Definição 1. número primoé um número natural maior que 1 que só é divisível por ele mesmo e por 1.

Em outras palavras, um número é primo se tiver apenas dois divisores naturais distintos.

Definição 2. Qualquer número natural que tenha outros divisores além de si mesmo e um é chamado número composto.

Em outras palavras, os números naturais que não são primos são chamados de números compostos. A definição 1 implica que um número composto tem mais de dois divisores naturais. O número 1 não é primo nem composto. tem apenas um divisor 1 e, além disso, muitos teoremas sobre números primos não valem para a unidade.

Segue-se das Definições 1 e 2 que todo número inteiro positivo maior que 1 é um número primo ou composto.

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Tabela de números primos

Declaração 1. Se um pé um número primo e uma qualquer número inteiro, então ou uma dividido por p, ou p e uma números relativamente primos.

Sério. Se um p número primo, então ele só é divisível por ele mesmo e 1 se uma não divisível por p, então o máximo divisor comum uma e pé igual a 1. Então p e uma números relativamente primos.

Declaração 2. Se o produto de vários números de números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... é divisível por um número primo p, então pelo menos um dos números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... é divisível por p.

Sério. Se nenhum dos números for divisível por p, então os números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... seriam números relativamente primos em relação a p. Mas do Corolário 3 () segue-se que o seu produto uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... também é coprimo em relação a p, o que contraria a condição da afirmação. Portanto, pelo menos um dos números é divisível por p.

Teorema 1. Qualquer número composto pode sempre ser representado, e mais ainda de forma única, como o produto de um número finito de números primos.

Prova. Deixar k número composto, e seja uma 1 é um de seus divisores diferentes de 1 e de si mesmo. Se um uma 1 é composto, então tem além de 1 e uma 1 e outro divisor uma 2. Se um uma 2 é um número composto, então ele tem, além de 1 e uma 2 e outro divisor uma 3 . Argumentando desta forma e tendo em conta que os números uma 1 , uma 2 , uma 3 , ... diminuir e esta série contém um número finito de termos, chegaremos a algum número primo p 1 . Então k pode ser representado como

Suponha que haja duas expansões de um número k:

Porque k=p 1 p 2 p 3 ... é divisível por um número primo q 1 , então pelo menos um dos fatores, por exemplo p 1 é divisível por q 1 . Mas p 1 é primo e só é divisível por 1 e por ele mesmo. Consequentemente p 1 =q 1 (porque q 1 ≠1)

Então de (2) podemos excluir p 1 e q 1:

Assim, garantimos que qualquer número primo que entre na primeira expansão como fator uma ou mais vezes entre na segunda expansão pelo menos o mesmo número de vezes e vice-versa, qualquer número primo que entre na segunda expansão como fator um ou vários times também entra na primeira expansão pelo menos tantas vezes. Portanto, qualquer número primo entra como fator em ambas as expansões o mesmo número de vezes e, portanto, essas duas expansões são iguais.■

Decomposição de um número composto k pode ser escrito da seguinte forma

(3)

Onde p 1 , p 2 , ... números primos distintos, α, β, γ ... números inteiros positivos.

A decomposição (3) é chamada decomposição canônica números.

Números primos na série de números naturais ocorrem de forma desigual. Em algumas partes da série há mais deles, em outros - menos. Quanto mais avançamos na série numérica, mais raros são os números primos. A questão é: existe um maior número primo? O antigo matemático grego Euclides provou que existem infinitos números primos. Apresentamos esta prova a seguir.

Teorema 2. O número de números primos é infinito.

Prova. Suponha que haja um número finito de primos, e seja o maior primo p. Vamos considerar todos os números p. Pela suposição da afirmação, esses números devem ser compostos e devem ser divisíveis por pelo menos um dos números primos. Vamos escolher um número que é o produto de todos esses primos mais 1:

Número z mais p Porque 2p já mais p. p não é divisível por nenhum desses números primos, pois quando dividido por cada um deles, dá um resto de 1. Assim chegamos a uma contradição. Portanto, há um número infinito de números primos.

Este teorema é um caso especial de um teorema mais geral:

Teorema 3. Seja dada uma progressão aritmética

Então qualquer número primo em n, também deve ser incluído m, assim em n não pode incluir outros fatores primos que não estão incluídos em m e, além disso, esses fatores primos em n não aparecem mais vezes do que em m.

O contrário também é verdade. Se todo fator primo de um número n ocorre pelo menos o mesmo número de vezes m, então m dividido por n.

Declaração 3. Deixar uma 1 ,uma 2 ,uma 3 ,... vários primos que aparecem em m assim

Onde eu=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . notar que um eu aceita α +1 valores, β j aceita β +1 valores, γ k leva γ valores +1, ... .

A divisão dos números naturais em primos e compostos é atribuída ao antigo matemático grego Pitágoras. E se você seguir Pitágoras, então o conjunto de números naturais pode ser dividido em três classes: (1) - um conjunto que consiste em um número - um; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) é o conjunto dos números primos; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) é o conjunto de números compostos.

Muitos mistérios diferentes escondem o segundo conjunto. Mas primeiro, vamos descobrir o que é um número primo. Abrimos o “Dicionário Enciclopédico de Matemática” (Yu. V. Prokhorov, editora “Enciclopédia Soviética”, 1988) e lemos:

“Um número primo é um número inteiro positivo maior que um que não tem outros divisores além dele mesmo e um: 2,3,5,7,11,13,

O conceito de número primo é fundamental no estudo da divisibilidade dos números naturais; ou seja, o teorema fundamental da aritmética afirma que todo inteiro positivo, exceto 1, pode ser decomposto de forma única em um produto de números primos (a ordem dos fatores não é levada em consideração). Existem infinitos números primos (esta proposição, chamada teorema de Euclides, era conhecida pelos matemáticos gregos antigos, sua prova pode ser encontrada no livro 9 dos Elementos de Euclides). P. Dirichlet (1837) estabeleceu que em uma progressão aritmética a+bx em x=1. ,2,с com inteiros coprimos a e b também contém infinitos primos.

Para encontrar números primos de 1 a x, é usado o conhecido do século III. BC e. peneira de Eratóstenes. Considerando a sequência (*) de primos de 1 a x mostra que à medida que x aumenta, torna-se mais raro em média. Existem segmentos arbitrariamente longos de uma série de números naturais, entre os quais não há um único número primo (Teorema 4). Ao mesmo tempo, existem esses números primos, cuja diferença é igual a 2 (os chamados gêmeos). Até agora (1987) não se sabe se o conjunto de tais gêmeos é finito ou infinito. Tabelas de primos dentro dos primeiros 11 milhões de números naturais mostram gêmeos muito grandes (por exemplo, 10.006.427 e 10.006.429).

A elucidação da distribuição de números primos na série natural de números é um problema muito difícil na teoria dos números. Ele é apresentado como o estudo do comportamento assintótico de uma função que denota o número de primos que não excede um número positivo x. É claro a partir do teorema de Euclides que em. L. Euler introduziu a função zeta em 1737.

Ele também provou que

Onde a soma é realizada sobre todos os números naturais e o produto é obtido sobre todos os primos. Essa identidade e suas generalizações desempenham um papel fundamental na teoria da distribuição dos números primos. A partir disso, L. Euler provou que a série e o produto em p primo divergem. Além disso, L. Euler estabeleceu que existem “muitos” números primos, porque

E, ao mesmo tempo, quase todos os números naturais são compostos, pois at.

e, para qualquer (ou seja, o que cresce em função). Cronologicamente, o próximo resultado significativo que refina o teorema de Chebyshev é o chamado. a lei assintótica de distribuição de números primos (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), que consistia no fato de que o limite da razão a é igual a 1. Posteriormente, esforços significativos dos matemáticos foram direcionados para esclarecendo a lei assintótica de distribuição de números primos. As questões da distribuição de números primos são estudadas tanto por métodos elementares quanto por métodos de análise matemática.

Aqui faz sentido provar alguns dos teoremas apresentados no artigo.

Lema 1. Se mdc(a, b)=1, então existem inteiros x, y tais que.

Prova. Sejam a e b números relativamente primos. Considere o conjunto J de todos os números naturais z, representáveis ​​na forma, e escolha o menor número d nele.

Vamos provar que a é divisível por d. Divida a por d com resto: e deixe. Por ter a forma, portanto,

Nós vemos que.

Como assumimos que d é o menor número em J, temos uma contradição. Então a é divisível por d.

Da mesma forma, provamos que b é divisível por d. Então d=1. O lema está provado.

Teorema 1. Se os números aeb são primos e o produto bx é divisível por a, então x é divisível por a.

Prova 1. Temos que provar que ax é divisível por b e gcd(a,b)=1, então x é divisível por b.

Pelo Lema 1, existem x, y tais que. Então, obviamente, é divisível por b.

Prova 2. Considere o conjunto J de todos os números naturais z tal que zc é divisível por b. Seja d o menor número em J. É fácil ver isso. Similarmente à prova do Lema 1, provamos que a é divisível por d e b é divisível por d

Lema 2. Se os números q,p1,p2,pn são primos e o produto é divisível por q, então um dos números pi é igual a q.

Prova. Em primeiro lugar, note que se um número primo p é divisível por q, então p=q. Isso implica imediatamente na afirmação do lema para n=1. Para n=2 segue diretamente do Teorema 1: se p1p2 é divisível por um número primo q u, então p2 é divisível por q (ie).

Provamos o lema para n=3 como segue. Seja p1 p2 p3 divisível por q. Se p3 = q, então tudo está provado. Se, então de acordo com o Teorema 1, p1 p2 é divisível por q. Assim, reduzimos o caso n=3 ao caso já considerado n=2.

Da mesma forma, de n=3 podemos ir para n=4, depois para n=5, e em geral, assumindo que n=k a afirmação do lema está provada, podemos facilmente prová-la para n=k+1. Isso nos convence de que o lema é verdadeiro para todo n.

Teorema fundamental da aritmética. Todo número natural pode ser decomposto em fatores primos de uma maneira única.

Prova. Suponha que existam duas fatorações do número a em fatores primos:

Como o lado direito é divisível por q1, o lado esquerdo da igualdade também deve ser divisível por q1. De acordo com o Lema 2, um dos números é igual a q1. Vamos cancelar ambos os lados da igualdade por q1.

Façamos o mesmo raciocínio para q2, depois para q3, para qi. No final, todos os fatores à direita serão reduzidos e permanecerá 1. Naturalmente, nada permanecerá à esquerda exceto um. Daí concluímos que as duas expansões e podem diferir apenas na ordem dos fatores. O teorema foi provado.

Teorema de Euclides. O número de números primos é infinito.

Prova. Suponha que a série de números primos seja finita e denote o último número primo pela letra N. Componha o produto

Vamos adicionar 1 a ele. Obtemos:

Esse número, sendo um número inteiro, deve conter pelo menos um fator primo, ou seja, deve ser divisível por pelo menos um número primo. Mas todos os números primos, por suposição, não excedem N, e o número M + 1 não é divisível sem resto por nenhum dos números primos menores ou iguais a N - cada vez que o resto é 1. O teorema está provado.

Teorema 4. Seções de números compostos entre números primos podem ter qualquer comprimento. Vamos agora provar que a série consiste em n números compostos consecutivos.

Esses números vão diretamente um após o outro na série natural, pois cada próximo é 1 a mais que o anterior. Resta provar que são todos compostos.

Primeiro número

Par, já que ambos os termos contêm um fator de 2. E qualquer número par maior que 2 é composto.

O segundo número consiste em dois termos, cada um dos quais é um múltiplo de 3. Portanto, esse número é composto.

Da mesma forma, estabelecemos que o próximo número é um múltiplo de 4 e assim por diante, ou seja, cada número de nossa série contém um fator diferente de um e de si mesmo; é, portanto, composto. O teorema foi provado.

Tendo estudado as provas dos teoremas, continuamos a consideração do artigo. Em seu texto, a peneira de Eratóstenes foi mencionada como forma de encontrar os números primos. Vamos ler sobre esse método no mesmo dicionário:

“A peneira de Eratóstenes é um método desenvolvido por Eratóstenes que permite peneirar números compostos da série natural. A essência da peneira de Eratóstenes é a seguinte. A unidade está riscada. O número dois é simples. Estão riscados todos os números naturais divisíveis por 2. Número 3 - o primeiro número não cruzado será primo. Além disso, todos os números naturais que são divisíveis por 3 são riscados. O número 5 - o próximo número não cruzado - será simples. Continuando cálculos semelhantes, pode-se encontrar um segmento arbitrariamente longo de uma sequência de números primos. A peneira de Eratóstenes como método teórico para estudar a teoria dos números foi desenvolvida por W. Brun (1919).

Aqui está o maior número atualmente conhecido como primo:

Este número tem cerca de setecentas casas decimais. Os cálculos pelos quais se descobriu que esse número é primo foram realizados em computadores modernos.

“A função zeta de Riemann, -função, é uma função analítica de uma variável complexa, para σ>1, determinada por uma série de Dirichlet absolutamente e uniformemente convergente:

Para σ>1, a representação na forma do produto de Euler é válida:

(2) onde p percorre todos os primos.

A identidade da série (1) e do produto (2) é uma das principais propriedades da função zeta. Ele permite obter várias relações que conectam a função zeta com as funções teóricas dos números mais importantes. Portanto, a função zeta desempenha um grande papel na teoria dos números.

A função zeta foi introduzida como função de uma variável real por L. Euler (1737, publ. 1744), que indicou sua localização no produto (2). Então a função zeta foi considerada por P. Dirichlet e especialmente com sucesso por P. L. Chebyshev em conexão com o estudo da lei de distribuição de números primos. No entanto, as propriedades mais profundas da função zeta foram descobertas após o trabalho de B. Riemann, que pela primeira vez em 1859 considerou a função zeta como uma função de uma variável complexa, ele também introduziu o nome "função zeta" e a designação """.

Mas surge a pergunta: que aplicação prática existe para todo esse trabalho sobre números primos? De fato, quase não há uso para eles, mas há uma área onde os números primos e suas propriedades são aplicados até hoje. Isso é criptografia. Aqui, os números primos são usados ​​em sistemas de criptografia sem a transferência de chaves.

Infelizmente, isso é tudo o que se sabe sobre números primos. Ainda restam muitos mistérios. Por exemplo, não se sabe se o conjunto de números primos representáveis ​​como dois quadrados é infinito.

"NÚMEROS PRIMOS NÃO SIMPLES".

Resolvi fazer uma pequena pesquisa para encontrar respostas para algumas perguntas sobre números primos. Em primeiro lugar, compilei um programa que imprime todos os números primos consecutivos menores que 1.000.000.000. Além disso, compilei um programa que determina se o número digitado é primo. Para estudar os problemas dos números primos, construí um gráfico que marca a dependência do valor de um número primo do número ordinal. Como plano de pesquisa adicional, decidi usar o artigo de I. S. Zeltser e B. A. Kordemsky "Amusing bandos números primos." Os autores identificaram os seguintes caminhos de pesquisa:

1. 168 casas dos primeiros mil números naturais são ocupadas por números primos. Destes, 16 números são palindrômicos - cada um é igual ao inverso: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Existem apenas 1061 primos de quatro dígitos, e nenhum deles é palindrômico.

Existem muitos números palindrômicos simples de cinco dígitos. Eles incluem essas belezas: 13331, 15551, 16661, 19991. Sem dúvida, existem bandos desse tipo: ,. Mas quantas cópias existem em cada um desses bandos?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Pode-se ver que a soma dos dígitos dos números e é divisível por 3, portanto, esses próprios números também são divisíveis por 3.

Quanto aos números da forma, entre eles os números 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 são primos.

2. Nos primeiros mil números há cinco "quartetos" constituídos por números primos consecutivos, cujos últimos dígitos formam a sequência 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Quantos desses quartetos existem entre primos de n dígitos para n>3?

Usando o programa que escrevi, encontrei o quarteto perdido pelos autores: (479, 467, 463, 461) e quartetos para n = 4, 5, 6. Para n = 4, existem 11 quartetos

3. Um bando de nove primos: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - é atraente não só porque é uma progressão aritmética com diferença de 210, mas também porque pode caber em nove células para que se forme um quadrado mágico com uma constante igual à diferença de dois números primos: 3119 - 2:

O próximo, décimo membro da progressão em consideração, 2089, também é um número primo. Se você remover o número 199 do bando, mas incluir 2089, nessa composição o bando poderá formar um quadrado mágico - um tópico para pesquisa.

Deve-se notar que existem outros quadrados mágicos que consistem em números primos:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

A praça proposta é curiosa porque

1. É um quadrado mágico 7x7;

2. Contém um quadrado mágico de 5x5;

3. Um quadrado mágico 5x5 contém um quadrado mágico 3x3;

4. Todos esses quadrados têm um número central comum - 3407;

5. Todos os 49 números incluídos no quadrado 7x7 terminam no número 7;

6. Todos os 49 números incluídos no quadrado 7x7 são números primos;

7. Cada um dos 49 números incluídos em um quadrado 7x7 pode ser representado como 30n + 17.

Os programas utilizados foram escritos por mim na linguagem de programação Dev-C++ e disponibilizo seus textos no apêndice (ver arquivos com extensão .cpp). Além de todos os itens acima, escrevi um programa que decompõe números naturais consecutivos em fatores primos (veja Divisores 1. cpp) e um programa que decompõe apenas o número inserido em fatores primos (veja Divisores 2. cpp). Como esses programas em forma compilada ocupam muito espaço, apenas seus textos são fornecidos. No entanto, qualquer pessoa pode compilá-los se tiver o programa certo.

BIOGRAFIAS DE CIENTISTAS ENVOLVIDOS NO PROBLEMA DOS NÚMEROS PRIMOS

EUCLIDES

(cerca de 330 aC - cerca de 272 aC)

Poucas informações confiáveis ​​foram preservadas sobre a vida do matemático mais famoso da Antiguidade. Acredita-se que tenha estudado em Atenas, o que explica seu brilhante domínio da geometria desenvolvida pela escola de Platão. No entanto, aparentemente, ele não estava familiarizado com os escritos de Aristóteles. Ele ensinou em Alexandria, onde recebeu muitos elogios por suas atividades de ensino durante o reinado de Ptolomeu I Sóter. Há uma lenda que este rei exigiu que lhe revelasse uma maneira de alcançar rápido sucesso em matemática, à qual Euclides respondeu que não havia maneiras reais na geometria (uma história semelhante, no entanto, também é contada sobre Menchem, a quem supostamente foi perguntado sobre o mesmo por Alexandre, o Grande). A tradição preservou a memória de Euclides como pessoa benevolente e modesta. Euclides é autor de tratados sobre diversos temas, mas seu nome está associado principalmente a um dos tratados denominados "Inícios". Trata-se de uma coleção de obras de matemáticos que trabalharam antes dele (o mais famoso deles foi Hipócrates de Kos), cujos resultados ele aperfeiçoou graças à sua capacidade de generalização e diligência.

EULER (EULER) LEONARD

(Basileia, Suíça 1707 - São Petersburgo, 1783)

Matemático, mecânico e físico. Nascido na família de um pastor pobre Paul Euler. Ele recebeu sua educação primeiro de seu pai, e em 1720-1724 na Universidade de Basel, onde assistiu a palestras sobre matemática de I. Bernoulli.

No final de 1726, Euler foi convidado para a Academia de Ciências de São Petersburgo e em maio de 1727 chegou a São Petersburgo. Na academia recém-organizada, Euler encontrou condições favoráveis ​​para a atividade científica, o que lhe permitiu começar imediatamente a estudar matemática e mecânica. Durante os 14 anos do primeiro período de sua vida em Petersburgo, Euler preparou cerca de 80 obras para publicação e publicou mais de 50. Em São Petersburgo, estudou russo.

Euler participou de muitas atividades da Academia de Ciências de São Petersburgo. Ele deu palestras para estudantes da universidade acadêmica, participou de vários exames técnicos, trabalhou na compilação de mapas da Rússia e escreveu o "Guia de Aritmética" disponível ao público (1738-40). Sob instruções especiais da Academia, Euler preparou para a publicação Naval Science (1749), um trabalho fundamental sobre a teoria da construção naval e navegação.

Em 1741, Euler aceitou a oferta do rei prussiano Frederico II de se mudar para Berlim, onde ocorreria a reorganização da Academia de Ciências. Na Academia de Ciências de Berlim, Euler assumiu o cargo de diretor da aula de matemática e membro do conselho e, após a morte de seu primeiro presidente, P. Maupertuis, por vários anos (desde 1759) ele realmente dirigiu a academia. Durante 25 anos de sua vida em Berlim, ele preparou cerca de 300 obras, entre elas uma série de grandes monografias.

Enquanto morava em Berlim, Euler não parou de trabalhar intensamente para a Academia de Ciências de São Petersburgo, mantendo o título de seu membro honorário. Ele conduziu uma extensa correspondência científica e científico-organizacional, em particular, ele se correspondia com M. Lomonosov, a quem ele valorizava muito. Euler editou o departamento de matemática de um corpo científico acadêmico russo, onde durante esse tempo publicou quase tantos artigos quanto nas "Memórias" da Academia de Ciências de Berlim. Ele participou ativamente do treinamento de matemáticos russos; futuros acadêmicos S. Kotelnikov, S. Rumovsky e M. Sofronov foram enviados a Berlim para estudar sob sua liderança. Euler prestou grande assistência à Academia de Ciências de São Petersburgo, adquirindo literatura científica e equipamentos para ela, negociando com candidatos a cargos na academia, etc.

Em 17 (28) de julho de 1766, Euler e sua família retornaram a São Petersburgo. Apesar da idade avançada e da cegueira quase completa que se abateu sobre ele, trabalhou produtivamente até o fim de sua vida. Durante os 17 anos de sua segunda estada em São Petersburgo, ele preparou cerca de 400 obras, entre elas vários livros grandes. Euler continuou a participar do trabalho organizacional da academia. Em 1776, ele foi um dos especialistas no projeto de uma ponte de arco único sobre o Neva, proposto por I. Kulibin, e de toda a comissão, ele sozinho deu amplo apoio ao projeto.

Os méritos de Euler como cientista proeminente e organizador de pesquisas científicas foram muito apreciados durante sua vida. Além das academias de São Petersburgo e Berlim, foi membro das maiores instituições científicas: a Academia de Ciências de Paris, a Royal Society de Londres e outras.

Uma das marcas do trabalho de Euler é sua produtividade excepcional. Somente durante sua vida, cerca de 550 de seus livros e artigos foram publicados (a lista das obras de Euler contém cerca de 850 títulos). Em 1909, a Sociedade Suíça de Ciências Naturais começou a publicar as obras completas de Euler, que foi concluída em 1975; é composto por 72 volumes. De grande interesse é a colossal correspondência científica de Euler (cerca de 3.000 cartas), que até agora foi publicada apenas parcialmente.

O círculo de estudos de Euler era extraordinariamente amplo, cobrindo todos os departamentos de matemática e mecânica contemporânea, teoria da elasticidade, física matemática, ótica, teoria musical, teoria das máquinas, balística, ciência marinha, negócios de seguros, etc. Cerca de 3/5 das obras de Euler pertencem à matemática, os 2/5 restantes principalmente às suas aplicações. O cientista sistematizou seus resultados e os resultados obtidos por outros em várias monografias clássicas, escritas com incrível clareza e providas de valiosos exemplos. Estes são, por exemplo, “Mecânica, ou a Ciência do Movimento, Estabelecida Analiticamente” (1736), “Introdução à Análise” (1748), “Cálculo Diferencial” (1755), “Teoria do Movimento de um Corpo Rígido” (1765). ), “Aritmética Universal” (1768-69), que teve cerca de 30 edições em 6 línguas, “Cálculo Integral” (1768-94), etc. No século XVIII. e em parte no século XIX. As Cartas sobre Vários Assuntos Físicos e Filosóficos, publicamente disponíveis, escritas para uma certa princesa alemã, ganharam imensa popularidade. (1768–74), que teve mais de 40 edições em 10 idiomas. A maior parte do conteúdo das monografias de Euler foi então incluída nos livros didáticos para escolas superiores e parcialmente secundárias. É impossível listar todos os teoremas, métodos e fórmulas de Euler que foram usados ​​até agora, dos quais apenas alguns aparecem na literatura sob seu nome [por exemplo, o método da linha quebrada de Euler, as substituições de Euler, a constante de Euler, as equações de Euler , fórmulas de Euler, função de Euler, números de Euler, fórmula de Euler - Maclaurin, fórmulas de Euler-Fourier, característica de Euler, integrais de Euler, ângulos de Euler].

Em "Mecânica", Euler expôs pela primeira vez a dinâmica de um ponto com a ajuda da análise matemática: o movimento livre de um ponto sob a ação de várias forças tanto no vácuo quanto em um meio com resistência; movimento de um ponto ao longo de uma determinada linha ou ao longo de uma determinada superfície; movimento sob a influência de forças centrais. Em 1744, ele primeiro formulou corretamente o princípio mecânico de menor ação e mostrou suas primeiras aplicações. Em The Theory of Motion of a Rigid Body, Euler desenvolveu a cinemática e a dinâmica de um corpo rígido e deu as equações para sua rotação em torno de um ponto fixo, lançando as bases para a teoria dos giroscópios. Em sua teoria do navio, Euler deu uma valiosa contribuição à teoria da estabilidade. Significativas são as descobertas de Euler na mecânica celeste (por exemplo, na teoria do movimento da lua) e na mecânica do contínuo (as equações básicas do movimento de um fluido ideal na forma de Euler e nas chamadas variáveis ​​de Lagrange, oscilações de gás em tubos, etc). Na óptica, Euler (1747) deu a fórmula para uma lente biconvexa e propôs um método para calcular o índice de refração de um meio. Euler aderiu à teoria ondulatória da luz. Ele acreditava que cores diferentes correspondiam a diferentes comprimentos de onda de luz. Euler propôs maneiras de eliminar as aberrações cromáticas das lentes e deu métodos para calcular os componentes ópticos de um microscópio. Euler dedicou uma extensa série de trabalhos, iniciados em 1748, à física matemática: problemas de vibração de uma corda, placa, membrana, etc. . funções, geometria diferencial, etc. Muitas das descobertas matemáticas de Euler estão contidas precisamente nessas obras.

O principal trabalho de Euler como matemático foi o desenvolvimento da análise matemática. Ele lançou as bases de várias disciplinas matemáticas que estavam apenas em sua infância ou estavam completamente ausentes no cálculo infinitesimal de I. Newton, G. Leibniz e os irmãos Bernoulli. Assim, Euler foi o primeiro a introduzir funções de um argumento complexo e a estudar as propriedades das funções elementares básicas de uma variável complexa (funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas); em particular, ele derivou fórmulas relacionando funções trigonométricas a exponenciais. O trabalho de Euler nessa direção marcou o início da teoria das funções de uma variável complexa.

Euler foi o criador do cálculo de variações, descrito na obra “Método para encontrar linhas curvas com propriedades máximas ou mínimas. » (1744). O método pelo qual Euler em 1744 derivou a condição necessária para o extremo de um funcional, a equação de Euler, foi um protótipo dos métodos diretos do cálculo de variações do século XX. Euler criou a teoria das equações diferenciais ordinárias como uma disciplina independente e lançou as bases para a teoria das equações diferenciais parciais. Aqui ele possui um grande número de descobertas: o método clássico de resolver equações lineares com coeficientes constantes, o método de variação de constantes arbitrárias, elucidação das propriedades básicas da equação de Riccati, a integração de equações lineares com coeficientes variáveis ​​usando séries infinitas, critérios para soluções especiais, a doutrina do fator de integração, vários métodos aproximados e uma série de técnicas para resolver equações diferenciais parciais. Euler compilou uma parte significativa desses resultados em seu "Cálculo Integral".

Euler também enriqueceu o cálculo diferencial e integral no sentido estrito da palavra (por exemplo, a teoria da mudança de variáveis, o teorema das funções homogêneas, o conceito de integral dupla e o cálculo de muitas integrais especiais). No "Cálculo Diferencial", Euler expressou e apoiou com exemplos sua convicção na conveniência de usar séries divergentes e propôs métodos para a soma generalizada de séries, antecipando as ideias da moderna teoria rigorosa das séries divergentes, criada na virada do século séculos 19 e 20. Além disso, Euler obteve muitos resultados concretos na teoria das séries. Ele abriu o chamado. a fórmula de soma de Euler-Maclaurin, propôs a transformação de séries que leva seu nome, determinou as somas de um grande número de séries e introduziu novos tipos importantes de séries na matemática (por exemplo, séries trigonométricas). Os estudos de Euler sobre a teoria das frações contínuas e outros processos infinitos se juntam aqui.

Euler é o fundador da teoria das funções especiais. Ele começou a considerar o seno e o cosseno como funções, e não como segmentos de um círculo. Ele obteve quase todas as expansões clássicas de funções elementares em séries e produtos infinitos. Em seus trabalhos, foi criada a teoria da função γ. Ele investigou as propriedades de integrais elípticas, funções hiperbólicas e cilíndricas, a função ζ, algumas funções θ, o logaritmo integral e classes importantes de polinômios especiais.

De acordo com P. Chebyshev, Euler lançou as bases para todas as pesquisas que constituem a parte geral da teoria dos números. Assim, Euler provou uma série de afirmações feitas por P. Fermat (por exemplo, o pequeno teorema de Fermat), desenvolveu os fundamentos da teoria dos resíduos de potência e a teoria das formas quadráticas, descobriu (mas não provou) a lei da reciprocidade quadrática, e estudou uma série de problemas na análise diofantina. Nos trabalhos sobre a divisão dos números em termos e sobre a teoria dos números primos, Euler foi o primeiro a utilizar os métodos de análise, sendo assim o criador da teoria analítica dos números. Em particular, ele introduziu a função ζ e provou a assim chamada. A identidade de Euler relacionando números primos a todos os números naturais.

Os méritos de Euler também são grandes em outras áreas da matemática. Em álgebra, possui trabalhos sobre a solução de equações de graus superiores em radicais e sobre equações em duas incógnitas, bem como as chamadas. Identidade quadrática de Euler. Euler fez progressos significativos na geometria analítica, especialmente na teoria das superfícies de segunda ordem. Em geometria diferencial, ele estudou detalhadamente as propriedades das linhas geodésicas, pela primeira vez aplicou as equações naturais das curvas e, o mais importante, lançou as bases da teoria das superfícies. Ele introduziu o conceito de direções principais em um ponto de uma superfície, provou sua ortogonalidade, derivou uma fórmula para a curvatura de qualquer seção normal, começou a estudar superfícies desenvolvíveis, etc.; em um trabalho publicado postumamente (1862), ele antecipou parcialmente a pesquisa de K. Gauss sobre a geometria intrínseca das superfícies. Euler também tratou de questões individuais de topologia e provou, por exemplo, um importante teorema sobre poliedros convexos. Euler, o matemático, é frequentemente descrito como um brilhante "calculador". De fato, ele era um mestre insuperável de cálculos e transformações formais; em suas obras, muitas fórmulas e símbolos matemáticos receberam uma aparência moderna (por exemplo, ele possui as designações para e e π). No entanto, Euler também introduziu uma série de idéias profundas na ciência, que agora são estritamente fundamentadas e servem de modelo para a profundidade de penetração no assunto da pesquisa.

Segundo P. Laplace, Euler foi professor de matemáticos na segunda metade do século XVIII.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, agora Alemanha, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Ele estudou em Paris, manteve relações amistosas com matemáticos notáveis, em particular com Fourier. Ao receber seu diploma, foi professor nas universidades de Breslau (1826 - 1828), Berlim (1828 - 1855) e Göttingen, onde se tornou chefe do departamento de matemática após a morte do cientista Carl Friedrich Gauss. Sua contribuição mais notável para a ciência diz respeito à teoria dos números, principalmente o estudo das séries. Isso lhe permitiu desenvolver a teoria das séries proposta por Fourier. Criou sua própria versão da prova do teorema de Fermat, usou funções analíticas para resolver problemas aritméticos e introduziu critérios de convergência para séries. No campo da análise matemática aprimorou a definição e o conceito de função, no campo da mecânica teórica se concentrou no estudo da estabilidade dos sistemas e no conceito newtoniano de potencial.

CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVYCH

Matemático russo, fundador da escola científica de São Petersburgo, acadêmico da Academia de Ciências de São Petersburgo (1856). As obras de Chebyshev lançaram as bases para o desenvolvimento de muitos novos ramos da matemática.

As obras mais numerosas de Chebyshev estão no campo da análise matemática. Ele foi, em particular, objeto de uma dissertação pelo direito de palestra, na qual Chebyshev investigava a integrabilidade de certas expressões irracionais em funções algébricas e logaritmos. Chebyshev também dedicou vários outros trabalhos à integração de funções algébricas. Em um deles (1853), foi obtido um conhecido teorema sobre condições de integrabilidade em funções elementares de um binômio diferencial. Uma importante área de pesquisa em análise matemática é seu trabalho na construção de uma teoria geral de polinômios ortogonais. O motivo de sua criação foi a interpolação parabólica pelo método dos mínimos quadrados. As investigações de Chebyshev sobre o problema dos momentos e sobre as fórmulas de quadratura estão ao lado do mesmo círculo de ideias. Com a redução de cálculos em mente, Chebyshev propôs (1873) considerar fórmulas de quadratura com coeficientes iguais (integração aproximada). A pesquisa sobre fórmulas de quadratura e sobre a teoria da interpolação estava intimamente ligada às tarefas que foram estabelecidas para Chebyshev no departamento de artilharia do comitê científico militar.

Na teoria da probabilidade, Chebyshev é creditado com a introdução sistemática à consideração de variáveis ​​aleatórias e a criação de uma nova técnica para provar os teoremas do limite da teoria da probabilidade - os chamados. método dos momentos (1845, 1846, 1867, 1887). Ele provou a lei dos grandes números de uma forma muito geral; Ao mesmo tempo, sua prova é impressionante em sua simplicidade e elementaridade. Chebyshev não concluiu o estudo das condições de convergência das funções de distribuição de somas de variáveis ​​aleatórias independentes para a lei normal. No entanto, A. A. Markov conseguiu fazer isso com alguma adição dos métodos de Chebyshev. Sem derivações rigorosas, Chebyshev também delineou a possibilidade de refinamentos desse teorema do limite na forma de expansões assintóticas da função de distribuição da soma de termos independentes em potências de n21/2, onde n é o número de termos. O trabalho de Chebyshev sobre a teoria das probabilidades constitui um estágio importante em seu desenvolvimento; além disso, eles foram a base sobre a qual cresceu a escola russa de teoria da probabilidade, que a princípio consistia em alunos diretos de Chebyshev.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Baixa Saxônia, 1826 - Selaska, perto de Intra, Itália 66)

matemático alemão. Em 1846 ele entrou na Universidade de Göttingen: ele ouviu as palestras de K. Gauss, muitas das quais foram desenvolvidas por ele mais tarde. Em 1847-49 assistiu a palestras na Universidade de Berlim; em 1849 ele retornou a Göttingen, onde se tornou amigo íntimo do colaborador de Gauss, o físico W. Weber, que despertou nele um profundo interesse por questões de ciências naturais matemáticas.

Em 1851 defendeu sua tese de doutorado "Fundamentos da teoria geral das funções de uma variável complexa". A partir de 1854 Privatdozent, a partir de 1857 professor da Universidade de Göttingen.

O trabalho de Riemann teve uma grande influência no desenvolvimento da matemática na segunda metade do século XIX. e no século 20. Em sua tese de doutorado, Riemann lançou as bases para a direção geométrica da teoria das funções analíticas; ele introduziu as chamadas superfícies de Riemann, que são importantes no estudo de funções multivaloradas, desenvolveu a teoria dos mapeamentos conformes e, em conexão com isso, deu as idéias básicas de topologia, estudou as condições para a existência de funções analíticas dentro de regiões de vários tipos (o chamado princípio de Dirichlet), etc. Os métodos desenvolvidos por Riemann foram amplamente utilizados em seus trabalhos posteriores sobre a teoria de funções algébricas e integrais, na teoria analítica de equações diferenciais (em particular, equações que definem funções hipergeométricas ), na teoria analítica dos números (por exemplo, Riemann indicou a conexão entre a distribuição dos números primos e as propriedades da função ζ, em particular com a distribuição de seus zeros no domínio complexo - a chamada hipótese de Riemann, cuja validade ainda não foi comprovada), etc.

Em vários artigos, Riemann investigou a expansão de funções em séries trigonométricas e, em conexão com isso, determinou as condições necessárias e suficientes para a integrabilidade no sentido de Riemann, o que foi importante para a teoria dos conjuntos e funções de uma variável real . Riemann também propôs métodos para integrar equações diferenciais parciais (por exemplo, usando os chamados invariantes de Riemann e a função de Riemann).

Em sua famosa palestra de 1854 "Sobre as hipóteses subjacentes à geometria" (1867), Riemann deu a ideia geral de um espaço matemático (em suas palavras, "variedades"), incluindo espaços funcionais e topológicos. Aqui ele considerou a geometria no sentido amplo como a doutrina de variedades n-dimensionais contínuas, ou seja, coleções de quaisquer objetos homogêneos, e, generalizando os resultados de Gauss na geometria intrínseca de uma superfície, ele deu o conceito geral de um elemento linear (o diferencial da distância entre os pontos de uma variedade), definindo assim os chamados espaços de Finsler. Mais detalhadamente, Riemann considerou os chamados espaços riemannianos, generalizando os espaços das geometrias de Euclides, Lobachevsky e geometria elíptica de Riemann, caracterizada por um tipo especial de elemento linear, e desenvolveu a teoria de sua curvatura. Discutindo a aplicação de suas idéias ao espaço físico, Riemann levantou a questão das "causas das propriedades métricas" dele, como se antecipasse o que havia sido feito na teoria geral da relatividade.

As ideias e métodos propostos por Riemann abriram novos caminhos no desenvolvimento da matemática e encontraram aplicação na mecânica e na teoria da relatividade geral. O cientista morreu em 1866 de tuberculose.

Os números são diferentes: naturais, naturais, racionais, inteiros e fracionários, positivos e negativos, complexos e primos, ímpares e pares, reais, etc. Neste artigo você pode aprender o que são números primos.

Que números são chamados de palavra inglesa "simples"?

Muitas vezes, os alunos não sabem responder a uma das perguntas aparentemente mais simples da matemática, sobre o que é um número primo. Eles costumam confundir números primos com números naturais (ou seja, os números que as pessoas usam ao contar objetos, enquanto em algumas fontes começam do zero e em outras - de um). Mas estes são dois conceitos completamente diferentes. Os números primos são números naturais, ou seja, números inteiros e positivos que são maiores que um e que possuem apenas 2 divisores naturais. Nesse caso, um desses divisores é um determinado número e o segundo é uma unidade. Por exemplo, três é um número primo porque não é divisível por qualquer número que não seja ele mesmo e um.

Números compostos

O oposto dos números primos são os números compostos. Eles também são naturais, também maiores que um, mas não têm dois, mas mais divisores. Assim, por exemplo, os números 4, 6, 8, 9, etc. são números naturais, compostos, mas não primos. Como você pode ver, estes são principalmente números pares, mas não todos. Mas o “dois” é um número par e o “primeiro número” em uma série de números primos.

Subsequência

Para construir uma série de números primos, é necessário fazer uma seleção de todos os números naturais, levando em consideração sua definição, ou seja, você precisa agir por contradição. É necessário considerar cada um dos números naturais positivos sobre se ele tem mais de dois divisores. Vamos tentar construir uma série (sequência) que consiste em números primos. A lista começa com dois, depois vem três, pois só é divisível por ele mesmo e um. Considere o número quatro. Tem divisores diferentes de quatro e um? Sim, esse número é 2. Portanto, quatro não é um número primo. Cinco também é primo (além de 1 e 5, não é divisível por nenhum outro número), mas seis é divisível. E, em geral, se você seguir todos os números pares, notará que, além de “dois”, nenhum deles é primo. Disso concluímos que os números pares, exceto dois, não são primos. Outra descoberta: todos os números que são divisíveis por três, exceto o próprio triplo, seja par ou ímpar, também não são primos (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, etc.). O mesmo se aplica aos números que são divisíveis por cinco e sete. Todo o seu conjunto também não é simples. Vamos resumir. Assim, todos os números ímpares, exceto um e nove, pertencem a números simples de um dígito, e apenas “dois” de pares. As próprias dezenas (10, 20,... 40, etc.) não são primos. Números primos de dois dígitos, três dígitos, etc. podem ser definidos com base nos princípios acima: se eles não tiverem outros divisores além deles mesmos e um.

Teorias sobre as propriedades dos números primos

Existe uma ciência que estuda as propriedades dos inteiros, incluindo os primos. Este é um ramo da matemática, que é chamado de superior. Além das propriedades dos números inteiros, ela também lida com números algébricos, transcendentais, bem como funções de várias origens relacionadas à aritmética desses números. Nesses estudos, além de métodos elementares e algébricos, também são utilizados métodos analíticos e geométricos. Especificamente, o estudo dos números primos trata da “Teoria dos Números”.

Os números primos são os “blocos de construção” dos números naturais

Em aritmética existe um teorema chamado teorema principal. Segundo ele, qualquer número natural, exceto a unidade, pode ser representado como um produto, cujos fatores são números primos, e a ordem dos fatores é única, o que significa que o método de representação é único. É chamada de decomposição de um número natural em fatores primos. Existe outro nome para esse processo - fatoração de números. A partir disso, os números primos podem ser chamados de “material de construção”, “blocos” para a construção de números naturais.

Procure por números primos. Testes de Simplicidade

Muitos cientistas de diferentes épocas tentaram encontrar alguns princípios (sistemas) para encontrar uma lista de números primos. A ciência conhece sistemas chamados peneira de Atkin, peneira de Sundartam, peneira de Eratóstenes. No entanto, eles não fornecem resultados significativos e um teste simples é usado para encontrar números primos. Algoritmos também foram criados por matemáticos. Eles são chamados de testes de primalidade. Por exemplo, existe um teste desenvolvido por Rabin e Miller. É usado por criptógrafos. Há também um teste Kayala-Agrawala-Saskena. No entanto, apesar de sua precisão suficiente, é muito difícil de calcular, o que diminui seu valor prático.

O conjunto dos primos tem limite?

O fato de o conjunto dos primos ser infinito foi escrito no livro "Beginnings" do antigo cientista grego Euclides. Ele disse o seguinte: “Vamos imaginar por um momento que os números primos tenham um limite. Então vamos multiplicá-los entre si e adicionar um ao produto. O número obtido como resultado dessas operações simples não pode ser divisível por nenhuma das séries de números primos, pois o resto será sempre um. E isso significa que há algum outro número que ainda não está incluído na lista de números primos. Portanto, nossa suposição não é verdadeira e esse conjunto não pode ter limite. Além da prova de Euclides, há uma fórmula mais moderna dada pelo matemático suíço do século XVIII Leonhard Euler. Segundo ele, a soma, o recíproco da soma dos n primeiros números, cresce indefinidamente com o crescimento do número n. E aqui está a fórmula do teorema sobre a distribuição de números primos: (n) cresce como n / ln (n).

Qual é o maior número primo?

Mesmo assim, Leonard Euler foi capaz de encontrar o maior número primo de sua época. Isso é 2 31 - 1 = 2147483647. No entanto, em 2013, outro maior mais preciso na lista de números primos foi calculado - 2 57885161 - 1. É chamado de número de Mersenne. Ele contém cerca de 17 milhões de dígitos decimais. Como você pode ver, o número encontrado por um cientista do século XVIII é várias vezes menor que isso. Deveria ter sido assim, porque Euler fez esse cálculo manualmente, mas nosso contemporâneo provavelmente foi ajudado por um computador. Além disso, esse número foi obtido no Departamento de Matemática de um dos departamentos americanos. Números com o nome deste cientista passam pelo teste de primalidade de Luc-Lehmer. No entanto, a ciência não quer parar por aí. A Electronic Frontier Foundation, fundada em 1990 nos Estados Unidos da América (EFF), ofereceu uma recompensa monetária por encontrar grandes números primos. E se até 2013 o prêmio era dado aos cientistas que os encontrariam entre 1 e 10 milhões de números decimais, hoje esse número passou de 100 milhões a 1 bilhão. Os prêmios variam de 150 a 250 mil dólares americanos.

Nomes de números primos especiais

Esses números que foram encontrados graças a algoritmos criados por certos cientistas e passaram no teste de simplicidade são chamados de especiais. Aqui estão alguns deles:

1. Mersina.

4. Cullen.

6. Mills et al.

A simplicidade desses números, nomeados em homenagem aos cientistas acima, é estabelecida usando os seguintes testes:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge e outros.

A ciência moderna não para por aí, e provavelmente em um futuro próximo o mundo conhecerá os nomes daqueles que conseguiram ganhar um prêmio de 250.000 dólares ao encontrar o maior número primo.

Lista de divisores. Por definição, o número né primo apenas se não for divisível por 2 e quaisquer inteiros diferentes de 1 e ele mesmo. A fórmula acima elimina etapas desnecessárias e economiza tempo: por exemplo, após verificar se um número é divisível por 3, não há necessidade de verificar se é divisível por 9.

• A função floor(x) arredonda x para o inteiro mais próximo menor ou igual a x.

Aprenda sobre aritmética modular. A operação "x mod y" (mod é a abreviação da palavra latina "modulo", que significa "módulo") significa "dividir x por y e encontrar o restante". Em outras palavras, na aritmética modular, ao atingir um determinado valor, que é chamado de módulo, os números "voltam" para zero. Por exemplo, um relógio mede o tempo no módulo 12: mostra 10, 11 e 12 horas e depois volta para 1.

• Muitas calculadoras têm uma tecla mod. O final desta seção mostra como calcular manualmente essa função para números grandes.

Aprenda sobre as armadilhas do Pequeno Teorema de Fermat. Todos os números para os quais as condições de teste não são atendidas são compostos, mas os números restantes são apenas provavelmente são considerados simples. Se você quiser evitar resultados incorretos, procure n na lista de "números de Carmichael" (números compostos que satisfazem este teste) e "números de Fermat pseudo-primos" (estes números atendem às condições do teste apenas para alguns valores uma).

Se conveniente, use o teste de Miller-Rabin. Embora este método seja bastante complicado para cálculos manuais, é frequentemente usado em programas de computador. Ele fornece velocidade aceitável e apresenta menos erros do que o método de Fermat. Um número composto não será considerado um número primo se os cálculos forem feitos para mais de ¼ de valores uma. Se você selecionar valores diferentes aleatoriamente uma e para todos eles o teste dará um resultado positivo, podemos assumir com um grau bastante alto de confiança que né um número primo.

Para números grandes, use aritmética modular. Se você não tiver uma calculadora mod à mão, ou se sua calculadora não for projetada para lidar com números tão grandes, use as propriedades de potência e a aritmética modular para facilitar os cálculos. Abaixo segue um exemplo para 3 50 (\displaystyle 3^(50)) modo 50:

• Reescreva a expressão de uma forma mais conveniente: mod 50. Ao calcular manualmente, simplificações adicionais podem ser necessárias.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25)))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Aqui levamos em consideração a propriedade da multiplicação modular.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) modo 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) modo 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Um número primo é um número natural que só é divisível por ele mesmo e por um.

O resto dos números são chamados compostos.

Números naturais simples

Mas nem todos os números naturais são primos.

Os números naturais simples são apenas aqueles que são divisíveis apenas por eles mesmos e por um.

Exemplos de números primos:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Inteiros simples

Segue-se que apenas os números naturais são números primos.

Isso significa que os números primos são necessariamente naturais.

Mas todos os números naturais também são inteiros.

Assim, todos os números primos são inteiros.

Exemplos de números primos:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Mesmo números primos

Existe apenas um número primo par, que é dois.

Todos os outros números primos são ímpares.

Por que um número par maior que dois não pode ser um número primo?

Mas porque qualquer número par maior que dois será divisível por si mesmo, não por um, mas por dois, ou seja, tal número sempre terá três divisores, e possivelmente mais.