linha m;

3) do ponto A, abaixe a perpendicular l ao plano β;

4) determine o ponto M - o ponto de encontro da perpendicular l com o plano β;

5) determine o valor do segmento.

Na prática, é aconselhável usar um algoritmo de solução diferente, que será diferente daquele dado apenas porque, antes de prosseguir com o primeiro passo, os planos devem ser transferidos para a posição de projeção.

A inclusão desta operação adicional no algoritmo simplifica a implementação de todos os outros pontos sem exceção, o que acaba levando a uma solução mais simples.

EXEMPLO 1. Determine a distância entre os planos α e β (Fig. 273).

SOLUÇÃO. Passamos do sistema xπ 2 /π 1 para x 1 π 1 /π 3 . Com relação ao novo plano π 3, os planos α e β ocupam uma posição de projeção, de modo que a distância entre os novos traços frontais f 0α 1 e f 0β 1 é a necessária.

Na prática da engenharia, muitas vezes é necessário resolver o problema de construir um plano paralelo a um determinado e a uma determinada distância dele. O Exemplo 2 abaixo ilustra a solução para tal problema.

EXEMPLO 2. É necessário construir projeções do plano β, paralelas ao plano dado α (m || n), se se sabe que a distância entre elas é igual a d (Fig. 274).

1. No plano α desenhamos uma horizontal arbitrária h (1,3) e uma frontal f (1,2).

2. Do ponto 1 restauramos a perpendicular l ao plano α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Marque um ponto arbitrário A na perpendicular l.

4. Determine o comprimento do segmento - (a posição indica a direção metricamente não distorcida da linha reta l no diagrama).

5. Separe em uma linha reta (1 "A 0) do ponto 1" segmento = d.

6. Marcamos nas projeções l "e l" os pontos B "e B", correspondentes ao ponto B 0.

7. Desenhe um plano β passando pelo ponto B (h 1 ∩ f 1). Para que β || α, é necessário observar a condição h 1 || h ef 1 || f.

4. Determinando a distância entre as linhas de inclinação.

A distância entre as linhas oblíquas é determinada pelo comprimento da perpendicular entre os planos paralelos aos quais as linhas oblíquas pertencem.

Para traçar planos mutuamente paralelos α e β através das linhas de interseção m e f, basta traçar a linha p paralela à linha f através do ponto A (A ∈ m), e através do ponto B (B ∈ f) - linha k paralela a linha M. As linhas de interseção m e p, f e k definem planos mutuamente paralelos α e β (ver Fig. 248, e). A distância entre os planos α e β é igual à distância desejada entre as linhas oblíquas m e f.

Outra forma pode ser proposta para determinar a distância entre as linhas oblíquas, que consiste no fato de que com a ajuda de algum método de transformação de projeções ortogonais, uma das linhas oblíquas é transferida para a posição de projeção. Neste caso, uma projeção da linha degenera em um ponto. A distância entre as novas projeções de linhas oblíquas (ponto A" 2 e segmento C" 2 D" 2) é a necessária.

Na fig. 275 mostra a solução para o problema de determinar a distância entre as linhas de interseção aeb, dados os segmentos [AB] e [CD]. A solução é realizada na seguinte sequência:

1. Transfira uma das linhas de interseção (a) para uma posição paralela ao plano π 3; para isso, eles se movem do sistema de planos de projeção xπ 2 / π 1 para um novo x 1 π 1 / π 3, o eixo x 1 é paralelo à projeção horizontal da reta a. Determine a" 1 [A" 1 B" 1 ] eb" 1 .

2. Ao substituir o plano π 1 pelo plano π 4, uma linha reta é transladada

e na posição a "2, perpendicular ao plano π 4 (o novo eixo x 2 é traçado perpendicularmente a a" 1).

3. Construa uma nova projeção horizontal da linha reta b "2 - [ C" 2 D "2].

4. A distância do ponto A "2 à reta C" 2 D "2 (segmento (A" 2 M "2] (é o desejado.

Deve-se ter em mente que a transferência de uma das linhas de interseção para a posição de projeção nada mais é do que a transferência dos planos de paralelismo, nos quais as linhas a e b podem ser incluídas, também para a posição de projeção.

De fato, transferindo a linha a para uma posição perpendicular ao plano π 4 , garantimos que qualquer plano contendo a linha a seja perpendicular ao plano π 4 , incluindo o plano α definido pelas linhas a e m (a ∩ m, m || b). Se agora desenharmos uma linha n paralela a a e intersectando a linha b, obtemos o plano β, que é o segundo plano de paralelismo, que contém as linhas de interseção a e b. Desde β || α, então β ⊥ π 4 .

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Para trás para a frente

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Metas:

• generalização e sistematização dos conhecimentos e competências dos alunos;
• desenvolvimento de habilidades para analisar, comparar, tirar conclusões.

Equipamento:

• projetor multimídia;
• um computador;
• folhas de tarefas

PROCESSO DE ESTUDO

I. Momento organizacional

II. A fase de atualização do conhecimento(slide 2)

Repetimos como a distância de um ponto a um plano é determinada

III. Palestra(slides 3-15)

Na lição, veremos várias maneiras de encontrar a distância de um ponto a um plano.

Primeiro método: cálculo passo a passo

Distância do ponto M ao plano α:
é igual à distância ao plano α de um ponto arbitrário P situado na linha a, que passa pelo ponto M e é paralelo ao plano α;
– é igual à distância ao plano α de um ponto arbitrário P situado no plano β, que passa pelo ponto M e é paralelo ao plano α.

Vamos resolver as seguintes tarefas:

№1. No cubo A ... D 1 encontre a distância do ponto C 1 ao plano AB 1 C.

Resta calcular o valor do comprimento do segmento O 1 N.

№2. Em um prisma hexagonal regular A ... F 1, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância do ponto A ao plano DEA 1.

Próximo método: método de volume.

Se o volume da pirâmide ABCM é V, então a distância do ponto M ao plano α contendo ∆ABC é calculada pela fórmula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Ao resolver problemas, usamos a igualdade dos volumes de uma figura, expressa de duas maneiras diferentes.

Vamos resolver o seguinte problema:

№3. A aresta AD da pirâmide DABC é perpendicular ao plano da base ABC. Encontre a distância de A ao plano que passa pelos pontos médios das arestas AB, AC e AD, se.

Ao resolver problemas método de coordenadas a distância do ponto M ao plano α pode ser calculada pela fórmula ρ(M; α) = , onde M(x 0; y 0; z 0), e o plano é dado pela equação ax + by + cz + d = 0

Vamos resolver o seguinte problema:

№4. No cubo unitário A…D 1 encontre a distância do ponto A 1 ao plano BDC 1 .

Vamos introduzir um sistema de coordenadas com a origem no ponto A, o eixo y passará ao longo da aresta AB, o eixo x - ao longo da aresta AD, o eixo z - ao longo da aresta AA 1. Então as coordenadas dos pontos B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Vamos compor a equação do plano que passa pelos pontos B, D, C 1 .

Então – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Portanto, ρ =

O método a seguir, que pode ser usado na resolução de problemas desse tipo - método de tarefas de referência.

A aplicação deste método consiste na aplicação de problemas de referência bem conhecidos, que são formulados como teoremas.

Vamos resolver o seguinte problema:

№5. Em um cubo unitário A ... D 1 encontre a distância do ponto D 1 ao plano AB 1 C.

Considerar aplicação método vetorial.

№6. Em um cubo unitário A ... D 1 encontre a distância do ponto A 1 ao plano BDC 1.

Assim, consideramos vários métodos que podem ser usados ​​para resolver esse tipo de problema. A escolha de um ou outro método depende da tarefa específica e de suas preferências.

4. Trabalho em equipe

Tente resolver o problema de diferentes maneiras.

№1. A aresta do cubo À…D 1 é igual a . Encontre a distância do vértice C ao plano BDC 1 .

№2. Em um tetraedro regular ABCD com uma aresta, encontre a distância do ponto A ao plano BDC

№3. Em um prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância de A ao plano BCA 1.

№4. Em uma pirâmide quadrangular regular SABCD, cujas arestas são iguais a 1, encontre a distância de A ao plano SCD.

V. Resumo da lição, lição de casa, reflexão