SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS VI

§ 148. A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente

Até agora, falando de somas, sempre assumimos que o número de termos nessas somas é finito (por exemplo, 2, 15, 1000 etc.). Mas ao resolver alguns problemas (especialmente matemática superior), é preciso lidar com as somas de um número infinito de termos

S= uma 1 + uma 2 + ... + uma n + ... . (1)

Quais são esses montantes? Por definição a soma de um número infinito de termos uma 1 , uma 2 , ..., uma n , ... é chamado de limite da soma S n primeiro P números quando P -> ∞ :

S=S n = (uma 1 + uma 2 + ... + uma n ). (2)

O limite (2), é claro, pode ou não existir. Assim, diz-se que a soma (1) existe ou não existe.

Como descobrir se a soma (1) existe em cada caso particular? Uma solução geral para esta questão vai muito além do escopo do nosso programa. No entanto, há um caso especial importante que temos que considerar agora. Falaremos sobre a soma dos termos de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Deixar uma 1 , uma 1 q , uma 1 q 2, ... é uma progressão geométrica infinitamente decrescente. Isso significa que | q |< 1. Сумма первых P membros desta progressão é igual a

Dos teoremas básicos sobre os limites das variáveis ​​(ver § 136) obtemos:

Mas 1 = 1, um q n = 0. Portanto

Assim, a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente é igual ao primeiro termo desse progresso dividido por um menos o denominador dessa progressão.

1) A soma da progressão geométrica 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... é

e a soma de uma progressão geométrica é 12; -6; 3; - 3/2, ... igual

2) Uma fração periódica simples 0,454545... se transforma em uma fração ordinária.

Para resolver este problema, representamos esta fração como uma soma infinita:

O lado direito dessa igualdade é a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cujo primeiro termo é 45/100 e o denominador é 1/100. É por isso

Da forma descrita, também pode ser obtida a regra geral para a conversão de frações periódicas simples em frações ordinárias (ver Capítulo II, § 38):

Para converter uma fração periódica simples em uma ordinária, você precisa proceder da seguinte forma: coloque o período da fração decimal no numerador e no denominador - um número composto por noves tomado quantas vezes houver dígitos no período da fração decimal.

3) Fração periódica mista 0,58333 .... transforma-se em fração ordinária.

Vamos representar esta fração como uma soma infinita:

No lado direito desta igualdade, todos os termos, a partir de 3/1000, formam uma progressão geométrica infinitamente decrescente, cujo primeiro termo é 3/1000 e o denominador é 1/10. É por isso

Da forma descrita, também pode ser obtida a regra geral para a conversão de frações periódicas mistas em frações ordinárias (ver Capítulo II, § 38). Nós deliberadamente não o incluímos aqui. Não há necessidade de memorizar esta regra complicada. É muito mais útil saber que qualquer fração periódica mista pode ser representada como a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente e algum número. E a fórmula

para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, é preciso, é claro, lembrar.

Como exercício, convidamos você, além dos problemas nº 995-1000 abaixo, a se voltar novamente para o problema nº 301 § 38.

Exercícios

995. Como se chama a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente?

996. Encontre somas de progressões geométricas infinitamente decrescentes:

997. Para que valores X progressão

está diminuindo infinitamente? Encontre a soma de tal progressão.

998. Em um triângulo equilátero com um lado uma um novo triângulo é inscrito ligando os pontos médios de seus lados; um novo triângulo é inscrito nesse triângulo da mesma maneira, e assim por diante até o infinito.

a) a soma dos perímetros de todos esses triângulos;

b) a soma de suas áreas.

999. Em um quadrado com um lado uma um novo quadrado é inscrito ligando os pontos médios de seus lados; um quadrado se inscreve nesse quadrado da mesma maneira, e assim por diante até o infinito. Encontre a soma dos perímetros de todos esses quadrados e a soma de suas áreas.

1000. Faça uma progressão geométrica infinitamente decrescente, tal que sua soma seja igual a 25/4, e a soma dos quadrados de seus termos seja igual a 625/24.

Uma progressão geométrica é uma sequência numérica, cujo primeiro termo é diferente de zero, e cada termo seguinte é igual ao termo anterior multiplicado pelo mesmo número diferente de zero.

O conceito de progressão geométrica

A progressão geométrica é denotada por b1,b2,b3, …, bn, … .

A razão de qualquer termo do erro geométrico para seu termo anterior é igual ao mesmo número, ou seja, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Isso segue diretamente da definição de uma progressão aritmética. Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica. Normalmente, o denominador de uma progressão geométrica é denotado pela letra q.

A soma de uma progressão geométrica infinita para |q|<1

Uma maneira de definir uma progressão geométrica é definir seu primeiro termo b1 e o denominador do erro geométrico q. Por exemplo, b1=4, q=-2. Estas duas condições dão uma progressão geométrica de 4, -8, 16, -32, … .

Se q>0 (q não é igual a 1), então a progressão é uma sequência monotônica. Por exemplo, a sequência, 2, 4,8,16,32, ... é uma sequência monotonicamente crescente (b1=2, q=2).

Se o denominador q=1 no erro geométrico, então todos os membros da progressão geométrica serão iguais entre si. Nesses casos, diz-se que a progressão é uma sequência constante.

Para que a sequência numérica (bn) seja uma progressão geométrica, é necessário que cada um de seus membros, a partir do segundo, seja a média geométrica dos membros vizinhos. Ou seja, é necessário preencher a seguinte equação
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para qualquer n>0, onde n pertence ao conjunto dos números naturais N.

Agora vamos colocar (Xn) - uma progressão geométrica. O denominador da progressão geométrica q, com |q|∞).
Se agora denotarmos por S a soma de uma progressão geométrica infinita, então a seguinte fórmula será válida:
S=x1/(1-q).

Considere um exemplo simples:

Encontre a soma de uma progressão geométrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Para encontrar S, usamos a fórmula da soma de uma progressão aritmética infinita. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Se todo número natural n corresponder a um número real um , então eles dizem que dado sequência numérica :

uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . , um , . . . .

Assim, uma sequência numérica é uma função de um argumento natural.

Número uma 1 chamado o primeiro membro da sequência , número uma 2 — o segundo membro da sequência , número uma 3 — terceiro e assim por diante. Número um chamado enésimo membro da sequência , e o número natural n — o número dele .

De dois membros vizinhos um e um +1 sequências de membros um +1 chamado subseqüente (em direção um ), uma um — anterior (em direção um +1 ).

Para especificar uma sequência, você deve especificar um método que permita localizar um membro de sequência com qualquer número.

Muitas vezes a sequência é dada com fórmulas de enésimo termo , ou seja, uma fórmula que permite determinar um membro de sequência por seu número.

Por exemplo,

a sequência de números ímpares positivos pode ser dada pela fórmula

um= 2n- 1,

e a sequência de alternância 1 e -1 - Fórmula

b n = (-1)n +1 . ◄

A sequência pode ser determinada fórmula recorrente, ou seja, uma fórmula que expressa qualquer membro da sequência, começando com alguns, passando pelos membros anteriores (um ou mais).

Por exemplo,

E se uma 1 = 1 , uma um +1 = um + 5

uma 1 = 1,

uma 2 = uma 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

uma 3 = uma 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

uma 4 = uma 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

uma 5 = uma 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se um um 1= 1, um 2 = 1, um +2 = um + um +1 , então os primeiros sete membros da sequência numérica são definidos da seguinte forma:

um 1 = 1,

um 2 = 1,

um 3 = um 1 + um 2 = 1 + 1 = 2,

um 4 = um 2 + um 3 = 1 + 2 = 3,

um 5 = um 3 + um 4 = 2 + 3 = 5,

uma 6 = uma 4 + uma 5 = 3 + 5 = 8,

uma 7 = uma 5 + uma 6 = 5 + 8 = 13. ◄

As sequências podem ser final e sem fim .

A sequência é chamada final se tiver um número finito de membros. A sequência é chamada sem fim se tiver infinitos membros.

Por exemplo,

sequência de números naturais de dois algarismos:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sequência de números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sem fim. ◄

A sequência é chamada aumentando , se cada um de seus membros, a partir do segundo, for maior que o anterior.

A sequência é chamada minguante , se cada um dos seus membros, a partir do segundo, for inferior ao anterior.

Por exemplo,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . é uma sequência ascendente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . é uma sequência descendente. ◄

Uma sequência cujos elementos não diminuem com o aumento do número, ou, inversamente, não aumentam, é chamada sequência monótona .

As sequências monotônicas, em particular, são sequências crescentes e sequências decrescentes.

Progressão aritmética

Progressão aritmética uma sequência é chamada, cada membro do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, ao qual é adicionado o mesmo número.

uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . , um, . . .

é uma progressão aritmética se para qualquer número natural n condição for atendida:

um +1 = um + d,

Onde d - algum número.

Assim, a diferença entre o próximo e os membros anteriores de uma dada progressão aritmética é sempre constante:

um 2 - uma 1 = um 3 - uma 2 = . . . = um +1 - um = d.

Número d chamado a diferença de uma progressão aritmética.

Para definir uma progressão aritmética, basta especificar seu primeiro termo e diferença.

Por exemplo,

E se uma 1 = 3, d = 4 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

um 1 =3,

um 2 = um 1 + d = 3 + 4 = 7,

um 3 = um 2 + d= 7 + 4 = 11,

um 4 = um 3 + d= 11 + 4 = 15,

uma 5 = uma 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para uma progressão aritmética com o primeiro termo uma 1 e diferença d sua n

um = um 1 + (n- 1)d.

Por exemplo,

encontrar o trigésimo termo de uma progressão aritmética

1, 4, 7, 10, . . .

um 1 =1, d = 3,

um 30 = um 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

um n-1 = um 1 + (n- 2)d,

um= um 1 + (n- 1)d,

um +1 = uma 1 + nd,

então obviamente

um=	a n-1 + a n+1
	2

cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética dos membros anteriores e posteriores.

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão aritmética se e somente se um deles for igual à média aritmética dos outros dois.

Por exemplo,

um = 2n- 7 , é uma progressão aritmética.

Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:

um = 2n- 7,

um n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

um n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Consequentemente,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = um,
2		2

◄

Observe que n -th membro de uma progressão aritmética pode ser encontrado não apenas através uma 1 , mas também qualquer anterior a k

um = a k + (n- k)d.

Por exemplo,

por uma 5 pode ser escrito

um 5 = um 1 + 4d,

um 5 = um 2 + 3d,

um 5 = um 3 + 2d,

um 5 = um 4 + d. ◄

um = um n-k + kd,

um = um n+k - kd,

então obviamente

um=	uma n-k + um n+k
	2

qualquer membro de uma progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à metade da soma dos membros dessa progressão aritmética igualmente espaçados dele.

Além disso, para qualquer progressão aritmética, a igualdade é verdadeira:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Por exemplo,

em progressão aritmética

1) uma 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (uma 9 + uma 11 )/2;

2) 28 = um 10 = um 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) um 10= 28 = (19 + 37)/2 = (um 7 + um 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Porque

um 2 + um 12= 4 + 34 = 38,

um 5 + um 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ um,

primeiro n membros de uma progressão aritmética é igual ao produto da metade da soma dos termos extremos pelo número de termos:

Disto, em particular, segue-se que se for necessário somar os termos

a k, a k +1 , . . . , um,

então a fórmula anterior mantém sua estrutura:

Por exemplo,

em progressão aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se for dada uma progressão aritmética, então as quantidades uma 1 , um, d, n eS n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Uma progressão aritmética é uma sequência monotônica. Em que:

• E se d > 0 , então é crescente;
• E se d < 0 , então é decrescente;
• E se d = 0 , então a sequência será estacionária.

Progressão geométrica

progressão geométrica uma sequência é chamada, cada termo do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado pelo mesmo número.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

é uma progressão geométrica se para qualquer número natural n condição for atendida:

b n +1 = b n · q,

Onde q ≠ 0 - algum número.

Assim, a razão do próximo termo desta progressão geométrica para o anterior é um número constante:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Número q chamado denominador de uma progressão geométrica.

Para definir uma progressão geométrica, basta especificar seu primeiro termo e denominador.

Por exemplo,

E se b 1 = 1, q = -3 , então os primeiros cinco termos da sequência são encontrados da seguinte forma:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 e denominador q sua n -th termo pode ser encontrado pela fórmula:

b n = b 1 · q n -1 .

Por exemplo,

encontrar o sétimo termo de uma progressão geométrica 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

então obviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

cada membro da progressão geométrica, a partir do segundo, é igual à média geométrica (proporcional) dos membros anteriores e posteriores.

Como a recíproca também é verdadeira, vale a seguinte afirmação:

os números a, b e c são membros consecutivos de alguma progressão geométrica se e somente se o quadrado de um deles é igual ao produto dos outros dois, ou seja, um dos números é a média geométrica dos outros dois.

Por exemplo,

Vamos provar que a sequência dada pela fórmula b n= -3 2 n , é uma progressão geométrica. Vamos usar a afirmação acima. Nós temos:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Consequentemente,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

o que comprova a afirmação requerida. ◄

Observe que n termo de uma progressão geométrica pode ser encontrado não apenas b 1 , mas também qualquer termo anterior bk , para o qual basta usar a fórmula

b n = bk · q n - k.

Por exemplo,

por b 5 pode ser escrito

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = bk · q n - k,

b n = b n - k · q,

então obviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

o quadrado de qualquer membro de uma progressão geométrica, a partir do segundo, é igual ao produto dos membros dessa progressão equidistantes dele.

Além disso, para qualquer progressão geométrica, a igualdade é verdadeira:

bm· b n= bk· bl,

m+ n= k+ eu.

Por exemplo,

exponencialmente

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Porque

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primeiro n membros de uma progressão geométrica com denominador q ≠ 0 calculado pela fórmula:

E quando q = 1 - de acordo com a fórmula

S n= n.b. 1

Observe que, se precisarmos somar os termos

bk, bk +1 , . . . , b n,

então a fórmula é usada:

S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + b n = bk ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Por exemplo,

exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se for dada uma progressão geométrica, então as quantidades b 1 , b n, q, n e S n ligados por duas fórmulas:

Portanto, se os valores de três dessas quantidades forem fornecidos, os valores correspondentes das outras duas quantidades serão determinados a partir dessas fórmulas combinadas em um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Para uma progressão geométrica com o primeiro termo b 1 e denominador q acontece o seguinte propriedades de monotonicidade :

• a progressão está aumentando se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 e q> 1;

b 1 < 0 e 0 < q< 1;

• Uma progressão está diminuindo se uma das seguintes condições for atendida:

b 1 > 0 e 0 < q< 1;

b 1 < 0 e q> 1.

Se um q< 0 , então a progressão geométrica é de sinal alternado: seus termos ímpares têm o mesmo sinal que seu primeiro termo, e os termos pares têm o sinal oposto. É claro que uma progressão geométrica alternada não é monótona.

Produto de primeira n Os termos de uma progressão geométrica podem ser calculados pela fórmula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Por exemplo,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressão geométrica infinitamente decrescente

Progressão geométrica infinitamente decrescente é chamada de progressão geométrica infinita cujo módulo do denominador é menor que 1 , isso é

|q| < 1 .

Observe que uma progressão geométrica infinitamente decrescente pode não ser uma sequência decrescente. Isso se encaixa no caso

1 < q< 0 .

Com tal denominador, a sequência é de sinal alternado. Por exemplo,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

A soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente nomeie o número ao qual a soma do primeiro n termos da progressão com um aumento ilimitado no número n . Este número é sempre finito e é expresso pela fórmula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Por exemplo,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relação entre progressões aritméticas e geométricas

As progressões aritméticas e geométricas estão intimamente relacionadas. Vamos considerar apenas dois exemplos.

uma 1 , uma 2 , uma 3 , . . . d , então

BA 1 , BA 2 , BA 3 , . . . bd .

Por exemplo,

1, 3, 5, . . . - progressão aritmética com diferença 2 e

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . é uma progressão geométrica com denominador 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . é uma progressão geométrica com denominador q , então

registrar a b 1, registrar a b 2, registrar a b 3, . . . - progressão aritmética com diferença registrar umq .

Por exemplo,

2, 12, 72, . . . é uma progressão geométrica com denominador 6 e

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressão aritmética com diferença lg 6 . ◄

Alguns problemas de física e matemática podem ser resolvidos usando as propriedades das séries numéricas. As duas sequências numéricas mais simples que são ensinadas nas escolas são a algébrica e a geométrica. Neste artigo, consideraremos com mais detalhes a questão de como encontrar a soma de uma progressão infinita de uma progressão geométrica decrescente.

progressão geométrica

Essas palavras significam uma série de números reais, cujos elementos ai satisfazem a expressão:

Aqui i é o número do elemento na série, r é um número constante, que é chamado de denominador.

Essa definição mostra que, conhecendo qualquer termo da progressão e seu denominador, é possível restaurar toda a série de números. Por exemplo, se o 10º elemento for conhecido, dividindo-o por r, obtemos o 9º elemento, dividindo-o novamente, obtemos o 8º e assim por diante. Esses argumentos simples nos permitem escrever uma expressão válida para a série de números em consideração:

Um exemplo de progressão com denominador 2 seria:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Se o denominador for -2, uma série completamente diferente é obtida:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Uma progressão geométrica é muito mais rápida que uma algébrica, ou seja, seus termos aumentam rapidamente e diminuem rapidamente.

A soma de i membros da progressão

Para resolver problemas práticos, muitas vezes é necessário calcular a soma de vários elementos da sequência numérica considerada. Para este caso, a seguinte fórmula é válida:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Pode-se ver que para calcular a soma de i termos, você precisa conhecer apenas dois números: a 1 e r, o que é lógico, pois eles determinam exclusivamente toda a sequência.

Sequência descendente e a soma de seus termos

Agora vamos considerar um caso especial. Vamos supor que o valor absoluto do denominador r não excede um, ou seja, -1

É interessante considerar uma progressão geométrica decrescente porque a soma infinita de seus termos tende a um número real finito.

Vamos obter a fórmula da soma Isso é fácil de fazer se escrevermos a expressão para S i dada no parágrafo anterior. Nós temos:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

Considere o caso em que i->∞. Como o módulo do denominador é menor que 1, então elevá-lo a uma potência infinita resultará em zero. Isso pode ser verificado usando o exemplo r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Como resultado, a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita decrescente terá a forma:

Esta fórmula é frequentemente usada na prática, por exemplo, para calcular as áreas das figuras. Também é usado para resolver o paradoxo de Zenão de Elea com uma tartaruga e Aquiles.

Obviamente, considerando a soma de uma progressão infinita de um crescente geométrico (r>1), levará ao resultado S ∞ = +∞.

O problema de encontrar o primeiro termo da progressão

Mostraremos como as fórmulas acima devem ser aplicadas usando o exemplo de resolução do problema. Sabe-se que a soma de uma progressão geométrica infinita é 11. Além disso, seu 7º termo é 6 vezes menor que o terceiro termo. Qual é o primeiro elemento para esta série numérica?

Primeiro, vamos escrever duas expressões para determinar o 7º e o 3º elementos. Nós temos:

Dividindo a primeira expressão pela segunda, e expressando o denominador, temos:

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

Como a razão do sétimo e terceiro termos é dada na condição do problema, podemos substituí-la e encontrar r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0,63894

Calculamos r com uma precisão de cinco dígitos significativos após o ponto decimal. Como o valor resultante é menor que um, significa que a progressão é decrescente, o que justifica o uso da fórmula para sua soma infinita. Escrevemos a expressão para o primeiro termo em termos da soma S ∞ :

Substituímos os valores conhecidos nesta fórmula e obtemos a resposta:

a 1 \u003d 11 * (1-0,63894) \u003d 3,97166.

O famoso paradoxo de Zenão com o rápido Aquiles e a lenta tartaruga

Zenão de Elea é um famoso filósofo grego que viveu no século 5 aC. e. Vários de seus apogeus ou paradoxos chegaram ao tempo presente, em que se formula o problema do infinitamente grande e infinitamente pequeno na matemática.

Um dos paradoxos bem conhecidos de Zenão é a competição entre Aquiles e a tartaruga. Zenão acreditava que, se Aquiles desse à tartaruga alguma vantagem na distância, nunca conseguiria ultrapassá-la. Por exemplo, deixe Aquiles correr 10 vezes mais rápido que um animal rastejando, que, por exemplo, está 100 metros à frente dele. Quando o guerreiro corre 100 metros, a tartaruga rasteja para trás 10. Correndo 10 metros novamente, Aquiles verá que a tartaruga rastejou mais 1 metro. Você pode argumentar assim indefinidamente, a distância entre os competidores realmente diminuirá, mas a tartaruga sempre estará na frente.

Ele levou Zenão à conclusão de que o movimento não existe, e todo o movimento circundante dos objetos é uma ilusão. Claro, o antigo filósofo grego estava errado.

A solução para o paradoxo está no fato de que uma soma infinita de segmentos sempre decrescentes tende a um número finito. No caso acima, para a distância percorrida por Aquiles, temos:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Aplicando a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita, obtemos:

S ∞ \u003d 100 / (1-0,1) ≈ 111,111 metros

Esse resultado mostra que Aquiles ultrapassará a tartaruga quando ela rastejar apenas 11.111 metros.

Os antigos gregos não sabiam trabalhar com quantidades infinitas em matemática. No entanto, esse paradoxo pode ser resolvido se prestarmos atenção não ao número infinito de lacunas que Aquiles deve superar, mas ao número finito de passos que o corredor precisa para atingir o objetivo.

Esse número é chamado de denominador de uma progressão geométrica, ou seja, cada termo difere do anterior por q vezes. (Vamos supor que q ≠ 1, caso contrário tudo é muito trivial). É fácil ver que a fórmula geral do enésimo membro da progressão geométrica é b n = b 1 q n – 1 ; termos com números b n e b m diferem por q n – m vezes.

Já no antigo Egito, eles conheciam não apenas a aritmética, mas também a progressão geométrica. Aqui, por exemplo, está uma tarefa do papiro de Rhind: “Sete rostos têm sete gatos; cada gato come sete camundongos, cada camundongo come sete espigas de milho, cada espiga pode produzir sete medidas de cevada. Qual o tamanho dos números desta série e sua soma?

Arroz. 1. Problema de progressão geométrica do Egito Antigo

Essa tarefa foi repetida muitas vezes com diferentes variações entre outros povos em outras épocas. Por exemplo, em escrito no século XIII. O "Livro do ábaco" de Leonardo de Pisa (Fibonacci) tem um problema em que 7 velhas aparecem a caminho de Roma (obviamente peregrinas), cada uma com 7 mulas, cada uma com 7 malas, cada uma das quais contém 7 pães, cada um com 7 facas, cada uma com 7 bainhas. O problema pergunta quantos itens existem.

A soma dos primeiros n membros da progressão geométrica S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Esta fórmula pode ser provada, por exemplo, da seguinte forma: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Vamos adicionar o número b 1 q n a S n e obter:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Daí S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), e obtemos a fórmula necessária.

Já em uma das tábuas de barro da Antiga Babilônia, que remonta ao século VI. BC e., contém a soma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. É verdade, como em vários outros casos, não sabemos onde esse fato era conhecido pelos babilônios .

O rápido crescimento de uma progressão geométrica em várias culturas, em particular na Índia, é repetidamente usado como símbolo visual da imensidão do universo. Na conhecida lenda sobre o aparecimento do xadrez, o governante dá ao seu inventor a oportunidade de escolher uma recompensa, e ele pede um número de grãos de trigo que será obtido se um for colocado na primeira célula do tabuleiro de xadrez , dois no segundo, quatro no terceiro, oito no quarto, e etc., cada vez que o número é dobrado. Vladyka achou que eram, no máximo, alguns sacos, mas calculou mal. É fácil ver que para todas as 64 casas do tabuleiro de xadrez o inventor deveria ter recebido (2 64 - 1) grãos, que é expresso como um número de 20 dígitos; mesmo se toda a superfície da Terra fosse semeada, levaria pelo menos 8 anos para coletar o número necessário de grãos. Essa lenda às vezes é interpretada como uma referência às possibilidades quase ilimitadas escondidas no jogo de xadrez.

O fato de esse número ser realmente de 20 dígitos é fácil de ver:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (um cálculo mais preciso dá 1,84 10 19). Mas gostaria de saber se você pode descobrir com qual dígito esse número termina?

Uma progressão geométrica é crescente se o denominador for maior que 1 em valor absoluto, ou decrescente se for menor que um. No último caso, o número q n pode se tornar arbitrariamente pequeno para n suficientemente grande. Enquanto um exponencial crescente aumenta inesperadamente rápido, um exponencial decrescente diminui com a mesma rapidez.

Quanto maior n, mais fraco o número q n difere de zero e mais próxima a soma de n membros da progressão geométrica S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) do número S \u003d b 1 / (1 - q) . (Assim raciocinado, por exemplo, F. Viet). O número S é chamado a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente. No entanto, por muitos séculos a questão de qual é o significado da soma da progressão geométrica TODA, com seu número infinito de termos, não era clara o suficiente para os matemáticos.

Uma progressão geométrica decrescente pode ser vista, por exemplo, nas aporias de Zenão "Morde" e "Aquiles e a tartaruga". No primeiro caso, mostra-se claramente que a estrada inteira (assumindo comprimento 1) é a soma de um número infinito de segmentos 1/2, 1/4, 1/8, etc. do ponto de vista das idéias sobre a progressão geométrica infinita da soma finita. E ainda - como pode ser isso?

Arroz. 2. Progressão com um fator de 1/2

Na aporia sobre Aquiles, a situação é um pouco mais complicada, porque aqui o denominador da progressão não é igual a 1/2, mas a algum outro número. Vamos, por exemplo, Aquiles correr com velocidade v, a tartaruga se move com velocidade u, e a distância inicial entre eles é l. Aquiles percorrerá essa distância no tempo l / v , a tartaruga percorrerá uma distância lu / v durante esse tempo. Quando Aquiles percorre este segmento, a distância entre ele e a tartaruga se tornará igual a l (u / v) 2, etc. Acontece que alcançar a tartaruga significa encontrar a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente com o primeiro termo l e o denominador u / v. Essa soma - o segmento que Aquiles eventualmente percorrerá até o ponto de encontro com a tartaruga - é igual a l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Mas, novamente, como esse resultado deve ser interpretado e por que faz algum sentido, não ficou muito claro por muito tempo.

Arroz. 3. Progressão geométrica com coeficiente 2/3

A soma de uma progressão geométrica foi usada por Arquimedes ao determinar a área de um segmento de uma parábola. Seja o segmento dado da parábola delimitado pela corda AB e a tangente no ponto D da parábola seja paralela a AB. Seja C o ponto médio de AB , E o ponto médio de AC , F o ponto médio de CB . Desenhe linhas paralelas a DC passando pelos pontos A , E , F , B ; deixe a tangente desenhada no ponto D , essas linhas se cruzam nos pontos K , L , M , N . Vamos também desenhar os segmentos AD e DB. Deixe a linha EL interceptar a linha AD no ponto G e a parábola no ponto H; A reta FM intercepta a reta DB no ponto Q e a parábola no ponto R. De acordo com a teoria geral das seções cônicas, DC é o diâmetro de uma parábola (isto é, um segmento paralelo ao seu eixo); ele e a tangente no ponto D podem servir como eixos coordenados x e y, nos quais a equação da parábola é escrita como y 2 \u003d 2px (x é a distância de D a qualquer ponto de um determinado diâmetro, y é o comprimento de um segmento paralelo a uma dada tangente deste ponto de diâmetro a algum ponto na própria parábola).

Em virtude da equação da parábola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , e como DK = 2DL , então KA = 4LH . Como KA = 2LG, LH = HG. A área do segmento ADB da parábola é igual à área do triângulo ΔADB e as áreas dos segmentos AHD e DRB combinadas. Por sua vez, a área do segmento AHD é similarmente igual à área do triângulo AHD e os segmentos restantes AH e HD, com cada um dos quais a mesma operação pode ser realizada - dividida em um triângulo (Δ) e os dois segmentos restantes (), etc.:

A área do triângulo ΔAHD é igual à metade da área do triângulo ΔALD (eles têm uma base comum AD e as alturas diferem em 2 vezes), que, por sua vez, é igual à metade da área de o triângulo ΔAKD e, portanto, metade da área do triângulo ΔACD. Assim, a área do triângulo ΔAHD é igual a um quarto da área do triângulo ΔACD. Da mesma forma, a área do triângulo ΔDRB é igual a um quarto da área do triângulo ΔDFB. Assim, as áreas dos triângulos ∆AHD e ∆DRB, tomadas em conjunto, são iguais a um quarto da área do triângulo ∆ADB. Repetindo esta operação como aplicada aos segmentos AH , HD , DR e RB também selecionará triângulos deles, cuja área, somada, será 4 vezes menor que a área dos triângulos ΔAHD e ΔDRB , tomados em conjunto e, portanto, 16 vezes menor, que a área do triângulo ΔADB . E assim por diante:

Assim, Arquimedes provou que "todo segmento entre uma linha reta e uma parábola é quatro terços de um triângulo, tendo com ele a mesma base e igual altura".