Método de Variação de Constantes Arbitrárias

Método de variação de constantes arbitrárias para construir uma solução para uma equação diferencial linear não homogênea

uma n (t)z (n) (t) + uma n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + uma 1 (t)z"(t) + uma 0 (t)z(t) = f(t)

consiste em mudar constantes arbitrárias c k na decisão geral

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

equação homogênea correspondente

uma n (t)z (n) (t) + uma n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + uma 1 (t)z"(t) + uma 0 (t)z(t) = 0

para funções auxiliares c k (t) , cujas derivadas satisfazem o sistema algébrico linear

O determinante do sistema (1) é o Wronskiano de funções z 1 ,z 2 ,...,z n , o que garante sua solubilidade única em relação a .

Se são primitivas para tomadas em valores fixos das constantes de integração, então a função

é uma solução para a equação diferencial não homogênea linear original. A integração de uma equação não homogênea na presença de uma solução geral da equação homogênea correspondente é assim reduzida a quadraturas.

Método de variação de constantes arbitrárias para a construção de soluções para um sistema de equações diferenciais lineares na forma vetorial normal

consiste em construir uma solução particular (1) na forma

Onde Z(t) é a base das soluções da equação homogênea correspondente, escrita como uma matriz, e a função vetorial , que substituiu o vetor de constantes arbitrárias, é definida pela relação . A solução particular desejada (com valores iniciais zero em t = t 0 tem a forma

Para um sistema com coeficientes constantes, a última expressão é simplificada:

Matriz Z(t)Z− 1 (τ) chamado Matriz de Cauchy operador eu = UMA(t) .

O método de variação de uma constante arbitrária, ou o método de Lagrange, é outra maneira de resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e a equação de Bernoulli.

As equações diferenciais lineares de primeira ordem são equações da forma y'+p(x)y=q(x). Se o lado direito é zero: y'+p(x)y=0, então este é um linear homogêneo equação de 1ª ordem. Consequentemente, a equação com um lado direito diferente de zero, y'+p(x)y=q(x), - heterogêneo equação linear de 1ª ordem.

Método de variação constante arbitrária (método de Lagrange) consiste no seguinte:

1) Estamos procurando uma solução geral para a equação homogênea y'+p(x)y=0: y=y*.

2) Na solução geral, C é considerado não uma constante, mas uma função de x: C=C(x). Encontramos a derivada da solução geral (y*)' e substituímos a expressão resultante para y* e (y*)' na condição inicial. Da equação resultante, encontramos a função С(x).

3) Na solução geral da equação homogênea, ao invés de C, substituímos a expressão encontrada C(x).

Considere exemplos sobre o método de variação de uma constante arbitrária. Vamos fazer as mesmas tarefas de , comparar o curso da solução e garantir que as respostas recebidas sejam as mesmas.

1) y'=3x-y/x

Vamos reescrever a equação na forma padrão (em contraste com o método de Bernoulli, onde precisávamos da notação apenas para ver que a equação é linear).

y'+y/x=3x (I). Agora estamos indo de acordo com o plano.

1) Resolvemos a equação homogênea y'+y/x=0. Esta é uma equação variável separável. Represente y'=dy/dx, substitua: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Multiplicamos ambas as partes da equação por dx e dividimos por xy≠0: dy/y=-dx/x. Integramos:

2) Na solução geral obtida da equação homogênea, consideraremos С não uma constante, mas uma função de x: С=С(x). Daqui

As expressões resultantes são substituídas na condição (I):

Integramos os dois lados da equação:

aqui C já é uma nova constante.

3) Na solução geral da equação homogênea y=C/x, onde consideramos С=С(x), ou seja, y=C(x)/x, ao invés de С(x) substituímos a expressão encontrada x³ +C: y=(x³ +C)/x ou y=x²+C/x. Obtivemos a mesma resposta de quando resolvemos pelo método de Bernoulli.

Resposta: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Aqui a equação já está escrita na forma padrão, não há necessidade de conversão.

1) Resolvemos uma equação linear homogênea y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integramos:

Para obter uma notação mais conveniente, vamos levar o expoente à potência de C como um novo C:

Essa transformação foi realizada para tornar mais conveniente encontrar a derivada.

2) Na solução geral obtida de uma equação linear homogênea, consideramos С não uma constante, mas uma função de x: С=С(x). Sob esta condição

As expressões resultantes y e y' são substituídas na condição:

Multiplique os dois lados da equação por

Integramos ambas as partes da equação usando a fórmula de integração por partes, obtemos:

Aqui C não é mais uma função, mas uma constante comum.

3) Na solução geral da equação homogênea

substituímos a função encontrada С(x):

Obtivemos a mesma resposta de quando resolvemos pelo método de Bernoulli.

O método de variação de uma constante arbitrária também é aplicável para resolver .

y'x+y=-xy².

Trazemos a equação para a forma padrão: y'+y/x=-y² (II).

1) Resolvemos a equação homogênea y'+y/x=0. dy/dx=-y/x. Multiplique ambos os lados da equação por dx e divida por y: dy/y=-dx/x. Agora vamos integrar:

Substituímos as expressões obtidas na condição (II):

Simplificando:

Temos uma equação com variáveis ​​separáveis ​​para C e x:

Aqui C já é uma constante ordinária. No processo de integração, ao invés de C(x), escrevemos simplesmente C, para não sobrecarregar a notação. E no final voltamos a C(x) para não confundir C(x) com o novo C.

3) Substituímos a função encontrada С(x) na solução geral da equação homogênea y=C(x)/x:

Obtivemos a mesma resposta de quando resolvemos pelo método de Bernoulli.

Exemplos de autoteste:

1. Vamos reescrever a equação na forma padrão: y'-2y=x.

1) Resolvemos a equação homogênea y'-2y=0. y'=dy/dx, portanto dy/dx=2y, multiplique ambos os lados da equação por dx, divida por y e integre:

A partir daqui encontramos y:

Substituímos as expressões para y e y' na condição (por brevidade, vamos alimentar C em vez de C (x) e C' em vez de C "(x)):

Para encontrar a integral do lado direito, usamos a fórmula de integração por partes:

Agora substituímos u, du e v na fórmula:

Aqui C = const.

3) Agora substituímos na solução do homogêneo

Aula 44. Equações lineares não homogêneas de segunda ordem. Método de variação de constantes arbitrárias. Equações lineares não homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. (lado direito especial).

Transformações sociais. Estado e Igreja.

A política social dos bolcheviques foi amplamente ditada por sua abordagem de classe. Por um decreto de 10 de novembro de 1917, o sistema de propriedade foi abolido, as fileiras, títulos e prêmios pré-revolucionários foram abolidos. A eleição de juízes foi estabelecida; a secularização dos estados civis foi realizada. Instituiu educação e assistência médica gratuitas (decreto de 31 de outubro de 1918). As mulheres foram equiparadas em direitos aos homens (decretos de 16 e 18 de dezembro de 1917). O decreto sobre o casamento introduziu a instituição do casamento civil.

Por um decreto do Conselho dos Comissários do Povo de 20 de janeiro de 1918, a igreja foi separada do estado e do sistema educacional. Grande parte da propriedade da igreja foi confiscada. Patriarca Tikhon de Moscou e toda a Rússia (eleito em 5 de novembro de 1917) em 19 de janeiro de 1918, anatematizou o poder soviético e convocou uma luta contra os bolcheviques.

Considere uma equação linear não homogênea de segunda ordem

A estrutura da solução geral de tal equação é determinada pelo seguinte teorema:

Teorema 1. A solução geral da equação não homogênea (1) é representada como a soma de alguma solução particular desta equação e a solução geral da equação homogênea correspondente

Prova. Precisamos provar que a soma

é a solução geral da equação (1). Vamos primeiro provar que a função (3) é uma solução da equação (1).

Substituindo a soma na equação (1) em vez de no, terá

Como existe uma solução para a equação (2), a expressão nos primeiros colchetes é identicamente igual a zero. Como existe uma solução para a equação (1), a expressão nos segundos colchetes é igual a f(x). Portanto, a igualdade (4) é uma identidade. Assim, a primeira parte do teorema está provada.

Vamos provar a segunda afirmação: a expressão (3) é em geral solução da equação (1). Devemos provar que as constantes arbitrárias incluídas nesta expressão podem ser escolhidas de modo que as condições iniciais sejam satisfeitas:

quaisquer que sejam os números x 0 , y 0 e (se apenas x 0 foi retirado da área onde as funções um 1, um 2 e f(x) contínuo).

Observando que é possível representar na forma . Então, com base nas condições (5), temos

Vamos resolver este sistema e encontrar A partir de 1 e De 2. Vamos reescrever o sistema como:

Observe que o determinante desse sistema é o determinante de Wronsky para as funções 1 e às 2 no ponto x=x0. Como essas funções são linearmente independentes por suposição, o determinante de Wronsky não é igual a zero; portanto, o sistema (6) tem uma solução definida A partir de 1 e De 2, ou seja existem esses valores A partir de 1 e De 2, para a qual a fórmula (3) determina a solução da equação (1) que satisfaz as condições iniciais dadas. Q.E.D.

Vamos nos voltar para o método geral para encontrar soluções particulares de uma equação não homogênea.

Vamos escrever a solução geral da equação homogênea (2)

Vamos procurar uma solução particular da equação não homogênea (1) na forma (7), considerando A partir de 1 e De 2 como alguns recursos ainda desconhecidos de X.

Vamos derivar a igualdade (7):

Selecionamos as funções desejadas A partir de 1 e De 2 para que a igualdade

Se esta condição adicional for levada em consideração, então a primeira derivada assume a forma

Agora, diferenciando esta expressão, encontramos:

Substituindo na equação (1), obtemos

As expressões nos dois primeiros colchetes desaparecem porque 1 e ano 2 são soluções de uma equação homogênea. Portanto, a última igualdade assume a forma

Assim, a função (7) será uma solução para a equação não homogênea (1) se as funções A partir de 1 e De 2 satisfazer as equações (8) e (9). Vamos compor um sistema de equações a partir das equações (8) e (9).

Como o determinante deste sistema é o determinante de Vronsky para soluções linearmente independentes 1 e ano 2 equação (2), então não é igual a zero. Portanto, resolvendo o sistema, encontraremos ambas as funções de X:

Resolvendo este sistema, encontramos , de onde, como resultado da integração, obtemos . Em seguida, substituímos as funções encontradas na fórmula , obtemos a solução geral da equação não homogênea , onde são constantes arbitrárias.

Considera-se um método de resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas de ordem superior com coeficientes constantes pelo método de variação das constantes de Lagrange. O método de Lagrange também é aplicável para resolver quaisquer equações lineares não homogêneas se o sistema fundamental de soluções da equação homogênea for conhecido.

Contente

Veja também:

Método de Lagrange (variação de constantes)

Considere uma equação diferencial não homogênea linear com coeficientes constantes de uma enésima ordem arbitrária:
(1) .
O método de variação constante, que consideramos para a equação de primeira ordem, também é aplicável a equações de ordens superiores.

A solução é realizada em duas etapas. Na primeira etapa, descartamos o lado direito e resolvemos a equação homogênea. Como resultado, obtemos uma solução contendo n constantes arbitrárias. Na segunda etapa, variamos as constantes. Ou seja, consideramos que essas constantes são funções da variável independente x e encontramos a forma dessas funções.

Embora estejamos considerando equações com coeficientes constantes aqui, mas o método de Lagrange também é aplicável para resolver quaisquer equações lineares não homogêneas. Para isso, entretanto, o sistema fundamental de soluções da equação homogênea deve ser conhecido.

Etapa 1. Solução da equação homogênea

Como no caso das equações de primeira ordem, primeiro procuramos a solução geral da equação homogênea, igualando a parte não homogênea a zero:
(2) .
A solução geral de tal equação tem a forma:
(3) .
Aqui estão constantes arbitrárias; - n soluções linearmente independentes da equação homogênea (2), que formam o sistema fundamental de soluções desta equação.

Etapa 2. Variação de Constantes - Substituindo Constantes por Funções

Na segunda etapa, trataremos da variação das constantes. Em outras palavras, vamos substituir as constantes por funções da variável independente x :
.
Ou seja, estamos procurando uma solução para a equação original (1) na seguinte forma:
(4) .

Se substituirmos (4) em (1), obtemos uma equação diferencial para n funções. Nesse caso, podemos conectar essas funções com equações adicionais. Então você obtém n equações, das quais você pode determinar n funções. Equações adicionais podem ser escritas de várias maneiras. Mas faremos isso de forma que a solução tenha a forma mais simples. Para fazer isso, ao diferenciar, você precisa igualar a zero termos contendo derivadas de funções. Vamos demonstrar isso.

Para substituir a solução proposta (4) na equação original (1), precisamos encontrar as derivadas das primeiras n ordens da função escrita na forma (4). Diferencie (4) aplicando as regras para diferenciar a soma e o produto:
.
Vamos agrupar os membros. Primeiro, escrevemos os termos com derivadas de , e depois os termos com derivadas de :

.
Impomos a primeira condição às funções:
(5.1) .
Então a expressão para a primeira derivada em relação a terá uma forma mais simples:
(6.1) .

Da mesma forma, encontramos a segunda derivada:

.
Impomos a segunda condição às funções:
(5.2) .
Então
(6.2) .
E assim por diante. Sob condições adicionais, igualamos os termos contendo as derivadas das funções a zero.

Assim, se escolhermos as seguintes equações adicionais para as funções:
(5.k) ,
então as primeiras derivadas em relação a terão a forma mais simples:
(6.k) .
Aqui .

Encontramos a n-ésima derivada:
(6.n)
.

Substituímos na equação original (1):
(1) ;






.
Levamos em conta que todas as funções satisfazem a equação (2):
.
Em seguida, a soma dos termos contendo dar zero. Como resultado, obtemos:
(7) .

Como resultado, temos um sistema de equações lineares para derivadas:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Resolvendo este sistema, encontramos expressões para derivadas como funções de x . Integrando, temos:
.
Aqui, são constantes que não dependem mais de x. Substituindo em (4), obtemos a solução geral da equação original.

Observe que nunca usamos o fato de os coeficientes ai serem constantes para determinar os valores das derivadas. É por isso o método de Lagrange é aplicável para resolver quaisquer equações lineares não homogêneas, se o sistema fundamental de soluções da equação homogênea (2) for conhecido.

Exemplos

Resolver equações pelo método de variação de constantes (Lagrange).


Solução de exemplos >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Veja também: Solução de equações de primeira ordem pelo método de variação constante (Lagrange)
Resolvendo equações de ordem superior pelo método de Bernoulli
Resolvendo equações diferenciais lineares não homogêneas de ordem superior com coeficientes constantes por substituição linear