círculo trigonométrico. Círculo único. Círculo numérico. O que é isso?

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Muitas vezes os termos círculo trigonométrico, círculo unitário, círculo numérico mal compreendido pelos alunos. E completamente em vão. Esses conceitos são um assistente poderoso e universal em todas as seções da trigonometria. Na verdade, esta é uma folha de dicas legal! Desenhei um círculo trigonométrico - e imediatamente vi as respostas! Tentador? Então vamos aprender, é pecado não usar tal coisa. Além disso, é bem fácil.

Para trabalhar com sucesso com um círculo trigonométrico, você precisa saber apenas três coisas.

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você pode se familiarizar com funções e derivadas.

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A trigonometria, como ciência, originou-se no Oriente Antigo. As primeiras razões trigonométricas foram desenvolvidas por astrônomos para criar um calendário preciso e orientado pelas estrelas. Esses cálculos estão relacionados à trigonometria esférica, enquanto no curso escolar eles estudam a razão entre os lados e o ângulo de um triângulo plano.

A trigonometria é um ramo da matemática que trata das propriedades das funções trigonométricas e da relação entre os lados e os ângulos dos triângulos.

Durante o apogeu da cultura e da ciência no 1º milênio dC, o conhecimento se espalhou do Antigo Oriente para a Grécia. Mas as principais descobertas da trigonometria são mérito dos homens do califado árabe. Em particular, o cientista turcomeno al-Marazvi introduziu funções como tangente e cotangente, compilou as primeiras tabelas de valores para senos, tangentes e cotangentes. O conceito de seno e cosseno foi introduzido por cientistas indianos. Muita atenção é dedicada à trigonometria nas obras de grandes figuras da antiguidade como Euclides, Arquimedes e Eratóstenes.

Quantidades básicas de trigonometria

As funções trigonométricas básicas de um argumento numérico são seno, cosseno, tangente e cotangente. Cada um deles tem seu próprio gráfico: seno, cosseno, tangente e cotangente.

As fórmulas para calcular os valores dessas quantidades são baseadas no teorema de Pitágoras. É mais conhecido pelos escolares na formulação: “Calças pitagóricas, iguais em todas as direções”, pois a prova é dada no exemplo de um triângulo retângulo isósceles.

Seno, cosseno e outras dependências estabelecem uma relação entre ângulos agudos e lados de qualquer triângulo retângulo. Damos fórmulas para calcular essas quantidades para o ângulo A e traçamos a relação das funções trigonométricas:

Como você pode ver, tg e ctg são funções inversas. Se representarmos o cateto a como o produto de sen A e a hipotenusa c, e o cateto b como cos A * c, obtemos as seguintes fórmulas para a tangente e a cotangente:

círculo trigonométrico

Graficamente, a razão das quantidades mencionadas pode ser representada da seguinte forma:

O círculo, neste caso, representa todos os valores possíveis do ângulo α - de 0° a 360°. Como pode ser visto na figura, cada função assume um valor negativo ou positivo dependendo do ângulo. Por exemplo, sen α estará com sinal “+” se α pertencer aos quartos I e II do círculo, ou seja, estiver na faixa de 0 ° a 180 °. Com α de 180° a 360° (quartos III e IV), sen α só pode ser um valor negativo.

Vamos tentar construir tabelas trigonométricas para ângulos específicos e descobrir o significado das quantidades.

Os valores de α iguais a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e assim por diante são chamados de casos especiais. Os valores das funções trigonométricas para eles são calculados e apresentados na forma de tabelas especiais.

Esses ângulos não foram escolhidos por acaso. A designação π nas tabelas é para radianos. Rad é o ângulo no qual o comprimento de um arco circular corresponde ao seu raio. Este valor foi introduzido para estabelecer uma relação universal; ao calcular em radianos, o comprimento real do raio em cm não importa.

Os ângulos nas tabelas para funções trigonométricas correspondem a valores radianos:

Portanto, não é difícil adivinhar que 2π é um círculo completo ou 360°.

Propriedades das funções trigonométricas: seno e cosseno

Para considerar e comparar as propriedades básicas de seno e cosseno, tangente e cotangente, é necessário desenhar suas funções. Isso pode ser feito na forma de uma curva localizada em um sistema de coordenadas bidimensional.

Considere uma tabela comparativa de propriedades para uma onda senoidal e uma onda cosseno:

sinusóide	onda cosseno
y = sen x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sen x = 0, para x = πk, onde k ϵ Z	cos x = 0, para x = π/2 + πk, onde k ϵ Z
sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, onde k ϵ Z	cos x = 1, para x = 2πk, onde k ϵ Z
sen x = - 1, em x = 3π/2 + 2πk, onde k ϵ Z	cos x = - 1, para x = π + 2πk, onde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, ou seja, função ímpar	cos (-x) = cos x, ou seja, a função é par
	a função é periódica, o menor período é 2π
sen x › 0, com x pertencente aos quartos I e II ou de 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, com x pertencente aos quartos I e IV ou de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sen x ‹ 0, com x pertencente aos quartos III e IV ou de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, com x pertencente aos quartos II e III ou de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
aumenta no intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta no intervalo [-π + 2πk, 2πk]
diminui nos intervalos [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	diminui nos intervalos
derivada (sen x)' = cos x	derivada (cos x)' = - sin x

Determinar se uma função é par ou não é muito simples. Basta imaginar um círculo trigonométrico com sinais de grandezas trigonométricas e “dobrar” mentalmente o gráfico em relação ao eixo OX. Se os sinais são iguais, a função é par; caso contrário, é ímpar.

A introdução dos radianos e a enumeração das principais propriedades da onda senoidal e cosseno permitem trazer o seguinte padrão:

É muito fácil verificar a exatidão da fórmula. Por exemplo, para x = π/2, o seno é igual a 1, assim como o cosseno de x = 0. A verificação pode ser feita olhando tabelas ou traçando curvas de função para valores dados.

Propriedades de tangentóide e cotangentóide

Os gráficos das funções tangente e cotangente diferem significativamente da onda senoidal e cosseno. Os valores tg e ctg são inversos entre si.

1. Y = tgx.
2. A tangente tende para os valores de y em x = π/2 + πk, mas nunca os atinge.
3. O menor período positivo da tangenteide é π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ou seja, a função é ímpar.
5. Tg x = 0, para x = πk.
6. A função está aumentando.
7. Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Considere a representação gráfica do cotangentoide abaixo no texto.

As principais propriedades do cotangentoide:

1. Y = ctgx.
2. Ao contrário das funções seno e cosseno, na tangente Y pode assumir os valores do conjunto de todos os números reais.
3. O cotangentoide tende aos valores de y em x = πk, mas nunca os atinge.
4. O menor período positivo do cotangentóide é π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ou seja, a função é ímpar.
6. Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
7. A função está diminuindo.
8. Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivado (ctg x)' = - 1/sen 2 ⁡x Fixo

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Alvo: ensinar como usar o círculo unitário ao resolver várias tarefas trigonométricas.

No curso escolar de matemática, são possíveis várias opções para a introdução de funções trigonométricas. O mais conveniente e comumente usado é o "círculo unitário numérico". Sua aplicação no tópico "Trigonometria" é muito extensa.

O círculo unitário é usado para:

– definições de seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo;
– encontrar os valores das funções trigonométricas para alguns valores do argumento numérico e angular;
- derivação das fórmulas básicas da trigonometria;
– derivação de fórmulas de redução;
– encontrar o domínio de definição e intervalo de valores de funções trigonométricas;
– determinação da periodicidade das funções trigonométricas;
– definições de funções trigonométricas pares e ímpares;
– determinação de intervalos de aumento e diminuição de funções trigonométricas;
– determinação de intervalos de constância de funções trigonométricas;
– medição de ângulos em radianos;
– encontrar os valores das funções trigonométricas inversas;
– solução das equações trigonométricas mais simples;
– solução das desigualdades mais simples, etc.

Assim, a posse consciente ativa desse tipo de visualização pelos alunos oferece vantagens inegáveis ​​para o domínio da seção de matemática "Trigonometria".

O uso das TIC nas aulas de ensino de matemática facilita o domínio do círculo unitário numérico. É claro que o quadro interativo tem a mais ampla gama de aplicações, mas nem todas as aulas o têm. Se falamos sobre o uso de apresentações, na Internet há uma grande variedade delas, e cada professor pode encontrar a opção mais adequada para suas aulas.

O que há de especial na minha apresentação?

Esta apresentação destina-se a ser usada de várias maneiras e não pretende ser uma ilustração de uma lição específica de Trigonometria. Cada slide desta apresentação pode ser usado separadamente, tanto na etapa de explicação do material, desenvolvimento de habilidades, quanto para reflexão. Ao criar esta apresentação, foi dada especial atenção à sua “legibilidade” à distância, uma vez que o número de alunos com visão reduzida está em constante crescimento. A solução de cores é pensada, objetos logicamente relacionados são unidos por uma única cor. A apresentação é animada de tal forma que o professor tem a oportunidade de comentar um fragmento do slide, e o aluno pode fazer uma pergunta. Assim, esta apresentação é uma espécie de mesas "em movimento". Os últimos slides não são animados e são usados ​​para verificar a assimilação do material, no decorrer da resolução de tarefas trigonométricas. O círculo nos slides é simplificado ao máximo externamente e o mais próximo possível daquele representado na folha do caderno pelos alunos. Considero esta condição fundamental. É importante que os alunos formem uma opinião sobre o círculo unitário como um tipo de visibilidade acessível e móvel (embora não o único) ao resolver tarefas trigonométricas.

Esta apresentação ajudará os professores a apresentar aos alunos o círculo unitário na 9ª série nas aulas de geometria enquanto estudam o tópico "Relação entre lados e ângulos de um triângulo". E, é claro, ajudará a expandir e aprofundar a habilidade de trabalhar com um círculo unitário ao resolver tarefas trigonométricas para alunos do último ano nas aulas de álgebra.

Diapositivos 3, 4 explicar a construção de um círculo unitário; o princípio de determinar a localização de um ponto em um círculo unitário nos quartos das coordenadas I e II; transição de definições geométricas das funções seno e cosseno (em um triângulo retângulo) para definições algébricas no círculo unitário.

Diapositivos 5-8 explicar como encontrar os valores das funções trigonométricas para os principais ângulos do quarto coordenado I.

Slides 9-11 explica sinais de funções em quartos de coordenadas; determinação de intervalos de constância de funções trigonométricas.

slide 12 usado para formar ideias sobre valores positivos e negativos de ângulos; familiaridade com o conceito de periodicidade de funções trigonométricas.

Diapositivos 13, 14 são usados ​​ao mudar para uma medida em radianos de um ângulo.

Diapositivos 15-18 não são animados e são usados ​​na resolução de várias tarefas trigonométricas, fixando e verificando os resultados do domínio do material.

1. Folha de rosto.
2. Definição de metas.
3. Construção de um círculo unitário. Valores básicos de ângulos em graus.
4. Definição do seno e cosseno de um ângulo em um círculo unitário.
5. Valores da tabela para seno em ordem crescente.
6. Valores da tabela para cosseno em ordem crescente.
7. Valores tabulares para tangente em ordem crescente.
8. Valores da tabela para cotangente em ordem crescente.
9. Sinais de função sinα.
10. Sinais de função como a.
11. Sinais de função tgα e ctgα.
12. Valores positivos e negativos de ângulos no círculo unitário.
13. A medida em radianos de um ângulo.
14. Valores positivos e negativos de ângulos em radianos no círculo unitário.
15. Várias variantes do círculo unitário para consolidar e verificar os resultados da assimilação do material.

Se você já conhece círculo trigonométrico , e você só quer atualizar elementos individuais em sua memória, ou você está completamente impaciente, então aqui está:

Aqui vamos analisar tudo em detalhes passo a passo.

O círculo trigonométrico não é um luxo, mas uma necessidade

Trigonometria muitos estão associados a um matagal intransitável. De repente, tantos valores​​de funções trigonométricas se acumulam, tantas fórmulas...

É muito importante não acenar com a mão valores de funções trigonométricas, - eles dizem, você sempre pode olhar para o spur com uma tabela de valores.

Se você olhar constantemente para a tabela com os valores​​de fórmulas trigonométricas, vamos nos livrar desse hábito!

Nos salvará! Você trabalhará com ele várias vezes e, em seguida, ele aparecerá na sua cabeça por conta própria. Por que é melhor do que uma mesa? Sim, na tabela você encontrará um número limitado de valores, mas no círculo - TUDO!

Por exemplo, digamos, olhando para tabela padrão de valores de fórmulas trigonométricas , que é o seno de, digamos, 300 graus, ou -45.

De jeito nenhum? .. você pode, é claro, conectar fórmulas de redução... E olhando para o círculo trigonométrico, você pode responder facilmente a essas perguntas. E em breve você saberá como!

E ao resolver equações e desigualdades trigonométricas sem um círculo trigonométrico - em nenhum lugar.

Introdução ao círculo trigonométrico

Vamos em ordem.

Primeiro, escreva a seguinte série de números:

E agora isso:

E por fim este:

Claro, é claro que, de fato, em primeiro lugar é, em segundo lugar é e no último -. Ou seja, estaremos mais interessados ​​na cadeia.

Mas como ficou lindo! Nesse caso, vamos restaurar essa “escada maravilhosa”.

E por que precisamos disso?

Essa cadeia tem os principais valores de seno e cosseno no primeiro trimestre.

Vamos desenhar um círculo de raio unitário em um sistema de coordenadas retangulares (ou seja, pegamos qualquer raio ao longo do comprimento e declaramos que seu comprimento é unitário).

A partir do feixe “0-Start”, separamos os cantos na direção da seta (veja a Fig.).

Obtemos os pontos correspondentes no círculo. Então, se projetarmos os pontos em cada um dos eixos, obteremos exatamente os valores da cadeia acima.

Por que isso, você pergunta?

Não vamos desmontar tudo. Considerar princípio, o que permitirá que você lide com outras situações semelhantes.

Triângulo AOB é um triângulo retângulo com . E sabemos que em frente ao ângulo em está um cateto duas vezes menor que a hipotenusa (nossa hipotenusa = o raio do círculo, ou seja, 1).

Portanto, AB= (e, portanto, OM=). E pelo teorema de Pitágoras

Espero que algo esteja claro agora.

Assim, o ponto B corresponderá ao valor e o ponto M corresponderá ao valor

Da mesma forma com o restante dos valores do primeiro trimestre.

Como você entende, o eixo familiar para nós (ox) será eixo cosseno, e o eixo (oy) - eixo sinusal . mais tarde.

À esquerda de zero no eixo cosseno (abaixo de zero no eixo seno) haverá, é claro, valores negativos.

Então, aqui está, o TODO PODEROSO, sem o qual nada em trigonometria.

Mas como usar o círculo trigonométrico, falaremos.