Função par ímpar y 2x. Funções pares e ímpares

Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado neste trabalho, faça o download da versão completa.

Metas:

formar o conceito de funções pares e ímpares, ensinar a habilidade de determinar e usar essas propriedades no estudo de funções, plotagem;
desenvolver a atividade criativa dos alunos, o pensamento lógico, a capacidade de comparar, generalizar;
cultivar diligência, cultura matemática; desenvolver habilidades de comunicação .

Equipamento: instalação multimídia, lousa interativa, apostilas.

Formas de trabalho: frontal e grupo com elementos de busca e atividades de pesquisa.

Fontes de informação:

1. Aula de álgebra 9 A.G. Mordkovich. Livro didático.
2. Álgebra Grau 9 A.G. Mordkovich. Livro de tarefas.
3. Álgebra 9ª série. Tarefas para aprendizagem e desenvolvimento dos alunos. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE AS AULAS

1. Momento organizacional

Definição de metas e objetivos da aula.

2. Verificando o dever de casa

nº 10.17 (Livro de problemas da 9ª série A.G. Mordkovich).

a) no = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 para x ~ 0,4
4. f(x) >0 em x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. A função aumenta com x € [– 2; + ∞)
6. A função é limitada por baixo.
7. no contratar = - 3, no naib não existe
8. A função é contínua.

(Você usou o algoritmo de exploração de recursos?) Deslizar.

2. Vamos verificar a tabela que lhe foi perguntada no slide.

Preencha a tabela
	Domínio	zeros de função	Intervalos de constância		Coordenadas dos pontos de interseção do gráfico com Oy
	Domínio	zeros de função			Coordenadas dos pontos de interseção do gráfico com Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. atualização de conhecimento

– Funções são dadas.
– Especifique o domínio de definição para cada função.
– Compare o valor de cada função para cada par de valores de argumento: 1 e – 1; 2 e - 2.
– Para qual das funções dadas no domínio de definição são as igualdades f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (coloque os dados na tabela) Deslizar

		f(1) e f(– 1)	f(2) e f(– 2)	gráficos	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = \| x \|
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		e não definido.

4. Novo material

- Ao fazer este trabalho, pessoal, revelamos mais uma propriedade da função, desconhecida para vocês, mas não menos importante que as outras - esta é a uniformidade e estranheza da função. Anote o tema da lição: “Funções pares e ímpares”, nossa tarefa é aprender a determinar as funções pares e ímpares, descobrir o significado dessa propriedade no estudo de funções e plotagem.
Então, vamos encontrar as definições no livro didático e ler (p. 110) . Deslizar

Def. 1 Função no = f (x) definido no conjunto X é chamado até, se para qualquer valor xЄ X em andamento igualdade f (–x) = f (x). Dar exemplos.

Def. 2 Função y = f(x), definido no conjunto X é chamado ímpar, se para qualquer valor xЄ X a igualdade f(–х)= –f(х) é satisfeita. Dar exemplos.

Onde encontramos os termos "par" e "ímpar"?
Qual dessas funções será par, você acha? Por quê? Quais são estranhos? Por quê?
Para qualquer função da forma no= xn, Onde né um número inteiro, pode-se argumentar que a função é ímpar para né ímpar e a função é par para n- até.
- Ver funções no= e no = 2x– 3 não é par nem ímpar, porque igualdades não são satisfeitas f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

O estudo da questão de saber se uma função é par ou ímpar é chamado de estudo de uma função para paridade. Deslizar

As definições 1 e 2 trataram dos valores da função em x e - x, portanto, assume-se que a função também está definida no valor x, e em - x.

AOD 3. Se um conjunto de números com cada um de seus elementos x contiver o elemento oposto x, então o conjunto xé chamado de conjunto simétrico.

Exemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) são conjuntos simétricos, e , [–5;4] são assimétricos.

- As funções pares têm um domínio de definição - um conjunto simétrico? Os estranhos?
- Se D( f) é um conjunto assimétrico, então qual é a função?
– Assim, se a função no = f(x) é par ou ímpar, então seu domínio de definição é D( f) é um conjunto simétrico. Mas o inverso é verdadeiro, se o domínio de uma função é um conjunto simétrico, então é par ou ímpar?
- Portanto, a presença de um conjunto simétrico do domínio de definição é uma condição necessária, mas não suficiente.
– Então, como podemos investigar a função de paridade? Vamos tentar escrever um algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para examinar uma função de paridade

1. Determine se o domínio da função é simétrico. Caso contrário, a função não é nem par nem ímpar. Se sim, vá para a etapa 2 do algoritmo.

2. Escreva uma expressão para f(–x).

3. Compare f(–x).e f(x):

E se f(–x).= f(x), então a função é par;
E se f(–x).= – f(x), então a função é ímpar;
E se f(–x) ≠ f(x) e f(–x) ≠ –f(x), então a função não é nem par nem ímpar.

Exemplos:

Investigue a função de paridade a) no= x 5 +; b) no= ; dentro) no= .

Solução.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e função h(x)= x 5 + ímpar.

b) y =,

no = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), conjunto assimétrico, então a função não é nem par nem ímpar.

dentro) f(x) = , y = f(x),

1)D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opção 2

1. O conjunto dado é simétrico: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

uma); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examine a função para paridade:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. Na fig. traçado no = f(x), para todos x, satisfazendo a condição x? 0.
Plotar a função no = f(x), E se no = f(x) é uma função par.

3. Na fig. traçado no = f(x), para todo x satisfazendo x? 0.
Plotar a função no = f(x), E se no = f(x) é uma função ímpar.

Verificação mútua deslizar.

6. Trabalho de casa: №11.11, 11.21,11.22;

Prova do significado geométrico da propriedade de paridade.

*** (Atribuição da opção USE).

1. A função ímpar y \u003d f (x) é definida em toda a linha real. Para qualquer valor não negativo da variável x, o valor desta função coincide com o valor da função g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Encontre o valor da função h( x) = em x = 3.

7. Resumindo

. Para fazer isso, use papel milimetrado ou uma calculadora gráfica. Selecione qualquer número de valores numéricos para a variável independente x (\displaystyle x) e plugá-los na função para calcular os valores da variável dependente y (\displaystyle y). Coloque as coordenadas encontradas dos pontos no plano de coordenadas e, em seguida, conecte esses pontos para construir um gráfico da função.

Substitua valores numéricos positivos na função x (\displaystyle x) e valores numéricos negativos correspondentes. Por exemplo, dada uma função f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Substitua os seguintes valores nele x (\displaystyle x):

Verifique se o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y. Simetria refere-se à imagem espelhada do gráfico sobre o eixo y. Se a parte do gráfico à direita do eixo y (valores positivos da variável independente) corresponder à parte do gráfico à esquerda do eixo y (valores negativos da variável independente), o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Se a função é simétrica em relação ao eixo y, a função é par.

Verifique se o gráfico da função é simétrico em relação à origem. A origem é o ponto com coordenadas (0,0). Simetria sobre a origem significa que um valor positivo y (\displaystyle y)(com valor positivo x (\displaystyle x)) corresponde a um valor negativo y (\displaystyle y)(com valor negativo x (\displaystyle x)), e vice versa. As funções ímpares têm simetria em relação à origem.

Verifique se o gráfico da função tem alguma simetria. O último tipo de função é uma função cujo gráfico não possui simetria, ou seja, não há imagem especular tanto em relação ao eixo y quanto em relação à origem. Por exemplo, dada uma função.

Substitua vários valores positivos e negativos correspondentes na função x (\displaystyle x):
De acordo com os resultados obtidos, não há simetria. valores y (\displaystyle y) para valores opostos x (\displaystyle x) não combinam e não são opostos. Assim, a função não é nem par nem ímpar.
Observe que a função f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) pode ser escrito assim: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Escrita dessa forma, a função parece ser par porque há um expoente par. Mas este exemplo prova que a forma de uma função não pode ser determinada rapidamente se a variável independente estiver entre parênteses. Nesse caso, você precisa abrir os colchetes e analisar os expoentes resultantes.

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Formas de definir uma função

Seja a função dada pela fórmula: y=2x^(2)-3 . Ao atribuir qualquer valor à variável independente x , você pode usar esta fórmula para calcular os valores correspondentes da variável dependente y . Por exemplo, se x=-0,5 , usando a fórmula, obtemos que o valor correspondente de y é y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Dado qualquer valor obtido pelo argumento x na fórmula y=2x^(2)-3 , apenas um valor de função pode ser calculado que corresponda a ele. A função pode ser representada como uma tabela:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Usando esta tabela, você pode descobrir que, para o valor do argumento -1, o valor da função -3 corresponderá; e o valor x=2 corresponderá a y=0, e assim por diante. Também é importante saber que cada valor de argumento na tabela corresponde a apenas um valor de função.

Mais funções podem ser definidas usando gráficos. Com a ajuda do gráfico, é estabelecido qual valor da função se correlaciona com um determinado valor de x. Na maioria das vezes, esse será um valor aproximado da função.

Função par e ímpar

A função é função par, quando f(-x)=f(x) para qualquer x do domínio. Tal função será simétrica em relação ao eixo Oy.

A função é Função estranha quando f(-x)=-f(x) para qualquer x no domínio. Tal função será simétrica em relação à origem O (0;0) .

A função é nem mesmo, nem estranho e ligou função geral quando não tem simetria em relação ao eixo ou origem.

Examinamos a seguinte função para paridade:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) com um domínio simétrico de definição sobre a origem. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Portanto, a função f(x)=3x^(3)-7x^(7) é ímpar.

função periódica

A função y=f(x) , no domínio da qual f(x+T)=f(x-T)=f(x) é verdadeira para qualquer x, é chamada função periódica com período T \neq 0 .

Repetição do gráfico da função em qualquer segmento do eixo das abcissas, que tem comprimento T .

Intervalos onde a função é positiva, ou seja, f(x) > 0 - segmentos do eixo das abcissas, que correspondem aos pontos do gráfico da função que ficam acima do eixo das abcissas.

f(x) > 0 ligado (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Lacunas onde a função é negativa, ou seja, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Limitação de funções

limitado por baixoé comum chamar uma função y=f(x), x \in X quando existe um número A para o qual a desigualdade f(x) \geq A vale para qualquer x \in X .

Um exemplo de uma função limitada abaixo: y=\sqrt(1+x^(2)) desde y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 for any x .

limitado de cima uma função y=f(x), x \in X é chamada se existe um número B para o qual a desigualdade f(x) \neq B vale para qualquer x \in X .

Um exemplo de uma função limitada abaixo: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] desde y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 para qualquer x \in [-1;1] .

Limitado costuma-se chamar uma função y=f(x), x \in X quando existe um número K > 0 para o qual a desigualdade \left | f(x) \direita | \neq K para qualquer x \in X .

Exemplo de uma função limitada: y=\sin x é limitado em toda a reta numérica porque \esquerda | \sin x \right | \neq 1.

Função crescente e decrescente

Costuma-se falar de uma função que cresce no intervalo considerado como função crescente quando um valor maior de x corresponderá a um valor maior da função y=f(x) . A partir daqui verifica-se que tomando do intervalo considerado dois valores arbitrários do argumento x_(1) e x_(2) , e x_(1) > x_(2) , será y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Uma função que decresce no intervalo considerado é chamada função decrescente quando um valor maior de x corresponderá a um valor menor da função y(x) . A partir daqui verifica-se que tomando do intervalo considerado dois valores arbitrários do argumento x_(1) e x_(2) , e x_(1) > x_(2) , será y(x_(1))< y(x_{2}) .

Raízes de função costuma-se nomear os pontos nos quais a função F=y(x) intercepta o eixo das abcissas (eles são obtidos como resultado da resolução da equação y(x)=0 ).

a) Se uma função par aumenta para x > 0, então ela diminui para x< 0

b) Quando uma função par diminui para x > 0, ela aumenta para x< 0

c) Quando uma função ímpar aumenta para x > 0, ela também aumenta para x< 0

d) Quando uma função ímpar diminui para x > 0, ela também diminuirá para x< 0

Extremos de funções

Função ponto mínimo y=f(x) costuma-se chamar tal ponto de x=x_(0) , em que sua vizinhança terá outros pontos (exceto o ponto x=x_(0) ), e para eles então a desigualdade f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - designação da função no ponto min.

Função ponto máximo y=f(x) costuma-se chamar tal ponto de x=x_(0) , em que sua vizinhança terá outros pontos (exceto o ponto x=x_(0) ), e então a desigualdade f(x) ficará satisfeito por eles< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condição necessaria

De acordo com o teorema de Fermat: f"(x)=0, então quando a função f(x) , que é diferenciável no ponto x_(0) , um extremo aparecerá neste ponto.

Condição suficiente

Quando o sinal da derivada muda de mais para menos, então x_(0) será o ponto mínimo;
x_(0) - será um ponto máximo somente quando a derivada mudar de sinal de menos para mais ao passar pelo ponto estacionário x_(0) .

O maior e o menor valor da função no intervalo

Etapas de cálculo:

Procurando a derivada f"(x);
Encontram-se os pontos estacionários e críticos da função e escolhem-se aqueles pertencentes ao intervalo;
Os valores da função f(x) são encontrados nos pontos estacionários e críticos e nas extremidades do segmento. O menor dos resultados será o menor valor da função, e mais - o melhor.

A dependência da variável y em relação à variável x, na qual cada valor de x corresponde a um único valor de y, é chamada de função. A notação é y=f(x). Cada função tem uma série de propriedades básicas, como monotonicidade, paridade, periodicidade e outras.

Considere a propriedade de paridade com mais detalhes.

Uma função y=f(x) é chamada mesmo que satisfaça as duas condições a seguir:

2. O valor da função no ponto x pertencente ao escopo da função deve ser igual ao valor da função no ponto -x. Ou seja, para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d f (-x) deve ser verdadeira.

Gráfico de uma função par

Se você construir um gráfico de uma função par, ele será simétrico em relação ao eixo y.

Por exemplo, a função y=x^2 é par. Vamos dar uma olhada. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Tome um x=3 arbitrário. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Portanto, f(x) = f(-x). Assim, ambas as condições são satisfeitas para nós, o que significa que a função é par. Abaixo está um gráfico da função y=x^2.

A figura mostra que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Gráfico de uma função ímpar

Uma função y=f(x) é chamada ímpar se satisfizer as duas condições a seguir:

1. O domínio da função dada deve ser simétrico em relação ao ponto O. Isto é, se algum ponto a pertence ao domínio da função, então o ponto correspondente -a também deve pertencer ao domínio da função dada.

2. Para qualquer ponto x, do domínio da função, a seguinte igualdade f (x) \u003d -f (x) deve ser satisfeita.

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação ao ponto O - a origem. Por exemplo, a função y=x^3 é ímpar. Vamos dar uma olhada. O domínio de definição é todo o eixo numérico, o que significa que é simétrico em relação ao ponto O.

Tome um x=2 arbitrário. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Portanto f(x) = -f(x). Assim, ambas as condições são satisfeitas para nós, o que significa que a função é ímpar. Abaixo está um gráfico da função y=x^3.

A figura mostra claramente que a função ímpar y=x^3 é simétrica em relação à origem.

- (Matemática) Uma função y \u003d f (x) é chamada mesmo que não mude quando a variável independente apenas muda de sinal, ou seja, se f (x) \u003d f (x). Se f(x) = f(x), então a função f(x) é chamada ímpar. Por exemplo, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x é um exemplo de função ímpar. f(x) = x2 é um exemplo de função par. f(x) = x3 ... Wikipédia

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