\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Vamos explicar mais fácil. Por exemplo, \(\log_(2)(8)\) é igual à potência \(2\) que deve ser elevada para obter \(8\). A partir disso, fica claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemplos:		\(\log_(5)(25)=2\)		Porque \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Porque \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento e base do logaritmo

Qualquer logaritmo tem a seguinte "anatomia":

O argumento do logaritmo geralmente é escrito em seu nível e a base é escrita em subscrito mais próximo do sinal do logaritmo. E esta entrada é lida assim: "o logaritmo de vinte e cinco na base de cinco".

Como calcular o logaritmo?

Para calcular o logaritmo, você precisa responder à pergunta: até que ponto a base deve ser elevada para obter o argumento?

Por exemplo, calcule o logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A que potência \(4\) deve ser elevada para obter \(16\)? Obviamente o segundo. É por isso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A que potência \(\sqrt(5)\) deve ser elevada para obter \(1\)? E que grau torna qualquer número uma unidade? Zero, claro!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A que potência \(\sqrt(7)\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(7)\)? No primeiro - qualquer número no primeiro grau é igual a si mesmo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A que potência \(3\) deve ser elevada para obter \(\sqrt(3)\)? De onde sabemos que é uma potência fracionária e, portanto, a raiz quadrada é a potência de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplo : Calcule o logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Decisão :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Precisamos encontrar o valor do logaritmo, vamos denotá-lo como x. Agora vamos usar a definição do logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Quais links \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Dois, porque ambos os números podem ser representados por dois: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		À esquerda, usamos as propriedades de grau: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cponto n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		As bases são iguais, procedemos à igualdade de indicadores
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplique ambos os lados da equação por \(\frac(2)(5)\)
		A raiz resultante é o valor do logaritmo

Responder : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Por que o logaritmo foi inventado?

Para entender isso, vamos resolver a equação: \(3^(x)=9\). Basta combinar \(x\) para fazer a igualdade funcionar. Claro, \(x=2\).

Agora resolva a equação: \(3^(x)=8\) A que x é igual? Essa é a questão.

Os mais engenhosos dirão: "X é um pouco menos que dois". Como exatamente esse número deve ser escrito? Para responder a essa pergunta, eles criaram o logaritmo. Graças a ele, a resposta aqui pode ser escrita como \(x=\log_(3)(8)\).

Quero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), bem como qualquer logaritmo é apenas um número. Sim, parece incomum, mas é curto. Porque se quiséssemos escrevê-lo como um decimal, ficaria assim: \(1.892789260714.....\)

Exemplo : Resolva a equação \(4^(5x-4)=10\)

Decisão :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) e \(10\) não podem ser reduzidos à mesma base. Então aqui você não pode prescindir do logaritmo. Vamos usar a definição do logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Vire a equação para que x fique à esquerda
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Antes de nós. Mova \(4\) para a direita. E não tenha medo do logaritmo, trate-o como um número normal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divida a equação por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aqui está a nossa raiz. Sim, parece incomum, mas a resposta não é escolhida.

Responder : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimais e naturais

Conforme declarado na definição do logaritmo, sua base pode ser qualquer número positivo, exceto um \((a>0, a\neq1)\). E entre todas as bases possíveis, há duas que ocorrem com tanta frequência que uma notação curta especial foi inventada para logaritmos com elas:

Logaritmo natural: um logaritmo cuja base é o número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), e o logaritmo é escrito como \(\ln(a)\).

Aquilo é, \(\ln(a)\) é o mesmo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: Um logaritmo cuja base é 10 é escrito \(\lg(a)\).

Aquilo é, \(\lg(a)\) é o mesmo que \(\log_(10)(a)\), onde \(a\) é algum número.

Identidade logarítmica básica

Os logaritmos têm muitas propriedades. Um deles é chamado de "identidade logarítmica básica" e tem a seguinte aparência:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propriedade decorre diretamente da definição. Vejamos como surgiu esta fórmula.

Lembre-se da curta definição do logaritmo:

se \(a^(b)=c\), então \(\log_(a)(c)=b\)

Ou seja, \(b\) é o mesmo que \(\log_(a)(c)\). Então podemos escrever \(\log_(a)(c)\) em vez de \(b\) na fórmula \(a^(b)=c\) . Descobriu-se \(a^(\log_(a)(c))=c\) - a principal identidade logarítmica.

Você pode encontrar o restante das propriedades dos logaritmos. Com a ajuda deles, você pode simplificar e calcular os valores das expressões com logaritmos, que são difíceis de calcular diretamente.

Exemplo : Encontre o valor da expressão \(36^(\log_(6)(5))\)

Decisão :

Responder : \(25\)

Como escrever um número como um logaritmo?

Como mencionado acima, qualquer logaritmo é apenas um número. O inverso também é verdadeiro: qualquer número pode ser escrito como um logaritmo. Por exemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) é igual a dois. Então você pode escrever \(\log_(2)(4)\) ao invés de dois.

Mas \(\log_(3)(9)\) também é igual a \(2\), então você também pode escrever \(2=\log_(3)(9)\) . Da mesma forma com \(\log_(5)(25)\), e com \(\log_(9)(81)\), etc. Isto é, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Assim, se precisarmos, podemos escrever os dois como um logaritmo com qualquer base em qualquer lugar (mesmo em uma equação, mesmo em uma expressão, mesmo em uma desigualdade) - apenas escrevemos a base ao quadrado como um argumento.

É o mesmo com um triplo - pode ser escrito como \(\log_(2)(8)\), ou como \(\log_(3)(27)\), ou como \(\log_(4)( 64) \) ... Aqui escrevemos a base no cubo como um argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E com quatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E com menos um:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

E com um terço:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualquer número \(a\) pode ser representado como um logaritmo com base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplo : encontre o valor de uma expressão \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Decisão :

Responder : \(1\)

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Os logaritmos, como qualquer número, podem ser adicionados, subtraídos e convertidos de todas as maneiras possíveis. Mas como os logaritmos não são números comuns, existem regras aqui, chamadas propriedades básicas.

Essas regras devem ser conhecidas - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, são muito poucos - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: log uma x e logar uma y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

1. registro uma x+log uma y= registro uma (x · y);
2. registro uma x−log uma y= registro uma (x : y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Observe: o ponto chave aqui é - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Essas fórmulas o ajudarão a calcular a expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (consulte a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

log 6 4 + log 6 9.

Como as bases dos logaritmos são iguais, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas por logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois que as transformações resultam números bastante normais. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil ver que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: uma > 0, uma ≠ 1, x> 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isso é o que é mais frequentemente necessário.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

[Legenda da figura]

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:

[Legenda da figura]

Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo parado ali na forma de graus e retiraram os indicadores - obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos ver a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que eles só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Deixe o logaritmo logar uma x. Então para qualquer número c de tal modo que c> 0 e c≠ 1, a igualdade é verdadeira:

[Legenda da figura]

Em particular, se colocarmos c = x, Nós temos:

[Legenda da figura]

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar a conveniência deles apenas na resolução de equações e inequações logarítmicas.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

[Legenda da figura]

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois e depois calculamos os logaritmos.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar e nos livrar dos indicadores:

[Legenda da figura]

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal movendo para uma nova base:

[Legenda da figura]

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é, na verdade, uma definição parafraseada. É chamada de identidade logarítmica básica.

De fato, o que acontecerá se o número b eleve a potência para que b nesta medida dá um número uma? Isso mesmo: este é o mesmo número uma. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas "penduram" nele.

Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.

Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:

[Legenda da figura]

Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas retirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências com a mesma base, obtemos:

[Legenda da figura]

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do exame :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos "avançados".

1. registro uma uma= 1 é a unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base uma desta base em si é igual a um.
2. registro uma 1 = 0 é zero logarítmico. Base uma pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um, o logaritmo é zero! Porque uma 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Não deixe de praticar colocando-os em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

São dadas as principais propriedades do logaritmo natural, gráfico, domínio de definição, conjunto de valores, fórmulas básicas, derivada, integral, expansão em série de potências e representação da função ln x por meio de números complexos.

Definição

Logaritmo naturalé a função y = ln x, inverso ao expoente, x \u003d e y , e que é o logaritmo da base do número e: ln x = log e x.

O logaritmo natural é amplamente utilizado em matemática porque sua derivada tem a forma mais simples: (ln x)′ = 1/ x.

Sediada definições, a base do logaritmo natural é o número e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Gráfico da função y = ln x.

Gráfico do logaritmo natural (funções y = ln x) é obtido a partir do gráfico do expoente por reflexão no espelho sobre a reta y = x .

O logaritmo natural é definido para valores positivos de x. Ele aumenta monotonicamente em seu domínio de definição.

Como x → 0 o limite do logaritmo natural é menos infinito ( - ∞ ).

Como x → + ∞, o limite do logaritmo natural é mais infinito ( + ∞ ). Para x grande, o logaritmo aumenta lentamente. Qualquer função de potência x a com um expoente positivo a cresce mais rápido que o logaritmo.

Propriedades do logaritmo natural

Domínio de definição, conjunto de valores, extremo, aumento, diminuição

O logaritmo natural é uma função monotonicamente crescente, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo natural são apresentadas na tabela.

ln valores x

registro 1 = 0

Fórmulas básicas para logaritmos naturais

Fórmulas decorrentes da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Qualquer logaritmo pode ser expresso em termos de logaritmos naturais usando a fórmula de mudança de base:

As provas dessas fórmulas são apresentadas na seção "Logaritmo".

Função inversa

O recíproco do logaritmo natural é o expoente.

Se então

Se então .

Derivada ln x

Derivada do logaritmo natural:
.
Derivada do logaritmo natural do módulo x:
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivação de fórmulas > > >

Integrante

A integral é calculada por integração por partes:
.
Então,

Expressões em termos de números complexos

Considere uma função de uma variável complexa z:
.
Vamos expressar a variável complexa z via módulo r e argumento φ :
.
Usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou
.
O argumento φ não é definido exclusivamente. Se colocarmos
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo natural, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potência

Para , a expansão ocorre:

Referências:
NO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredita? OK. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda uma classe de equações exponenciais. Mesmo que você nunca tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisa saber a tabuada e como um número é elevado a uma potência ...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Ir!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.