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Problemas algébricos com parâmetros, séries 9–11
Ambiente de software "1C: Construtor matemático 6.1"
1. Círculo numérico na vida.
2. Definição de um círculo numérico.
3. Visão geral e comprimento do círculo numérico.
4. Localização dos principais pontos do círculo.
Número círculo e vida
Na vida real, o movimento circular é comum. Por exemplo, uma competição de ciclismo que completa uma determinada volta contra o relógio ou uma competição de carros de corrida que precisa completar o maior número de voltas em um determinado tempo.
Considere um exemplo específico…
Um corredor corre em um círculo de 400 metros de comprimento. O atleta começa no ponto A (fig. 1) e se move no sentido anti-horário. Onde ele estará em 200 m, 800 m, 1500 m? E onde traçar a linha de chegada se o corredor precisa correr 4195 m? 
Decisão:
Após 200 m, o corredor estará no ponto C. Já que ele percorrerá exatamente a metade da distância.
Depois de correr 800 m, o corredor fará exatamente duas voltas e terminará no ponto A.
1500m são 3 voltas de 400m (1200m) e mais 300m, ou seja $\frac(3)(4)$ da pista, terminando esta distância no ponto D.
Onde estará nosso corredor depois de correr 4195 m? 10 voltas são 4000m, faltam 195m para serem percorridos, ou seja, 5m a menos da metade da distância. Assim, a linha de chegada será no ponto K, localizado próximo ao ponto C.
Definição de um círculo numérico
Lembrar!é um círculo unitário cujos pontos correspondem a certos números reais. círculo unitário chamado círculo de raio 1.
Visão geral do círculo numérico
1) Raio círculo é tomado como unidade de medida.
2) Horizontal o diâmetro é denotado AC, com A sendo o ponto mais à direita. Vertical o diâmetro é designado por BD, sendo B o ponto mais alto.
Os diâmetros AC e BD dividem o círculo em quatro quartos:
primeiro quartoé o arco AB.
segundo quarto- arco BC.
terceiro trimestre– arco CD.
quarto trimestre– arco DA.
3) ponto de partida círculo numérico - ponto A.
A contagem a partir do ponto A no sentido anti-horário é chamada de direção positiva. Contar a partir do ponto A no sentido horário é chamado de direção negativa.
Número do comprimento do círculo
O comprimento do círculo numérico é calculado pela fórmula:$L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π$.
Como este é o círculo unitário, então $R = 1$.
Se tomarmos $π ≈ 3,14$, então a circunferência L pode ser expressa como um número:
$2 π ≈ 2 * 3,14 = $6,28.
A duração de cada trimestre é: $\frac(1)(4)*2π=\frac(π)(2)$.
Localização dos principais pontos do círculo
Os principais pontos do círculo e seus nomes são mostrados na figura:
Cada um dos quatro quartos do círculo numérico é dividido em três partes iguais. Perto de cada um dos doze pontos obtidos, escreve-se um número a que corresponde.
A seguinte afirmação é verdadeira para um círculo numérico:Se um ponto $M$ de um círculo numérico corresponde a um número $t$ , também corresponde a um número da forma $t+2π *k$, onde $k$ é um número inteiro. $M(t) = M(t+2π*k)$.
Considere um exemplo.
No círculo unitário, o arco AB é dividido pelo ponto M em duas partes iguais, e pelos pontos K e P em três partes iguais. Qual é o comprimento do arco: AM, MB, AK, KR, RB, AP, KM?
Comprimento do arco $AB =\frac(π)(2)$. Dividindo-o em duas partes iguais pelo ponto M, obtemos dois arcos, cada um de comprimento $\frac(π)(4)$. Daí $AM =MV=\frac(π)(4)$.
O arco AB é dividido em três partes iguais pelos pontos K e P. O comprimento de cada parte resultante é igual a $\frac(1)(3)* \frac(π)(2)$, ou seja, $\frac(π )(6) $. Assim, $AK = CR = RV =\frac(π)(6)$.
O arco АР consiste em dois arcos AK e КР de comprimento - $\frac(π)(6)$. Daí $AP = 2 *\frac(π)(6) =\frac(π)(3)$.
Resta calcular o comprimento do arco KM. Este arco é obtido do arco AM eliminando o arco AK. Assim, $KM = AM – AK =\frac(π)(4) - \frac(π)(6) = \frac(π)(12)$.
Uma tarefa:
Encontre um ponto no círculo numérico que corresponda a um determinado número:
$2π$, $\frac(7π)(2)$, $\frac(π)(4)$, $-\frac(3π)(2)$.
Decisão:
O ponto A corresponde ao número $2π$, porque passando ao longo do círculo um caminho de comprimento $2π$, ou seja, exatamente um círculo, chegamos novamente ao ponto A.
O número $\frac(7π)(2)$ corresponde ao ponto D, pois $\frac(7π)(2)=2π+\frac(3π)(2)$, ou seja, movendo-se na direção positiva, você precisa percorrer um círculo inteiro e, adicionalmente, um caminho de comprimento $\frac(3π)(2)$, que terminará no ponto D.
O ponto M corresponde ao número $\frac(π)(4)$, pois movendo-se no sentido positivo, você precisa percorrer um caminho de metade do arco AB de comprimento $\frac(π)(2)$, que terminará no ponto M.
O número $-\frac(3π)(2)$ corresponde ao ponto B, pois movendo-se em sentido negativo a partir do ponto A, você precisa percorrer um caminho de comprimento $\frac(3π)(2)$, que terminará no ponto B.
Exemplo.
Encontrar pontos no círculo numérico:
a) $21\frac(π)(4)$;
b) $-37\frac(π)(6)$.
Decisão:
Vamos usar a fórmula: $M(t) = M(t+2π*k)$ (8 slide) obtemos:
a) $\frac(21π)(4) = (4+\frac(5)(4))*π = 4π +\frac(5π)(4) = 2*2π +\frac(5π)(4) $, então o número $\frac(21π)(4)$ corresponde ao mesmo número que o número $\frac(5)(4π)$ - meio do terceiro quarto.
b) $-\frac(37π)(6)=-(6+\frac(1)(6))*π =-(6π +\frac(π)(6)) = -3*2π - \frac (π)(6)$. Assim, o número $-\frac(37π)(6)$ corresponde ao mesmo número que o número $-\frac(1)(6π)$. O mesmo que $\frac(11π)(6)$.
Exemplo.
Encontre todos os números t que correspondem a pontos no círculo numérico que pertencem a um determinado arco:
a) AV;
b) MK.
Decisão:
a) Arco BA é um arco com início no ponto B e fim no ponto A, enquanto se move ao longo de um círculo no sentido anti-horário. O ponto B é respectivamente igual a $\frac(π)(2)$, e o ponto A é igual a $2π$. Assim, para os pontos t temos: $\frac(π)(2) ≤ t ≤ 2π$. Mas de acordo com a fórmula do slide 8, os números $\frac(π)(2)$ e $2π$ correspondem a números da forma $\frac(π)(2)+2π*k$ e $2π+2π *k$, respectivamente.
$\frac(π)(2) +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, onde $k$ é um número inteiro.
b) O arco MK é um arco com início no ponto M e fim no ponto K. O ponto M, respectivamente, é igual a $-\frac(3π)(4)$, e o ponto K é igual para $\frac(π)(4)$.
Então para os pontos t temos:
$\frac(-3π)(4) ≤ t ≤\frac(π)(4)$.
Conforme a fórmula do slide 8, os números $-\frac(3π)(4)$ e $\frac(π)(4)$ correspondem a números da forma: $-\frac(3π)(4)+ 2π*k$ e $\ frac(π)(4)+2π*k$ respectivamente.
Então nosso número t assume os valores:
$-\frac(3π)(4)+2π*k ≤ t ≤ \frac(π)(4) +2π*k$, onde $k$ é um número inteiro.
Tarefas para solução independente
1) No círculo unitário, o arco BC é dividido pelo ponto T em duas partes iguais, e pelos pontos K e P em três partes iguais. Qual é o comprimento do arco: BT, TS, VC, CR, RS, BP, CT?
2) Encontre um ponto no círculo numérico que corresponda a um determinado número:
$π$, $\frac(11π)(2)$, $\frac(21π)(4)$, $-\frac(7π)(2)$, $\frac(17π)(6)$.
3) Encontre todos os números t, que no círculo numérico correspondem aos pontos pertencentes ao arco dado:
a) AB;
b) CA;
c) PM, onde P é o ponto médio do arco AB e o ponto M é o ponto médio de DA.
3) número
vamos combinar o ponto.
O círculo unitário com a correspondência estabelecida será chamado
círculo numérico.
Este é o segundo modelo geométrico para o conjunto de reais
números. O primeiro modelo - a reta numérica - os alunos já conhecem. Há
analogia: para a reta numérica, a regra de correspondência (do número ao ponto)
quase textualmente o mesmo. Mas também há uma diferença fundamental - a fonte
principais dificuldades em trabalhar com um círculo numérico: em linha reta, cada
ponto corresponde a única número, em um círculo não é. Se
círculo corresponde a um número, então ele corresponde a todos
números do formulário
Onde é o comprimento do círculo unitário e é um número inteiro
Arroz. 1
um número que indica o número de voltas completas do círculo em uma direção ou outra
lado.
Este momento é difícil para os alunos. Eles devem ser oferecidos
compreender a essência da tarefa real:
A pista de corrida do estádio tem 400m de comprimento, o corredor está a 100m de distância
desde o ponto de partida. Que caminho ele tomou? Se ele apenas começou a correr, então
correu 100 m; se você conseguiu correr uma volta, então - (
Dois círculos - () ; se você pode correr
círculos, então o caminho será (
) . Agora você pode comparar
o resultado obtido com a expressão
Exemplo 1 A quais números o ponto corresponde
círculo numérico
Decisão. Como o comprimento de todo o círculo
Esse é o comprimento do quarto dela
Portanto, para todos os números da forma
Da mesma forma, estabelece-se quais números correspondem aos pontos
chamados respectivamente de primeiro, segundo, terceiro,
quartos do círculo numérico.
Toda a trigonometria escolar é baseada em um modelo numérico
círculos. A experiência mostra que as deficiências desse modelo são muito
introdução apressada de funções trigonométricas não permite criar
uma base sólida para a assimilação bem-sucedida do material. Portanto, não
você precisa se apressar e levar algum tempo para considerar o seguinte
cinco tipos diferentes de problemas com um círculo numérico.
O primeiro tipo de tarefas. Encontrando pontos no círculo numérico,
correspondentes a números dados, expressos em frações de um número
Exemplo 2
números
Decisão. Vamos dividir o arco
ao meio com um ponto em três partes iguais -
pontos
(Figura 2). Então
Então o número
ponto correspondente
número
Exemplo
3.
sobre
numérico
círculos
pontos,
números correspondentes:
Decisão. nós vamos construir
a) Adiamento do arco
(seu comprimento
) Cinco vezes
a partir do ponto
na direção negativa
ganhar um ponto
b) Adiamento do arco
(seu comprimento
) sete vezes de
no sentido positivo, obtemos um ponto que separa
terceira parte do arco
Ele corresponderá ao número
c) Adiamento do arco
(seu comprimento
) cinco vezes a partir do ponto
positivo
direção, obtemos um ponto
Separando a terceira parte do arco. Ela e
vai corresponder ao número
(a experiência mostra que é melhor adiar não
cinco vezes mais
E 10 vezes
Após este exemplo, é apropriado fornecer dois layouts principais do numérico
círculos: no primeiro deles (Fig. 3) todos os quartos são divididos ao meio, no
o segundo (Fig. 4) - em três partes iguais. Esses layouts são úteis para ter no escritório
matemática.
Arroz. 2
Arroz. 3 Arroz. 4
Certifique-se de discutir com os alunos a questão: o que acontecerá se
cada um dos layouts se move não em positivo, mas em negativo
direção? No primeiro layout, os pontos selecionados deverão ser atribuídos
outros "nomes": respectivamente
etc.; no segundo esquema:
O segundo tipo de tarefas. Encontrando pontos no círculo numérico,
correspondentes a números dados, não expressos em frações de um número
Exemplo 4 Encontre pontos no círculo numérico correspondente a
números 1; 2; 3; -cinco.
Decisão.
Aqui temos que confiar no fato de que
Portanto, ponto 1
localizado no arco
mais perto do ponto
Os pontos 2 e 3 estão no arco, o primeiro é
O segundo está mais próximo de (Fig. 5).
Vamos olhar mais de perto
ao encontrar o ponto correspondente ao número - 5.
Mover de um ponto
no sentido negativo, ou seja, sentido horário
Arroz. cinco
seta. Se formos nessa direção até o ponto
Pegue
Isso significa que o ponto correspondente ao número - 5 está localizado
ligeiramente à direita do ponto
(ver fig.5).
O terceiro tipo de tarefas. Elaboração de fichas analíticas (duplo
desigualdades) para arcos de um círculo numérico.
Na verdade, estamos agindo
o mesmo plano que foi usado em 5-8
aulas para estudar a reta numérica:
primeiro encontre um ponto por número, depois por
ponto - número, então use double
desigualdades para escrever lacunas em
linha numérica.
Considere, por exemplo, uma abertura
Onde é o meio do primeiro
quartos de um círculo numérico e
- seu meio
segundo trimestre (Fig. 6).
As desigualdades que caracterizam o arco, ou seja, representando
Um modelo analítico do arco é proposto para ser compilado em duas etapas. No primeiro
palco constituem o núcleo registro analítico(esta é a principal coisa a seguir
ensine estudantes) para um determinado arco
No segundo
palco compõem um recorde geral:
Se estamos falando de arco
Então, ao escrever o kernel, você precisa levar em conta que
() fica dentro do arco, e por isso você tem que ir para o começo do arco
na direção negativa. Portanto, o núcleo da notação analítica do arco
tem a forma
Arroz. 6
Os termos "núcleo da análise
registros de arco", "registro analítico
arcos" não são geralmente aceitos,
considerações.
Quarto
tarefas.
Encontrando
cartesiano
coordenadas
número pontos do círculo, centro
que é combinado com o início do sistema
coordenadas.
Vamos primeiro considerar um ponto bastante sutil, até agora
praticamente não mencionado nos livros escolares atuais.
Começando a estudar o modelo "círculo numérico em uma coordenada
plano", os professores devem estar cientes das dificuldades que os aguardam
alunos aqui. Essas dificuldades estão relacionadas ao fato de que no estudo desse
modelos de crianças em idade escolar devem ter um nível suficientemente alto
cultura matemática, porque eles têm que trabalhar simultaneamente em
dois sistemas de coordenadas - no "curvilíneo", quando as informações sobre
a posição do ponto é tomada ao longo do círculo (número
corresponde a
ponto do círculo
(); é a “coordenada curvilínea” do ponto), e em
Sistema de coordenadas retangulares cartesianas (no ponto
como cada ponto
plano coordenado, há uma abscissa e uma ordenada). A tarefa do professor é ajudar
escolares na superação dessas dificuldades naturais. Infelizmente,
geralmente nos livros escolares eles não prestam atenção a isso e desde o início
primeiras lições usam notas
Não considerando que a carta em
na mente de uma criança em idade escolar está claramente associada à abcissa no cartesiano
sistema de coordenadas retangulares, e não com o comprimento percorrido ao longo do numérico
círculos de caminho. Portanto, ao trabalhar com um círculo numérico, não se deve
usar símbolos
Arroz. 7
Voltemos ao quarto tipo de tarefas. É sobre passar da escrita
registros
(), ou seja de coordenadas curvilíneas a cartesianas.
Vamos combinar o círculo numérico com o sistema retangular cartesiano
coordenadas como mostrado na Fig. 7. Em seguida, pontos
terá
as seguintes coordenadas:
() () () (). Muito importante
ensinar os alunos a determinar as coordenadas de todos os pontos que
marcado em dois layouts principais (ver Fig.3,4). Por ponto
Tudo se resume a
considerando um triângulo retângulo isósceles com uma hipotenusa
Suas pernas são iguais
Então as coordenadas
). O mesmo vale para os pontos.
Mas a única diferença é que você precisa levar em conta
sinais de abscissa e de ordenada. Especificamente:
O que os alunos devem lembrar? Só que os módulos das abcissas e
as ordenadas nos pontos médios de todos os trimestres são iguais
E eles devem conhecer os sinais
determinar para cada ponto diretamente do desenho.
Por ponto
Tudo se resume a considerar um retângulo
triângulo com hipotenusa 1 e ângulo
(Fig. 9). Então o cateter
canto oposto
será igual
adjacente
√
Meios,
coordenadas do ponto
O mesmo vale para o ponto
apenas as pernas "trocam de lugar" e, portanto,
Arroz. oito
Arroz. nove
Nós temos
). são os significados
(até sinais) e será
“serve” todos os pontos do segundo layout (ver Fig. 4), exceto os pontos
como abscissas e ordenadas. Maneira sugerida de lembrar: "onde é mais curto,
; onde é mais longo
Exemplo 5 Encontrar coordenadas de um ponto
(ver Fig.4).
Decisão. Ponto
Mais perto do eixo vertical do que
horizontais, ou seja o módulo de sua abcissa é menor que o módulo de sua ordenada.
Então o módulo da abcissa é
O módulo da ordenada é
sinais em ambos
casos são negativos (terceiro trimestre). Conclusão: ponto
Tem coordenadas
No quarto tipo de problemas, as coordenadas cartesianas de todos
pontos apresentados no primeiro e segundo layouts mencionados
De facto, no decurso deste tipo de tarefas, preparamos os alunos para
cálculo de valores de funções trigonométricas. Se tudo está aqui
funcionou de forma bastante confiável, então a transição para um novo nível de abstração
(ordenada - seno, abcissa - cosseno) será menos doloroso do que
O quarto tipo inclui tarefas deste tipo: por um ponto
encontrar sinais de coordenadas cartesianas
A decisão não deve causar dificuldades aos alunos: o número
ponto que decide o jogo
Quarto trimestre significa.
Quinto tipo de tarefas. Encontrar pontos no círculo numérico por
coordenadas dadas.
Exemplo 6 Encontrar pontos com ordenada em um círculo numérico
escreva a quais números eles correspondem.
Decisão. Em linha reta
Cruza o círculo numérico em pontos
(Fig. 11). Com a ajuda do segundo layout (ver Fig. 4), definimos que o ponto
corresponde ao número
Então ela
corresponde a todos os números da forma
corresponde ao número
E isso significa
todos os números da forma
Responder:
Exemplo 7 Localizar no numérico
ponto do círculo com abcissa
escreva a quais números eles correspondem.
Decisão.
Em linha reta
√
intercepta o círculo numérico em pontos
- a meio do segundo e terceiro quartos (Fig. 10). Com a ajuda do primeiro
layout definir esse ponto
corresponde ao número
E isso significa que todos
números do formulário
corresponde ao número
E isso significa que todos
números do formulário
Responder:
Você deve mostrar a segunda opção.
registre a resposta para o exemplo 7. Afinal, o ponto
corresponde ao número
Aqueles. todos os números da forma
Nós temos:
Arroz. 10
Fig.11
Enfatize a inegável importância
o quinto tipo de tarefas. Na verdade, nós ensinamos
crianças em idade escolar
decisão
protozoários
equações trigonométricas: no exemplo 6
é sobre a equação
E no exemplo
- sobre a equação
compreensão da essência do assunto é importante para ensinar
alunos resolvem equações dos tipos
ao longo do círculo numérico
não se precipite em fórmulas
A experiência mostra que se a primeira etapa (trabalhar
círculo numérico) não é trabalhado de forma confiável o suficiente, então o segundo estágio
(trabalho de fórmulas) é percebido formalmente pelos escolares, que,
Naturalmente, deve ser superado.
Semelhante aos exemplos 6 e 7 deve ser encontrado no círculo numérico
pontos com todas as "principais" ordenadas e abscissas
Como assuntos especiais, é apropriado destacar o seguinte:
Observação 1. Em termos propedêuticos, preparatórios
trabalho sobre o tema "Comprimento de um círculo" no curso de geometria do 9º ano. Importante
adendo: o sistema de exercícios deve incluir tarefas do tipo proposto
abaixo de. O círculo unitário é dividido em quatro partes iguais por pontos
o arco é dividido por um ponto e o arco é dividido por pontos
em três partes iguais (Fig. 12). Quais são os comprimentos dos arcos
(supõe-se que a circunavegação do círculo é realizada em um sentido positivo
direção)?
Arroz. 12
O quinto tipo de tarefas inclui trabalhar com condições como
meios
para
decisão
protozoários
desigualdades trigonométricas, também “encaixamos” gradualmente.
cinco lições e somente na sexta lição as definições de seno e
cosseno como as coordenadas de um ponto em um círculo numérico. Em que
é aconselhável resolver todos os tipos de problemas com crianças em idade escolar novamente, mas com
usando a notação introduzida, oferecendo-se para executar tal
por exemplo, tarefas: calcular
resolva a equação
desigualdade
etc. Ressaltamos que nas primeiras aulas
trigonometria equações trigonométricas simples e inequações
não são propósito treinamento, mas usado como instalações para
dominar o principal - as definições de seno e cosseno como coordenadas de pontos
círculo numérico.
Deixe o número
ponto que decide o jogo
círculo numérico. Então sua abcissa
chamado cosseno de um número
e denotado
E sua ordenada é chamada o seno de um número
e está marcado. (Fig. 13).
A partir desta definição pode-se imediatamente
defina os sinais de seno e cosseno de acordo com
quartos: para seno
para cosseno
Dedique uma aula inteira a isso (como é
aceito) dificilmente é apropriado. Não faça isso
forçar os alunos a memorizar estes sinais: qualquer
memorização, a memorização é uma técnica violenta à qual os alunos,
Neste artigo, analisaremos detalhadamente a definição de um círculo numérico, descobriremos sua propriedade principal e organizaremos os números 1,2,3, etc. Sobre como marcar outros números no círculo (por exemplo, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) entende.
Círculo numérico chamar um círculo de raio unitário, cujos pontos correspondem a dispostos de acordo com as seguintes regras:
1) A origem está no ponto extremo direito do círculo;
2) Sentido anti-horário - sentido positivo; no sentido horário - negativo;
3) Se traçarmos a distância \(t\) no círculo no sentido positivo, chegaremos ao ponto com o valor \(t\);
4) Se plotarmos a distância \(t\) no círculo no sentido negativo, chegaremos ao ponto com o valor \(–t\).
Por que um círculo é chamado de número?
Porque tem números nele. Nisso, o círculo é semelhante ao eixo numérico - no círculo, assim como no eixo, para cada número existe um certo ponto.
Por que saber o que é um círculo numérico?
Com a ajuda de um círculo numérico, é determinado o valor dos senos, cossenos, tangentes e cotangentes. Portanto, para saber trigonometria e passar no exame com mais de 60 pontos, é imprescindível entender o que é um círculo numérico e como colocar pontos nele.
O que as palavras "... de raio unitário ..." significam na definição?
Isso significa que o raio desse círculo é \(1\). E se construirmos tal círculo centrado na origem, ele se cruzará com os eixos nos pontos \(1\) e \(-1\).
Não é necessário desenhar pequeno, você pode alterar o “tamanho” das divisões ao longo dos eixos, então a imagem ficará maior (veja abaixo).
Por que o raio é exatamente um? É mais conveniente, porque neste caso, ao calcular a circunferência usando a fórmula \(l=2πR\), obtemos:
O comprimento do círculo numérico é \(2π\) ou aproximadamente \(6,28\).
E o que significa "... cujos pontos correspondem a números reais"?
Como mencionado acima, no círculo numérico de qualquer número real, definitivamente haverá seu “lugar” - um ponto que corresponde a esse número.
Por que determinar a origem e a direção do círculo numérico?
O principal objetivo do círculo numérico é determinar exclusivamente seu ponto para cada número. Mas como você pode determinar onde colocar um fim se não sabe de onde contar e para onde se mover?
Aqui é importante não confundir a origem na linha de coordenadas e no círculo numérico - são dois sistemas de referência diferentes! Além disso, não confunda \(1\) no eixo \(x\) e \(0\) no círculo - esses são pontos em objetos diferentes.
Que pontos correspondem aos números \(1\), \(2\), etc?
Lembre-se, assumimos que o raio de um círculo numérico é \(1\)? Este será nosso único segmento (por analogia com o eixo numérico), que colocaremos no círculo.
Para marcar um ponto no círculo numérico correspondente ao número 1, você precisa percorrer de 0 uma distância igual ao raio na direção positiva.
Para marcar um ponto no círculo correspondente ao número \(2\), você precisa percorrer uma distância igual a dois raios desde a origem, de modo que \(3\) seja uma distância igual a três raios, etc.
Olhando para esta imagem, você pode ter 2 perguntas:
1. O que acontecerá quando o círculo "acabar" (ou seja, fizermos um círculo completo)?
Resposta: vamos para o segundo turno! E quando acabar o segundo, iremos para o terceiro e assim sucessivamente. Portanto, um número infinito de números pode ser aplicado a um círculo.
2. Onde estarão os números negativos?
Resposta: bem ali! Eles também podem ser organizados, contando de zero o número necessário de raios, mas agora no sentido negativo.
Infelizmente, é difícil designar números inteiros no círculo numérico. Isso se deve ao fato de que o comprimento do círculo numérico não será um número inteiro: \ (2π \). E nos locais mais convenientes (nos pontos de interseção com os eixos) também não haverá números inteiros, mas frações
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Apresentamos a sua atenção uma vídeo aula sobre o tema "Círculo numérico". É dada uma definição do que seno, cosseno, tangente, cotangente e funções são y= pecado x, y= porque x, y= tg x, y= ctg x para qualquer argumento numérico. Consideramos problemas padrão para a correspondência entre números e pontos em um círculo numérico unitário para encontrar um único ponto para cada número e, inversamente, para encontrar para cada ponto um conjunto de números que correspondam a ele.
Tópico: Elementos da teoria das funções trigonométricas
Lição: Número Círculo
Nosso objetivo imediato é definir funções trigonométricas: seio, cosseno, tangente, co-tangente-
Um argumento numérico pode ser plotado em uma linha de coordenadas ou em um círculo.
Tal círculo é chamado de círculo numérico ou unitário, porque. por conveniência, faça um círculo com
Por exemplo, dado um ponto, marque-o na linha de coordenadas
e em círculo numérico.
Ao trabalhar com um círculo numérico, concordou-se que o movimento anti-horário é uma direção positiva, o movimento horário é negativo.
Tarefas típicas - você precisa determinar as coordenadas de um determinado ponto ou, inversamente, encontrar um ponto por suas coordenadas.
A linha de coordenadas estabelece uma correspondência de um para um entre pontos e números. Por exemplo, um número corresponde ao ponto A com coordenadas
Cada ponto B com uma coordenada é caracterizado por apenas um número - a distância de 0 a tomada com um sinal de mais ou menos.
No círculo numérico, a correspondência um-para-um só funciona em uma direção.
Por exemplo, existe um ponto B no círculo de coordenadas (Fig. 2), o comprimento do arco é 1, ou seja, este ponto corresponde a 1.
Dado um círculo, a circunferência de um círculo. Se então é o comprimento do círculo unitário.
Se adicionarmos , obtemos o mesmo ponto B, mais - também chegamos ao ponto B, subtraímos - também o ponto B.
Considere o ponto B: comprimento do arco =1, então os números caracterizam o ponto B no círculo numérico.
Assim, o número 1 corresponde ao único ponto do círculo numérico - o ponto B, e o ponto B corresponde a um conjunto incontável de pontos da forma 
.
O seguinte é verdadeiro para um círculo numérico:
Se T. M número círculo corresponde a um número então também corresponde a um número da forma
Você pode dar quantas voltas completas ao redor do círculo numérico em uma direção positiva ou negativa quiser - o ponto é o mesmo. Portanto, as equações trigonométricas têm um número infinito de soluções.
Por exemplo, dado o ponto D. A que números ele corresponde?
Medimos o arco.
o conjunto de todos os números correspondentes ao ponto D.
Considere os pontos principais no círculo numérico.
O comprimento de todo o círculo.
Aqueles. o registro do conjunto de coordenadas pode ser diferente .
Considere tarefas típicas no círculo numérico.
1. Dado: . Localizar: um ponto em um círculo numérico.
Selecionamos a parte inteira:
É necessário encontrar m no círculo numérico. 
, então 
.
Este conjunto também inclui o ponto.
2. Dados: . Localizar: um ponto em um círculo numérico.
Precisa encontrar t.
m também pertence a este conjunto.
Resolvendo problemas padrão sobre a correspondência entre números e pontos em um círculo numérico, descobrimos que é possível encontrar um único ponto para cada número e é possível encontrar para cada ponto um conjunto de números caracterizados por um determinado apontar.
Vamos dividir o arco em três partes iguais e marcar os pontos M e N.
Vamos encontrar todas as coordenadas desses pontos.
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Portanto, nosso objetivo é definir funções trigonométricas. Para fazer isso, precisamos aprender como definir um argumento de função. Consideramos os pontos do círculo unitário e resolvemos dois problemas típicos - encontrar um ponto no círculo numérico e anotar todas as coordenadas do ponto do círculo unitário.
1. Mordkovich A.G. e outros Álgebra 9º ano: Proc. Para educação geral Instituições - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.
2. Mordkovich A.G. et al. Álgebra Grade 9: Caderno de tarefas para alunos de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4ª ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.
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№№ 531; 536; 537; 541; 552.
