Para a conveniência de considerar uma função de potência, consideraremos 4 casos separados: uma função de potência com um expoente natural, uma função de potência com um expoente inteiro, uma função de potência com um expoente racional e uma função de potência com um expoente irracional.

Função de potência com expoente natural

Para começar, introduzimos o conceito de grau com um expoente natural.

Definição 1

A potência de um número real $a$ com expoente natural $n$ é um número igual ao produto de $n$ fatores, cada um dos quais é igual ao número $a$.

Imagem 1.

$a$ é a base do grau.

$n$ - expoente.

Considere agora uma função potência com um expoente natural, suas propriedades e gráfico.

Definição 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ é chamada de função potência com expoente natural.

Para maior conveniência, considere separadamente a função potência com expoente par $f\left(x\right)=x^(2n)$ e a função potência com expoente ímpar $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.

Propriedades de uma função potência com expoente par natural

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ é uma função par.

Escopo -- $ \

A função diminui conforme $x\in (-\infty ,0)$ e aumenta conforme $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

A função é convexa em todo o domínio de definição.

Comportamento nas extremidades do escopo:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty\]

Gráfico (Fig. 2).

Figura 2. Gráfico da função $f\left(x\right)=x^(2n)$

Propriedades de uma função potência com expoente ímpar natural

O domínio de definição são todos os números reais.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ é uma função ímpar.

$f(x)$ é contínua em todo o domínio de definição.

O intervalo são todos os números reais.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

A função aumenta em todo o domínio de definição.

$f\left(x\right)0$, para $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

A função é côncava para $x\in (-\infty ,0)$ e convexa para $x\in (0,+\infty)$.

Gráfico (Fig. 3).

Figura 3. Gráfico da função $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Função de potência com expoente inteiro

Para começar, introduzimos o conceito de grau com um expoente inteiro.

Definição 3

O grau de um número real $a$ com um expoente inteiro $n$ é determinado pela fórmula:

Figura 4

Considere agora uma função potência com um expoente inteiro, suas propriedades e gráfico.

Definição 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ é chamada de função potência com expoente inteiro.

Se o grau for maior que zero, chegamos ao caso de uma função potência com um expoente natural. Já consideramos acima. Para $n=0$ obtemos uma função linear $y=1$. Deixamos sua consideração para o leitor. Resta considerar as propriedades de uma função de potência com um expoente inteiro negativo

Propriedades de uma função potência com um expoente inteiro negativo

O escopo é $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Se o expoente for par, então a função é par; se for ímpar, então a função é ímpar.

$f(x)$ é contínua em todo o domínio de definição.

Faixa de valor:

Se o expoente for par, então $(0,+\infty)$, se for ímpar, então $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Se o expoente for ímpar, a função diminui como $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Para um expoente par, a função diminui como $x\in (0,+\infty)$. e aumenta como $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ em todo o domínio

1. Função potência, suas propriedades e gráfico;

2. Transformações:

Transferência paralela;

Simetria em torno dos eixos coordenados;

Simetria sobre a origem;

Simetria sobre a reta y = x;

Esticando e encolhendo ao longo dos eixos de coordenadas.

3. Uma função exponencial, suas propriedades e gráfico, transformações semelhantes;

4. Função logarítmica, suas propriedades e gráfico;

5. Função trigonométrica, suas propriedades e gráfico, transformações semelhantes (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Função: y = x\n - suas propriedades e gráfico.

Função potência, suas propriedades e gráfico

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etc. Todas essas funções são casos especiais da função de potência, ou seja, a função y = xp, onde p é um número real dado.
As propriedades e o gráfico de uma função de potência dependem essencialmente das propriedades de uma potência com um expoente real e, em particular, dos valores para os quais x e p faz sentido xp. Passemos a uma consideração semelhante de vários casos, dependendo
expoente pág.

1. Índice p = 2né um número natural par.

y=x2n, Onde né um número natural e tem as seguintes propriedades:

• o domínio de definição são todos os números reais, ou seja, o conjunto R;
• conjunto de valores - números não negativos, ou seja, y é maior ou igual a 0;
• função y=x2n até porque x 2n = (-x) 2n
• a função é decrescente no intervalo x< 0 e aumentando no intervalo x > 0.

Gráfico de funções y=x2n tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico de uma função y=x4.

2. Indicador p = 2n - 1- número natural ímpar

Neste caso, a função de potência y=x2n-1, onde é um número natural, tem as seguintes propriedades:

• domínio de definição - conjunto R;
• conjunto de valores - conjunto R;
• função y=x2n-1 estranho porque (- x) 2n-1= x 2n-1;
• a função é crescente em todo o eixo real.

Gráfico de funções y=x2n-1 y=x3.

3. Indicador p=-2n, Onde n- número natural.

Neste caso, a função de potência y=x-2n=1/x2n tem as seguintes propriedades:

• conjunto de valores - números positivos y>0;
• função y = 1/x2n até porque 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• a função é crescente no intervalo x0.

Gráfico da função y = 1/x2n tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y = 1/x2.

4. Indicador p = -(2n-1), Onde n- número natural.
Neste caso, a função de potência y=x-(2n-1) tem as seguintes propriedades:

• o domínio de definição é o conjunto R, exceto para x = 0;
• conjunto de valores - conjunto R, exceto para y = 0;
• função y=x-(2n-1) estranho porque (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• a função é decrescente nos intervalos x< 0 e x > 0.

Gráfico de funções y=x-(2n-1) tem a mesma forma que, por exemplo, o gráfico da função y = 1/x3.