20. Estudo multinível de ângulos poliédricos, propriedades dos ângulos planos de um ângulo triédrico e de um ângulo poliédrico.

Um nível básico de:

Atanasyan

Considera apenas o ângulo diedro.

Pogorelov

Primeiro considera o ângulo diedro e depois imediatamente triédrico e poliédrico.

Considere três raios a, b, c, vindos de um ponto e situados no mesmo plano. Um ângulo triédrico (abc) é uma figura composta por três ângulos planos (ab), (bc) e (ac) (Fig. 400). Esses ângulos são chamados de faces de um ângulo triédrico e seus lados são chamados de arestas. O vértice comum de ângulos planos é chamado de vértice de um ângulo triédrico. Os ângulos diedros formados pelas faces de um ângulo triédrico são chamados de ângulos diedros de um ângulo triédrico.

O conceito de ângulo poliédrico é introduzido de forma semelhante (Fig. 401).

fig. 400 e fig. 401

P nível do perfil(A.D. Aleksndrov, A.L. Verner, V.I. Ryzhikh):

Deixando a definição e estudo de ângulos poliédricos arbitrários para § 31, vamos agora considerar o mais simples deles - ângulos triédricos. Se na estereometria os ângulos diedros podem ser considerados análogos dos ângulos planos, os ângulos triédricos podem ser considerados análogos dos triângulos planos e, nos parágrafos seguintes, veremos como eles estão naturalmente relacionados aos triângulos esféricos.

Você pode construir (e, portanto, definir construtivamente) um ângulo triédrico da seguinte maneira. Tomemos quaisquer três raios a, b, c, tendo uma origem comum O e não estando no mesmo plano (Fig. 150). Esses raios são os lados de três ângulos planos convexos: ângulo α com lados b, c, ângulo β com lados a, c e ângulo γ com lados a, b. A união desses três ângulos α, β, γ é chamada de ângulo triédrico Oabc (ou, resumindo, ângulo triédrico O). Os raios a, b, c são chamados de arestas do ângulo triédrico Oabc, e os ângulos planos α, β, γ são chamados de suas faces. O ponto O é chamado de vértice do ângulo triédrico.

Nota 3. Seria possível definir um ângulo triédrico com uma face não convexa (Fig. 151), mas não consideraremos tais ângulos triédricos.

Para cada uma das arestas de um ângulo triédrico, é determinado um ângulo diedro correspondente, tal que a aresta contém a aresta correspondente do ângulo triédrico e cujas faces contêm as faces do ângulo triédrico adjacentes a essa aresta.

Os valores dos ângulos diedros do ângulo triédrico Oabc nas arestas a, b, c serão respectivamente denotados por a^, b^, c^ (caps diretamente acima das letras).

Três faces α, β, γ do ângulo triédrico Oabc e três de seus ângulos diedros nas arestas a, b, c, assim como os valores α, β, γ e a^, b^, c^ serão chamados elementos do ângulo triédrico. (Lembre-se de que os elementos de um triângulo plano são seus lados e seus ângulos.)

Nossa tarefa é expressar alguns elementos de um ângulo triédrico em termos de seus outros elementos, ou seja, construir uma "trigonometria" de ângulos triédricos.

1) Vamos começar com a derivação de um análogo do teorema do cosseno. Primeiro, considere tal ângulo triédrico Oabc, que tem pelo menos duas faces, por exemplo, α e β são ângulos agudos. Pegue um ponto C em sua aresta c e desenhe a partir dele nas faces α e β as perpendiculares CB e CA à aresta c até que se cruzem com as arestas a e b nos pontos A e B (Fig. 152). Expressamos a distância AB dos triângulos OAB e CAB usando o teorema do cosseno.

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) e AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ.

Subtraindo a primeira igualdade da segunda igualdade, temos:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c ^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1). Porque os triângulos OSV e OSA são retangulares, então AC 2 -AC 2 \u003d OS 2 e OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

Portanto, de (1) e (2) segue que OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

Essa.

Mas
,
,
,
. É por isso

(3) é um análogo do teorema do cosseno para ângulos triédricos fórmula do cosseno.

Ambas as faces α e β são ângulos obtusos.

Um dos ângulos α e β, por exemplo α, é agudo e o outro é β-obtuso.

Pelo menos 1 dos ângulos α ou β está correto.

Sinais de igualdade de ângulos triédricos semelhantes aos sinais da igualdade dos triângulos. Mas há uma diferença: por exemplo, dois ângulos triédricos são iguais se seus ângulos diedros forem respectivamente iguais. Lembre-se de que dois triângulos planos cujos ângulos correspondentes são iguais são semelhantes. E para ângulos triédricos, uma condição semelhante leva não à semelhança, mas à igualdade.

Os ângulos triédricos têm uma notável propriedade que se chama dualidade. Se em qualquer teorema sobre o ângulo triédrico Oabc substituirmos as quantidades a, b, c por π-α, π-β, π-γ e, inversamente, substituir α, β, γ por π-a^, π-b^ , π -c^, então novamente obtemos a afirmação correta sobre ângulos triédricos, que é dual ao teorema original. É verdade que, se tal substituição for feita no teorema do seno, chegamos novamente ao teorema do seno (é dual a si mesmo). Mas se fizermos isso no teorema do cosseno (3), obteremos uma nova fórmula

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Por que essa dualidade ocorre ficará claro se, para um ângulo triédrico, construirmos seu ângulo triédrico duplo, cujas arestas são perpendiculares às faces do ângulo original (ver Seção 33.3 e Fig. 356).

Algumas das superfícies mais simples são ângulos poliédricos. Eles são compostos de ângulos comuns (agora chamaremos esses ângulos de ângulos planos), assim como uma linha quebrada fechada é composta de segmentos. Ou seja, a seguinte definição é dada:

Um ângulo poliédrico é uma figura formada por ângulos planos de modo que as seguintes condições sejam atendidas:

1) Dois ângulos não têm pontos comuns além do vértice comum ou do lado inteiro.

2) Cada um desses ângulos tem cada lado em comum com um e apenas um outro ângulo.

3) De cada canto para cada, você pode ir ao longo dos cantos que têm lados comuns.

4) Não existem dois ângulos com um lado comum no mesmo plano (Fig. 324).

Sob esta condição, os ângulos planos que formam um ângulo poliédrico são chamados de suas faces, e seus lados são chamados de arestas.

Um ângulo diedro também se encaixa nessa definição. É composto por dois cantos planos desenvolvidos. Qualquer ponto em sua aresta pode ser considerado seu vértice, e este ponto divide a aresta em duas arestas convergentes no vértice. Mas em vista dessa incerteza na posição do vértice, o ângulo diedro é excluído do número de ângulos poliédricos.

P

o conceito de ângulo poliédrico é importante, em particular, no estudo dos poliedros - na teoria dos poliedros. A estrutura de um poliedro é caracterizada por quais faces é composta e como elas convergem nos vértices, ou seja, quais são os ângulos poliédricos.

Considere os ângulos poliédricos de diferentes poliedros.

Observe que as faces dos cantos poliédricos também podem ser cantos não convexos.

№1 Data05.09.14

Geometria do assunto

Classe 11

Tópico da lição: O conceito de um ângulo poliédrico. ângulo triangular.

Lições objetivas:

introduzir os conceitos: “ângulos triédricos”, “ângulos poliédricos”, “poliedro”;

familiarizar os alunos com os elementos dos ângulos triédricos e poliédricos, um poliedro, bem como as definições de um ângulo poliédrico convexo e as propriedades dos ângulos planos de um ângulo poliédrico;

continuar a trabalhar no desenvolvimento de representações espaciais e imaginação espacial, bem como o pensamento lógico dos alunos.

Tipo de lição: aprendendo novo material

DURANTE AS AULAS

1. Momento organizacional.

Cumprimentar os alunos, verificar a prontidão da turma para a aula, organizar a atenção dos alunos, divulgar os objetivos gerais da aula e seu plano.

2. Formação de novos conceitos e métodos de ação.

Tarefas: Garantir a percepção, compreensão e memorização do material estudado pelos alunos. Garantir que os alunos dominem a metodologia de reprodução do material estudado, para promover a compreensão filosófica dos conceitos, leis, regras, fórmulas que estão sendo assimiladas. Estabelecer a correção e consciência do material estudado pelos alunos, identificar lacunas na compreensão primária, realizar uma correção. Garantir que os alunos correlacionem sua experiência subjetiva com os signos do conhecimento científico.

Sejam dados três raiosuma, b es s ponto de partida comumO (Fig. 1.1). Esses três raios não estão necessariamente no mesmo plano. Na figura 1.2, os raiosb eCom deitar em um aviãoR, um raiouma não está neste plano.

Raiosuma, b eCom pares definem três ângulos planos distinguidos por arcos (Fig. 1.3).

Considere uma figura que consiste nos três ângulos indicados acima e na parte do espaço limitada por esses ângulos planos. Essa figura espacial é chamadaângulo triédrico (Figura 2).

Raiosuma, b e com chamadoarestas de um ângulo triédrico, e os cantos: = AOC, = AOB,

= COB , limitando o ângulo triédrico, - suarostos. Esses cantos formamsuperfície triédrica. PontoO chamadovértice de um ângulo triédrico. Um ângulo triédrico pode ser denotado da seguinte forma: OABC

Tendo examinado cuidadosamente todos os ângulos poliédricos mostrados na Figura 3, podemos concluir que cada um dos ângulos poliédricos tem o mesmo número de arestas e faces:

4 faces e um vértice;

um canto de cinco lados tem 5 arestas, 5 faces e um vértice;

• 
  um canto hexagonal tem 6 arestas, 6 faces e um vértice, etc.

Os ângulos poliédricos são convexo e não convexo.

Imagine que tiramos quatro raios de origem comum, como na Figura 4. Neste caso, temosângulo poliédrico não convexo.

Definição 1. Um ângulo poliédrico é chamado de ângulo convexo,se eleencontra-se em um lado do plano de cada uma de suas faces.

Em outras palavras, um ângulo poliédrico convexo sempre pode ser colocado por qualquer uma de suas faces em algum plano. Você pode ver que no caso mostrado na Figura 4, isso nem sempre é possível. O ângulo tetraédrico mostrado na Figura 4 não é convexo.

Observe que em nosso tutorial, se dissermos “ângulo poliédrico”, queremos dizer que é convexo. Se o ângulo poliédrico considerado não for convexo, isso será discutido separadamente.

Propriedades dos cantos planos de um canto poliédrico

Teorema 1.Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma dos outros dois ângulos planos.

Teorema 2.A soma dos valores de todos os ângulos planos de um ângulo poliédrico convexo é menor que 360°.

3. Aplicação. Formação de competências e habilidades.

Objetivos: Garantir que os alunos apliquem os conhecimentos e métodos de ação de que necessitam para o SW, criar condições para que os alunos identifiquem formas individuais de aplicar o que aprenderam.

6. Encenar informações sobre o dever de casa.

Objetivos: Garantir que os alunos compreendam o propósito, o conteúdo e os métodos de fazer os trabalhos de casa.

§1 (1.1, 1.2) p. 4, nº 9.

7. Resumindo a lição.

Objetivo: Fazer uma avaliação qualitativa do trabalho da turma e dos alunos individualmente.

8. Estágio de reflexão.

Tarefas: Iniciar a reflexão dos alunos sobre a autoavaliação das suas atividades. Garantir que os alunos aprendam os princípios de autorregulação e cooperação.

Conversa sobre:

O que você achou interessante na aula?

O que não está claro?

O que o professor deve prestar atenção na próxima aula?

Como você avalia seu trabalho em sala de aula?

ângulo triédrico

ângulo triangular.

ângulo triédrico- esta é uma parte do espaço limitada por três cantos planos com um vértice comum e lados comuns aos pares que não estão no mesmo plano. O vértice comum O desses ângulos é chamado de vértice do ângulo triédrico. Os lados dos cantos são chamados de arestas, os cantos planos no vértice de um ângulo triédrico são chamados de suas faces. Cada um dos três pares de faces de um ângulo triédrico forma um ângulo diedro (limitado por uma terceira face que não está incluída no par; se necessário, essa restrição é removida naturalmente, resultando nos meios planos necessários que formam todo o diedro ângulo sem restrição). Se você colocar o vértice de um ângulo triédrico no centro de uma esfera, um triângulo esférico delimitado por ele é formado em sua superfície, cujos lados são iguais aos ângulos planos do ângulo triédrico e os ângulos aos seus ângulos diedros .

A desigualdade triangular para um ângulo triédrico

Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma de seus outros dois ângulos planos.

A soma dos ângulos planos de um ângulo triédrico

A soma dos ângulos planos de um ângulo triédrico é menor que 360 ​​graus.

Prova

Seja OABC um ângulo triédrico dado. Considere um ângulo triédrico com vértice A formado pelas faces ABO, ACO e ângulo BAC. Vamos escrever a desigualdade:

Da mesma forma, para os ângulos triédricos restantes com vértices B e C:

Somando essas desigualdades e levando em conta que a soma dos ângulos do triângulo ABC é 180°, obtemos

Consequentemente:

Teorema do cosseno para um ângulo triédrico

Primeiro teorema do cosseno para um ângulo triédrico

Teorema do segundo cosseno para um ângulo triédrico
onde α, β, γ são ângulos planos, A, B, C são ângulos diedros compostos por planos de ângulos β e γ, α e γ, α e β.

Prova do Teorema do Segundo Cosseno para um ângulo triédrico

Seja OABC um ângulo triédrico dado. Deixemos cair as perpendiculares do ponto interior do ângulo triédrico até suas faces e obtenhamos um novo ângulo triédrico polar (duplo ao dado). Os ângulos planos de um ângulo triédrico complementam os ângulos diedros de outro, e os ângulos diedros de um ângulo complementam os planos de outro até 180 graus. Aqueles. os ângulos planos do ângulo polar são respectivamente iguais a: 180 - A; 180 - B; 180 - C, e diedro - 180 - α; 180-β; 180-γ

Vamos escrever o primeiro teorema do cosseno para ele

e após simplificações obtemos:

Teorema do seno para um ângulo triédrico

Onde α, β, γ são os ângulos planos do ângulo triédrico; A, B, C - ângulos diedros opostos.

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é "ângulo triédrico" em outros dicionários:

Parte do espaço delimitada por uma pirâmide triangular infinita (ver fig.). As faces desta pirâmide são chamadas de faces do T. u., seu vértice é o vértice do T. u. As costelas formam ... ... Grande Enciclopédia Soviética

ângulo triédrico- Uma figura espacial formada por três raios que emanam de um ponto e não estão no mesmo plano. Tópicos de engenharia em geral… Manual do Tradutor Técnico

Consulte ângulo sólido. * * * ÂNGULO TRIÉDRO ÂNGULO TRIÉDRO, consulte Ângulo sólido (consulte Ângulo sólido) … dicionário enciclopédico dicionário enciclopédico

Uma parte do espaço delimitada por um certo enxame de cônicas. superfície (Fig. 1); em particular, os ângulos triédrico (Fig. 2) e poliédrico (Fig. 3) são limitados respectivamente. três e mais faces planas convergindo no topo de T. at. O valor de T. at. é igual à relação ... ... Ciência natural. dicionário enciclopédico

triedro- ai, ai. 1) Ter três faces. arquivo triangular. baionetas de T. 2) matemática. Formado pela intersecção de três faces que passam por um ponto. Ângulo triédrico / nny ... Dicionário de muitas expressões

Um triângulo esférico de ângulo reto com hipotenusa c, catetos aeb e ângulo reto C. O teorema de Pitágoras esférico é um teorema que estabelece a relação entre os lados de um retângulo ... Wikipedia

Com um vértice comum e lados comuns aos pares que não estão no mesmo plano. O vértice comum O desses ângulos é chamado de vértice do ângulo triédrico. Os lados dos cantos são chamados de arestas, os cantos planos no vértice de um ângulo triédrico são chamados de suas faces. Cada um dos três pares de faces de um ângulo triédrico forma um ângulo diedro (limitado por uma terceira face que não está incluída no par; se necessário, essa restrição é naturalmente removida, resultando nos meios planos necessários que formam todo o diedro ângulo sem restrição). Se colocarmos o vértice de um ângulo triédrico no centro de uma esfera, um triângulo esférico delimitado por ele é formado em sua superfície, cujos lados são iguais aos ângulos planos do ângulo triédrico e os ângulos aos seus ângulos diedros .

A desigualdade triangular para um ângulo triédrico

Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma de seus outros dois ângulos planos.

A soma dos ângulos planos de um ângulo triédrico

A soma dos ângulos planos de um ângulo triédrico é menor que 360 ​​graus.

Prova

Seja OABC um determinado ângulo triédrico (ver Fig. 1). Considere um ângulo triédrico com vértice A formado pelas faces ABO, ACO e ângulo BAC. Vamos escrever a desigualdade:

Da mesma forma, para os ângulos triédricos restantes com vértices B e C:

Somando essas desigualdades e levando em conta que a soma dos ângulos do triângulo ABC é 180°, obtemos

Consequentemente:

Teorema do cosseno para um ângulo triédrico

Seja dado um ângulo triédrico (ver Fig. 2), α, β, γ - seus ângulos planos, A, B, C - ângulos diedros compostos por planos de ângulos β e γ, α e γ, α e β.

O primeiro teorema do cosseno para um ângulo triédrico: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (A)$

O segundo teorema do cosseno para um ângulo triédrico: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

Prova do Teorema do Segundo Cosseno para um Ângulo Triédrico

Seja OABC um ângulo triédrico dado. Deixemos cair as perpendiculares do ponto interior do ângulo triédrico até suas faces e obtenhamos um novo ângulo triédrico polar (duplo ao dado). Os ângulos planos de um ângulo triédrico complementam os ângulos diedros de outro, e os ângulos diedros de um ângulo complementam os planos de outro até 180 graus. Ou seja, os ângulos planos do ângulo polar são respectivamente iguais: 180 - A; 180 - B; 180 - C, e diedro - 180 - α; 180-β; 180-γ

Vamos escrever o primeiro teorema do cosseno para ele

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

e após simplificações obtemos:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

Teorema do seno para um ângulo triédrico

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, onde α, β, γ são os ângulos planos do ângulo triédrico; A, B, C - ângulos diedros opostos (ver Fig. 2).

Veja também

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Um trecho caracterizando o ângulo triédrico

- Planta isso. Sente-se, querida, sente-se. Veste o sobretudo, Antonov.
Juncker era Rostov. Ele segurava a outra com uma mão, estava pálido, e seu maxilar inferior tremia com um tremor febril. Eles o colocaram em Matvevna, na própria arma da qual o oficial morto foi derrubado. Havia sangue no sobretudo forrado, no qual as calças e as mãos de Rostov estavam sujas.
- O que, você está ferido, minha querida? - disse Tushin, aproximando-se da arma na qual Rostov estava sentado.
- Não, em estado de choque.
- Por que há sangue na cama? perguntou Tushin.
“Este é um oficial, meritíssimo, sangrou”, respondeu o artilheiro, enxugando o sangue com a manga do sobretudo e como se pedisse desculpas pela impureza em que se encontrava a arma.
À força, com a ajuda da infantaria, eles levaram as armas para a montanha e, chegando à aldeia de Guntersdorf, pararam. Já estava tão escuro que a dez passos era impossível distinguir os uniformes dos soldados, e a escaramuça começou a diminuir. De repente, perto do lado direito, ouviram-se novamente gritos e tiros. Dos tiros já brilhava no escuro. Este foi o último ataque dos franceses, que foi respondido pelos soldados que se instalaram nas casas da aldeia. Mais uma vez, tudo correu para fora da aldeia, mas as armas de Tushin não podiam se mover, e os artilheiros, Tushin e o cadete, se entreolharam em silêncio, esperando seu destino. O tiroteio começou a diminuir, e soldados animados saíram de uma rua lateral.
- Tsel, Petrov? um perguntou.
- Perguntou, irmão, o calor. Agora eles não vão aparecer, disse outro.
- Nada para ver. Como eles fritaram na deles! não ser visto; escuridão, irmãos. Existe uma bebida?
Os franceses foram repelidos pela última vez. E novamente, em completa escuridão, os canhões de Tushin, como se cercados por uma armação de infantaria ruidosa, avançaram para algum lugar.
Na escuridão, era como se um rio invisível e sombrio estivesse fluindo, tudo em uma direção, zumbindo com sussurros, vozes e sons de cascos e rodas. No estrondo geral, por causa de todos os outros sons, os gemidos e vozes dos feridos na escuridão da noite eram os mais claros de todos. Seus gemidos pareciam preencher toda essa escuridão que cercava as tropas. Seus gemidos e a escuridão daquela noite eram a mesma coisa. Depois de um tempo, houve uma comoção na multidão em movimento. Alguém cavalgou com uma comitiva em um cavalo branco e disse algo enquanto dirigia. O que você disse? Para onde agora? Fique, o quê? Obrigado, certo? - Perguntas gananciosas foram ouvidas de todos os lados, e toda a massa em movimento começou a se pressionar (é claro que os da frente pararam), e espalhou-se um boato de que foi ordenado que parasse. Todos pararam enquanto caminhavam, no meio de uma estrada lamacenta.
As luzes se acenderam e a voz ficou mais alta. O capitão Tushin, tendo dado ordens à companhia, enviou um dos soldados para procurar um posto de curativo ou um médico para o cadete e sentou-se ao lado do fogo colocado na estrada pelos soldados. Rostov também se arrastou para o fogo. Tremores febris de dor, frio e umidade sacudiam todo o seu corpo. O sono o impelia irresistivelmente, mas ele não conseguia dormir por causa da dor excruciante em seu braço dolorido e fora de posição. Ou fechou os olhos ou olhou para o fogo, que lhe parecia ardentemente vermelho, depois para a figura curvada e fraca de Tushin, que estava sentado ao seu lado em estilo turco. Os olhos grandes, gentis e inteligentes de Tushin o fixaram com simpatia e compaixão. Ele viu que Tushin queria de todo o coração e não podia ajudá-lo de forma alguma.

Consideremos três raios a, b, c, que emanam do mesmo ponto e não estão no mesmo plano. Um ângulo triédrico (abc) é uma figura composta por "três ângulos planos (ab), (bc) e (ac) (Fig. 2). Esses ângulos são chamados de faces de um ângulo triédrico, e seus lados são arestas, as O vértice comum dos ângulos planos é chamado Os ângulos diedros formados pelas faces de um ângulo triédrico são chamados ângulos diedros de um ângulo triédrico.

O conceito de ângulo poliédrico é definido de forma semelhante (Fig. 3).

Poliedro

Na estereometria, são estudadas figuras no espaço, chamadas corpos. Visualmente, um corpo (geométrico) deve ser imaginado como uma parte do espaço ocupada por um corpo físico e delimitada por uma superfície.

Um poliedro é um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos (Fig. 4). Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada polígono plano em sua superfície. A parte comum de tal plano e a superfície de um poliedro convexo é chamada de face. As faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. Os lados das faces são chamados de arestas do poliedro e os vértices são chamados de vértices do poliedro.

Vamos explicar o que foi dito no exemplo de um cubo familiar (Fig. 5). O cubo é um poliedro convexo. Sua superfície é composta por seis quadrados: ABCD, BEFC, .... São suas faces. As arestas do cubo são os lados desses quadrados: AB, BC, BE,.... Os vértices do cubo são os vértices dos quadrados: A, B, C, D, E, .... O cubo tem seis faces, doze arestas e oito vértices.

Os poliedros mais simples - prismas e pirâmides, que serão o objeto principal de nosso estudo - daremos definições que, em essência, não utilizam o conceito de corpo. Serão definidos como figuras geométricas com indicação de todos os pontos do espaço que lhes pertencem. O conceito de corpo geométrico e sua superfície no caso geral serão dados mais adiante.