Este tópico considerará um esquema geral para comparar frações decimais e uma análise detalhada do princípio de comparação de frações finitas e infinitas. Vamos corrigir a parte teórica resolvendo problemas típicos. Analisaremos também com exemplos a comparação de frações decimais com números naturais ou mistos e frações ordinárias.

Vamos fazer um esclarecimento: na teoria abaixo, apenas as frações decimais positivas serão comparadas.

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Princípio geral para comparar frações decimais

Para cada fração decimal finita e decimal recorrente infinita, existem certas frações comuns correspondentes a elas. Portanto, a comparação de frações periódicas finitas e infinitas pode ser feita como uma comparação de suas frações ordinárias correspondentes. Na verdade, esta afirmação é o princípio geral para comparar frações periódicas decimais.

Com base no princípio geral, são formuladas as regras para comparar frações decimais, aderindo às quais é possível não converter as frações decimais comparadas em ordinárias.

O mesmo pode ser dito sobre os casos em que uma fração decimal periódica é comparada com números naturais ou números mistos, frações ordinárias - os números dados devem ser substituídos por suas frações ordinárias correspondentes.

Se estamos falando de comparar infinitas frações não periódicas, geralmente é reduzido a comparar frações decimais finitas. Para consideração, é tomado tal número de sinais das infinitas frações decimais não periódicas comparadas, o que permitirá obter o resultado da comparação.

Decimais iguais e desiguais

Definição 1

Decimais iguais- são duas frações decimais finais, que têm as mesmas frações ordinárias correspondentes. Caso contrário, os decimais são desigual.

Com base nessa definição, é fácil justificar tal afirmação: se no final de uma determinada fração decimal assinamos ou, inversamente, descartamos vários dígitos 0, obtemos uma fração decimal igual a ela. Por exemplo: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = ... . Ou: 130 , 000 = 130 , 00 = 130 , 0 = 130 . De fato, adicionar ou descartar zero no final da fração à direita significa multiplicar ou dividir por 10 o numerador e o denominador da fração ordinária correspondente. Vamos adicionar ao que foi dito a propriedade principal das frações (multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número natural, obtemos uma fração igual à original) e temos uma prova da afirmação acima.

Por exemplo, a fração decimal 0, 7 corresponde a uma fração ordinária 7 10. Adicionando zero à direita, obtemos a fração decimal 0, 70, que corresponde à fração ordinária 70 100, 7 70 100: 10 . Ou seja: 0 , 7 = 0 , 70 . E vice-versa: descartando zero na fração decimal 0, 70 à direita, obtemos a fração 0, 7 - assim, da fração decimal 70 100 vamos para a fração 7 10, mas 7 10 \u003d 70: 10 100 : 10 Então: 0, 70 \u003d 0 , 7 .

Agora considere o conteúdo do conceito de frações decimais periódicas infinitas iguais e desiguais.

Definição 2

Frações periódicas infinitas iguais são infinitas frações periódicas que têm frações ordinárias iguais correspondentes a elas. Se as frações ordinárias correspondentes a elas não forem iguais, então as frações periódicas dadas para comparação também serão desigual.

Esta definição permite-nos tirar as seguintes conclusões:

Se os registros das frações decimais periódicas dadas forem os mesmos, então tais frações são iguais. Por exemplo, os decimais periódicos 0, 21 (5423) e 0, 21 (5423) são iguais;

Se em determinadas frações periódicas decimais os períodos começam na mesma posição, a primeira fração tem um período de 0 e a segunda tem um período de 9; o valor do dígito anterior ao período 0 é um a mais que o valor do dígito anterior ao período 9 , então essas frações decimais periódicas infinitas são iguais. Por exemplo, as frações periódicas 91 , 3 (0) e 91 , 2 (9) são iguais, assim como as frações: 135 , (0) e 134 , (9) ;

Quaisquer outras duas frações periódicas não são iguais. Por exemplo: 8 , 0 (3) e 6 , (32) ; 0 , (42) e 0 , (131) etc.

Resta considerar frações decimais não periódicas infinitas iguais e desiguais. Essas frações são números irracionais e não podem ser convertidas em frações ordinárias. Portanto, a comparação de infinitas frações decimais não periódicas não se reduz à comparação de frações ordinárias.

Definição 3

Decimais não recorrentes infinitos iguais são frações decimais não periódicas, cujas entradas são exatamente as mesmas.

A pergunta seria lógica: como comparar registros se é impossível ver o registro “acabado” de tais frações? Ao comparar infinitas frações decimais não periódicas, é necessário considerar apenas um certo número finito de sinais das frações especificadas para comparação, para que isso nos permita tirar uma conclusão. Aqueles. em essência, comparar decimais infinitos não recorrentes é comparar decimais finitos.

Esta abordagem permite afirmar a igualdade de infinitas frações não periódicas apenas até o dígito considerado. Por exemplo, as frações 6, 73451 ... e 6, 73451 ... são iguais a centenas de milésimos, porque os decimais finais 6, 73451 e 6, 7345 são iguais. As frações 20, 47 ... e 20, 47 ... são iguais a centésimos, porque as frações 20, 47 e 20, 47 são iguais, e assim por diante.

A desigualdade de infinitas frações não periódicas é estabelecida de forma bastante concreta com diferenças óbvias nos registros. Por exemplo, as frações 6, 4135 ... e 6, 4176 ... ou 4, 9824 ... e 7, 1132 ... e assim por diante são desiguais.

Regras para comparar frações decimais. Solução de exemplos

Se for estabelecido que dois decimais não são iguais, geralmente também é necessário determinar qual deles é maior e qual é menor. Considere as regras para comparar frações decimais, que tornam possível resolver o problema acima.

Muitas vezes, basta comparar as partes inteiras das frações decimais fornecidas para comparação.

Definição 4

Essa fração decimal, que tem uma parte inteira maior, é maior. A fração menor é aquela cuja parte inteira é menor.

Esta regra se aplica a frações decimais finitas e infinitas.

Exemplo 1

É necessário comparar frações decimais: 7, 54 e 3, 97823 ....

Solução

É bastante óbvio que as frações decimais dadas não são iguais. Suas partes inteiras são iguais respectivamente: 7 e 3 . Porque 7 > 3, depois 7, 54 > 3, 97823 … .

Responda: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

No caso em que as partes inteiras das frações dadas para comparação são iguais, a solução do problema se reduz a comparar as partes fracionárias. As partes fracionárias são comparadas pouco a pouco - da décima posição às mais baixas.

Considere primeiro o caso em que você precisa comparar frações decimais à direita.

Exemplo 2

Você deseja comparar os decimais finais 0,65 e 0,6411.

Solução

Obviamente, as partes inteiras das frações dadas são (0 = 0) . Vamos comparar as partes fracionárias: no décimo lugar, os valores​​são (6 \u003d 6), mas no centésimo lugar, o valor da fração 0, 65 é maior que o valor do centésimo lugar no fração 0, 6411 (5 > 4) . Então 0,65 > 0,6411.

Responda: 0 , 65 > 0 , 6411 .

Em algumas tarefas de comparação de frações decimais finais com um número diferente de casas decimais, é necessário atribuir o número de zeros necessário à direita a uma fração com menos casas decimais. É conveniente igualar desta forma o número de casas decimais em frações dadas antes mesmo do início da comparação.

Exemplo 3

É necessário comparar os decimais finais 67 , 0205 e 67 , 020542 .

Solução

Essas frações obviamente não são iguais, porque seus registros são diferentes. Além disso, suas partes inteiras são iguais: 67 \u003d 67. Antes de proceder à comparação bit a bit das partes fracionárias das frações dadas, igualamos o número de casas decimais adicionando zeros à direita em frações com menos casas decimais. Então obtemos frações para comparação: 67, 020500 e 67, 020542. Realizamos uma comparação bit a bit e vemos que na centésima milésima casa o valor da fração 67 , 020542 é maior que o valor correspondente na fração 67 , 020500 (4 > 0). Então 67.020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Responda: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Se for necessário comparar uma fração decimal finita com uma infinita, a fração final é substituída por uma infinita igual a ela com um período 0. Em seguida, é feita uma comparação bit a bit.

Exemplo 4

É necessário comparar a fração decimal final 6, 24 com uma fração decimal não periódica infinita 6, 240012 ...

Solução

Vemos que as partes inteiras das frações dadas são (6 = 6) . Nos décimos e centésimos lugares, os valores de ambas as frações também são iguais. Para poder tirar uma conclusão, continuamos a comparação, substituindo a fração decimal final igual a ela por uma infinita com período 0 e obtemos: 6, 240000 ... . Tendo alcançado a quinta casa decimal, encontramos a diferença: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Resposta: 6, 24< 6 , 240012 … .

Ao comparar frações decimais infinitas, também é usada uma comparação bit a bit, que terminará quando os valores em algum dígito das frações fornecidas forem diferentes.

Exemplo 5

É necessário comparar as frações decimais infinitas 7, 41 (15) e 7, 42172 ... .

Solução

Nas frações dadas, existem partes inteiras iguais, os valores dos décimos também são iguais, mas na centésima posição vemos a diferença: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Responda: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Exemplo 6

É necessário comparar as infinitas frações periódicas 4 , (13) e 4 , (131) .

Solução:

As igualdades são claras e corretas: 4 , (13) = 4 , 131313 … e 4 , (133) = 4 , 131131 … . Comparamos partes inteiras e partes fracionárias bit a bit e corrigimos a discrepância na quarta casa decimal: 3 > 1 . Então: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … , e 4 , (13) > 4 , (131) .

Responda: 4 , (13) > 4 , (131) .

Para obter o resultado da comparação de uma fração decimal com um número natural, você precisa comparar a parte inteira de uma determinada fração com um determinado número natural. Neste caso, deve-se levar em consideração que frações periódicas com períodos de 0 ou 9 devem ser representadas primeiramente como frações decimais finais iguais a elas.

Definição 5

Se a parte inteira de uma determinada fração decimal for menor que um determinado número natural, então a fração inteira será menor em relação a um determinado número natural. Se a parte inteira de uma dada fração for maior ou igual a um dado número natural, então a fração é maior que o dado número natural.

Exemplo 7

É necessário comparar o número natural 8 e a fração decimal 9, 3142 ... .

Solução:

O número natural dado é menor que a parte inteira da fração decimal dada (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Responda: 8 < 9 , 3142 … .

Exemplo 8

É necessário comparar o número natural 5 e a fração decimal 5, 6.

Solução

A parte inteira de uma dada fração é igual a um dado número natural, então, de acordo com a regra acima, 5< 5 , 6 .

Responda: 5 < 5 , 6 .

Exemplo 9

É necessário comparar o número natural 4 e a fração decimal periódica 3 , (9) .

Solução

O período da fração decimal dada é 9, o que significa que antes de comparar, é necessário substituir a fração decimal dada por um número finito ou natural igual a ela. Neste caso: 3 , (9) = 4 . Assim, os dados originais são iguais.

Resposta: 4 = 3 , (9) .

Para comparar uma fração decimal com uma fração ordinária ou um número misto, você deve:

Escreva uma fração comum ou um número misto como um decimal e depois compare os decimais ou
- escreva a fração decimal como uma fração comum (exceto para infinita não periódica) e, em seguida, faça uma comparação com uma determinada fração comum ou número misto.

Exemplo 10

É necessário comparar a fração decimal 0, 34 e a fração comum 1 3 .

Solução

Vamos resolver o problema de duas maneiras.

1. Escrevemos a fração ordinária dada 1 3 como uma fração decimal periódica igual a ela: 0 , 33333 ... . Então torna-se necessário comparar as frações decimais 0, 34 e 0, 33333…. Obtemos: 0 , 34 > 0 , 33333 ... , o que significa 0 , 34 > 1 3 .
2. Vamos escrever a fração decimal dada 0, 34 na forma de um ordinário igual a ela. Ou seja: 0, 34 = 34 100 = 17 50 . Vamos comparar frações ordinárias com denominadores diferentes e obter: 17 50 > 1 3 . Assim, 0 , 34 > 1 3 .

Responda: 0 , 34 > 1 3 .

Exemplo 11

Você precisa comparar um decimal infinito sem repetição 4 , 5693 ... e um número misto 4 3 8 .

Solução

Uma fração decimal não periódica infinita não pode ser representada como um número misto, mas é possível converter um número misto em uma fração imprópria, e esta, por sua vez, pode ser escrita como uma fração decimal igual a ela. Então: 4 3 8 = 35 8 e

Aqueles.: 4 3 8 = 35 8 = 4, 375 . Vamos comparar frações decimais: 4, 5693 ... e 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) e obter: 4, 5693 ... > 4 3 8 .

Responda: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

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Chamaremos uma fração de uma ou mais partes iguais de um todo. Uma fração é escrita usando dois números naturais, que são separados por uma linha. Por exemplo, 1/2, 14/4, ¾, 5/9, etc.

O número acima da barra é chamado de numerador da fração, e o número abaixo da barra é chamado de denominador da fração.

Para números fracionários cujo denominador é 10, 100, 1000, etc. concordou em escrever o número sem denominador. Para fazer isso, primeiro escreva a parte inteira do número, coloque uma vírgula e escreva a parte fracionária desse número, ou seja, o numerador da parte fracionária.

Por exemplo, em vez de 6 * (7/10), eles escrevem 6.7.

Tal registro é chamado de fração decimal.

Como comparar duas casas decimais

Vamos descobrir como comparar duas frações decimais. Para fazer isso, primeiro verificamos um fato auxiliar.

Por exemplo, o comprimento de um determinado segmento é de 7 centímetros ou 70 mm. Também 7 cm = 7/10 dm ou em notação decimal 0,7 dm.

Por outro lado, 1 mm = 1/100 dm, então 70 mm = 70/100 dm, ou em notação decimal 0,70 dm.

Assim, obtemos que 0,7 = 0,70.

A partir disso, concluímos que se zero é adicionado ou descartado no final da fração decimal, então uma fração igual à dada será obtida. Em outras palavras, o valor da fração não será alterado.

Frações com os mesmos denominadores

Digamos que precisamos comparar dois decimais 4,345 e 4,36.

Primeiro, você precisa igualar o número de casas decimais adicionando ou descartando zeros à direita. Você obtém 4,345 e 4,360.

Agora você precisa escrevê-los como frações impróprias:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

As frações resultantes têm os mesmos denominadores. Pela regra de comparação de frações, sabemos que, neste caso, a fração maior é aquela com o maior numerador. Portanto, a fração 4,36 é maior que a fração 4,345.

Assim, para comparar duas frações decimais, você deve primeiro igualar o número de casas decimais, atribuindo zeros a uma delas à direita e, em seguida, descartando a vírgula para comparar os números naturais resultantes.

Decimais podem ser representados como pontos em uma linha numérica. E, portanto, às vezes no caso em que um número é maior que outro, eles dizem que esse número está localizado à direita do outro ou, se for menor, à esquerda.

Se duas frações decimais são iguais, elas são representadas na reta numérica pelo mesmo ponto.

O segmento AB tem 6 cm, ou seja, 60 mm. Como 1 cm = dm, então 6 cm = dm. Então AB é 0,6 dm. Como 1 mm = dm, então 60 mm = dm. Portanto, AB = 0,60 dm.
Assim, AB \u003d 0,6 dm \u003d 0,60 dm. Isso significa que as frações decimais 0,6 e 0,60 expressam o comprimento do mesmo segmento em decímetros. Essas frações são iguais entre si: 0,6 = 0,60.

Se zero é adicionado no final da fração decimal ou zero é descartado, então obtemos fração, igual ao dado.
Por exemplo,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Vamos comparar dois decimais 5,345 e 5,36. Vamos equalizar o número de casas decimais adicionando zero ao número 5,36 à direita. Obtemos as frações 5.345 e 5.360.

Nós os escrevemos como frações impróprias:

Essas frações têm os mesmos denominadores. Isso significa que aquele com o maior numerador é maior.
Desde 5345< 5360, то o que significa 5,345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Para comparar duas frações decimais, você deve primeiro igualar seu número de casas decimais atribuindo zeros a uma delas à direita e, em seguida, descartando a vírgula, compare o resultado inteiros.

As frações decimais podem ser representadas no raio coordenado da mesma forma que as frações ordinárias.
Por exemplo, para representar a fração decimal 0,4 no raio coordenado, primeiro a representamos como uma fração ordinária: 0,4 = Em seguida, separamos quatro décimos de um segmento unitário do início do raio. Obtemos o ponto A(0,4) (Fig. 141).

Frações decimais iguais são representadas no raio coordenado pelo mesmo ponto.

Por exemplo, as frações 0,6 e 0,60 são representadas por um ponto B (ver Fig. 141).

O menor decimal encontra-se em feixe de coordenadasà esquerda do maior e o maior à direita do menor.

Por exemplo, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Um decimal mudará se um zero for adicionado ao final dele?
A6 zeros?
Formule uma regra de comparação decimal frações.

1172. Escreva uma fração decimal:

a) com quatro casas decimais, igual a 0,87;
b) com cinco casas decimais, igual a 0,541;
c) com três dígitos após ocupado, igual a 35;
d) com duas casas decimais, igual a 8,40000.

1173. Atribuindo zeros à direita, iguale o número de casas decimais em frações decimais: 1,8; 13,54 e 0,789.

1174. Escreva frações mais curtas: 2,5000; 3,02000; 20.010.

85,09 e 67,99; 55,7 e 55,7000; 0,5 e 0,724; 0,908 e 0,918; 7,6431 e 7,6429; 0,0025 e 0,00247.

1176. Organize em ordem crescente os números:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

organizar em ordem decrescente.

a) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2,7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Compare os valores:

a) 98,52 m e 65,39 m; e) 0,605 te 691,3 kg;
b) 149,63 kg e 150,08 kg; f) 4,572 km e 4671,3 m;
c) 3,55°C e 3,61°C; g) 3,835 ha e 383,7 a;
d) 6,781 h e 6,718 h; h) 7,521 le 7538 cm3.

É possível comparar 3,5 kg e 8,12 m? Dê alguns exemplos de grandezas que não podem ser comparadas.

1185. Calcular oralmente:

1186. Restaure a cadeia de cálculos

1187. É possível dizer quantos dígitos após a vírgula estão em uma fração decimal se seu nome terminar com a palavra:

a) centésimos; b) dez milésimos; c) décimos; e) milhões?

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SEÇÃO 7 FRAÇÕES DECIMAL E AÇÕES COM ELAS

Na seção você aprenderá:

o que é uma fração decimal e qual é a sua estrutura;

como comparar decimais;

quais são as regras para somar e subtrair frações decimais;

como encontrar o produto e o quociente de duas frações decimais;

o que é arredondar um número e como arredondar números;

como aplicar o material aprendido na prática

§ 29. O QUE É UMA FRAÇÃO DECIMAL. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES DECIMAL

Observe a Figura 220. Você pode ver que o comprimento do segmento AB é de 7 mm e o comprimento do segmento DC é de 18 mm. Para fornecer os comprimentos desses segmentos em centímetros, você precisa usar frações:

Você conhece muitos outros exemplos em que são usadas frações com denominadores 10.100, 1.000 e similares. Então,

Essas frações são chamadas de decimais. Para gravá-los, eles usam uma forma mais conveniente, sugerida pela régua de seus acessórios. Vejamos o exemplo em questão.

Você sabe que o comprimento do segmento DC (Fig. 220) pode ser expresso como um número misto

Se colocarmos uma vírgula após a parte inteira desse número e depois o numerador da parte fracionária, obteremos uma notação mais compacta: 1,8 cm. Para o segmento AB, obteremos: 0,7 cm. De fato, a fração está correto, é menor que um, portanto sua parte inteira é 0. Os números 1,8 e 0,7 são exemplos de decimais.

A fração decimal 1,8 é lida assim: "um vírgula oito", e a fração 0,7 - "zero vírgula sete".

Como escrever frações na forma decimal? Para fazer isso, você precisa conhecer a estrutura da notação decimal.

Na notação decimal, há sempre um inteiro e uma parte fracionária. eles são separados por uma vírgula. Na parte inteira, as classes e os dígitos são os mesmos dos números naturais. Você sabe que são classes de unidades, milhares, milhões, etc., e cada uma delas tem 3 dígitos - unidades, dezenas e centenas. Na parte fracionária de uma fração decimal, as classes não são diferenciadas e podem haver quantos dígitos você quiser, seus nomes correspondem aos nomes dos denominadores das frações - décimos, centésimos, milésimos, dez milésimos, cem milésimos, milionésimos , dez milionésimos, etc. A décima casa é a mais antiga na parte fracionária de um decimal.

Na tabela 40 você vê os nomes das casas decimais e o número "cento e vinte e três inteiros e quatro mil quinhentos e seiscentos milésimos" ou

O nome da parte fracionária de "cem milésimos" em uma fração ordinária determina seu denominador e em decimal - o último dígito de sua parte fracionária. Você vê que no numerador da parte fracionária do número um dígito a menos que zeros no denominador. Se isso não for levado em consideração, obteremos um erro ao escrever a parte fracionária - em vez de 4506 centésimos de milésimos, escreveremos 4506 dez milésimos, mas

Portanto, ao escrever esse número como fração decimal, deve-se colocar 0 após a vírgula (na décima casa): 123,04506.

Observação:

em uma fração decimal, deve haver tantos dígitos após o ponto decimal quantos são os zeros no denominador da fração ordinária correspondente.

Agora podemos escrever frações

na forma de decimais.

Os decimais podem ser comparados da mesma forma que os números naturais. Se houver muitos dígitos em frações decimais, serão usadas regras especiais. Considere exemplos.

Uma tarefa. Comparar frações: 1) 96,234 e 830,123; 2) 3,574 e 3,547.

Soluções. 1, A parte inteira da primeira fração é o número de dois dígitos 96, e a parte inteira da fração do segundo é o número de três dígitos 830, então:

96,234 < 830,123.

2. Nas entradas das frações 3.574 e 3.547 e as partes inteiras são iguais. Portanto, comparamos suas partes fracionárias pouco a pouco. Para isso, escrevemos essas frações uma abaixo da outra:

Cada fração tem 5 décimos. Mas na primeira fração existem 7 centésimos e na segunda - apenas 4 centésimos. Portanto, a primeira fração é maior que a segunda: 3,574 > 3,547.

Regras para comparar frações decimais.

1. De duas frações decimais, aquela com a maior parte inteira é maior.

2. Se as partes inteiras das frações decimais são iguais, então suas partes fracionárias são comparadas bit a bit, começando pelo dígito mais significativo.

Como frações comuns, frações decimais podem ser colocadas na linha de coordenadas. Na Figura 221, você vê que os pontos A, B e C possuem coordenadas: A (0,2), B (0,9), C (1,6).

Descubra mais

Os decimais estão relacionados ao sistema de numeração posicional decimal. No entanto, sua aparência tem uma história mais longa e está associada ao nome do excelente matemático e astrônomo al-Kashi (nome completo - Jamshid ibn-Masudal-Kashi). Em sua obra "A Chave da Aritmética" (séculos XV), ele primeiro formulou as regras para ações com frações decimais, deu exemplos de ações realizadas com elas. Sem saber nada sobre a descoberta de al-Kashi, o matemático e engenheiro flamengo Simon Stevin “descobriu” frações decimais pela segunda vez aproximadamente 150 anos depois. Na obra "Decimal" (1585 p.), S. Stevin delineou a teoria das frações decimais. Ele os promoveu de todas as maneiras possíveis, enfatizando a conveniência das frações decimais para cálculos práticos.

A separação da parte inteira da fração decimal fracionária foi proposta de diferentes maneiras. Então, al-Kashi escreveu as partes inteiras e fracionárias em tinta diferente ou colocou uma linha vertical entre elas. S. Stevin colocou um zero em um círculo para separar a parte inteira da fracionária. A vírgula aceita em nosso tempo foi proposta pelo famoso astrônomo alemão Johannes Kepler (1571 - 1630).

RESOLVA OS DESAFIOS

1173. Escreva em centímetros o comprimento do segmento AB se:

1)AB = 5mm; 2)AB = 8mm; 3)AB = 9mm; 4)AB = 2mm.

1174. Leia frações:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Nome: a) a totalidade da fração; b) a parte fracionária da fração; c) dígitos de uma fração.

1175. Dê um exemplo de fração decimal em que a vírgula seja:

1) um dígito; 2) dois dígitos; 3) três dígitos.

1176. Quantas casas decimais tem uma fração decimal se o denominador da fração ordinária correspondente for igual a:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Qual das frações tem a maior parte inteira:

1) 12,5 ou 115,2; 4) 789,154 ou 78,4569;

2) 5,25 ou 35,26; 5) 1258,00265 ou 125,0333;

3) 185,25 ou 56,325; 6) 1269,569 ou 16,12?

1178. No número 1256897, separe o último dígito com uma vírgula e leia o número obtido. Em seguida, reorganize sequencialmente a vírgula um dígito à esquerda e nomeie as frações que você recebeu.

1179. Leia as frações e escreva-as como uma fração decimal:

1180 Leia as frações e escreva-as como decimal:

1181. Escreva em fração ordinária:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Escreva em fração ordinária:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Escreva em fração decimal:

1) 8 inteiros 3 décimos; 5) 145 ponto 14;

2) 12 5 décimos inteiros; 6) 125 ponto 19;

3) 0 inteiros 5 décimos; 7) 0 inteiros 12 centésimos;

4) 12 34 centésimos inteiros; 8) 0 inteiros 3 centésimos.

1184. Escreva em fração decimal:

1) zero até oito milésimos;

2) vinte e quatro centésimos;

3) treze vírgula cinco centésimos;

4) cento e quarenta e cinco vírgula dois centésimos.

1185. Escreva a parte como uma fração e depois como um decimal:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Escreva como número misto e depois como decimal:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Escreva como número misto e depois como decimal:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Expresso em hryvnias:

1) 35 mil; 2) 6 mil; 3) 12 UAH 35 copeques; 4) 123k.

1189. Expresso em hryvnias:

1) 58 mil; 2) 2 a.; 3) 56 UAH 55 copeques; 4) 175 mil.

1190. Anote em hryvnias e copeques:

1) 10,34 UAH; 2) UAH 12,03; 3) 0,52 UAH; 4) UAH 126,05

1191. Expresse em metros e escreva a resposta em fração decimal: 1) 5 m 7 dm; 2) 15m 58cm; 3) 5m2mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Expresse em quilômetros e escreva a resposta em fração decimal: 1) 3 km 175 m; 2) 45km 47m; 3) 15 km 2 m.

1193. Anote em metros e centímetros:

1) 12,55m; 2) 2,06m; 3) 0,25m; 4) 0,08m.

1194. A maior profundidade do Mar Negro é de 2.211 km. Expresse a profundidade do mar em metros.

1195. Compare frações:

1) 15,5 e 16,5; 5) 4,2 e 4,3; 9) 1,4 e 1,52;

2) 12,4 e 12,5; 6) 14,5 e 15,5; 10) 4,568 e 4,569;

3) 45,8 e 45,59; 7) 43,04 e 43,1; 11)78.45178.458;

4) 0,4 e 0,6; 8) 1,23 e 1,364; 12) 2,25 e 2,243.

1196. Compare frações:

1) 78,5 e 79,5; 3) 78,3 e 78,89; 5) 25,03 e 25,3;

2) 22,3 e 22,7; 4) 0,3 e 0,8; 6) 23.569 e 23.568.

1197. Escreva as frações decimais em ordem crescente:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Escreva as frações decimais em ordem decrescente:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Expresse em metros quadrados e escreva como fração decimal:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200. A sala tem a forma de um retângulo. Seu comprimento é de 90 dm e sua largura é de 40 dm. Encontre a área da sala. Escreva sua resposta em metros quadrados.

1201. Comparar frações:

1) 0,04 e 0,06; 5) 1,003 e 1,03; 9) 120.058 e 120.051;

2) 402.0022 e 40.003; 6) 1,05 e 1,005; 10) 78,05 e 78,58;

3) 104,05 e 105,05; 7) 4,0502 e 4,0503; 11) 2.205 e 2.253;

4) 40,04 e 40,01; 8) 60.4007-60.04007; 12) 20.12 e 25.012.

1202. Compare frações:

1) 0,03 e 0,3; 4) 6,4012 e 6,404;

2) 5,03 e 5,003; 5) 450,025 e 450,2054;

1203. Escreva cinco frações decimais que estão entre as frações no feixe de coordenadas:

1) 6,2 e 6,3; 2) 9,2 e 9,3; 3) 5,8 e 5,9; 4) 0,4 e 0,5.

1204. Escreva cinco frações decimais que estão entre as frações no feixe de coordenadas: 1) 3,1 e 3,2; 2) 7,4 e 7,5.

1205. Entre os quais dois números naturais adjacentes é colocada uma fração decimal:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Escreva cinco frações decimais para as quais a desigualdade é verdadeira:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Escreva cinco frações decimais para as quais a desigualdade é verdadeira:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Escreva a maior fração decimal:

1) com dois dígitos após a vírgula, menor que 2;

2) com um dígito após a vírgula menor que 3;

3) com três dígitos após a vírgula, menor que 4;

4) com quatro dígitos após o ponto decimal, menor que 1.

1209. Escreva a menor fração decimal:

1) com dois dígitos após a vírgula, que é maior que 2;

2) com três dígitos após o ponto decimal, que é maior que 4.

1210. Escreva todos os números que podem ser colocados em vez de um asterisco para obter a desigualdade correta:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Que número pode ser colocado em vez de um asterisco para obter a desigualdade correta:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Escreva todas as frações decimais, cuja parte inteira é 6, e a parte fracionária contém três casas decimais, escritas como 7 e 8. Escreva essas frações em ordem decrescente.

1213. Escreva seis frações decimais, cuja parte inteira é 45, e a parte fracionária consiste em quatro números diferentes: 1, 2, 3, 4. Escreva essas frações em ordem crescente.

1214. Quantas frações decimais podem ser formadas, cuja parte inteira é igual a 86, e a parte fracionária consiste em três dígitos diferentes: 1,2,3?

1215. Quantas frações decimais podem ser formadas, cuja parte inteira é igual a 5, e a parte fracionária é de três dígitos, escrita como 6 e 7? Escreva essas frações em ordem decrescente.

1216. Risque três zeros no número 50.004007 para formar:

1) o maior número; 2) o menor número.

APLICAR NA PRÁTICA

1217. Meça o comprimento e a largura do seu caderno em milímetros e escreva sua resposta em decímetros.

1218. Anote sua altura em metros usando uma fração decimal.

1219. Meça as dimensões do seu quarto e calcule seu perímetro e área. Escreva sua resposta em metros e metros quadrados.

TAREFAS DE REPETIÇÃO

1220. Para quais valores de x uma fração é imprópria?

1221. Resolva a equação:

1222. A loja teve que vender 714 kg de maçãs. No primeiro dia, todas as maçãs foram vendidas e no segundo - do que foi vendido no primeiro dia. Quantas maçãs foram vendidas em 2 dias?

1223. Reduziu-se a aresta de um cubo em 10 cm e obteve-se um cubo, cujo volume é 8 dm3. Encontre o volume do primeiro cubo.

O objetivo da aula:

• criar condições para a derivação da regra de comparação de frações decimais e a capacidade de aplicá-la;
• repita escrevendo frações ordinárias como decimais, arredondando decimais;
• desenvolver o pensamento lógico, a capacidade de generalizar, habilidades de pesquisa, discurso.

Durante as aulas

Pessoal, vamos relembrar o que fizemos com vocês nas aulas anteriores?

Responda: estudava frações decimais, escrevia frações ordinárias como decimais e vice-versa, frações decimais arredondadas.

O que você gostaria de fazer hoje?

(Os alunos respondem.)

Mas ainda assim, o que faremos na lição, você descobrirá em alguns minutos. Abra seus cadernos, anote a data. Um aluno irá até o quadro e trabalhará na parte de trás do quadro. Vou oferecer-lhe tarefas que você completa oralmente. Anote as respostas em um caderno em uma linha separada por um ponto e vírgula. O aluno no quadro-negro escreve em uma coluna.

Leio as tarefas pré-escritas no quadro:

Vamos checar. Quem tem outras respostas? Lembre-se das regras.

Pegou: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Defina o padrão e continue a série resultante para mais 2 números. Vamos checar.

Pegue a transcrição e embaixo de cada número (a pessoa que responder no quadro coloca uma letra ao lado do número) coloque a letra correspondente. Leia a palavra.

Descriptografia:

Então, o que vamos fazer na aula?

Responda: comparação.

Por comparação! Bem, por exemplo, agora vou começar a comparar minhas mãos, 2 livros didáticos, 3 réguas. O que você quer comparar?

Responda: frações decimais.

Qual é o tema da aula?

Escrevo o tema da lição no quadro e os alunos no caderno: "Comparação de frações decimais".

Exercício: compare os números (escritos no quadro)

18.625 e 5.784		15.200 e 15.200
3.0251 e 21.02		7,65 e 7,8
23,0521 e 0,0521		0,089 e 0,0081

Primeiro, abra o lado esquerdo. Partes inteiras são diferentes. Tiramos uma conclusão sobre a comparação de frações decimais com diferentes partes inteiras. Abra o lado direito. Partes inteiras são números iguais. Como comparar?

Frase: escreva frações decimais como frações comuns e compare.

Escreva uma comparação de frações ordinárias. Se cada fração decimal for convertida em uma fração comum e as 2 frações forem comparadas, levará muito tempo. Podemos derivar uma regra de comparação? (Os alunos sugerem.) Escrevi a regra para comparar frações decimais, que o autor sugere. Vamos comparar.

Existem 2 regras impressas em um pedaço de papel:

1. Se as partes inteiras das frações decimais forem diferentes, então essa fração é maior, que tem uma parte inteira maior.
2. Se as partes inteiras das frações decimais forem iguais, a fração maior será aquela que tiver o maior primeiro dos dígitos incompatíveis após o ponto decimal.

Fizemos uma descoberta. E essa descoberta é a regra para comparar frações decimais. Coincidiu com a regra proposta pelo autor do livro didático.

Percebi que as regras dizem qual das 2 frações é maior. Você pode me dizer qual das 2 casas decimais é menor?

Preencha no caderno nº 785 (1, 2) na página 172. A tarefa é escrita no quadro. Os alunos comentam e o professor coloca sinais.

Exercício: comparar

3,4208 e 3,4028

Então, o que aprendemos a fazer hoje? Vamos nos verificar. Trabalhe em folhas de papel com papel carbono.

Os alunos comparam os decimais usando os sinais >.<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Trabalho independente.

(Verifique as respostas no verso do quadro.)

Comparar

148,05 e 14,805

6,44806 e 6,44863

35.601 e 35.6010

O primeiro a fazê-lo recebe a tarefa (executa de trás do tabuleiro) nº 786 (1, 2):

Encontre um padrão e anote o próximo número na sequência. Em quais sequências os números estão dispostos em ordem crescente, em quais sequências em ordem decrescente?

Responda:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) - decrescente
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) - aumenta.

Após o último aluno enviar o trabalho - confira.

Os alunos comparam suas respostas.

Aqueles que fizeram tudo certo se marcarão como "5", aqueles que cometeram 1-2 erros - "4", 3 erros - "3". Descubra em quais comparações foram cometidos erros, para qual regra.

Anote seu dever de casa: Nº 813, Nº 814 (item 4, p. 171). Comente. Se houver tempo, execute o nº 786(1, 3), nº 793(a).

Resumo da lição.

1. O que vocês aprenderam a fazer na aula?
2. Você gostou ou não gostou?
3. Quais foram as dificuldades?

Pegue os folhetos e preencha-os, indicando o grau de sua assimilação do material:

• totalmente dominado, posso realizar;
• aprendeu completamente, mas tem dificuldade de aplicar;
• adquiridos parcialmente;
• não adquirido.

Obrigado pela lição.