Existe todo um grupo de tarefas (incluídas nos tipos de tarefas de exame) associadas ao plano de coordenadas. São tarefas a partir das mais elementares que são resolvidas oralmente (determinando a ordenada ou abcissa de um determinado ponto, ou um ponto simétrico, etc.), terminando com tarefas que exigem conhecimento de alta qualidade, compreensão e boas habilidades (tarefas relacionado com a inclinação de uma linha reta).

Gradualmente, vamos considerar todos eles. Neste artigo, começaremos com o básico. São tarefas simples para determinar: a abcissa e ordenada de um ponto, o comprimento de um segmento, o ponto médio de um segmento, o seno ou cosseno do ângulo de inclinação de uma linha reta.A maioria dessas tarefas não será interessante. Mas acho necessário enunciá-los.

O problema é que nem todo mundo vai para a escola. Muitas pessoas passam no exame 3-4 anos ou mais após a formatura e lembram vagamente o que são as abcissas e ordenadas. Também analisaremos outras tarefas relacionadas ao plano de coordenadas, não perca, assine a atualização do blog. Agora n um pouco de teoria.

Vamos construir um ponto A no plano de coordenadas com coordenadas x=6, y=3.

Dizem que a abcissa do ponto A é seis, a ordenada do ponto A é três.

Simplificando, o eixo x é o eixo das abcissas, o eixo y é o eixo y.

Ou seja, a abcissa é um ponto do eixo x no qual se projeta um ponto dado no plano de coordenadas; A ordenada é o ponto no eixo y no qual o ponto especificado é projetado.

O comprimento do segmento no plano de coordenadas

A fórmula para determinar o comprimento de um segmento, se as coordenadas de suas extremidades forem conhecidas:

Como você pode ver, o comprimento do segmento é o comprimento da hipotenusa em um triângulo retângulo com catetos iguais a

X B - X A e Y B - Y A

* * *

O meio do corte. Suas coordenadas.

Fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento:

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados

A fórmula para a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados é:

onde (x 1; y 1) e (x 2; y 2 ) coordenadas de pontos dados.

Substituindo os valores das coordenadas na fórmula, ela é reduzida à forma:

y = kx + b, onde k é a inclinação da linha

Precisaremos dessa informação ao resolver outro grupo de problemas relacionados ao plano de coordenadas. Haverá um artigo sobre isso, não perca!

O que mais pode ser adicionado?

O ângulo de inclinação de uma reta (ou segmento) é o ângulo entre o eixo oX e essa reta, variando de 0 a 180 graus.

Vamos considerar as tarefas.

A partir do ponto (6;8) a perpendicular é abaixada ao eixo y. Encontre a ordenada da base da perpendicular.

A base da perpendicular baixada ao eixo y terá coordenadas (0; 8). A ordenada é oito.

Resposta: 8

Encontrar a distância de um ponto UMA com coordenadas (6;8) para o eixo y.

A distância do ponto A ao eixo y é igual à abcissa do ponto A.

Resposta: 6.

UMA(6;8) em torno do eixo Boi.

Um ponto simétrico ao ponto A em relação ao eixo oX tem coordenadas (6; - 8).

A ordenada é menos oito.

Resposta: - 8

Encontrar a ordenada de um ponto simétrico a um ponto UMA(6;8) em relação à origem.

Um ponto simétrico ao ponto A em relação à origem tem coordenadas (– 6;– 8).

Sua ordenada é -8.

Resposta: -8

Encontre a abcissa do ponto médio do segmento de linha que liga os pontosO(0;0) e UMA(6;8).

Para resolver o problema, é necessário encontrar as coordenadas do meio do segmento. As coordenadas das extremidades do nosso segmento são (0;0) e (6;8).

Calculamos pela fórmula:

Obteve (3;4). A abcissa é três.

Resposta: 3

* A abcissa do meio do segmento pode ser determinada sem cálculo pela fórmula construindo este segmento no plano de coordenadas da folha em uma célula. O meio do segmento será fácil de determinar pelas células.

Encontre a abcissa do ponto médio do segmento de linha que liga os pontos UMA(6;8) e B(–2;2).

Para resolver o problema, é necessário encontrar as coordenadas do meio do segmento. As coordenadas das extremidades do nosso segmento são (–2;2) e (6;8).

Calculamos pela fórmula:

Obteve (2;5). A abcissa é dois.

Resposta: 2

* A abcissa do meio do segmento pode ser determinada sem cálculo pela fórmula construindo este segmento no plano de coordenadas da folha em uma célula.

Encontre o comprimento do segmento que liga os pontos (0;0) e (6;8).

O comprimento do segmento nas coordenadas dadas de suas extremidades é calculado pela fórmula:

no nosso caso temos O(0;0) e A(6;8). Significa,

*A ordem das coordenadas ao subtrair não importa. Você pode subtrair a abcissa e ordenada do ponto A da abcissa e ordenada do ponto O:

Resposta: 10

Encontre o cosseno da inclinação do segmento que liga os pontos O(0;0) e UMA(6;8), com o eixo x.

O ângulo de inclinação de um segmento é o ângulo entre este segmento e o eixo x.

Do ponto A, abaixamos a perpendicular ao eixo x:

Ou seja, o ângulo de inclinação do segmento é o ânguloSAIno triângulo retângulo ABO.

O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é

razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa

Precisa encontrar a hipotenusaOA.

De acordo com o teorema de Pitágoras:Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Assim, o cosseno do ângulo de inclinação é 0,6

Resposta: 0,6

A partir do ponto (6;8) a perpendicular ao eixo das abcissas é abaixada. Encontre a abcissa da base da perpendicular.

Uma linha reta é traçada através do ponto (6; 8), paralela ao eixo x. Encontre a ordenada do seu ponto de interseção com o eixo UO.

Encontrar a distância de um ponto UMA com coordenadas (6;8) para o eixo x.

Encontrar a distância de um ponto UMA com coordenadas (6;8) até a origem.

O comprimento, como já observado, é indicado pelo sinal do módulo.

Se dois pontos do plano e são dados, então o comprimento do segmento pode ser calculado pela fórmula

Se dois pontos no espaço e são dados, então o comprimento do segmento pode ser calculado pela fórmula

Observação: As fórmulas permanecerão corretas se as coordenadas correspondentes forem reorganizadas: e , mas a primeira opção é mais padrão

Exemplo 3

Solução: de acordo com a fórmula correspondente:

Responda:

Para maior clareza, vou fazer um desenho

Segmento de linha - não é um vetor, e você não pode movê-lo para qualquer lugar, é claro. Além disso, se você completar o desenho em escala: 1 unidade. \u003d 1 cm (duas células tetrad), então a resposta pode ser verificada com uma régua regular medindo diretamente o comprimento do segmento.

Sim, a solução é curta, mas há alguns pontos importantes que gostaria de esclarecer:

Primeiro, na resposta definimos a dimensão: “unidades”. A condição não diz O QUE é, milímetros, centímetros, metros ou quilômetros. Portanto, a formulação geral será uma solução matematicamente competente: “unidades” - abreviadas como “unidades”.

Em segundo lugar, vamos repetir o material escolar, que é útil não apenas para o problema considerado:

prestar atenção em truque técnico importante – tirando o multiplicador debaixo da raiz. Como resultado dos cálculos, obtivemos o resultado e um bom estilo matemático envolve tirar o multiplicador de baixo da raiz (se possível). O processo se parece com isso com mais detalhes: . Claro, deixar a resposta no formulário não será um erro - mas é definitivamente uma falha e um argumento de peso para picuinhas por parte do professor.

Aqui estão outros casos comuns:

Muitas vezes, um número suficientemente grande é obtido sob a raiz, por exemplo. Como ser nesses casos? Na calculadora, verificamos se o número é divisível por 4:. Sim, divida completamente, assim: . Ou talvez o número possa ser dividido por 4 novamente? . Nesse caminho: . O último dígito do número é ímpar, portanto, dividir por 4 pela terceira vez claramente não é possível. Tentando dividir por nove: . Como resultado:
Preparar.

Conclusão: se sob a raiz obtivermos um número inteiro que não pode ser extraído, tentamos tirar o fator sob a raiz - na calculadora verificamos se o número é divisível por: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc

No decorrer da resolução de vários problemas, muitas vezes são encontradas raízes, tente sempre extrair fatores de baixo da raiz para evitar uma pontuação mais baixa e problemas desnecessários com a finalização de suas soluções de acordo com a observação do professor.

Vamos repetir o quadrado das raízes e outras potências ao mesmo tempo:

As regras para ações com graus de forma geral podem ser encontradas em um livro escolar de álgebra, mas acho que tudo ou quase tudo já está claro pelos exemplos dados.

Tarefa para uma solução independente com um segmento no espaço:

Exemplo 4

Pontos dados e . Encontre o comprimento do segmento.

Solução e resposta no final da lição.

Se você tocar uma folha de caderno com um lápis bem afiado, ficará um traço que dá uma ideia do ponto. (Fig. 3).

Vamos marcar dois pontos A e B em uma folha de papel. Esses pontos podem ser conectados por linhas diferentes ( fig. 4). E como conectar os pontos A e B com a linha mais curta? Isso pode ser feito usando uma régua ( fig. 5). A linha resultante é chamada segmento.

Ponto e linha - Exemplos formas geométricas.

Os pontos A e B são chamados as extremidades do segmento.

Existe um único segmento cujas extremidades são os pontos A e B. Portanto, um segmento é denotado escrevendo-se os pontos que são suas extremidades. Por exemplo, o segmento na Figura 5 é designado de duas maneiras: AB ou BA. Leia: "segmento AB" ou "segmento BA".

A Figura 6 mostra três segmentos. O comprimento do segmento AB é igual a 1 cm, é colocado exatamente três vezes no segmento MN e exatamente 4 vezes no segmento EF. Nós vamos dizer que comprimento do segmento MN é de 3 cm e o comprimento do segmento EF é de 4 cm.

Também é costume dizer: "segmento MN é 3 cm", "segmento EF é 4 cm". Eles escrevem: MN = 3 cm, EF = 4 cm.

Medimos os comprimentos dos segmentos MN e EF segmento único, cujo comprimento é de 1 cm. Para medir segmentos, você pode escolher outros unidades de comprimento, por exemplo: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na figura 7, o comprimento do segmento é de 17 mm. É medido por um único segmento, cujo comprimento é de 1 mm, usando uma régua com divisões. Além disso, usando uma régua, você pode construir (desenhar) um segmento de um determinado comprimento (veja a fig. 7).

Geralmente, medir um segmento significa contar quantos segmentos unitários cabem nele.

O comprimento de um segmento tem a seguinte propriedade.

Se o ponto C está marcado no segmento AB, então o comprimento do segmento AB é igual à soma dos comprimentos dos segmentos AC e CB(Fig. 8).

Eles escrevem: AB = AC + CB.

A Figura 9 mostra dois segmentos AB e CD. Esses segmentos coincidirão quando sobrepostos.

Dois segmentos são chamados iguais se coincidem quando sobrepostos.

Portanto, os segmentos AB e CD são iguais. Eles escrevem: AB = CD.

Segmentos iguais têm comprimentos iguais.

Dos dois segmentos desiguais, consideraremos o de maior comprimento como maior. Por exemplo, na Figura 6, o segmento EF é maior que o segmento MN.

O comprimento do segmento AB é chamado distância entre os pontos A e B.

Se vários segmentos forem dispostos como mostrado na Figura 10, será obtida uma figura geométrica, que é chamada de linha quebrada. Observe que todos os segmentos na Figura 11 não formam uma linha quebrada. Acredita-se que os segmentos formam uma linha quebrada se o final do primeiro segmento coincidir com o final do segundo, e a outra extremidade do segundo segmento coincidir com o final do terceiro, etc.

Pontos A, B, C, D, E − vértices de polilinha ABCDE, pontos A e E − linha quebrada termina, e os segmentos AB, BC, CD, DE são seus ligações(ver fig. 10).

O comprimento da linha quebradaé a soma dos comprimentos de todos os seus links.

A Figura 12 mostra duas linhas quebradas, cujas extremidades coincidem. Essas linhas quebradas são chamadas fechado.

Exemplo 1 . O segmento BC é 3 cm menor que o segmento AB, cujo comprimento é de 8 cm (Fig. 13). Encontre o comprimento do segmento AC.

Solução. Temos: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (cm).

Usando a propriedade do comprimento de um segmento, podemos escrever AC = AB + BC. Portanto AC = 8 + 5 = 13 (cm).

Resposta: 13cm.

Exemplo 2 . Sabe-se que MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (Fig. 14). Encontre o comprimento do segmento NK.

Solução. Temos: MN = MP − NP.

Assim, MN = 50 − 32 = 18 (cm).

Temos: NK = MK − MN.

Portanto, NK = 24 − 18 = 6 (cm).

Resposta: 6cm.

O comprimento de um segmento pode ser determinado de diferentes maneiras. Para saber como encontrar o comprimento de um segmento, basta ter à disposição uma régua ou conhecer fórmulas especiais de cálculo.

Comprimento da linha com régua

Para isso, aplicamos uma régua com divisões milimétricas ao segmento construído no plano, e o ponto inicial deve estar alinhado com o zero da escala da régua. Então você deve marcar nesta escala a localização do ponto final deste segmento. O número resultante de divisões inteiras da escala será o comprimento do segmento, expresso em cm e mm.

Método de coordenadas planas

Se as coordenadas do segmento (x1; y1) e (x2; y2) forem conhecidas, seu comprimento deve ser calculado da seguinte forma. Das coordenadas no plano do segundo ponto, as coordenadas do primeiro ponto devem ser subtraídas. O resultado deve ser dois números. Cada um desses números deve ser elevado ao quadrado e, em seguida, encontrar a soma desses quadrados. Do número resultante, deve-se extrair a raiz quadrada, que será a distância entre os pontos. Como esses pontos são as extremidades do segmento, esse valor será seu comprimento.

Considere um exemplo de como encontrar o comprimento de um segmento por coordenadas. Existem coordenadas de dois pontos (-1;2) e (4;7). Ao encontrar a diferença nas coordenadas dos pontos, obtemos os seguintes valores: x = 5, y = 5. Os números resultantes serão as coordenadas do segmento. Então elevamos ao quadrado cada número e encontramos a soma dos resultados, é 50. Deste número extraímos a raiz quadrada. O resultado é: 5 raízes de 2. Este é o comprimento do segmento.

Método de coordenadas no espaço

Para fazer isso, considere como encontrar o comprimento de um vetor. É ele que será um segmento no espaço euclidiano. É encontrado quase da mesma maneira que o comprimento de um segmento em um plano. A construção do vetor ocorre em diferentes planos. Como encontrar o comprimento de um vetor?

1. Encontre as coordenadas do vetor, para isso, das coordenadas do seu ponto final, você precisa subtrair as coordenadas do seu ponto inicial.
2. Depois disso, você precisa elevar ao quadrado cada coordenada do vetor.
3. Em seguida, adicione os quadrados das coordenadas.
4. Para encontrar o comprimento de um vetor, você precisa tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas.

Vamos considerar o algoritmo de cálculo usando um exemplo. É necessário encontrar as coordenadas do vetor AB. Os pontos A e B possuem as seguintes coordenadas: A (1;6;3) e B (3;-1;7). O início do vetor está no ponto A, o final está localizado no ponto B. Assim, para encontrar suas coordenadas, é necessário subtrair as coordenadas do ponto A das coordenadas do ponto B: (3 - 1; -1 - 6; 7 - 3) \u003d (2; - 3) 7;4).

Agora elevamos cada coordenada ao quadrado e as somamos: 4+49+16=69. Finalmente, extrai a raiz quadrada do número dado. É difícil extraí-lo, então escrevemos o resultado desta forma: o comprimento do vetor é igual à raiz de 69.

Se não for importante para você calcular o comprimento de segmentos e vetores, mas você só precisa do resultado, pode usar uma calculadora online, por exemplo, esta.

Agora, tendo estudado esses métodos e considerando os exemplos apresentados, você pode encontrar facilmente o comprimento do segmento em qualquer problema.

O artigo abaixo abordará as questões de encontrar as coordenadas do meio do segmento na presença das coordenadas de seus pontos extremos como dados iniciais. Mas, antes de prosseguir com o estudo da questão, introduzimos uma série de definições.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1

Segmento de linha- uma linha reta conectando dois pontos arbitrários, chamados de extremidades do segmento. Como exemplo, sejam esses os pontos A e B e, respectivamente, o segmento A B .

Se o segmento A B for continuado em ambas as direções a partir dos pontos A e B, obteremos uma linha reta A B. Então o segmento A B é uma parte da reta obtida limitada pelos pontos A e B . O segmento A B une os pontos A e B , que são suas extremidades, bem como o conjunto de pontos situados entre eles. Se, por exemplo, tomarmos qualquer ponto arbitrário K situado entre os pontos A e B, podemos dizer que o ponto K está no segmento AB.

Definição 2

Comprimento do corteé a distância entre as extremidades do segmento em uma determinada escala (segmento de unidade de comprimento). Denotamos o comprimento do segmento A B da seguinte forma: A B .

Definição 3

ponto médio Um ponto em um segmento de linha que é equidistante de suas extremidades. Se o meio do segmento A B for indicado pelo ponto C, a igualdade será verdadeira: A C \u003d C B

Dados iniciais: linha de coordenadas O x e pontos desencontrados nela: A e B . Esses pontos correspondem a números reais xA e xB. O ponto C é o ponto médio do segmento A B: você precisa determinar a coordenada xC.

Como o ponto C é o ponto médio do segmento A B, a igualdade será verdadeira: | AC | = | C B | . A distância entre os pontos é determinada pelo módulo da diferença entre suas coordenadas, ou seja,

| AC | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Então duas igualdades são possíveis: x C - x A = x B - x C e x C - x A = - (x B - x C)

Da primeira igualdade, derivamos uma fórmula para a coordenada do ponto C: x C \u003d x A + x B 2 (metade da soma das coordenadas das extremidades do segmento).

Da segunda igualdade obtemos: x A = x B , o que é impossível, porque nos dados originais - pontos incompatíveis. Nesse caminho, fórmula para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento A B com extremidades A (x A) e B(xB):

A fórmula resultante será a base para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento em um plano ou no espaço.

Dados iniciais: sistema de coordenadas retangulares no plano O x y , dois pontos arbitrários não coincidentes com as coordenadas dadas A x A , y A e B x B , y B . O ponto C é o ponto médio do segmento A B . É necessário determinar as coordenadas x C e y C para o ponto C .

Tomemos para análise o caso em que os pontos A e B não coincidem e não estão na mesma linha de coordenadas ou em uma linha perpendicular a um dos eixos. Ax, Ay; B x , B y e C x , C y - projeções dos pontos A , B e C nos eixos coordenados (retas O x e O y).

Por construção, as linhas A A x , B B x , C C x são paralelas; as linhas também são paralelas entre si. Junto com isso, de acordo com o teorema de Thales, da igualdade A C \u003d C B, as igualdades seguem: A x C x \u003d C x B x e A y C y \u003d C y B y, e eles, por sua vez, indicam que o ponto C x - o meio do segmento A x B x, e C y é o meio do segmento A y B y. E então, com base na fórmula obtida anteriormente, temos:

x C = x A + x B 2 e y C = y A + y B 2

As mesmas fórmulas podem ser usadas no caso em que os pontos A e B estão na mesma linha de coordenadas ou em uma linha perpendicular a um dos eixos. Não faremos uma análise detalhada deste caso, vamos considerá-lo apenas graficamente:

Resumindo todos os itens acima, coordenadas do meio do segmento A B no plano com as coordenadas das extremidades A (x A , y A) e B(xB,yB) definido como:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Dados iniciais: sistema de coordenadas О x y z e dois pontos arbitrários com as coordenadas dadas A (x A , y A , z A) e B (x B , y B , z B) . É necessário determinar as coordenadas do ponto C, que é o meio do segmento A B.

Ax, Ay, Az; B x , B y , B z e C x , C y , C z - projeções de todos os pontos dados nos eixos do sistema de coordenadas.

De acordo com o teorema de Thales, as igualdades são verdadeiras: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Portanto, os pontos C x , C y , C z são os pontos médios dos segmentos A x B x , A y B y , A z B z respectivamente. Então, para determinar as coordenadas do meio do segmento no espaço, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

As fórmulas resultantes também são aplicáveis ​​nos casos em que os pontos A e B estão em uma das linhas de coordenadas; em uma linha reta perpendicular a um dos eixos; em um plano de coordenadas ou um plano perpendicular a um dos planos de coordenadas.

Determinando as coordenadas do meio de um segmento através das coordenadas dos vetores de raio de suas extremidades

A fórmula para encontrar as coordenadas do meio do segmento também pode ser derivada de acordo com a interpretação algébrica dos vetores.

Dados iniciais: sistema de coordenadas cartesianas retangulares O x y , pontos com as coordenadas dadas A (x A , y A) e B (x B , x B) . O ponto C é o ponto médio do segmento A B .

De acordo com a definição geométrica de ações sobre vetores, a seguinte igualdade será verdadeira: O C → = 1 2 · O A → + O B → . O ponto C neste caso é o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo construído com base nos vetores O A → e O B → , ou seja. o ponto do meio das diagonais. As coordenadas do vetor raio do ponto são iguais às coordenadas do ponto, então as igualdades são verdadeiras: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , e B). Vamos realizar algumas operações em vetores em coordenadas e obter:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Portanto, o ponto C tem coordenadas:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Por analogia, define-se uma fórmula para encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento no espaço:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Exemplos de resolução de problemas para encontrar as coordenadas do meio de um segmento

Entre as tarefas que envolvem o uso das fórmulas obtidas acima, há tanto aquelas em que a questão é calcular diretamente as coordenadas do meio do segmento, quanto aquelas que envolvem trazer as condições dadas para essa questão: o termo “mediana” é frequentemente usado, o objetivo é encontrar as coordenadas de uma das extremidades do segmento, bem como problemas de simetria, cuja solução em geral também não deve causar dificuldades após o estudo desse tópico. Vamos considerar exemplos típicos.

Exemplo 1

Dados iniciais: no plano - pontos com coordenadas dadas A (- 7, 3) e B (2, 4) . É necessário encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento A B.

Solução

Vamos denotar o meio do segmento A B pelo ponto C . Suas coordenadas serão determinadas como metade da soma das coordenadas das extremidades do segmento, ou seja, pontos A e B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Responda: coordenadas do meio do segmento A B - 5 2 , 7 2 .

Exemplo 2

Dados iniciais: as coordenadas do triângulo A B C são conhecidas: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . É necessário encontrar o comprimento da mediana A M.

Solução

1. Pela condição do problema, A M é a mediana, o que significa que M é o ponto médio do segmento B C . Em primeiro lugar, encontramos as coordenadas do meio do segmento B C , ou seja, pontos M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Como agora conhecemos as coordenadas de ambas as extremidades da mediana (pontos A e M), podemos usar a fórmula para determinar a distância entre os pontos e calcular o comprimento da mediana A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Responda: 58

Exemplo 3

Dados iniciais: um paralelepípedo A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 é dado no sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional. As coordenadas do ponto C 1 (1 , 1 , 0) são dadas, e o ponto M também é definido, que é o ponto médio da diagonal B D 1 e tem as coordenadas M (4 , 2 , - 4) . É necessário calcular as coordenadas do ponto A.

Solução

As diagonais de um paralelepípedo se cruzam em um ponto, que é o ponto médio de todas as diagonais. Com base nessa afirmação, podemos ter em mente que o ponto M conhecido pelas condições do problema é o meio do segmento А С 1 . Com base na fórmula para encontrar as coordenadas do meio do segmento no espaço, encontramos as coordenadas do ponto A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Responda: coordenadas do ponto A (7, 3, - 8) .

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter