Equações

Como resolver equações?

Nesta seção iremos relembrar (ou estudar, dependendo de quem você escolher) as equações mais elementares. Então, qual é a equação? Na linguagem humana, é algum tipo de expressão matemática onde existe um sinal de igual e uma incógnita. O que geralmente é denotado pela letra "X". Resolva a equação- isto é para encontrar tais valores de x que, quando substituídos em original expressão nos dará a identidade correta. Deixe-me lembrá-lo de que a identidade é uma expressão que está fora de dúvida, mesmo para uma pessoa que não está absolutamente sobrecarregada com conhecimentos matemáticos. Como 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Então, como resolver equações? Vamos descobrir.

Existem todos os tipos de equações (estou surpreso, certo?). Mas toda a sua infinita variedade pode ser dividida em apenas quatro tipos.

4. Outro.)

Todo o resto, claro, acima de tudo, sim...) Isso inclui cúbico, exponencial, logarítmico, trigonométrico e todos os tipos de outros. Trabalharemos em estreita colaboração com eles nas seções apropriadas.

Direi desde já que às vezes as equações dos três primeiros tipos são tão confusas que você nem vai reconhecê-las... Nada. Aprenderemos como relaxá-los.

E por que precisamos desses quatro tipos? E então o que equações lineares resolvido de uma maneira quadrado outros, racionais fracionários - terceiro, A descansar Eles não ousam de jeito nenhum! Bem, não é que eles não consigam decidir, é que eu estava errado com a matemática.) É só que eles têm as suas próprias técnicas e métodos especiais.

Mas para qualquer (repito - para qualquer!) equações fornecem uma base confiável e à prova de falhas para solução. Funciona em qualquer lugar e sempre. Esta base – Parece assustadora, mas é muito simples. E muito (Muito!) importante.

Na verdade, a solução da equação consiste nessas mesmas transformações. 99% Responda a pergunta: " Como resolver equações?" reside precisamente nessas transformações. A dica está clara?)

Transformações idênticas de equações.

EM quaisquer equações Para encontrar a incógnita, você precisa transformar e simplificar o exemplo original. E para que quando a aparência mudar a essência da equação não mudou. Tais transformações são chamadas idêntico ou equivalente.

Observe que essas transformações se aplicam especificamente para as equações. Existem também transformações de identidade na matemática expressões. Este é outro tópico.

Agora vamos repetir tudo, tudo, tudo básico transformações idênticas de equações.

Básicos porque podem ser aplicados a qualquer equações - lineares, quadráticas, fracionárias, trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, etc. e assim por diante.

Primeira transformação de identidade: você pode adicionar (subtrair) a ambos os lados de qualquer equação qualquer(mas o mesmo!) número ou expressão (incluindo uma expressão com uma incógnita!). Isso não altera a essência da equação.

Aliás, você usava essa transformação constantemente, só pensava que estava transferindo alguns termos de uma parte da equação para outra com mudança de sinal. Tipo:

O caso é familiar, movemos os dois para a direita e obtemos:

Na verdade você levado embora de ambos os lados da equação é dois. O resultado é o mesmo:

x+2 - 2 = 3 - 2

Mover os termos para a esquerda e para a direita com uma mudança de sinal é simplesmente uma versão abreviada da primeira transformação de identidade. E por que precisamos de um conhecimento tão profundo? - você pergunta. Nada nas equações. Pelo amor de Deus, aguente. Só não se esqueça de mudar o sinal. Mas nas desigualdades, o hábito da transferência pode levar a um beco sem saída...

Segunda transformação de identidade: ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pela mesma coisa diferente de zero número ou expressão. Aqui já aparece uma limitação compreensível: multiplicar por zero é estúpido e dividir é completamente impossível. Esta é a transformação que você usa quando resolve algo legal como

Está claro X= 2. Como você descobriu isso? Por seleção? Ou simplesmente você percebeu? Para não selecionar e não esperar por insights, você precisa entender que está apenas dividiu ambos os lados da equação por 5. Ao dividir o lado esquerdo (5x), o cinco foi reduzido, restando o X puro. Que é exatamente o que precisávamos. E ao dividir o lado direito de (10) por cinco, o resultado é, obviamente, dois.

Isso é tudo.

É engraçado, mas estas duas (apenas duas!) transformações idênticas são a base da solução todas as equações da matemática. Uau! Faz sentido ver exemplos do que e como, certo?)

Exemplos de transformações idênticas de equações. Principais problemas.

Vamos começar com primeiro transformação de identidade. Transferir da esquerda para a direita.

Um exemplo para os mais novos.)

Digamos que precisamos resolver a seguinte equação:

3-2x=5-3x

Vamos lembrar o feitiço: "com X - para a esquerda, sem X - para a direita!" Este feitiço é uma instrução para usar a primeira transformação de identidade.) Que expressão com um X está à direita? 3x? A resposta está incorreta! À nossa direita - 3x! Menos trêsx! Portanto, ao mover para a esquerda, o sinal mudará para mais. Acontecerá:

3-2x+3x=5

Então, os X foram reunidos em uma pilha. Vamos entrar nos números. Há um três à esquerda. Com que sinal? A resposta “sem nenhum” não é aceita!) Diante dos três, de fato, nada é desenhado. E isso significa que antes do três existe mais. Então os matemáticos concordaram. Nada está escrito, o que significa mais. Portanto, o triplo será transferido para o lado direito com um sinal de menos. Nós temos:

-2x+3x=5-3

Restam meras ninharias. À esquerda - traga outros semelhantes, à direita - conte. A resposta vem imediatamente:

Neste exemplo, uma transformação de identidade foi suficiente. O segundo não foi necessário. Bem, ok.)

Um exemplo para crianças mais velhas.)

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Ao estudar álgebra, nos deparamos com os conceitos de polinômio (por exemplo ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, etc.) e fração algébrica (por exemplo $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, etc.) A semelhança desses conceitos é que tanto em polinômios quanto em frações algébricas existem variáveis ​​​​e valores numéricos, a aritmética é realizada ações: adição, subtração, multiplicação, exponenciação.A diferença entre esses conceitos é que em polinômios a divisão por uma variável não é realizada, mas em frações algébricas a divisão por uma variável pode ser realizada.

Tanto os polinômios quanto as frações algébricas são chamados de expressões algébricas racionais em matemática. Mas os polinômios são expressões racionais inteiras e as frações algébricas são expressões racionais fracionárias.

É possível obter uma expressão algébrica inteira a partir de uma expressão racional-fracionária usando uma transformação de identidade, que neste caso será a propriedade principal de uma fração - a redução de frações. Vamos verificar isso na prática:

Exemplo 1

Converter:$\\frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Solução: Esta equação racional fracionária pode ser transformada usando a propriedade básica da redução fracionária, ou seja, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número ou expressão diferente de $0$.

Esta fração não pode ser reduzida imediatamente; o numerador deve ser transformado.

Vamos transformar a expressão no numerador da fração, para isso utilizamos a fórmula do quadrado da diferença: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

A fração parece

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\esquerda(x-2\direita)(x-2))(x-2)\]

Agora vemos que o numerador e o denominador têm um fator comum - esta é a expressão $x-2$, pela qual reduziremos a fração

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\esquerda(x-2\direita)(x-2))(x-2)=x-2\]

Após a redução, descobrimos que a expressão racional fracionária original $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ tornou-se um polinômio $x-2$, ou seja, totalmente racional.

Agora prestemos atenção ao fato de que as expressões $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ e $x-2\ $ podem ser consideradas idênticas não para todos os valores da variável, porque para que exista uma expressão racional fracionária e possa ser reduzida pelo polinômio $x-2$, o denominador da fração não deve ser igual a $0$ (assim como o fator pelo qual estamos reduzindo. Neste por exemplo, o denominador e o fator são iguais, mas isso nem sempre acontece).

Os valores da variável em que existirá a fração algébrica são chamados de valores permitidos da variável.

Vamos colocar uma condição no denominador da fração: $x-2≠0$, então $x≠2$.

Isso significa que as expressões $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ e $x-2$ são idênticas para todos os valores da variável, exceto $2$.

Definição 1

Identicamente igual expressões são aquelas iguais para todos os valores válidos da variável.

Uma transformação idêntica é qualquer substituição da expressão original por uma identicamente igual.Essas transformações incluem realizar ações: adição, subtração, multiplicação, colocar um fator comum fora dos colchetes, trazer frações algébricas para um denominador comum, reduzir frações algébricas, trazer frações semelhantes termos, etc É necessário levar em conta que uma série de transformações, como redução, redução de termos semelhantes, podem alterar os valores permitidos da variável.

Técnicas usadas para provar identidades

Traga o lado esquerdo da identidade para a direita ou vice-versa usando transformações de identidade

Reduza ambos os lados para a mesma expressão usando transformações idênticas

Transfira as expressões de uma parte da expressão para outra e prove que a diferença resultante é igual a $0$

Qual das técnicas acima usar para provar uma determinada identidade depende da identidade original.

Exemplo 2

Prove a identidade $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Solução: Para provar esta identidade, utilizaremos o primeiro dos métodos acima, ou seja, transformaremos o lado esquerdo da identidade até que seja igual ao direito.

Vamos considerar o lado esquerdo da identidade: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - representa a diferença de dois polinômios. Neste caso, o primeiro polinômio é o quadrado da soma de três termos. Para elevar ao quadrado a soma de vários termos, usamos a fórmula:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Para fazer isso, precisamos multiplicar um número por um polinômio. Lembre-se que para isso precisamos multiplicar o fator comum atrás dos colchetes por cada termo do polinômio entre colchetes. Então obtemos:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Agora vamos voltar ao polinômio original, ele terá a forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Observe que antes do colchete há um sinal “-”, o que significa que quando os colchetes são abertos, todos os sinais que estavam entre colchetes mudam para o oposto.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= uma ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Vamos apresentar termos semelhantes, então obtemos que os monômios $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ e $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ se cancelam, ou seja, sua soma é $ 0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= uma ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Isto significa que por meio de transformações idênticas obtivemos uma expressão idêntica no lado esquerdo da identidade original

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Observe que a expressão resultante mostra que a identidade original é verdadeira.

Observe que na identidade original todos os valores da variável são permitidos, o que significa que provamos a identidade usando transformações de identidade, e isso é verdade para todos os valores possíveis da variável.

Sejam dadas duas expressões algébricas:

Vamos fazer uma tabela dos valores de cada uma dessas expressões para os diferentes valores numéricos da letra x.

Vemos que para todos os valores atribuídos à letra x, os significados de ambas as expressões acabaram sendo iguais. O mesmo acontecerá com qualquer outro valor de x.

Para verificar isso, vamos transformar a primeira expressão. Com base na lei de distribuição, escrevemos:

Tendo realizado as ações indicadas nos números, obtemos:

Assim, a primeira expressão, depois de simplificada, acabou sendo exatamente igual à segunda expressão.

Agora está claro que para qualquer valor de x os valores de ambas as expressões são iguais.

Expressões cujos valores são iguais para quaisquer valores das letras nelas incluídas são chamadas de identicamente iguais ou idênticas.

Isso significa que são expressões idênticas.

Vamos fazer uma observação importante. Tomemos as expressões:

Tendo compilado uma tabela semelhante à anterior, garantiremos que ambas as expressões tenham valores numéricos iguais para qualquer valor de x. Somente quando a segunda expressão for igual a 6, e a primeira perder o sentido, pois o denominador acaba sendo zero. (Lembre-se de que você não pode dividir por zero.) Podemos dizer que essas expressões são idênticas?

Concordamos anteriormente que consideraríamos cada expressão apenas para valores de letras aceitáveis, ou seja, para aqueles valores nos quais a expressão não perde seu significado. Isso significa que aqui, ao comparar duas expressões, levamos em consideração apenas os valores das letras que são aceitáveis ​​​​para ambas as expressões. Portanto, devemos excluir o valor. E como para todos os outros valores de x ambas as expressões têm o mesmo valor numérico, temos o direito de considerá-las idênticas.

Com base no exposto, damos a seguinte definição de expressões idênticas:

1. As expressões são chamadas de idênticas se tiverem os mesmos valores numéricos para todos os valores permitidos das letras nelas incluídas.

Se conectarmos duas expressões idênticas com um sinal de igual, obtemos uma identidade. Significa:

2. Uma identidade é uma igualdade verdadeira para todos os valores permitidos das letras nela incluídas.

Já encontramos identidades antes. Assim, por exemplo, todas as igualdades com as quais expressamos as leis básicas de adição e multiplicação são identidades.

Por exemplo, igualdades que expressam a lei comutativa da adição

e a lei associativa da multiplicação

válido para qualquer valor de letra. Isso significa que essas igualdades são identidades.

Todas as verdadeiras igualdades aritméticas também são consideradas identidades, por exemplo:

Na álgebra, muitas vezes é necessário substituir uma expressão por outra idêntica a ela. Deixe, por exemplo, você querer encontrar o valor da expressão

Simplificaremos bastante os cálculos se substituirmos esta expressão por uma expressão idêntica a ela. Com base na lei de distribuição, podemos escrever:

Mas os números entre colchetes somam 100. Isso significa que temos a identidade:

Substituindo 6,53 em vez de a no lado direito, encontramos imediatamente (em nossas mentes) o valor numérico (653) desta expressão.

Substituir uma expressão por outra idêntica a ela é chamado de transformação idêntica desta expressão.

Lembre-se de que qualquer expressão algébrica para quaisquer valores admissíveis de letras é algum

número. Segue-se que todas as leis e propriedades das operações aritméticas apresentadas no capítulo anterior são aplicáveis ​​às expressões algébricas. Assim, a aplicação das leis e propriedades das operações aritméticas transforma uma dada expressão algébrica numa expressão idêntica a ela.

7 ª série

“Identidades. Transformação idêntica de expressões.”

Abdulkerimova Khadizhat Makhmudovna,

professor de matemática

lições objetivas

introduzir e consolidar inicialmente os conceitos de “expressões idênticas”, “identidade”, “transformações idênticas”;

considerar formas de comprovar identidades, promover o desenvolvimento de competências para comprovar identidades;

verificar a assimilação dos alunos sobre o material abordado, desenvolver a capacidade de usar o que aprenderam para perceber coisas novas.

Tipo de aula: aprendendo novo material

Equipamento : quadro, livro didático, pasta de trabalho.

P Ian lição

Tempo de organização

Verificando o dever de casa

Atualizando conhecimento

Estudo de material novo (Familiarização e consolidação inicial dos conceitos de “identidade”, “transformações idênticas”).

Exercícios de formação (Formação dos conceitos de “identidade”, “transformações idênticas”).

Reflexão da aula (Resuma as informações teóricas recebidas na aula).

Mensagem do dever de casa (explique o conteúdo do dever de casa)

Durante as aulas

I. Momento organizacional.

II . Verificando o dever de casa (frontal)

III . Atualizando conhecimentos.

Dê um exemplo de uma expressão numérica e uma expressão com variáveis

Compare os valores das expressões x+3 e 3x em x=-4; 1,5; 5

Por qual número não pode ser dividido? (0)

Resultado da multiplicação? (Trabalhar)

Maior número de dois dígitos? (99)

Qual é o produto de -200 a 200? (0)

Resultado da subtração. (Diferença)

Quantos gramas tem um quilograma? (1000)

Propriedade comutativa de adição. (A soma não muda reorganizando os lugares dos termos)

Propriedade comutativa da multiplicação. (O produto não muda com a reorganização dos lugares dos fatores)

Propriedade combinativa de adição. (Para adicionar um número à soma de dois números, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro ao primeiro número)

Propriedade combinativa da multiplicação. (para multiplicar o produto de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar o primeiro número pelo produto do segundo e do terceiro)

Propriedade distributiva. (Para multiplicar um número pela soma de dois números, você pode multiplicar esse número por cada termo e somar os resultados)

4. Explicação de um novo tópico:

Vamos encontrar o valor das expressões para x=5 e y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Obtivemos o mesmo resultado. Da propriedade distributiva segue-se que em geral, para quaisquer valores das variáveis, os valores das expressões 3(x+y) e 3x+3y são iguais.

Consideremos agora as expressões 2x+y e 2xy. Quando x=1 e y=2 eles assumem valores iguais:

2x+y=2*1+2=4

2xy=2*1*2=4

No entanto, você pode especificar valores de x e y de forma que os valores dessas expressões não sejam iguais. Por exemplo, se x=3, y=4, então

2x+y=2*3+4=10

2xy=2*3*4=24

Definição: Duas expressões cujos valores são iguais para quaisquer valores das variáveis ​​são chamadas de identicamente iguais.

As expressões 3(x+y) e 3x+3y são identicamente iguais, mas as expressões 2x+y e 2xy não são identicamente iguais.

A igualdade 3(x+y) e 3x+3y é verdadeira para quaisquer valores de x e y. Essas igualdades são chamadas de identidades.

Definição: Uma igualdade que é verdadeira para quaisquer valores das variáveis ​​é chamada de identidade.

As verdadeiras igualdades numéricas também são consideradas identidades. Já encontramos identidades. Identidades são igualdades que expressam as propriedades básicas das operações com números (os alunos comentam cada propriedade, pronunciando-a).

uma + b = b + uma ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) uma(b + c) = ab + ac

Outros exemplos de identidades podem ser dados (Os alunos comentam cada propriedade dizendo-a).

uma + 0 = uma

uma * 1 = uma

uma + (-uma) = 0

A * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Definição: Substituir uma expressão por outra expressão idêntica é chamada de transformação idêntica ou simplesmente transformação de uma expressão.

Professor:

Transformações idênticas de expressões com variáveis ​​são realizadas com base nas propriedades das operações com números.

Transformações idênticas de expressões são amplamente utilizadas no cálculo de valores de expressões e na resolução de outros problemas. Você já teve que realizar algumas transformações idênticas, por exemplo, trazer termos semelhantes, abrir parênteses. Vamos relembrar as regras dessas transformações:

Alunos:

Para trazer termos semelhantes, é necessário somar seus coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum;

Se os parênteses forem precedidos de sinal de mais, os parênteses poderão ser omitidos, preservando o sinal de cada termo entre parênteses;

Se os parênteses forem precedidos por um sinal de menos, os parênteses poderão ser omitidos alterando o sinal de cada termo entre parênteses.

Professor:

Exemplo 1. Vamos apresentar termos semelhantes

5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x

Que regra usamos?

Estudante:

Usamos a regra para reduzir termos semelhantes. Esta transformação é baseada na propriedade distributiva da multiplicação.

Professor:

Exemplo 2. Vamos abrir os parênteses na expressão 2a + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Aplicamos a regra de abertura de parênteses precedidos de sinal de mais.

Estudante:

A transformação realizada baseia-se na propriedade combinatória da adição.

Professor:

Exemplo 3. Vamos abrir os colchetes na expressão a – (4b– c) =a – 4 b + c

Usamos a regra de abertura de parênteses precedidos de sinal de menos.

Em que propriedade se baseia esta transformação?

Estudante:

A transformação realizada baseia-se na propriedade distributiva da multiplicação e na propriedade combinatória da adição.

V . Fazendo exercicios.

№85 Oralmente

№86 Oralmente

№88 Oralmente

№93

№94

№90av

№96

№97

VI . Reflexão da lição .

O professor faz perguntas e os alunos respondem à vontade.

Quais são as duas expressões consideradas identicamente iguais? Dar exemplos.

Que tipo de igualdade é chamada de identidade? Dê um exemplo.

Que transformações de identidade você conhece?

VII . Trabalho de casa . item 5, nº 95, 98.100 (a,c)

As conversões de identidade são o trabalho que fazemos com expressões numéricas e literais, bem como com expressões que contêm variáveis. Realizamos todas essas transformações para trazer a expressão original a uma forma que seja conveniente para a resolução do problema. Consideraremos os principais tipos de transformações de identidade neste tópico.

Transformação idêntica de uma expressão. O que é isso?

Encontramos pela primeira vez o conceito de idêntico transformado nas aulas de álgebra na 7ª série. Foi então que nos familiarizamos pela primeira vez com o conceito de expressões identicamente iguais. Vamos entender os conceitos e definições para facilitar o entendimento do tema.

Definição 1

Transformação de expressão idêntica– são ações realizadas com o objetivo de substituir a expressão original por uma expressão que seja identicamente igual à original.

Muitas vezes esta definição é usada de forma abreviada, na qual a palavra “idêntico” é omitida. Supõe-se que em qualquer caso transformamos a expressão de forma a obter uma expressão idêntica à original, o que não necessita de ser sublinhado separadamente.

Vamos ilustrar esta definição com exemplos.

Exemplo 1

Se substituirmos a expressão x + 3 − 2 para uma expressão identicamente igual x+1, então realizaremos uma transformação idêntica da expressão x + 3 − 2.

Exemplo 2

Substituindo a expressão 2 a 6 pela expressão um 3é uma transformação de identidade, enquanto substitui a expressão x para a expressão x 2 não é uma transformação de identidade, uma vez que as expressões x E x 2 não são identicamente iguais.

Chamamos sua atenção para a forma de escrita das expressões ao realizar transformações idênticas. Normalmente escrevemos a expressão original e a resultante como uma igualdade. Assim, escrever x + 1 + 2 = x + 3 significa que a expressão x + 1 + 2 foi reduzida à forma x + 3.

A execução consecutiva de ações nos leva a uma cadeia de igualdades, que representa várias transformações idênticas localizadas em sequência. Assim, entendemos a entrada x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x como a implementação sequencial de duas transformações: primeiro, a expressão x + 1 + 2 foi trazida para a forma x + 3, e foi trazida para a forma 3 + x.

Transformações idênticas e ODZ

Uma série de expressões que começamos a estudar na 8ª série não fazem sentido para todos os valores das variáveis. A realização de transformações idênticas nestes casos exige que prestemos atenção à faixa de valores permitidos das variáveis ​​​​(APV). A realização de transformações idênticas pode deixar a ODZ inalterada ou restringi-la.

Exemplo 3

Ao realizar uma transição de uma expressão uma + (- b) para a expressão a-b faixa de valores variáveis ​​permitidos a E b continua o mesmo.

Exemplo 4

Passando da expressão x para a expressão x 2 x leva a um estreitamento da faixa de valores permitidos da variável x do conjunto de todos os números reais para o conjunto de todos os números reais, do qual zero foi excluído.

Exemplo 5

Transformação de expressão idêntica x 2 x a expressão x leva a uma expansão do intervalo de valores permitidos da variável x do conjunto de todos os números reais, exceto zero, para o conjunto de todos os números reais.

Estreitar ou ampliar a gama de valores permitidos de variáveis ​​​​ao realizar transformações de identidade é importante na resolução de problemas, pois pode afetar a precisão dos cálculos e levar a erros.

Transformações básicas de identidade

Vamos agora ver o que são as transformações de identidade e como elas são realizadas. Vamos destacar os tipos de transformações de identidade com as quais lidamos com mais frequência em um grupo de transformações básicas.

Além das principais transformações de identidade, há uma série de transformações relacionadas a expressões de um tipo específico. Para frações, estas são técnicas para reduzir e trazer para um novo denominador. Para expressões com raízes e potências, todas as ações executadas com base nas propriedades de raízes e potências. Para expressões logarítmicas, ações executadas com base nas propriedades dos logaritmos. Para expressões trigonométricas, todas as operações que utilizam fórmulas trigonométricas. Todas essas transformações específicas são discutidas detalhadamente em tópicos separados que podem ser encontrados em nosso recurso. A este respeito, não nos deteremos neles neste artigo.

Passemos a considerar as principais transformações de identidade.

Reorganizando termos e fatores

Vamos começar reorganizando os termos. Lidamos com essa transformação idêntica com mais frequência. E a regra principal aqui pode ser considerada a seguinte afirmação: em qualquer soma, reorganizar os termos não afeta o resultado.

Esta regra é baseada nas propriedades comutativas e associativas da adição. Essas propriedades nos permitem reorganizar os termos e obter expressões identicamente iguais às originais. É por isso que reorganizar os termos na soma é uma transformação de identidade.

Exemplo 6

Temos a soma de três termos 3 + 5 + 7. Se trocarmos os termos 3 e 5, a expressão assumirá a forma 5 + 3 + 7. Existem várias opções para trocar termos neste caso. Todos eles levam a expressões identicamente iguais à original.

Não apenas números, mas também expressões podem atuar como termos na soma. Eles, assim como os números, podem ser reorganizados sem afetar o resultado final dos cálculos.

Exemplo 7

A soma de três termos 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 e - 12 a da forma 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · a termos podem ser reorganizados, por exemplo, assim (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . Por sua vez, você pode reorganizar os termos no denominador da fração 1 a + b, e a fração assumirá a forma 1 b + a. E a expressão sob o sinal da raiz um 2 + 2 um + 5 também é uma soma na qual os termos podem ser trocados.

Assim como os termos, você pode trocar fatores nas expressões originais e obter equações identicamente corretas. Esta ação rege-se pela seguinte regra:

Definição 2

Em um produto, a reorganização dos fatores não afeta o resultado dos cálculos.

Esta regra é baseada nas propriedades comutativas e combinativas da multiplicação, que confirmam a correção da transformação idêntica.

Exemplo 8

Trabalhar 3 5 7 reorganizando os fatores pode ser representado em uma das seguintes formas: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 ou 3 7 5.

Exemplo 9

Reorganizando os fatores no produto x + 1 x 2 - x + 1 x dá x 2 - x + 1 x x + 1

Expandindo parênteses

Os parênteses podem conter expressões numéricas e variáveis. Essas expressões podem ser transformadas em expressões identicamente iguais, nas quais não haverá parênteses ou haverá menos parênteses do que nas expressões originais. Este método de transformação de expressões é chamado de expansão de parênteses.

Exemplo 10

Vamos realizar operações com colchetes em uma expressão da forma 3 + x - 1 x para obter a expressão identicamente correta 3 + x - 1 x.

A expressão 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x pode ser transformada na expressão identicamente igual sem parênteses 3 x - 3 - 1 + x 1 - x.

Discutimos em detalhes as regras para converter expressões com colchetes no tópico “Expansão de colchetes”, publicado em nosso recurso.

Agrupamento de termos, fatores

Nos casos em que se trata de três ou mais termos, podemos recorrer a este tipo de transformações de identidade como termos de agrupamento. Este método de transformação significa combinar vários termos em um grupo, reorganizando-os e colocando-os entre colchetes.

Ao agrupar, os termos são trocados para que os termos agrupados fiquem próximos uns dos outros no registro da expressão. Eles podem então ser colocados entre parênteses.

Exemplo 11

Vamos pegar a expressão 5 + 7 + 1 . Se agruparmos o primeiro termo com o terceiro, obtemos (5 + 1) + 7 .

O agrupamento de fatores é realizado de forma semelhante ao agrupamento de termos.

Exemplo 12

No trabalho 2 3 4 5 podemos agrupar o primeiro fator com o terceiro, e o segundo com o quarto, e chegamos à expressão (2 4) (3 5). E se agruparmos o primeiro, o segundo e o quarto fatores, obteremos a expressão (2 3 5) 4.

Os termos e fatores agrupados podem ser representados por números simples ou por expressões. As regras de agrupamento foram discutidas detalhadamente no tópico “Aditivos e Fatores de Agrupamento”.

Substituindo diferenças por somas, produtos parciais e vice-versa

Substituir diferenças por somas tornou-se possível graças à nossa familiaridade com números opostos. Agora subtraindo de um número a números b pode ser considerado como uma adição a um número a números −b. Igualdade uma - b = uma + (- b) pode ser considerado justo e, com base nisso, substituir as diferenças por somas.

Exemplo 13

Vamos pegar a expressão 4 + 3 − 2 , em que a diferença de números 3 − 2 podemos escrevê-lo como a soma 3 + (− 2) . Nós temos 4 + 3 + (− 2) .

Exemplo 14

Todas as diferenças de expressão 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 pode ser substituído por somas como 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Podemos proceder às somas de quaisquer diferenças. Podemos fazer a substituição inversa da mesma maneira.

Substituir a divisão pela multiplicação pelo inverso do divisor torna-se possível graças ao conceito de números recíprocos. Esta transformação pode ser escrita como uma: b = uma (b - 1).

Esta regra foi a base para a regra de divisão de frações ordinárias.

Exemplo 15

Privado 1 2: 3 5 pode ser substituído por um produto da forma 1 2 5 3.

Da mesma forma, por analogia, a divisão pode ser substituída pela multiplicação.

Exemplo 16

No caso da expressão 1 + 5: x: (x + 3) substitua a divisão por x pode ser multiplicado por 1 x. Divisão por x+3 podemos substituir multiplicando por 1 x + 3. A transformação permite-nos obter uma expressão idêntica à original: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

A substituição da multiplicação pela divisão é realizada de acordo com o esquema uma · b = uma: (b - 1).

Exemplo 17

Na expressão 5 x x 2 + 1 - 3, a multiplicação pode ser substituída pela divisão como 5: x 2 + 1 x - 3.

Fazendo coisas com números

A realização de operações com números está sujeita à regra da ordem em que as ações são executadas. Primeiro, as operações são realizadas com potências de números e raízes de números. Depois disso, substituímos logaritmos, funções trigonométricas e outras funções por seus valores. Em seguida, as ações entre parênteses são executadas. E então você pode realizar todas as outras ações da esquerda para a direita. É importante lembrar que a multiplicação e a divisão vêm antes da adição e da subtração.

As operações com números permitem transformar a expressão original em uma idêntica e igual a ela.

Exemplo 18

Vamos transformar a expressão 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x realizando todas as operações possíveis com números.

Solução

Em primeiro lugar, vamos prestar atenção ao grau 2 3 e raiz 4 e calcule seus valores: 2 3 = 8 e 4 = 2 2 = 2 .

Vamos substituir os valores obtidos na expressão original e obter: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Agora vamos seguir os passos entre colchetes: 8 − 1 = 7 . E vamos passar para a expressão 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Tudo o que precisamos fazer é multiplicar os números 3 E 7 . Obtemos: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Responder: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

As operações com números podem ser precedidas por outros tipos de transformações de identidade, como agrupamento de números ou abertura de parênteses.

Exemplo 19

Vamos pegar a expressão 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Solução

Em primeiro lugar, substituiremos o quociente entre parênteses 6: 3 sobre o seu significado 2 . Obtemos: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

Vamos expandir os colchetes: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Vamos agrupar os fatores numéricos do produto, bem como os termos que são números: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Vamos seguir os passos entre parênteses: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Responder:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Se trabalharmos com expressões numéricas, então o objetivo do nosso trabalho será encontrar o valor da expressão. Se transformarmos expressões em variáveis, o objetivo de nossas ações será simplificar a expressão.

Colocando entre colchetes o fator comum

Nos casos em que os termos da expressão possuem o mesmo fator, podemos retirar esse fator comum dos colchetes. Para fazer isso, primeiro precisamos representar a expressão original como o produto de um fator comum e uma expressão entre parênteses, que consiste nos termos originais sem um fator comum.

Exemplo 20

Numericamente 2 7 + 2 3 podemos tirar o fator comum 2 fora dos colchetes e obtenha uma expressão identicamente correta da forma 2 (7 + 3).

Você pode refrescar sua memória sobre as regras para colocar o fator comum entre colchetes na seção correspondente de nosso recurso. O material discute detalhadamente as regras para retirar o fator comum dos colchetes e fornece vários exemplos.

Reduzindo termos semelhantes

Agora vamos passar para as somas que contêm termos semelhantes. Existem duas opções aqui: somas contendo termos idênticos e somas cujos termos diferem por um coeficiente numérico. As operações com somas contendo termos semelhantes são chamadas de redução de termos semelhantes. É feito da seguinte forma: retiramos a parte da letra comum dos colchetes e calculamos a soma dos coeficientes numéricos entre colchetes.

Exemplo 21

Considere a expressão 1 + 4 x - 2 x. Podemos tirar a parte literal x dos colchetes e obter a expressão 1 + x (4 − 2). Vamos calcular o valor da expressão entre colchetes e obter uma soma na forma 1 + x · 2.

Substituindo números e expressões por expressões idênticas

Os números e expressões que compõem a expressão original podem ser substituídos por expressões idênticas. Tal transformação da expressão original leva a uma expressão que é identicamente igual a ela.

Exemplo 22 Exemplo 23

Considere a expressão 1 + um 5, em que podemos substituir o grau a 5 por um produto identicamente igual a ele, por exemplo, da forma uma · uma 4. Isso nos dará a expressão 1 + uma · uma 4.

A transformação realizada é artificial. Só faz sentido na preparação para outras mudanças.

Exemplo 24

Considere a transformação da soma 4x3 + 2x2. Aqui o termo 4x3 podemos imaginar como uma obra 2x2 2x. Como resultado, a expressão original assume a forma 2 x 2 2 x + 2 x 2. Agora podemos isolar o fator comum 2x2 e coloque-o fora dos colchetes: 2 x 2 (2 x + 1).

Adicionando e subtraindo o mesmo número

Adicionar e subtrair o mesmo número ou expressão ao mesmo tempo é uma técnica artificial para transformar expressões.

Exemplo 25

Considere a expressão x 2 + 2 x. Podemos adicionar ou subtrair um dele, o que nos permitirá posteriormente realizar outra transformação idêntica - isolar o quadrado do binômio: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

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