a, em direção à base do PP;
com sua altura.
- o que precisamos saber, quais dados temos?
- Quais são as propriedades de um paralelepípedo retangular?
- O Teorema de Pitágoras se aplica aqui? Como?
- Existem dados suficientes para aplicar o teorema de Pitágoras ou precisamos de mais alguns cálculos?
Quadrado diagonal, de um paralelepípedo quadrado (veja as propriedades de um paralelepípedo quadrado) é igual à soma dos quadrados de seus três lados diferentes (largura, altura, espessura) e, portanto, a diagonal de um paralelepípedo quadrado é igual à raiz desta soma.
Lembro-me do currículo escolar de geometria, pode-se dizer o seguinte: a diagonal de um paralelepípedo é igual à raiz quadrada obtida da soma de seus três lados (eles são indicados por letras minúsculas a, b, c).
O comprimento da diagonal de um prisma retangular é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de seus lados.
Tanto quanto sei do currículo escolar, turma 9, se não me engano, e se não me falha a memória, então a diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos seus três lados.
o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados da largura, altura e comprimento, com base nesta fórmula obtemos a resposta, a diagonal é igual à raiz quadrada da soma de suas três dimensões diferentes, denotam por letras nсz abc
Um paralelepípedo retangular (PP) nada mais é do que um prisma, cuja base é um retângulo. Em PP, todas as diagonais são iguais, o que significa que qualquer uma de suas diagonais é calculada pela fórmula:
Outra definição pode ser dada, considerando o sistema de coordenadas retangulares cartesianas:
A diagonal PP é o vetor raio de qualquer ponto no espaço dado pelas coordenadas x, yez no sistema de coordenadas cartesianas. Este vetor de raio para o ponto é desenhado a partir da origem. E as coordenadas do ponto serão as projeções do vetor raio (diagonal PP) nos eixos coordenados. As projeções coincidem com os vértices do paralelepípedo dado.
Um paralelepípedo é um tipo de poliedro que consiste em 6 faces, na base das quais há um retângulo. Uma diagonal é um segmento de linha que conecta vértices opostos de um paralelogramo.
A fórmula para encontrar o comprimento de uma diagonal é que o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados das três dimensões do paralelogramo.
Encontrei uma boa tabela de esquemas na Internet com uma listagem completa de tudo que está no paralelepípedo. Existe uma fórmula para encontrar a diagonal que é denotada por d.
Há uma imagem de um rosto, um vértice e outras coisas importantes para a caixa.
Se o comprimento, a altura e a largura (a,b,c) de um paralelepípedo forem conhecidos, a fórmula para calcular a diagonal ficará assim:
Normalmente os professores não oferecem aos seus alunos nus fórmula, mas faça esforços para que eles possam derivá-la independentemente, fazendo perguntas orientadoras:
Normalmente, depois de responder às perguntas feitas, os alunos facilmente derivam essa fórmula por conta própria.
As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais. Assim como as diagonais de suas faces opostas. O comprimento da diagonal pode ser calculado conhecendo o comprimento das arestas do paralelogramo que emanam de um vértice. Este comprimento é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos comprimentos de suas costelas.
Um paralelepípedo é um dos chamados poliedros, que consiste em 6 faces, cada uma das quais é um retângulo. Uma diagonal é um segmento de linha que conecta vértices opostos de um paralelogramo. Se o comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular forem tomados como a, b, c respectivamente, então a fórmula para sua diagonal (D) ficará assim: D^2=a^2+b^2+c^2 .
Diagonal de um cuboideé um segmento de linha conectando seus vértices opostos. Então nós temos cubóide com diagonal d e lados a, b, c. Uma das propriedades de um paralelepípedo é que um quadrado comprimento diagonal d é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões a, b, c. Daí a conclusão de que comprimento diagonal pode ser facilmente calculado usando a seguinte fórmula:
Também:
Como encontrar a altura de um paralelepípedo?
Instrução
Método 2 Vamos supor que o paralelepípedo é um cubo. Um cubo é um paralelepípedo retangular com cada face representada por um quadrado. Portanto, todos os seus lados são iguais. Então, para calcular o comprimento de sua diagonal, ele será expresso da seguinte forma:
Fontes:
- fórmula da diagonal do retângulo
Um paralelepípedo é um caso especial de um prisma em que todas as seis faces são paralelogramos ou retângulos. Um paralelepípedo com faces retangulares também é chamado de retangular. Um paralelepípedo tem quatro diagonais que se cruzam. Se forem dadas três arestas a, b, c, você pode encontrar todas as diagonais de um paralelepípedo retangular realizando construções adicionais.
Instrução
Encontre a diagonal do paralelepípedo m. Para fazer isso, em a, n, m, encontre a hipotenusa desconhecida: m² = n² + a². Insira os valores conhecidos e calcule a raiz quadrada. O resultado obtido será a primeira diagonal do paralelepípedo m.
Da mesma forma, desenhe sucessivamente todas as outras três diagonais do paralelepípedo. Além disso, para cada um deles, execute a construção adicional das diagonais das faces adjacentes. Considerando os triângulos retângulos formados e aplicando o teorema de Pitágoras, encontre os valores das diagonais restantes.
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Fontes:
- encontrar um paralelepípedo
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. As pernas são os lados de um triângulo adjacente a um ângulo reto. Com relação aos triângulos ABC e ACD: AB e BC, AD e DC–, AC é a hipotenusa comum para ambos os triângulos (a diagonal). Portanto, AC = AB quadrado + BC quadrado, ou AC B = AD quadrado + DC quadrado. Conecte os comprimentos dos lados retângulo na fórmula acima e calcule o comprimento da hipotenusa (diagonal retângulo).
Por exemplo, os lados retângulo ABCD são iguais aos seguintes valores: AB = 5 cm e BC = 7 cm. O quadrado da diagonal AC de um dado retângulo de acordo com o teorema de Pitágoras: AC ao quadrado \u003d AB quadrado + BC quadrado \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 cm quadrados. Use uma calculadora para calcular a raiz quadrada de 74. Você deve terminar com 8,6 cm (arredondado). Lembre-se de que uma das propriedades retângulo, suas diagonais são iguais. Então o comprimento da segunda diagonal BD retângulo ABCD é igual ao comprimento da diagonal AC. Para o exemplo acima, este valor
Na geometria, distinguem-se os seguintes tipos de paralelepípedos: paralelepípedo retangular (os retângulos atuam como as faces do paralelepípedo); um paralelepípedo reto (suas faces laterais funcionam como retângulos); paralelepípedo inclinado (suas faces laterais atuam como perpendiculares); o cubo é um paralelepípedo com exatamente as mesmas dimensões, e as faces do cubo são quadrados. Os paralelepípedos podem ser oblíquos ou retos.
Os elementos básicos de um paralelepípedo são que duas faces de uma dada figura geométrica que não têm uma aresta comum são opostas e as que têm são adjacentes. Os vértices da caixa que não pertencem à mesma face são opostos entre si. O paralelepípedo tem uma dimensão - são três arestas que têm um vértice comum.
Um segmento de linha que conecta vértices opostos é chamado de diagonal. As quatro diagonais do paralelepípedo, que se cruzam em um ponto, são simultaneamente divididas ao meio.
Para determinar a diagonal de um paralelepípedo, é necessário determinar os lados e as arestas, que são conhecidos a partir da condição do problema. Com três arestas conhecidas MAS , NO , A PARTIR DE desenhe uma diagonal no paralelepípedo. De acordo com a propriedade de um paralelepípedo, que diz que todos os seus ângulos são retos, uma diagonal é determinada. Construa uma diagonal a partir de uma das faces do paralelepípedo. As diagonais devem ser desenhadas de tal forma que a diagonal da face, a diagonal desejada do paralelepípedo e a aresta conhecida, criem um triângulo. Após a formação do triângulo, encontre o comprimento dessa diagonal. A diagonal em outro triângulo resultante atua como uma hipotenusa, de modo que pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, que deve ser obtido sob a raiz quadrada. Assim, aprendemos o valor da segunda diagonal. Para encontrar a primeira diagonal do paralelepípedo no triângulo retângulo formado, também é necessário encontrar a hipotenusa desconhecida (por trás do teorema de Pitágoras). Usando o mesmo exemplo, encontre sucessivamente as três diagonais restantes existentes no paralelepípedo realizando construções adicionais de diagonais que formam triângulos retângulos e resolva usando o teorema de Pitágoras.
Um paralelepípedo retangular (PP) nada mais é do que um prisma, cuja base é um retângulo. Em PP, todas as diagonais são iguais, o que significa que qualquer uma de suas diagonais é calculada pela fórmula:
a, c - lados da base de PP;
c é a sua altura.
Outra definição pode ser dada, considerando o sistema de coordenadas retangulares cartesianas:
A diagonal PP é o vetor raio de qualquer ponto no espaço dado pelas coordenadas x, yez no sistema de coordenadas cartesianas. Este vetor de raio para o ponto é desenhado a partir da origem. E as coordenadas do ponto serão as projeções do vetor raio (diagonal PP) nos eixos coordenados. As projeções coincidem com os vértices do paralelepípedo dado.
Paralelepípedo e seus tipos
Se traduzirmos literalmente seu nome do grego antigo, verifica-se que esta é uma figura que consiste em planos paralelos. Existem definições equivalentes de um paralelepípedo:
- um prisma com uma base na forma de um paralelogramo;
- poliedro, cada face do qual é um paralelogramo.
Seus tipos são diferenciados dependendo de qual figura está em sua base e como as nervuras laterais são direcionadas. Em geral, fala-se de paralelepípedo oblíquo cuja base e todas as faces são paralelogramos. Se as faces laterais da vista anterior se tornarem retângulos, ela já precisará ser chamada direto. E em retangular e a base também tem ângulos de 90º.
Além disso, na geometria eles tentam representar o último de tal maneira que é perceptível que todas as arestas são paralelas. Aqui, aliás, observa-se a principal diferença entre matemáticos e artistas. É importante que este último transmita o corpo em conformidade com a lei da perspectiva. E neste caso, o paralelismo das arestas é completamente invisível.
Sobre a notação introduzida
Nas fórmulas abaixo, as designações indicadas na tabela são válidas.
Fórmulas para uma caixa oblíqua
O primeiro e o segundo para as áreas:
O terceiro é para calcular o volume da caixa:
Como a base é um paralelogramo, para calcular sua área, você precisará usar as expressões apropriadas.
Fórmulas para um cuboide
Da mesma forma que o primeiro parágrafo - duas fórmulas para áreas:
E mais um para volume:
Primeira tarefa
Doença. Dado um paralelepípedo retangular cujo volume deve ser encontrado. A diagonal é conhecida - 18 cm - e o fato de formar ângulos de 30 e 45 graus com o plano da face lateral e da aresta lateral, respectivamente.
Solução. Para responder à pergunta do problema, você precisa descobrir todos os lados em três triângulos retângulos. Eles fornecerão os valores de borda necessários para os quais você precisa calcular o volume.
Primeiro você precisa descobrir onde está o ângulo de 30º. Para fazer isso, você precisa desenhar uma diagonal da face lateral do mesmo vértice do qual a diagonal principal do paralelogramo foi desenhada. O ângulo entre eles será o que você precisa.
O primeiro triângulo, que dará um dos lados da base, será o seguinte. Ele contém o lado desejado e duas diagonais desenhadas. É retangular. Agora você precisa usar a razão entre a perna oposta (lado da base) e a hipotenusa (diagonal). É igual ao seno de 30º. Ou seja, o lado desconhecido da base será determinado como a diagonal multiplicada pelo seno de 30º ou ½. Que seja marcado com a letra "a".
O segundo será um triângulo contendo uma diagonal conhecida e uma aresta com a qual forma 45º. Também é retangular, e você pode usar novamente a razão entre o cateto e a hipotenusa. Em outras palavras, a borda lateral para a diagonal. É igual ao cosseno de 45º. Ou seja, "c" é calculado como o produto da diagonal pelo cosseno de 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
No mesmo triângulo, você precisa encontrar outra perna. Isso é necessário para calcular a terceira incógnita - "in". Que seja marcado com a letra "x". É fácil calcular usando o teorema de Pitágoras:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).
Agora precisamos considerar outro triângulo retângulo. Ele contém os lados já conhecidos "c", "x" e o que precisa ser contado, "c":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).
Todas as três quantidades são conhecidas. Você pode usar a fórmula para o volume e calculá-lo:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).
Responda: o volume do paralelepípedo é 729√2 cm 3 .
Segunda tarefa
Doença. Encontre o volume do paralelepípedo. Conhece os lados do paralelogramo que se encontra na base, 3 e 6 cm, bem como o seu ângulo agudo - 45º. A nervura lateral tem uma inclinação para a base de 30º e é igual a 4 cm.
Solução. Para responder à pergunta do problema, você precisa pegar a fórmula que foi escrita para o volume de um paralelepípedo inclinado. Mas ambas as quantidades são desconhecidas nele.
A área da base, ou seja, o paralelogramo, será determinada pela fórmula na qual você precisa multiplicar os lados conhecidos e o seno do ângulo agudo entre eles.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).
A segunda incógnita é a altura. Ele pode ser desenhado a partir de qualquer um dos quatro vértices acima da base. Ele pode ser encontrado a partir de um triângulo retângulo, no qual a altura é a perna e a aresta lateral é a hipotenusa. Neste caso, um ângulo de 30º encontra-se oposto à altura desconhecida. Então, você pode usar a razão da perna para a hipotenusa.
n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.
Agora todos os valores são conhecidos e você pode calcular o volume:
V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).
Responda: o volume é 18 √2 cm3.
Terceira tarefa
Doença. Encontre o volume do paralelepípedo se ele for uma linha reta. Os lados de sua base formam um paralelogramo e são iguais a 2 e 3 cm, o ângulo agudo entre eles é de 60º. A diagonal menor do paralelepípedo é igual à diagonal maior da base.
Solução. Para descobrir o volume de um paralelepípedo, usamos a fórmula com a área da base e a altura. Ambas as quantidades são desconhecidas, mas são fáceis de calcular. A primeira é a altura.
Como a diagonal menor do paralelepípedo é do mesmo tamanho que a base maior, elas podem ser denotadas pela mesma letra d. O maior ângulo de um paralelogramo é 120º, pois forma 180º com um agudo. Seja a segunda diagonal da base denotada pela letra "x". Agora, para as duas diagonais da base, podemos escrever os teoremas dos cossenos:
d 2 \u003d a 2 + em 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + em 2 - 2av cos 60º.
Encontrar valores sem quadrados não faz sentido, pois assim eles serão elevados à segunda potência novamente. Depois de substituir os dados, fica:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + em 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Agora a altura, que também é a borda lateral do paralelepípedo, será a perna do triângulo. A hipotenusa será a diagonal conhecida do corpo e a segunda perna será "x". Você pode escrever o Teorema de Pitágoras:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Assim: n = √12 = 2√3 (cm).
Agora a segunda incógnita é a área da base. Ele pode ser calculado usando a fórmula mencionada no segundo problema.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).
Combinando tudo em uma fórmula de volume, obtemos:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Resposta: V \u003d 18 cm 3.
A quarta tarefa
Doença. É necessário descobrir o volume de um paralelepípedo que atenda às seguintes condições: a base é um quadrado de lado 5 cm; faces laterais são losangos; um dos vértices acima da base é equidistante de todos os vértices situados na base.
Solução. Primeiro você precisa lidar com a condição. Não há perguntas com o primeiro parágrafo sobre o quadrado. A segunda, sobre losangos, deixa claro que o paralelepípedo é inclinado. Além disso, todas as suas arestas são iguais a 5 cm, pois os lados do losango são os mesmos. E do terceiro fica claro que as três diagonais desenhadas dele são iguais. São dois que ficam nas faces laterais, e o último fica dentro do paralelepípedo. E essas diagonais são iguais à aresta, ou seja, também têm 5 cm de comprimento.
Para determinar o volume, você precisará de uma fórmula escrita para um paralelepípedo inclinado. Novamente, não há quantidades conhecidas nele. No entanto, a área da base é fácil de calcular porque é um quadrado.
S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Um pouco mais difícil é o caso da altura. Será assim em três figuras: um paralelepípedo, uma pirâmide quadrangular e um triângulo isósceles. A última circunstância deve ser usada.
Como é uma altura, é um cateto de um triângulo retângulo. A hipotenusa nela será uma aresta conhecida, e a segunda perna é igual à metade da diagonal do quadrado (a altura também é a mediana). E a diagonal da base é fácil de encontrar:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).
Responda: 62,5 √2 (cm 3).
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Definição
poliedro chamaremos uma superfície fechada composta de polígonos e delimitando alguma parte do espaço.
Os segmentos que são os lados desses polígonos são chamados costelas poliedro, e os próprios polígonos - rostos. Os vértices dos polígonos são chamados de vértices do poliedro.
Consideraremos apenas poliedros convexos (este é um poliedro que está em um lado de cada plano que contém sua face).
Os polígonos que compõem um poliedro formam sua superfície. A parte do espaço limitada por um dado poliedro é chamada de seu interior.
Definição: prisma
Considere dois polígonos iguais \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) localizados em planos paralelos para que os segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) são paralelos. Poliedro formado pelos polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , além de paralelogramos \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), é chamado (\(n\)-carvão) prisma.
Os polígonos \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) são chamados de bases do prisma, paralelogramo \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faces laterais, segmentos \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- costelas laterais.
Assim, as arestas laterais do prisma são paralelas e iguais entre si.
Considere um exemplo - um prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), cuja base é um pentágono convexo.
Altura Um prisma é uma perpendicular de qualquer ponto de uma base ao plano de outra base.
Se as arestas laterais não são perpendiculares à base, esse prisma é chamado oblíquo(Fig. 1), caso contrário - direto. Para um prisma reto, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos iguais.
Se um polígono regular está na base de um prisma reto, então o prisma é chamado correto.
Definição: conceito de volume
A unidade de volume é um cubo unitário (cubo com dimensões \(1\times1\times1\) units\(^3\) , onde unidade é alguma unidade de medida).
Podemos dizer que o volume de um poliedro é a quantidade de espaço que esse poliedro limita. Caso contrário: é um valor cujo valor numérico indica quantas vezes um cubo unitário e suas partes cabem em um determinado poliedro.
O volume tem as mesmas propriedades que a área:
1. Os volumes de números iguais são iguais.
2. Se um poliedro é composto por vários poliedros que não se cruzam, então seu volume é igual à soma dos volumes desses poliedros.
3. O volume é um valor não negativo.
4. O volume é medido em cm\(^3\) (centímetros cúbicos), m\(^3\) (metros cúbicos), etc.
Teorema
1. A área da superfície lateral do prisma é igual ao produto do perímetro da base e a altura do prisma.
A área de superfície lateral é a soma das áreas das faces laterais do prisma.
2. O volume do prisma é igual ao produto da área da base pela altura do prisma: \
Definição: caixa
ParalelepípedoÉ um prisma cuja base é um paralelogramo.
Todas as faces do paralelepípedo (suas faces laterais \(6\) : \(4\) e bases \(2\)) são paralelogramos, e as faces opostas (paralelas entre si) são paralelogramos iguais (Fig. 2).
Diagonal da caixaé um segmento que liga dois vértices de um paralelepípedo que não se encontram na mesma face (seu \(8\): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) etc.).
cubóideé um paralelepípedo reto com um retângulo na base.
Porque é um paralelepípedo reto, então as faces laterais são retângulos. Assim, em geral, todas as faces de um paralelepípedo retangular são retângulos.
Todas as diagonais de um paralelepípedo são iguais (isso decorre da igualdade dos triângulos \(\triângulo ACC_1=\triângulo AA_1C=\triângulo BDD_1=\triângulo BB_1D\) etc.).
Comente
Assim, o paralelepípedo tem todas as propriedades de um prisma.
Teorema
A área da superfície lateral de um paralelepípedo retangular é igual a \
A área total da superfície de um paralelepípedo retangular é \
Teorema
O volume de um paralelepípedo é igual ao produto de três de suas arestas saindo de um vértice (três dimensões de um paralelepípedo): \
Prova
Porque para um paralelepípedo retangular, as arestas laterais são perpendiculares à base, então também são suas alturas, ou seja, \(h=AA_1=c\) a base é um retângulo \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). É daí que vem a fórmula.
Teorema
A diagonal \(d\) de um paralelepípedo é procurada pela fórmula (onde \(a,b,c\) são as dimensões do paralelepípedo)\
Prova
Considere a Fig. 3. Porque a base é um retângulo, então \(\triangle ABD\) é retangular, portanto, pelo teorema de Pitágoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Porque todas as arestas laterais são perpendiculares às bases, então \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular a qualquer linha neste plano, ou seja, \(BB_1\perp BD\) . Então \(\triangle BB_1D\) é retangular. Então pelo teorema de Pitágoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), th.
Definição: cubo
Cuboé um paralelepípedo retangular, cujos lados são quadrados iguais.
Assim, as três dimensões são iguais entre si: \(a=b=c\) . Então as seguintes são verdadeiras
Teoremas
1. O volume de um cubo com aresta \(a\) é \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. A diagonal do cubo é pesquisada pela fórmula \(d=a\sqrt3\) .
3. Área total da superfície de um cubo \(S_(\text(iterações completas do cubo))=6a^2\).
