Dois triângulos são ditos congruentes se eles podem ser sobrepostos. A Figura 1 mostra triângulos iguais ABC e A 1 B 1 C 1. Cada um desses triângulos pode ser sobreposto a outro para que sejam completamente compatíveis, ou seja, seus vértices e lados sejam emparelhados. É claro que neste caso os ângulos desses triângulos serão combinados em pares.

Assim, se dois triângulos são iguais, então os elementos (isto é, lados e ângulos) de um triângulo são respectivamente iguais aos elementos do outro triângulo. Observe que em triângulos iguais contra lados respectivamente iguais(ou seja, sobrepostos quando sobrepostos) mentir ângulos iguais e volta: opostos ângulos correspondentemente iguais têm lados iguais.

Assim, por exemplo, em triângulos iguais ABC e A 1 B 1 C 1, mostrados na Figura 1, ângulos iguais C e C 1 se encontram respectivamente contra lados iguais AB e A 1 B 1. A igualdade dos triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 será denotada da seguinte forma: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Acontece que a igualdade de dois triângulos pode ser estabelecida comparando alguns de seus elementos.

Teorema 1. O primeiro sinal de igualdade de triângulos. Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então tais triângulos são iguais (Fig. 2).

Prova. Considere os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1, nos quais AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (veja a Fig. 2). Vamos provar que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Como ∠ A \u003d ∠ A 1, então o triângulo ABC pode ser sobreposto ao triângulo A 1 B 1 C 1 de modo que o vértice A esteja alinhado com o vértice A 1 e os lados AB e AC se sobreponham, respectivamente, no raios A 1 B 1 e A 1 C um . Como AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, o lado AB será combinado com o lado A 1 B 1 e o lado AC - com o lado A 1 C 1; em particular, os pontos B e B1, C e C1 irão coincidir. Portanto, os lados BC e B 1 C 1 estarão alinhados. Assim, os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são completamente compatíveis, o que significa que são iguais.

O teorema 2 é provado de forma semelhante pelo método da superposição.

Teorema 2. O segundo sinal da igualdade dos triângulos. Se o lado e dois ângulos adjacentes a ele de um triângulo são respectivamente iguais ao lado e dois ângulos adjacentes a ele de outro triângulo, então tais triângulos são iguais (Fig. 34).

Comente. Com base no Teorema 2, o Teorema 3 é estabelecido.

Teorema 3. A soma de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180°.

O teorema 4 segue do último teorema.

Teorema 4. Um ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo interno não adjacente a ele.

Teorema 5. O terceiro sinal da igualdade dos triângulos. Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então tais triângulos são iguais ().

Exemplo 1 Nos triângulos ABC e DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Compare os triângulos ABC e DEF. Que ângulo no triângulo DEF é igual ao ângulo B?

Solução. Esses triângulos são iguais no primeiro sinal. O ângulo F do triângulo DEF é igual ao ângulo B do triângulo ABC, pois esses ângulos estão opostos aos lados iguais correspondentes DE e AC.

Exemplo 2 Os segmentos AB e CD (Fig. 5) se cruzam no ponto O, que é o ponto médio de cada um deles. O que é o segmento BD igual a se o segmento AC é de 6 m?

Solução. Os triângulos AOC e BOD são iguais (pelo primeiro critério): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (por condição).
Da igualdade desses triângulos segue a igualdade de seus lados, ou seja, AC = BD. Mas como, de acordo com a condição, AC = 6 m, então BD = 6 m.

Prova: impomos ABC em A 1 B 1 C 1 para que o ponto A 1 coincida com A. Como AC \u003d A 1 C 1, então, de acordo com o axioma dos segmentos adiados, o ponto C 1 coincidirá com C. Como A \u003d A 1 , então, de acordo com o axioma dos ângulos de deposição, o feixe A 1 B 1 coincidirá com o feixe AB. Como AB \u003d A 1 B 1, então, de acordo com o axioma dos segmentos adiados, o ponto B 1 coincidirá com o ponto B. Os triângulos A 1 B 1 C 1 e ABC coincidiram, o que significa ABC \u003d A 1 B 1 C 1 Ch.T.D.

Prova: impomos ABC em A 1 B 1 C 1 para que o ponto A 1 coincida com A. Como AC \u003d A 1 C 1, então, de acordo com o axioma dos segmentos adiados, o ponto C 1 coincidirá com C. Como A \u003d A 1 , então, de acordo com o axioma dos ângulos de deposição, o feixe A 1 B 1 coincidirá com o feixe AB. Desde C \u003d C 1, então, de acordo com o axioma de deposição de ângulos, o raio C 1 IN 1 coincidirá com o raio CB. O ponto B 1 coincidirá com o ponto B. Os triângulos A 1 B 1 C 1 e ABC coincidiram, o que significa ABC \u003d A 1 B 1 C 1 FTD

Mediana Um segmento da bissetriz do ângulo de um triângulo que liga o vértice do triângulo com um ponto no lado oposto é chamado de bissetriz do triângulo. medianabisector 1 ALTURA A perpendicular traçada do vértice do triângulo à linha que contém o lado oposto é chamada de altura do triângulo. O segmento de reta que liga o vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto é chamado de mediana do triângulo. altura

A B C K M O T As alturas de um triângulo retângulo se cruzam no vértice C. As alturas de um triângulo agudo se cruzam no ponto O, que fica no interior do triângulo. O A B C O ponto de intersecção das alturas é chamado de ortocentro.

O segmento da bissetriz do ângulo de um triângulo que liga o vértice do triângulo a um ponto do lado oposto é chamado de bissetriz do triângulo. Este ponto também é notável - o ponto de intersecção das mediatrizes é o centro do círculo inscrito. O b i s e c t r i c a

1 A perpendicular traçada do vértice de um triângulo à linha que contém o lado oposto é chamada de altura do triângulo. ALTURA Uma altura em um triângulo retângulo, desenhada a partir do vértice de um ângulo agudo, coincide com a perna. A altura em um triângulo obtuso, desenhada a partir do vértice de um ângulo agudo, passa na região externa do triângulo. ALTURA 11

Conclusão 1. Em um triângulo isósceles, a altura traçada até a base é a mediana e a bissetriz. 2. Em um triângulo isósceles, a mediana traçada para a base é a altura e a bissetriz. 3. Em um triângulo isósceles, a bissetriz traçada para a base é a mediana e a altura.

Quais dessas afirmações estão corretas? Anote seus números.
1) Se dois lados de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.
2) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, então este quadrilátero é um losango.
3) A área de um círculo é menor que o quadrado do comprimento do seu diâmetro.

A solução do problema:

Vamos considerar cada afirmação.
1) "Se dois lados de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes", isso afirmação é falsa, Porque não corresponde a nenhum dos critérios para a igualdade de triângulos.
2) "Se as diagonais em um quadrilátero são perpendiculares, então este quadrilátero é um losango", este afirmação é falsa, Porque não corresponde totalmente a nenhuma propriedade do losango. Por exemplo, o quadrilátero mostrado na figura, suas diagonais são perpendiculares, mas é óbvio que não é um losango.
3) "A área de um círculo é menor que o quadrado do comprimento de seu diâmetro." A área do círculo é ΠR 2 , ou ΠD 2 /4. O número Π (Pi) é aproximadamente 3,14. Então S círculo \u003d 0,785D 2. E isso, é claro, é menor que D 2 . A afirmação é verdadeira

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Outras tarefas nesta seção

Tarefa #03A3EF

A área de um triângulo retângulo é 722 √ 3 . Um dos ângulos agudos é 30°. Encontre o comprimento da perna oposta a este ângulo.

Problema nº 9FCAB9

No triângulo ABC, a bissetriz BE e a mediana AD são perpendiculares e têm o mesmo comprimento igual a 96. Encontre os lados do triângulo ABC.

Sinais de igualdade de triângulos

Triângulos iguais são aqueles cujos lados correspondentes são iguais.

Teorema (o primeiro critério para a igualdade de triângulos).
Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Teorema (o segundo critério para a igualdade dos triângulos).
Se um lado e dois ângulos adjacentes de um triângulo são respectivamente iguais a um lado e dois ângulos adjacentes de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Teorema (o terceiro critério para a igualdade dos triângulos).
Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

Sinais de semelhança de triângulos

Os triângulos são chamados semelhantes se os ângulos são iguais e os lados semelhantes são proporcionais: , onde é o coeficiente de similaridade.

Eu sinal de semelhança de triângulos. Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente iguais a dois ângulos de outro, então esses triângulos são semelhantes.

II sinal de semelhança de triângulos. Se três lados de um triângulo são proporcionais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes.

III sinal de semelhança de triângulos. Se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo, e os ângulos incluídos entre esses lados são iguais, então esses triângulos são semelhantes.

Teorema 1.1. Se uma linha que não passa por nenhum dos vértices de um triângulo intercepta um de seus lados, ela intercepta apenas um dos outros dois lados.

Teorema 2.1. A soma dos ângulos adjacentes é 180 cerca de .
Consequências:
Se dois ângulos são iguais, então os ângulos adjacentes a eles são iguais.
Se o ângulo não for desenvolvido, então sua medida de grau é menor que 180 cerca de .
Um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto.

Teorema 2.2. Os ângulos verticais são iguais.

Teorema 2.3. Por cada ponto de uma linha, pode-se traçar uma linha perpendicular a ele, e apenas uma.

Teorema 3.1 (O primeiro critério para a igualdade dos triângulos). Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são iguais, respectivamente, a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Teorema 3.2 (O segundo critério para a igualdade dos triângulos). Se um lado e os ângulos adjacentes a ele de um triângulo são iguais, respectivamente, ao lado e aos ângulos adjacentes a ele de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Teorema 3.3 (Propriedade dos ângulos de um triângulo isósceles). Em um triângulo isósceles, os ângulos na base são iguais.

Teorema 3.4 (Sinal de um triângulo isósceles). Se dois ângulos são iguais em um triângulo, então é isósceles.

Teorema 3.5 (Propriedade da mediana de um triângulo isósceles). Em um triângulo isósceles, a mediana traçada para a base é a bissetriz e a altura.

Teorema 3.6 (O terceiro critério para a igualdade dos triângulos). Se três lados de um triângulo são iguais, respectivamente, a três lados de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes.

Teorema 4.1. Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas.

Teorema 4.2 (Um critério para linhas paralelas). Se os ângulos transversais internos são iguais ou a soma dos ângulos laterais internos é 180 cerca de , então as retas são paralelas.

Teorema 4.3 (Converse com o Teorema 4.2). Se duas linhas paralelas são interceptadas por uma terceira linha, então os ângulos internos cruzados são iguais, e a soma dos ângulos laterais internos é 180 cerca de .

Teorema 4.4. A soma dos ângulos de um triângulo é 180 cerca de .
Consequência: Todo triângulo tem pelo menos dois ângulos agudos.

Teorema 4.5. Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos que não são adjacentes a ele.
Consequência: Um ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo interno não adjacente a ele.

Teorema 4.6. De qualquer ponto que não esteja em uma linha dada, pode-se soltar uma perpendicular a essa linha, e apenas uma.

Teorema 5.1. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo é o ponto de intersecção das perpendiculares aos lados do triângulo, traçadas pelos pontos médios desses lados.

Teorema 5.2. O centro de um círculo inscrito em um triângulo é o ponto de interseção de suas bissetrizes.

Teorema 5.3. O lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados é uma reta perpendicular ao segmento de reta que liga esses pontos e passa pelo seu ponto médio.

Teorema 6.1. Se as diagonais de um quadrilátero se cruzam e o ponto de interseção é bissectado, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Teorema 6.2 (Converse com o Teorema 6.1). As diagonais de um paralelogramo se cruzam e o ponto de interseção é bissectado.

Teorema 6.3. Um paralelogramo tem lados opostos iguais e ângulos opostos iguais.

Teorema 6.4. As diagonais de um retângulo são iguais.

Teorema 6.5. As diagonais do losango se cruzam em ângulos retos. As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos.

Teorema 6.6 (Teorema de Thales). Se as linhas paralelas que cruzam os lados de um ângulo cortam segmentos iguais em um de seus lados, elas cortam segmentos iguais no outro lado.

Teorema 6.7. A linha média de um triângulo que liga os pontos médios de dois lados dados é paralela ao terceiro lado e igual à metade dele.

Teorema 6.8. A linha mediana do trapézio é paralela às bases e igual à metade de sua soma.

Teorema 6.9. As linhas paralelas que cruzam os lados do ângulo cortam segmentos proporcionais dos lados do ângulo.

Teorema 7.1. O cosseno de um ângulo depende apenas da medida em graus do ângulo e não depende da localização e tamanho do triângulo.

Teorema 7.2 (Teorema de Pitágoras). Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Consequências:
-Em um triângulo retângulo, qualquer cateto é menor que a hipotenusa.
- cosA
-Se uma perpendicular e uma oblíqua são traçadas a uma linha reta a partir de um ponto, então qualquer oblíqua é maior que a perpendicular, oblíquos iguais têm projeções iguais, de dois oblíquos, aquele com a maior projeção é maior.

Teorema 7.3 (Desigualdade do Triângulo). Quaisquer que sejam os três pontos, a distância entre quaisquer dois desses pontos não é maior que a soma de suas distâncias ao terceiro ponto.
Consequência: Em qualquer triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

Teorema 7.4. Para qualquer ângulo agudo A.
pecado(90 o -A) = cosA, cos(90 o -A) = senA.

Teorema 7.5. À medida que o ângulo agudo aumentasinAetgAestão aumentando, ecosAdiminui.

Teorema 9.1. Pontos em linha reta, ao se mover, passam para pontos em linha reta, e a ordem de seu arranjo mútuo é preservada.
Consequência: Ao se mover, linhas retas se transformam em linhas retas, meias linhas em meias linhas, segmentos em segmentos.

Teorema 9.2. Uma transformação de simetria em torno de um ponto é um movimento.

Teorema 9.3. Uma transformação de simetria em torno de uma linha é um movimento.

Teorema 9.4. Quaisquer que sejam os dois pontosMAS eMAS ', há uma e apenas uma tradução paralela em que o pontoMAS vai ao pontoMAS ’.

Teorema 10.1. Quaisquer que sejam os pontosMAS , NO , A PARTIR DE , a igualdade vetorial

Teorema 10.2. O valor absoluto do vetor é igual a . direção do vetor no coincide com a direção do vetor , E seeu > 0, e oposta à direção do vetor , E seeu

Teorema 10.3. O produto escalar dos vetores é igual ao produto de seus valores absolutos e o cosseno do ângulo entre eles.
Consequências:
Se os vetores são perpendiculares, então seu produto escalar é 0.
Se o produto escalar de vetores não-0 for 0, então os vetores são perpendiculares.

Teorema 11.1. A homotetia é uma transformação de semelhança.

Teorema 11.2 (Um teste para a semelhança de triângulos em dois ângulos). Se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro triângulo, então esses triângulos são semelhantes.

Teorema 11.3 (Um teste para a semelhança de triângulos em dois lados e o ângulo entre eles). Se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo e os ângulos formados por esses lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.

Teorema 11.4 (Critério de semelhança de triângulos em três lados). Se os lados de um triângulo são proporcionais aos lados de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.

Teorema 11.5. Um ângulo inscrito em um círculo é metade do ângulo central correspondente.
Consequências:
-Os ângulos inscritos cujos lados passam pelos pontos A e B da circunferência e cujos vértices estão do mesmo lado da reta AB são iguais.
-Os ângulos inscritos com base no diâmetro são retos.

Teorema 12.1 (Teorema do cosseno). O quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados sem dobrar o produto desses lados vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Teorema 12.2 (Teorema do seno). Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Teorema 13.1. O comprimento da polilinha não é menor que o comprimento do segmento que conecta suas extremidades.

Teorema 13.2. A soma dos ângulos de um convexon-gon é 180 0 (n – 2).

Teorema 13.3. Um polígono convexo regular está inscrito em um círculo e circunscrito ao círculo.

Teorema 13.4. Regular convexon-gons são semelhantes. Em particular, se seus lados são iguais, então eles são iguais.

Teorema 13.5. A razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro não depende do círculo, ou seja, o mesmo para quaisquer dois círculos.

Teorema 15.1.

Teorema 15.2.
Consequência:

Teorema 15.3.

Teorema 15.4. XeSXYXeSXYatravessa o avião.

Teorema 16.1.

Teorema 16.2.

Teorema 16.5.

Teorema 17.3.

Teorema 17.4.

Teorema 17.6.

Teorema 15.1. Através de uma linha e de um ponto que não está sobre ela, pode-se desenhar um plano e, além disso, apenas um.

Teorema 15.2. Se dois pontos de uma linha pertencem a um plano, então toda a linha pertence a esse plano.
Consequência: Um plano e uma linha que não está sobre ele não se cruzam ou se cruzam em um ponto.

Teorema 15.3. Através de três pontos que não estão na mesma reta, é possível traçar um plano e, além disso, apenas um.

Teorema 15.4. O plano divide o espaço em dois meios-espaços. Se os pontosXeSpertencem ao mesmo semi-espaço, então o segmentoXYnão cruza o avião. Se os pontosXeSpertencem a diferentes semi-espaços, então o segmentoXYatravessa o avião.

Teorema 16.1. Por um ponto fora de uma linha dada, pode-se traçar uma linha paralela a essa linha e, além disso, apenas uma.

Teorema 16.2. Duas retas paralelas a uma terceira reta são paralelas.

Teorema 16.3. Se uma linha que não pertence a um plano é paralela a qualquer linha desse plano, então também é paralela ao próprio plano.

Teorema 16.4. Se duas linhas de interseção de um plano são respectivamente paralelas a duas linhas de outro plano, então esses planos são paralelos.

Teorema 16.5. Por um ponto fora de um plano dado, pode-se traçar um plano paralelo ao dado e, além disso, apenas um.

Teorema 17.1. Se duas retas que se cruzam são paralelas, respectivamente, a duas retas perpendiculares, então elas também são perpendiculares.

Teorema 17.2. Se uma reta é perpendicular a duas retas que se cruzam em um plano, então ela é perpendicular ao plano dado.

Teorema 17.3. Se um plano é perpendicular a uma das duas linhas paralelas, então também é perpendicular à outra.

Teorema 17.4. Duas retas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas.

Teorema 17.5. Se uma linha reta traçada em um plano através da base de uma linha oblíqua é perpendicular à sua projeção, então ela é perpendicular à linha oblíqua. E volta: se uma linha reta em um plano é perpendicular a uma oblíqua, então também é perpendicular à projeção da oblíqua.

Teorema 17.6. Se um plano passa por uma linha perpendicular a outro plano, esses planos são perpendiculares.

Teorema 18.1. A área de uma projeção ortogonal de um polígono em um plano é igual ao produto de sua área e o cosseno do ângulo entre o plano do polígono e o plano de projeção.