Números complexos

Conceitos Básicos

Os dados iniciais do número referem-se à Idade da Pedra - Paleomelita. Estes são "um", "poucos" e "muitos". Eles foram registrados na forma de entalhes, nós, etc. O desenvolvimento dos processos de trabalho e o surgimento da propriedade forçaram o homem a inventar os números e seus nomes. Os números naturais apareceram pela primeira vez N obtido contando objetos. Então, junto com a necessidade de contar, as pessoas tinham a necessidade de medir comprimentos, áreas, volumes, tempo e outras quantidades, onde era necessário levar em conta partes da medida utilizada. Assim nasceram as frações. A fundamentação formal dos conceitos de número fracionário e negativo foi realizada no século XIX. Conjunto de números inteiros Z são números naturais, números naturais com sinal de menos e zero. Números inteiros e fracionários formavam um conjunto de números racionais Q, mas mesmo isso acabou sendo insuficiente para estudar variáveis ​​em constante mudança. Gênesis novamente mostrou a imperfeição da matemática: a impossibilidade de resolver uma equação da forma X 2 = 3, em conexão com o qual os números irracionais apareceram EU. União do conjunto dos números racionais Q e números irracionais EUé o conjunto de números reais (ou reais) R. Como resultado, a reta numérica foi preenchida: cada número real correspondia a um ponto nela. Mas no set R não tem como resolver a equação X 2 = – uma 2. Consequentemente, novamente houve a necessidade de expandir o conceito de número. Assim, em 1545, os números complexos apareceram. Seu criador J. Cardano os chamou de "puramente negativos". O nome "imaginário" foi introduzido em 1637 pelo francês R. Descartes, em 1777 Euler sugeriu o uso da primeira letra do número francês eu para denotar a unidade imaginária. Este símbolo entrou em uso geral graças a K. Gauss.

Durante os séculos XVII e XVIII, a discussão sobre a natureza aritmética dos imaginários e sua interpretação geométrica continuou. O dinamarquês H. Wessel, o francês J. Argan e o alemão K. Gauss sugeriram independentemente que um número complexo fosse representado por um ponto no plano coordenado. Mais tarde, descobriu-se que era ainda mais conveniente representar o número não pelo ponto em si, mas pelo vetor que vai até este ponto a partir da origem.

Somente no final do século 18 - início do século 19 os números complexos tomaram seu lugar de direito na análise matemática. Seu primeiro uso foi na teoria das equações diferenciais e na teoria da hidrodinâmica.

Definição 1.número complexoé chamada de expressão da forma , onde x e y são números reais e eué a unidade imaginária, .

dois números complexos e igual se e apenas se , .

Se , então o número é chamado puramente imaginário; se , então o número é um número real, o que significa que o conjunto R A PARTIR DE, Onde A PARTIR DEé o conjunto dos números complexos.

Conjugado a um número complexo é chamado de número complexo.

Representação geométrica de números complexos.

Qualquer número complexo pode ser representado por um ponto. M(x, y) avião Óxi. Um par de números reais também denota as coordenadas do vetor raio , ou seja entre o conjunto de vetores no plano e o conjunto de números complexos, pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca: .

Definição 2.Parte real X.

Designação: x= Re z(do latim Realis).

Definição 3.parte imaginária número complexo é chamado de número real y.

Designação: y= eu z(do latim Imaginarius).

Ré zé depositado no eixo ( Oh), Eu sou zé depositado no eixo ( Oi), então o vetor correspondente ao número complexo é o vetor raio do ponto M(x, y), (ou M(Ré z, Eu sou z)) (Figura 1).

Definição 4. Um plano cujos pontos estão associados a um conjunto de números complexos é chamado plano complexo. A abcissa é chamada eixo real, pois contém números reais . O eixo y é chamado eixo imaginário, contém números complexos puramente imaginários . O conjunto dos números complexos é denotado A PARTIR DE.

Definição 5.módulo número complexo z = (x, y) é o comprimento do vetor : , ou seja. .

Definição 6.Argumento número complexo é chamado o ângulo entre a direção positiva do eixo ( Oh) e vetor : .

Números complexos

Imaginário e números complexos. Abcissa e ordenada

número complexo. Conjugar números complexos.

Operações com números complexos. Geométrico

representação de números complexos. plano complexo.

Módulo e argumento de um número complexo. trigonométrico

forma de número complexo. Operações com complexos

números na forma trigonométrica. Fórmula de Moivre.

Informações básicas sobre imaginário e números complexos são dadas na seção "Números imaginários e complexos". A necessidade desses números de um novo tipo apareceu ao resolver equações quadráticas para o casoD< 0 (здесь Dé o discriminante da equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram uso físico, razão pela qual foram chamados de números "imaginários". No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física.

e tecnologia: engenharia elétrica, hidrodinâmica e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.

Números complexos são escritos como:a+bi. Aqui uma e b – numeros reais , uma eu – unidade imaginária. e. eu 2 = –1. Número uma chamado abscissa, uma b - ordenadanúmero complexoa + b.Dois números complexosa+bi e a-bi chamado conjugado números complexos.

Principais acordos:

1. Número realumatambém pode ser escrito na formanúmero complexo:um + 0 eu ou uma - 0 eu. Por exemplo, entradas 5 + 0eu e 5 - 0 eusignifica o mesmo número 5 .

2. Número complexo 0 + bichamado puramente imaginário número. Gravaçãobisignifica o mesmo que 0 + bi.

3. Dois números complexosa+bi ec + disão considerados iguais sea = c e b = d. Por outro lado números complexos não são iguais.

Adição. A soma dos números complexosa+bi e c + dié chamado de número complexo (a+c ) + (b+d ) eu .Nesse caminho, quando adicionado números complexos, suas abcissas e ordenadas são adicionadas separadamente.

Esta definição segue as regras para lidar com polinômios comuns.

Subtração. A diferença entre dois números complexosa+bi(reduzido) e c + di(subtraído) é chamado de número complexo (a-c ) + (b-d ) eu .

Nesse caminho, ao subtrair dois números complexos, suas abcissas e ordenadas são subtraídas separadamente.

Multiplicação. O produto de números complexosa+bi e c + di é chamado de número complexo.

(ac-bd ) + (anúncio+bc ) eu .Esta definição decorre de dois requisitos:

1) números a+bi e c + dideve multiplicar como algébrico binômios,

2) número eutem a propriedade principal:eu 2 = – 1.

EXEMPLO ( a + bi )(a-bi) = um 2 +b 2 . Consequentemente, trabalhar

dois números complexos conjugados é igual ao real

número positivo.

Divisão. Dividir um número complexoa+bi (divisível) para outroc + di(divisor) - significa encontrar o terceiro númeroe + fi(chat), que, quando multiplicado por um divisorc + di, o que resulta no dividendoa + b.

Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.

EXEMPLO Encontrar (8+eu ) : (2 – 3 eu) .

Solução. Vamos reescrever essa razão como uma fração:

Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3eu

E após realizar todas as transformações, obtemos:

Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:

Aqui está o ponto UMAsignifica número -3, pontoBé o número 2 e O- zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para isso, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexoa+bi será representado por um ponto P com abcissa a e ordenada b (ver fig.). Esse sistema de coordenadas é chamado plano complexo .

módulo número complexo é chamado de comprimento do vetorOP, representando um número complexo na coordenada ( integrado) avião. Módulo de número complexoa+bi denotado por | a+bi| ou carta r

Números complexos, sua representação no plano. Operações algébricas sobre números complexos. Conjugação complexa. Módulo e argumento de um número complexo. Formas algébricas e trigonométricas de um número complexo. Raízes de números complexos. A função exponencial de um argumento complexo. Fórmula de Euler. A forma exponencial de um número complexo.

Ao estudar um dos principais métodos de integração - a integração de frações racionais - é necessário considerar polinômios no domínio complexo para provas rigorosas. Portanto, vamos primeiro estudar algumas propriedades dos números complexos e operações sobre eles.

Definição 7.1. Um número complexo z é um par ordenado de números reais (a, b): z = (a, b) (o termo “ordenado” significa que a ordem dos números a e b é importante para escrever um número complexo: (a , b) ). Nesse caso, o primeiro número a é chamado de parte real do número complexo z e é denotado a = Re z, e o segundo número b é chamado de parte imaginária de z: b = Im z.

Definição 7.2. Dois números complexos z 1 \u003d (a 1, b 1) e z 2 \u003d (a 2, b 2) são iguais se e somente se tiverem partes reais e imaginárias iguais, ou seja, a 1 \u003d a 2, b 1 \u003d b2.

Ações sobre números complexos.

1. soma números complexos z1 =(a1, b1) e z2 =(a2, b2 z=(a, b) de tal modo que a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 . Propriedades de adição: a) z1 + z2 = z2 + z1; b) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; c) existe um número complexo 0 = (0,0): z + 0 =z para qualquer número complexo z.

2. trabalhar números complexos z1 =(a1, b1) e z2 =(a2, b2) é chamado de número complexo z=(a, b) de tal modo que a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1. Propriedades de multiplicação: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z3, dentro) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Comente. Um subconjunto do conjunto de números complexos é o conjunto de números reais definidos como números complexos da forma ( uma, 0). Pode-se ver que neste caso a definição de operações em números complexos preserva as regras conhecidas das operações correspondentes em números reais. Além disso, o número real 1 = (1,0) mantém sua propriedade quando multiplicado por qualquer número complexo: 1∙ z = z.

Definição 7.3. Número complexo (0, b) é chamado puramente imaginário. Em particular, o número (0,1) é chamado unidade imaginária e são simbolizados eu.

Propriedades da unidade imaginária:

1) i∙i=i² = -1; 2) um número puramente imaginário (0, b) pode ser representado como um produto de um número real ( b, 0) e eu: (b, 0) = b∙i.

Portanto, qualquer número complexo z = (a,b) pode ser representado como: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Definição 7.4. Uma notação da forma z = a + ib é chamada de forma algébrica de um número complexo.

Comente. A notação algébrica de números complexos permite realizar operações sobre eles de acordo com as regras usuais da álgebra.

Definição 7.5. Um número complexo é chamado de conjugado complexo de z = a + ib.

3. Subtração números complexos é definido como a operação inversa da adição: z=(a, b) é chamada de diferença de números complexos z1 =(a1, b1) e z2 =(a2, b2), E se a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2.

4. Divisão números complexos é definido como a operação inversa da multiplicação: número z = a + ibé chamado de quociente de divisão z 1 = a 1 + ib 1 e z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) se z 1 = z∙z 2 . Portanto, as partes real e imaginária do quociente podem ser encontradas a partir da solução do sistema de equações: a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1.

Interpretação geométrica de números complexos.

Número complexo z=(a, b) pode ser representado como um ponto no plano com coordenadas ( a, b) ou um vetor com origem na origem e fim no ponto ( a, b).

Neste caso, o módulo do vetor resultante é chamado módulo número complexo, e o ângulo formado pelo vetor com a direção positiva do eixo x é argumento números. Dado que a = p porque φ, b = ρ pecado φ, Onde ρ = |z| - módulo z, e φ = arg z é seu argumento, podemos obter outra forma de escrever um número complexo:

Definição 7.6. Ver registro

z = p(porque φ + i pecado φ ) (7.1)

chamado forma trigonométrica notação de um número complexo.

Por sua vez, o módulo e o argumento de um número complexo podem ser expressos em termos de uma e b: . Portanto, o argumento de um número complexo não é definido exclusivamente, mas até um termo que seja múltiplo de 2π.

É fácil ver que a operação de somar números complexos corresponde à operação de somar vetores. Considere a interpretação geométrica da multiplicação. Vamos então

Portanto, o módulo do produto de dois números complexos é igual ao produto de seus módulos, e o argumento é a soma de seus argumentos. Assim, ao dividir, o módulo do quociente é igual à razão dos módulos do dividendo e do divisor, e o argumento é a diferença entre seus argumentos.

Um caso especial da operação de multiplicação é a exponenciação:

- Fórmula de De Moivre.

Usando as relações obtidas, listamos as principais propriedades dos números conjugados complexos:

Números complexos e
coordenada
avião

O modelo geométrico do conjunto R de números reais é a reta numérica. Todo número real corresponde a um único ponto

no
reta numérica e, qualquer ponto da reta
apenas um corresponde
número real!

Adicionando à reta numérica correspondente ao conjunto de todos os números reais mais uma dimensão - uma reta contendo o conjunto de puramente m

Adicionando à reta numérica correspondente ao conjunto
de todos os números reais mais uma dimensão -
linha contendo o conjunto de números puramente imaginários -
obtemos um plano de coordenadas em que cada
número complexo a + bi pode ser associado
ponto (a; b) do plano coordenado.
i=0+1i corresponde ao ponto (0;1)
2+3i corresponde ao ponto (2;3)
-i-4 corresponde ao ponto (-4;-1)
5=5+1i corresponde a melancolia (5;0)

O significado geométrico da operação de conjugação

! A operação de conjugação é axial
simetria em torno do eixo x.
!! Conectados um ao outro
números complexos são equidistantes de
origem das coordenadas.
!!! Vetores representando
números conjugados, inclinados para o eixo
abcissa no mesmo ângulo, mas
localizados em lados opostos
este eixo.

Imagem de números reais

Imagem de números complexos

Algébrico
caminho
Imagens:
Número complexo
a+bi é exibido
ponto plano
com coordenadas
(a; b)

Exemplos da representação de números complexos no plano de coordenadas

(Nós estamos interessados ​​em
números complexos
z=x+yi , para o qual
x=-4. Esta é a equação
direto,
eixo paralelo
ordenada)
no
X= - 4
Válido
parte é -4
0
X

Desenhe no plano coordenado o conjunto de todos os números complexos para os quais:

parte imaginária
é par
inequívoco
natural
número
(Nós estamos interessados ​​em
números complexos
z=x+yi
y=2,4,6,8.
Imagem geométrica
consiste em quatro
retas, paralelas
abscissa)
no
8
6
4
2
0
X