A distância de um ponto do plano de projeção horizontal é chamado. Construção de projeções ortogonais de pontos

Considere o plano de perfil das projeções. As projeções em dois planos perpendiculares geralmente determinam a posição da figura e permitem descobrir suas dimensões e forma reais. Mas há momentos em que duas projeções não são suficientes. Em seguida, aplique a construção da terceira projeção.

O terceiro plano de projeção é realizado de forma que fique perpendicular a ambos os planos de projeção ao mesmo tempo (Fig. 15). O terceiro plano é chamado perfil.

Em tais construções, a linha comum dos planos horizontal e frontal é chamada eixo x , a linha comum dos planos horizontal e perfil - eixo no , e a linha reta comum dos planos frontal e perfil - eixo z . Ponto O, que pertence aos três planos, é chamado de ponto de origem.

A Figura 15a mostra o ponto MAS e três de suas projeções. Projeção no plano do perfil ( uma) são chamados projeção de perfil e denotar uma.

Para obter um diagrama do ponto A, que consiste em três projeções um, um um, é necessário cortar o triedro formado por todos os planos ao longo do eixo y (Fig. 15b) e combinar todos esses planos com o plano da projeção frontal. O plano horizontal deve ser girado em torno do eixo x, e o plano do perfil está próximo ao eixo z na direção indicada pela seta na Figura 15.

A Figura 16 mostra a posição das projeções um, um e uma pontos MAS, obtido como resultado da combinação de todos os três planos com o plano de desenho.

Como resultado do corte, o eixo y ocorre no diagrama em dois lugares diferentes. Num plano horizontal (Fig. 16), assume uma posição vertical (perpendicular ao eixo x), e no plano do perfil - horizontal (perpendicular ao eixo z).

A Figura 16 mostra três projeções um, um e uma os pontos A têm uma posição estritamente definida no diagrama e estão sujeitos a condições inequívocas:

uma e uma deve estar sempre localizado em uma linha reta vertical perpendicular ao eixo x;

uma e uma deve estar sempre localizado na mesma linha horizontal perpendicular ao eixo z;

3) quando desenhado através de uma projeção horizontal e uma linha horizontal, mas através de uma projeção de perfil uma- uma linha reta vertical, as linhas construídas necessariamente se cruzarão na bissetriz do ângulo entre os eixos de projeção, pois a figura oa no uma 0 uma n é um quadrado.

Ao construir três projeções de um ponto, é necessário verificar o cumprimento de todas as três condições para cada ponto.

Coordenadas do ponto

A posição de um ponto no espaço pode ser determinada usando três números chamados coordenadas. Cada coordenada corresponde à distância de um ponto a algum plano de projeção.

distância do ponto MAS ao plano do perfil é a coordenada x, em que x = a˝A(Fig. 15), a distância ao plano frontal - pela coordenada y, e y = aa, e a distância ao plano horizontal é a coordenada z, em que z = aA.

Na Figura 15, o ponto A ocupa a largura de uma caixa retangular, e as medidas desta caixa correspondem às coordenadas deste ponto, ou seja, cada uma das coordenadas é apresentada na Figura 15 quatro vezes, ou seja:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

No diagrama (Fig. 16), as coordenadas x e z ocorrem três vezes:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Todos os segmentos que correspondem à coordenada x(ou z) são paralelas entre si. Coordenada no representado duas vezes pelo eixo vertical:

y \u003d Oa y \u003d a x a

e duas vezes - localizado horizontalmente:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Essa diferença apareceu devido ao fato de que o eixo y está presente no diagrama em duas posições diferentes.

Deve-se notar que a posição de cada projeção é determinada no diagrama por apenas duas coordenadas, a saber:

1) horizontal - coordenadas x e no,

2) frontal - coordenadas x e z,

3) perfil - coordenadas no e z.

Usando coordenadas x, y e z, você pode construir projeções de um ponto no diagrama.

Se o ponto A for dado por coordenadas, seu registro é definido da seguinte forma: A ( X; y; z).

Ao construir projeções pontuais MAS as seguintes condições devem ser verificadas:

1) projeções horizontais e frontais uma e uma x x;

2) projeções frontais e de perfil uma e uma devem estar localizados na mesma perpendicular ao eixo z, uma vez que têm uma coordenada comum z;

3) projeção horizontal e também afastada do eixo x, como a projeção do perfil uma longe do eixo z, uma vez que as projeções a′ e a˝ têm uma coordenada comum no.

Se o ponto estiver em qualquer um dos planos de projeção, então uma de suas coordenadas é igual a zero.

Quando um ponto está no eixo de projeção, suas duas coordenadas são zero.

Se um ponto está na origem, todas as suas três coordenadas são zero.

Projeção de uma linha reta

Dois pontos são necessários para definir uma linha. Um ponto é definido por duas projeções nos planos horizontal e frontal, ou seja, uma linha reta é determinada usando as projeções de seus dois pontos nos planos horizontal e frontal.

A Figura 17 mostra as projeções ( uma e a, b e b) dois pontos MAS e B. Com a ajuda deles, a posição de alguma linha reta AB. Ao conectar as projeções de mesmo nome desses pontos (ou seja, uma e BA e b) você pode obter projeções ab e ab AB direto.

A Figura 18 mostra as projeções de ambos os pontos, e a Figura 19 mostra as projeções de uma reta que passa por eles.

Se as projeções de uma linha reta são determinadas pelas projeções de seus dois pontos, elas são denotadas por duas letras latinas adjacentes correspondentes às designações das projeções dos pontos tomados na linha reta: com traços para indicar a projeção frontal do linha reta ou sem traços - para a projeção horizontal.

Se considerarmos não pontos individuais de uma linha reta, mas suas projeções como um todo, essas projeções são indicadas por números.

Se algum ponto A PARTIR DE fica em linha reta AB, suas projeções с e с́ estão nas projeções da mesma linha ab e ab. A Figura 19 ilustra esta situação.

Traços retos

traçar em linha reta- este é o ponto de sua interseção com algum plano ou superfície (Fig. 20).

Pista horizontal em linha reta algum ponto é chamado H onde a linha encontra o plano horizontal, e frontal- ponto V, em que esta linha reta encontra o plano frontal (Fig. 20).

A Figura 21a mostra o traço horizontal de uma reta, e seu traço frontal, na Figura 21b.

Às vezes, o traço do perfil de uma linha reta também é considerado, C- o ponto de interseção de uma linha reta com um plano de perfil.

O traço horizontal está no plano horizontal, ou seja, sua projeção horizontal h coincide com este traço, e o frontal h está no eixo x. O traço frontal está no plano frontal, então sua projeção frontal ν́ coincide com ele, e o v horizontal está no eixo x.

Então, H = h, e V= v. Portanto, para denotar traços de uma linha reta, letras podem ser usadas h e v.

Várias posições da linha

A linha reta é chamada posição geral direta, se não for paralelo nem perpendicular a nenhum dos planos de projeção. As projeções de uma linha em posição geral também não são nem paralelas nem perpendiculares aos eixos de projeção.

Retas paralelas a um dos planos de projeção (perpendiculares a um dos eixos). A Figura 22 mostra uma linha reta paralela ao plano horizontal (perpendicular ao eixo z), é uma linha reta horizontal; A figura 23 mostra uma reta paralela ao plano frontal (perpendicular ao eixo no), é a linha reta frontal; a figura 24 mostra uma reta paralela ao plano do perfil (perpendicular ao eixo x), é uma linha reta de perfil. Apesar de cada uma dessas linhas formar um ângulo reto com um dos eixos, elas não o cruzam, mas apenas se cruzam com ele.

Devido ao fato da linha horizontal (Fig. 22) ser paralela ao plano horizontal, suas projeções frontais e de perfil serão paralelas aos eixos que definem o plano horizontal, ou seja, os eixos x e no. Portanto projeções ab|| x e a˝b˝|| no z. A projeção horizontal ab pode assumir qualquer posição no diagrama.

Na projeção da linha frontal (Fig. 23) ab|| x e a˝b˝ || z, ou seja, são perpendiculares ao eixo no, e, portanto, neste caso, a projeção frontal ab a linha pode assumir qualquer posição.

Na linha do perfil (Fig. 24) ab|| e, ab|| z, e ambos são perpendiculares ao eixo x. Projeção a˝b˝ pode ser colocado no diagrama de qualquer maneira.

Ao considerar o plano que projeta a linha horizontal no plano frontal (Fig. 22), você pode ver que ele também projeta essa linha no plano do perfil, ou seja, é um plano que projeta a linha em dois planos de projeção ao mesmo tempo - frontal e perfil. Por esta razão é chamado plano duplamente projetado. Da mesma forma, para a linha frontal (Fig. 23), o plano de projeção dupla a projeta nos planos das projeções horizontais e de perfil, e para o perfil (Fig. 23) - nos planos das projeções horizontais e frontais .

Duas projeções não podem definir uma linha reta. Duas projeções 1 e 1 linha reta de perfil (Fig. 25) sem especificar as projeções de dois pontos desta linha reta sobre eles não determinará a posição desta linha reta no espaço.

Em um plano perpendicular a dois planos de simetria dados, pode haver um número infinito de linhas para as quais os dados no diagrama 1 e 1 são suas projeções.

Se um ponto estiver em uma linha, suas projeções em todos os casos estarão nas projeções de mesmo nome nesta linha. A situação oposta nem sempre é verdadeira para a linha do perfil. Em suas projeções, você pode indicar arbitrariamente as projeções de um determinado ponto e não ter certeza de que esse ponto esteja em uma determinada linha.

Em todos os três casos especiais (Fig. 22, 23 e 24), a posição da linha reta em relação ao plano de projeções é seu segmento arbitrário AB, tomada em cada uma das retas, é projetada em um dos planos de projeção sem distorção, ou seja, no plano ao qual é paralela. segmento de linha AB linha reta horizontal (Fig. 22) dá uma projeção em tamanho real em um plano horizontal ( ab = AB); segmento de linha AB linha reta frontal (Fig. 23) - em tamanho real no plano do plano frontal V ( ab = AB) e o segmento AB linha reta do perfil (Fig. 24) - em tamanho real no plano do perfil C (a˝b˝\u003d AB), ou seja, é possível medir o tamanho real do segmento no desenho.

Em outras palavras, com a ajuda de diagramas, pode-se determinar as dimensões naturais dos ângulos que a linha em questão forma com os planos de projeção.

O ângulo que uma linha reta faz com um plano horizontal H, costuma-se denotar a letra α, com o plano frontal - a letra β, com o plano do perfil - a letra γ.

Qualquer uma das retas consideradas não tem traço no plano paralelo a ela, ou seja, a reta horizontal não tem traço horizontal (Fig. 22), a reta frontal não tem traço frontal (Fig. 23), e o perfil linha reta não tem traço de perfil (Fig. 24).

Considere as projeções de pontos em dois planos, para os quais tomamos dois planos perpendiculares (Fig. 4), que chamaremos de frontal horizontal e planos. A linha de interseção desses planos é chamada de eixo de projeção. Projetamos um ponto A nos planos considerados usando uma projeção plana. Para fazer isso, é necessário abaixar as perpendiculares Aa e A do ponto dado nos planos considerados.

A projeção em um plano horizontal é chamada vista de planta pontos MAS, e a projeção uma? no plano frontal é chamado projeção frontal.

Os pontos que devem ser projetados na geometria descritiva geralmente são indicados usando letras latinas maiúsculas. A,B,C. Letras minúsculas são usadas para designar projeções horizontais de pontos. a, b, c... As projeções frontais são indicadas em letras minúsculas com um traço na parte superior a?, b?, c?…

A designação de pontos com algarismos romanos I, II, ... também é usada, e para suas projeções - com algarismos arábicos 1, 2 ... e 1?, 2? ...

Quando o plano horizontal é girado em 90°, pode-se obter um desenho no qual ambos os planos estão no mesmo plano (Fig. 5). Esta imagem é chamada gráfico de pontos.

Através de linhas perpendiculares ah e ah? desenhe um plano (Fig. 4). O plano resultante é perpendicular aos planos frontal e horizontal porque contém perpendiculares a esses planos. Portanto, este plano é perpendicular à linha de interseção dos planos. A linha reta resultante intercepta o plano horizontal em uma linha reta aa x, e o plano frontal - em linha reta Hã? X. Direto aah e Hã? x são perpendiculares ao eixo de interseção dos planos. Aquilo é Aaah?é um retângulo.

Ao combinar os planos de projeção horizontal e frontal uma e uma? ficará em uma perpendicular ao eixo de interseção dos planos, pois quando o plano horizontal gira, a perpendicularidade dos segmentos aa x e Hã? x não está quebrado.

Obtemos isso no diagrama de projeção uma e uma? algum ponto MAS estão sempre na mesma perpendicular ao eixo de interseção dos planos.

Duas projeções a e uma? de algum ponto A pode determinar exclusivamente sua posição no espaço (Fig. 4). Isso é confirmado pelo fato de que ao construir uma perpendicular da projeção a ao plano horizontal, ela passará pelo ponto A. Da mesma forma, a perpendicular da projeção uma? ao plano frontal passará pelo ponto MAS, ou seja, ponto MAS encontra-se em duas retas definidas ao mesmo tempo. O ponto A é seu ponto de interseção, ou seja, é definido.

Considere um retângulo Aaa x uma?(Fig. 5), para o qual as seguintes afirmações são verdadeiras:

1) Distância do ponto MAS do plano frontal é igual à distância de sua projeção horizontal a do eixo de interseção dos planos, ou seja,

ah? = aa X;

2) distância do ponto MAS do plano horizontal de projeções é igual à distância de sua projeção frontal uma? do eixo de interseção dos planos, ou seja,

ah = Hã? X.

Ou seja, mesmo sem o ponto propriamente dito na plotagem, usando apenas suas duas projeções, é possível saber a que distância de cada um dos planos de projeção esse ponto está localizado.

A interseção de dois planos de projeção divide o espaço em quatro partes, que são chamadas quartos(Fig. 6).

O eixo de interseção dos planos divide o plano horizontal em dois quartos - a frente e as costas, e o plano frontal - nos quartos superior e inferior. A parte superior do plano frontal e a parte anterior do plano horizontal são consideradas como os limites do primeiro trimestre.

Ao receber o diagrama, o plano horizontal gira e coincide com o plano frontal (Fig. 7). Nesse caso, a frente do plano horizontal coincidirá com a parte inferior do plano frontal e a parte posterior do plano horizontal com o topo do plano frontal.

As Figuras 8-11 mostram os pontos A, B, C, D, localizados em diferentes quadrantes do espaço. O ponto A está no primeiro quarto, o ponto B está no segundo, o ponto C está no terceiro e o ponto D está no quarto.

Quando os pontos estão localizados no primeiro ou quarto trimestre de sua projeções horizontais localizados na frente do plano horizontal e, no diagrama, eles ficarão abaixo do eixo de interseção dos planos. Quando um ponto está localizado no segundo ou terceiro trimestre, sua projeção horizontal ficará na parte de trás do plano horizontal e, no diagrama, estará acima do eixo de interseção dos planos.

Projeções frontais os pontos localizados no primeiro ou segundo trimestres ficarão na parte superior do plano frontal e, no diagrama, estarão localizados acima do eixo de interseção dos planos. Quando um ponto está localizado no terceiro ou quarto quarto, sua projeção frontal fica abaixo do eixo de interseção dos planos.

Na maioria das vezes, em construções reais, a figura é colocada no primeiro quarto do espaço.

Em alguns casos particulares, o ponto ( E) pode estar em um plano horizontal (Fig. 12). Nesse caso, sua projeção horizontal e e o próprio ponto irão coincidir. A projeção frontal de tal ponto estará no eixo da interseção dos planos.

No caso em que o ponto Para encontra-se no plano frontal (Fig. 13), sua projeção horizontal k encontra-se no eixo de interseção dos planos, e o frontal k? mostra a localização real desse ponto.

Para tais pontos, o sinal de que está em um dos planos de projeção é que uma de suas projeções está no eixo de interseção dos planos.

Se um ponto estiver no eixo de interseção dos planos de projeção, ele e ambas as projeções coincidem.

Quando um ponto não está nos planos de projeção, ele é chamado ponto de posição geral. A seguir, se não houver marcas especiais, o ponto em consideração é um ponto em posição geral.

2. Falta de eixo de projeção

Para explicar como obter no modelo projeções de um ponto em planos de projeção perpendiculares (Fig. 4), é necessário pegar um pedaço de papel grosso na forma de um retângulo alongado. Ele precisa ser dobrado entre as projeções. A linha de dobra representará o eixo da interseção dos planos. Se depois disso o pedaço de papel dobrado for endireitado novamente, obtemos um diagrama semelhante ao mostrado na figura.

Combinando dois planos de projeção com o plano de desenho, você não pode mostrar a linha de dobra, ou seja, não desenhe o eixo de interseção dos planos no diagrama.

Ao construir em um diagrama, você deve sempre colocar projeções uma e uma? ponto A em uma linha vertical (Fig. 14), que é perpendicular ao eixo de interseção dos planos. Portanto, mesmo que a posição do eixo da interseção dos planos permaneça indefinida, mas sua direção seja determinada, o eixo da interseção dos planos só pode ser perpendicular à linha reta no diagrama ah?.

Se não houver eixo de projeção no diagrama de pontos, como na primeira figura 14 a, você pode imaginar a posição desse ponto no espaço. Para fazer isso, desenhe em qualquer lugar perpendicular à linha ah? eixo de projeção, como na segunda figura (Fig. 14) e dobre o desenho ao longo deste eixo. Se restaurarmos as perpendiculares nos pontos uma e uma? antes que eles se cruzem, você pode obter um ponto MAS. Ao mudar a posição do eixo de projeção, são obtidas diferentes posições do ponto em relação aos planos de projeção, mas a incerteza da posição do eixo de projeção não afeta a posição relativa de vários pontos ou figuras no espaço.

3. Projeções de um ponto em três planos de projeção

O terceiro plano de projeção é realizado de forma que fique perpendicular a ambos os planos de projeção ao mesmo tempo (Fig. 15). O terceiro plano é chamado perfil.

A Figura 15a mostra o ponto MAS e três de suas projeções. Projeção no plano do perfil ( uma??) são chamados projeção de perfil e denotar uma??.

A Figura 16 mostra a posição das projeções ah, né? e uma?? pontos MAS, obtido como resultado da combinação de todos os três planos com o plano de desenho.

A Figura 16 mostra três projeções ah, né? e uma?? os pontos A têm uma posição estritamente definida no diagrama e estão sujeitos a condições inequívocas:

uma e uma? deve estar sempre localizado em uma linha reta vertical perpendicular ao eixo x;

uma? e uma?? deve estar sempre localizado na mesma linha horizontal perpendicular ao eixo z;

3) quando desenhado através de uma projeção horizontal e uma linha horizontal, mas através de uma projeção de perfil uma??- uma linha reta vertical, as linhas construídas necessariamente se cruzarão na bissetriz do ângulo entre os eixos de projeção, pois a figura oa no uma 0 uma n é um quadrado.

Ao construir três projeções de um ponto, é necessário verificar o cumprimento de todas as três condições para cada ponto.

4. Coordenadas do ponto

A posição de um ponto no espaço pode ser determinada usando três números chamados coordenadas. Cada coordenada corresponde à distância de um ponto a algum plano de projeção.

distância do ponto MAS ao plano do perfil é a coordenada x, em que x = Hã?(Fig. 15), a distância ao plano frontal - pela coordenada y, e y = Hã?, e a distância ao plano horizontal é a coordenada z, em que z = aA.

x \u003d a?A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;

y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

No diagrama (Fig. 16), as coordenadas x e z ocorrem três vezes:

x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Todos os segmentos que correspondem à coordenada x(ou z) são paralelas entre si. Coordenada no representado duas vezes pelo eixo vertical:

y \u003d Oa y \u003d a x a

e duas vezes - localizado horizontalmente:

y \u003d Oa y \u003d a z a?.

Essa diferença apareceu devido ao fato de que o eixo y está presente no diagrama em duas posições diferentes.

Deve-se notar que a posição de cada projeção é determinada no diagrama por apenas duas coordenadas, a saber:

1) horizontal - coordenadas x e no,

2) frontal - coordenadas x e z,

3) perfil - coordenadas no e z.

Usando coordenadas x, y e z, você pode construir projeções de um ponto no diagrama.

Se o ponto A for dado por coordenadas, seu registro é definido da seguinte forma: A ( X; y; z).

Ao construir projeções pontuais MAS as seguintes condições devem ser verificadas:

1) projeções horizontais e frontais uma e uma? x x;

2) projeções frontais e de perfil uma? e uma? devem estar localizados na mesma perpendicular ao eixo z, uma vez que têm uma coordenada comum z;

3) projeção horizontal e também afastada do eixo x, como a projeção do perfil uma longe do eixo z, desde a projeção ah? e hein? tem uma coordenada comum no.

Se o ponto estiver em qualquer um dos planos de projeção, então uma de suas coordenadas é igual a zero.

Quando um ponto está no eixo de projeção, suas duas coordenadas são zero.

Se um ponto está na origem, todas as suas três coordenadas são zero.

A posição de um ponto no espaço pode ser especificada por suas duas projeções ortogonais, por exemplo, horizontal e frontal, frontal e perfil. A combinação de quaisquer duas projeções ortogonais permite descobrir o valor de todas as coordenadas de um ponto, construir uma terceira projeção, determinar o octante em que está localizado. Vamos considerar algumas tarefas típicas do curso de geometria descritiva.

De acordo com o desenho complexo dado dos pontos A e B, é necessário:

Vamos primeiro determinar as coordenadas do ponto A, que podem ser escritas na forma A (x, y, z). A projeção horizontal do ponto A é o ponto A ", tendo coordenadas x, y. Desenhe do ponto A" perpendiculares aos eixos x, y e encontre, respectivamente, A x, A y. A coordenada x para o ponto A é igual ao comprimento do segmento A x O com um sinal de mais, pois A x está na região de valores positivos do eixo x. Levando em consideração a escala do desenho, encontramos x \u003d 10. A coordenada y é igual ao comprimento do segmento A y O com um sinal de menos, pois t. A y está na região dos valores negativos do eixo y . Dada a escala do desenho, y = -30. A projeção frontal do ponto A - ponto A"" tem coordenadas x e z. Vamos soltar a perpendicular de A"" ao eixo z e encontrar A z . A coordenada z do ponto A é igual ao comprimento do segmento A z O com um sinal de menos, pois A z está na região de valores negativos do eixo z. Dada a escala do desenho, z = -10. Assim, as coordenadas do ponto A são (10, -30, -10).

As coordenadas do ponto B podem ser escritas como B (x, y, z). Considere a projeção horizontal do ponto B - ponto B. "Como está no eixo x, então B x \u003d B" e a coordenada B y \u003d 0. A abcissa x do ponto B é igual ao comprimento do segmento B x O com um sinal de mais. Levando em consideração a escala do desenho, x = 30. A projeção frontal do ponto B - o ponto B˝ tem as coordenadas x, z. Desenhe uma perpendicular de B"" ao eixo z, encontrando assim B z . O z aplicado do ponto B é igual ao comprimento do segmento B z O com um sinal de menos, pois B z está na região de valores negativos do eixo z. Levando em consideração a escala do desenho, determinamos o valor z = -20. Portanto, as coordenadas B são (30, 0, -20). Todas as construções necessárias são mostradas na figura abaixo.

Construção de projeções de pontos

Os pontos A e B no plano P 3 têm as seguintes coordenadas: A""" (y, z); B""" (y, z). Nesse caso, A"" e A""" estão na mesma perpendicular ao eixo z, pois têm uma coordenada z comum. Da mesma forma, B"" e B""" estão em uma perpendicular comum ao eixo z. Para encontrar a projeção do perfil de t.A, separamos ao longo do eixo y o valor da coordenada correspondente encontrada anteriormente. Na figura, isso é feito usando um arco de círculo de raio A y O. Em seguida, desenhamos uma perpendicular de A y até a interseção com a perpendicular restaurada do ponto A "" ao eixo z. O ponto de interseção dessas duas perpendiculares determina a posição de A""".

O ponto B""" está no eixo z, já que a ordenada y deste ponto é igual a zero. Para encontrar a projeção do perfil do ponto B neste problema, é necessário apenas traçar uma perpendicular de B"" a o eixo Z. O ponto de intersecção desta perpendicular com o eixo Z é B """.

Determinando a posição de pontos no espaço

Visualizando o layout espacial, composto pelos planos de projeção P 1, P 2 e P 3, a localização dos octantes, bem como a ordem de transformação do layout em diagramas, você pode determinar diretamente que t. A está localizado no III octante, e t.B está no plano P 2 .

Outra opção para resolver esse problema é o método de exceções. Por exemplo, as coordenadas do ponto A são (10, -30, -10). A abscissa x positiva permite julgar que o ponto está localizado nos primeiros quatro octantes. Uma ordenada y negativa indica que o ponto está no segundo ou terceiro octante. Finalmente, a aplicação negativa de z indica que o ponto A está no terceiro octante. O raciocínio dado é claramente ilustrado pela tabela a seguir.

Oitantes	Sinais de coordenadas
Oitantes	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Coordenadas do ponto B (30, 0, -20). Como a ordenada de t.B é igual a zero, este ponto está localizado no plano de projeção П 2 . A abscissa positiva e a aplicação negativa do ponto B indicam que ele está localizado na fronteira do terceiro e quarto octantes.

Construção de uma imagem visual de pontos no sistema de planos P 1, P 2, P 3

Utilizando a projeção isométrica frontal, construímos uma disposição espacial do terceiro octante. É um triedro retangular, cujas faces são os planos P 1, P 2, P 3, e o ângulo (-y0x) é de 45º. Neste sistema, os segmentos ao longo dos eixos x, y, z serão plotados em tamanho real sem distorção.

A construção de uma imagem visual do ponto A (10, -30, -10) começará com sua projeção horizontal A ". Deixando de lado as coordenadas correspondentes ao longo da abscissa e das ordenadas, encontramos os pontos A x e A y. O A interseção de perpendiculares restauradas de A x e A y respectivamente aos eixos x e y determina a posição do ponto A". Colocando de A" paralelo ao eixo z em direção aos seus valores negativos o segmento AA", cujo comprimento é igual a 10, encontramos a posição do ponto A.

Uma imagem visual do ponto B (30, 0, -20) é construída de maneira semelhante - no plano P 2, as coordenadas correspondentes devem ser plotadas ao longo dos eixos x e z. A interseção das perpendiculares reconstruídas a partir de B x e B z determinará a posição do ponto B.

Linha auxiliar de multidesenho

No desenho mostrado na fig. 4.7, uma, os eixos de projeção são desenhados e as imagens são interligadas por linhas de comunicação. As projeções horizontais e de perfil são conectadas por linhas de comunicação usando arcos centrados em um ponto O interseções de eixos. Porém, na prática, outra implementação do desenho integrado também é utilizada.

Em desenhos sem eixo, as imagens também são colocadas em uma relação de projeção. No entanto, a terceira projeção pode ser colocada mais perto ou mais longe. Por exemplo, uma projeção de perfil pode ser colocada à direita (Fig. 4.7, b, II) ou para a esquerda (Fig. 4.7, b, eu). Isso é importante para economizar espaço e facilitar o dimensionamento.

Arroz. 4.7.

Se em um desenho feito de acordo com um sistema sem eixo for necessário desenhar linhas de comunicação entre a vista superior e a vista esquerda, então uma linha reta auxiliar do desenho complexo é usada. Para fazer isso, aproximadamente no nível da vista superior e ligeiramente à direita dela, uma linha reta é desenhada em um ângulo de 45 ° em relação ao quadro de desenho (Fig. 4.8, uma). É chamada de linha auxiliar do desenho complexo. O procedimento para construir um desenho usando esta linha reta é mostrado na fig. 4.8, b, c.

Se três vistas já foram construídas (Fig. 4.8, d), a posição da linha auxiliar não pode ser escolhida arbitrariamente. Primeiro você precisa encontrar o ponto pelo qual ele passará. Para fazer isso, basta continuar até a interseção mútua do eixo de simetria das projeções horizontais e de perfil e através do ponto resultante k desenhe um segmento de linha reta em um ângulo de 45 ° (Fig. 4.8, d). Se não houver eixos de simetria, continue até a interseção no ponto k 1 projeções horizontais e de perfil de qualquer face projetada como uma linha reta (Fig. 4.8, d).

Arroz. 4.8.

A necessidade de traçar linhas de comunicação e, conseqüentemente, uma linha reta auxiliar, surge na construção de projeções ausentes e na execução de desenhos nos quais é necessário determinar as projeções dos pontos para esclarecer as projeções dos elementos individuais da peça.

Exemplos do uso da linha auxiliar são dados no próximo parágrafo.

Projeções de um ponto na superfície de um objeto

Para construir corretamente projeções de elementos individuais de uma peça ao fazer desenhos, é necessário encontrar projeções de pontos individuais em todas as imagens do desenho. Por exemplo, é difícil desenhar uma projeção horizontal da peça mostrada na Fig. 4.9 sem usar as projeções de pontos individuais ( A, B, C, D, E e etc). A capacidade de encontrar todas as projeções de pontos, arestas, faces também é necessária para recriar na imaginação a forma de um objeto de acordo com suas imagens planas no desenho, bem como para verificar a exatidão do desenho finalizado.

Arroz. 4.9.

Vamos considerar maneiras de encontrar a segunda e a terceira projeções de um ponto dado na superfície de um objeto.

Se uma projeção de um ponto for fornecida no desenho de um objeto, primeiro é necessário encontrar as projeções da superfície na qual esse ponto está localizado. Em seguida, escolha um dos dois métodos descritos abaixo para resolver o problema.

primeira via

Este método é usado quando pelo menos uma das projeções mostra a superfície dada como uma linha.

Na fig. 4.10, uma um cilindro é mostrado, em cuja projeção frontal a projeção é definida uma" pontos MAS, deitado na parte visível de sua superfície (dadas as projeções são marcadas com círculos coloridos duplos). Para encontrar a projeção horizontal de um ponto MAS, eles argumentam o seguinte: o ponto está na superfície do cilindro, cuja projeção horizontal é um círculo. Isso significa que a projeção de um ponto situado nessa superfície também estará no círculo. Desenhe uma linha de comunicação e marque o ponto desejado em sua interseção com o círculo uma. terceira projeção uma"

Arroz. 4.10.

Se o ponto NO, deitado na base superior do cilindro, dado por sua projeção horizontal b, em seguida, as linhas de comunicação são traçadas para a interseção com segmentos de linha reta representando as projeções frontais e de perfil da base superior do cilindro.

Na fig. 4.10, b mostra o detalhe - ênfase. Para construir projeções de um ponto MAS, dado por sua projeção horizontal uma, encontre duas outras projeções da face superior (na qual está o ponto MAS) e, desenhando as linhas de conexão até a interseção com os segmentos de linha que representam essa face, determine as projeções - pontos desejados uma" e uma". Ponto NO encontra-se na face vertical do lado esquerdo, o que significa que suas projeções também estarão nas projeções desta face. Então, a partir de um determinado ponto b" desenhe as linhas de comunicação (conforme indicado pelas setas) até que elas se encontrem com os segmentos de linha representando esta face. projeção frontal Com" pontos A PARTIR DE, deitado sobre uma face inclinada (no espaço), são encontrados na linha que representa esta face, e o perfil Com"- na interseção da linha de conexão, pois a projeção do perfil dessa face não é uma linha, mas uma figura. Construção de projeções pontuais D mostrado por setas.

segunda via

Este método é usado quando o primeiro método não pode ser usado. Então você deve fazer isso:

desenhe através da projeção dada do ponto a projeção da linha auxiliar localizada na superfície dada;
encontre a segunda projeção desta linha;
para a projeção encontrada da linha, transfira a projeção dada do ponto (isso determinará a segunda projeção do ponto);
encontre a terceira projeção (se necessário) na interseção das linhas de comunicação.

Na fig. 4.10, a projeção frontal é dada uma" pontos MAS, deitado na parte visível da superfície do cone. Para encontrar a projeção horizontal através de um ponto uma" realizar uma projeção frontal de uma reta auxiliar passando pelo ponto MAS e o topo do cone. Ganhe um ponto Vé a projeção do ponto de encontro da linha desenhada com a base do cone. Tendo projeções frontais de pontos situados em uma linha reta, pode-se encontrar suas projeções horizontais. Projeção horizontal s o topo do cone é conhecido. Ponto b encontra-se na circunferência da base. Um segmento de linha é desenhado através desses pontos e um ponto é transferido para ele (como mostrado pela seta). uma", ganhando um ponto uma. Terceira projeção uma" pontos MAS localizado na encruzilhada.

O mesmo problema pode ser resolvido de forma diferente (Fig. 4.10, G).

Como uma linha auxiliar passando por um ponto MAS, eles não seguem uma linha reta, como no primeiro caso, mas um círculo. Este círculo é formado se no ponto MAS interceptam o cone com um plano paralelo à base, conforme mostrado na representação visual. A projeção frontal deste círculo será representada como um segmento de reta, pois o plano do círculo é perpendicular ao plano de projeção frontal. A projeção horizontal de um círculo tem diâmetro igual ao comprimento desse segmento. Descrevendo um círculo com o diâmetro especificado, desenhe a partir de um ponto uma" linha de ligação à interseção com o círculo auxiliar, já que a projeção horizontal uma pontos MAS encontra-se na linha auxiliar, ou seja, no círculo construído. terceira projeção Como" pontos MAS encontrado na intersecção das linhas de comunicação.

Da mesma forma, você pode encontrar as projeções de um ponto sobre uma superfície, por exemplo, uma pirâmide. A diferença será que quando é atravessado por um plano horizontal, não se forma um círculo, mas uma figura semelhante à base.

Com projeção retangular, o sistema de planos de projeção consiste em dois planos de projeção mutuamente perpendiculares (Fig. 2.1). Um concordou em ser colocado na horizontal e o outro na vertical.

O plano de projeções, localizado horizontalmente, é chamado plano de projeção horizontal e denotar sch, e o plano perpendicular a ele plano de projeção frontall 2 . O próprio sistema de planos de projeção é denotado p/ p 2. Normalmente use expressões abreviadas: plano EU[, avião n 2 . Linha de intersecção de planos sch e para 2 chamado eixo de projeçãoOH. Ele divide cada plano de projeção em duas partes - andares. O plano horizontal de projeções tem andares anterior e posterior, enquanto o plano frontal tem um andar superior e inferior.

aviões sch e p 2 divida o espaço em quatro partes chamadas quartos e denotado pelos algarismos romanos I, II, III e IV (ver Fig. 2.1). O primeiro quarto é chamado de parte do espaço delimitada pelos planos de projeção frontal oca superior e horizontal oca frontal. Para os restantes quartos do espaço, as definições são semelhantes às anteriores.

Todos os desenhos de engenharia são imagens construídas no mesmo plano. Na fig. 2.1 o sistema de planos de projeção é espacial. Para passar para imagens no mesmo plano, combinamos combinar os planos de projeção. Geralmente avião p 2 deixado imóvel, e o avião P gire na direção indicada pelas setas (ver Fig. 2.1), em torno do eixo OH em um ângulo de 90 ° até que esteja alinhado com o plano n 2 . Com essa virada, o piso da frente do plano horizontal desce e o de trás sobe. Após o alinhamento, os planos têm a forma representada

fêmea na fig. 2.2. Acredita-se que os planos de projeção sejam opacos e o observador esteja sempre no primeiro quarto. Na fig. 2.2, a designação dos planos invisíveis após o alinhamento é feita entre colchetes, como é habitual para destacar figuras invisíveis nos desenhos.

O ponto projetado pode estar em qualquer quarto do espaço ou em qualquer plano de projeção. Em todos os casos, para construir projeções, traçam-se linhas salientes através dela e seus pontos de encontro encontram-se com os planos 711 e 712, que são projeções.

Considere a projeção de um ponto localizado no primeiro trimestre. O sistema de planos de projeção 711/712 e o ponto MAS(Fig. 2.3). Duas LINHAS retas são traçadas através dela, perpendiculares aos PLANOS 71) E 71 2. Um deles interceptará o plano 711 no ponto MAS ", chamado projeção horizontal do ponto A, e o outro é o plano 71 2 no ponto MAS ", chamado projeção frontal do ponto A.

Projetando linhas AA" e AA" determinar o plano de projeção a. É perpendicular aos planos Kip 2, uma vez que passa por perpendiculares a eles e intercepta os planos de projeção ao longo de linhas retas A "Ah e A" A x. Eixo de projeção OH perpendicular ao plano oc, como linha de intersecção de dois planos 71| e 71 2 perpendiculares ao terceiro plano (a) e, portanto, a qualquer linha situada nele. Em particular, 0X1A "A x e 0X1A "Ax.

Ao combinar planos, o segmento Um "Ah, apartamento para 2, permanece estacionário, e o segmento Um "A x juntamente com o plano 71) será girado em torno do eixo OH até alinhar com o plano 71 2 . Vista de planos de projeção combinados junto com projeções de um ponto MAS mostrado na fig. 2.4, uma. Depois de alinhar o ponto A", A x e A" estará localizado em uma linha reta perpendicular ao eixo OH. Isso implica que duas projeções do mesmo ponto

estão em uma perpendicular comum ao eixo de projeção. Esta perpendicular conectando duas projeções do mesmo ponto é chamada linha de projeção.

O desenho na fig. 2.4, uma pode ser bastante simplificado. As designações dos planos de projeção combinados nos desenhos não são marcadas e os retângulos que limitam condicionalmente os planos de projeção não são representados, uma vez que os planos são ilimitados. Desenho de ponto simplificado MAS(Fig. 2.4, b) também chamado diagrama(Do francês ?puro - desenho).

Mostrado na fig. 2.3 quadrilátero AE4 "AX A"é um retângulo e seus lados opostos são iguais e paralelos. Portanto, a distância do ponto MAS até o avião P, medido por um segmento AA", no desenho é determinado pelo segmento Um "Ah. o segmento A "Ax = AA" permite que você julgue a distância de um ponto MAS até o avião para 2 . Assim, o desenho de um ponto fornece uma imagem completa de sua localização em relação aos planos de projeção. Por exemplo, de acordo com o desenho (ver Fig. 2.4, b) pode-se argumentar que o ponto MAS localizado no primeiro trimestre e removido do avião p 2 a uma distância menor do que a partir do plano ts b desde Um "A x Um "Ah.

Vamos passar a projetar um ponto no segundo, terceiro e quarto trimestres do espaço.

Ao projetar um ponto NO, localizado no segundo trimestre (Fig. 2.5), após a combinação dos planos, ambas as suas projeções ficarão acima do eixo OH.

A projeção horizontal do ponto C, dada no terceiro trimestre (Fig. 2.6), está localizada acima do eixo OH, e a frente é mais baixa.

O ponto D representado na fig. 2.7 está localizado no quarto trimestre. Depois de combinar os planos de projeção, ambas as projeções estarão abaixo do eixo OH.

Comparando os desenhos de pontos localizados em diferentes quadrantes do espaço (ver Fig. 2.4-2.7), você pode ver que cada um é caracterizado por sua própria localização de projeções em relação ao eixo das projeções OH.

Em casos particulares, o ponto projetado pode estar no plano de projeção. Então uma de suas projeções coincide com o próprio ponto e a outra estará localizada no eixo de projeção. Por exemplo, para um ponto E, deitado em um avião sch(Fig. 2.8), a projeção horizontal coincide com o próprio ponto e a projeção frontal está no eixo OH. No ponto E, localizado no avião para 2(Fig. 2.9), projeção horizontal no eixo OH, e a frente coincide com o próprio ponto.

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