Uma função quadrática é uma função da forma:
y=a*(x^2)+b*x+c,
onde a é o coeficiente no grau mais alto da incógnita x,
b - coeficiente em x desconhecido,
e c é um membro livre.
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. A visão geral da parábola é mostrada na figura abaixo.

Fig.1 Vista geral da parábola.

Existem várias maneiras diferentes de representar graficamente uma função quadrática. Consideraremos os principais e mais gerais deles.

Algoritmo para traçar um gráfico de uma função quadrática y=a*(x^2)+b*x+c

1. Construir um sistema de coordenadas, marcar um único segmento e rotular os eixos de coordenadas.

2. Determine a direção dos ramos da parábola (para cima ou para baixo).
Para fazer isso, você precisa observar o sinal do coeficiente a. Se mais - então os ramos são direcionados para cima, se menos - então os ramos são direcionados para baixo.

3. Determine a coordenada x do topo da parábola.
Para fazer isso, você precisa usar a fórmula Tops = -b / 2 * a.

4. Determine a coordenada no topo da parábola.
Para fazer isso, substitua o valor de Top encontrado na etapa anterior na equação de Top = a * (x ^ 2) + b * x + c em vez de x.

5. Coloque o ponto resultante no gráfico e desenhe um eixo de simetria através dele, paralelo ao eixo de coordenadas Oy.

6. Encontre os pontos de interseção do gráfico com o eixo x.
Isso requer resolver a equação quadrática a*(x^2)+b*x+c = 0 usando um dos métodos conhecidos. Se a equação não tiver raízes reais, o gráfico da função não intercepta o eixo x.

7. Encontre as coordenadas do ponto de interseção do gráfico com o eixo Oy.
Para fazer isso, substituímos o valor x = 0 na equação e calculamos o valor de y. Marcamos isso e o ponto simétrico a ele no gráfico.

8. Encontre as coordenadas de um ponto arbitrário A (x, y)
Para fazer isso, escolhemos um valor arbitrário da coordenada x e o substituímos em nossa equação. Obtemos o valor de y neste ponto. Coloque um ponto no gráfico. E também marque um ponto no gráfico que seja simétrico ao ponto A (x, y).

9. Conecte os pontos obtidos no gráfico com uma linha suave e continue o gráfico além dos pontos extremos, até o final do eixo de coordenadas. Assine o gráfico na legenda ou, se o espaço permitir, ao longo do próprio gráfico.

Um exemplo de plotagem de um gráfico

Como exemplo, vamos plotar uma função quadrática dada pela equação y=x^2+4*x-1
1. Desenhe os eixos coordenados, assine-os e marque um único segmento.
2. Os valores dos coeficientes a=1, b=4, c= -1. Como a \u003d 1, que é maior que zero, os ramos da parábola são direcionados para cima.
3. Determine a coordenada X do topo da parábola Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Determine a coordenada no topo da parábola
Topos = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Marque o vértice e desenhe um eixo de simetria.
6. Encontramos os pontos de interseção do gráfico de uma função quadrática com o eixo Ox. Resolvemos a equação quadrática x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Marcamos os valores obtidos no gráfico.
7. Encontre os pontos de interseção do gráfico com o eixo Oy.
x=0; y=-1
8. Escolha um ponto B arbitrário. Deixe-o ter uma coordenada x=1.
Então y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Conectamos os pontos recebidos e assinamos o gráfico.

Função da forma , onde é chamado função quadrática.

Gráfico da função quadrática − parábola.

Considere os casos:

CASO I, PARÁBOLA CLÁSSICA

Aquilo é , ,

Para construir, preencha a tabela substituindo os valores de x na fórmula:

Marcar pontos (0;0); (1;1); (-1;1) etc. no plano de coordenadas (quanto menor o passo que damos valores x (neste caso, passo 1), e quanto mais valores x tomamos, mais suave é a curva), obtemos uma parábola:

É fácil ver que se tomarmos o caso , , , ou seja, obtemos uma parábola simétrica em relação ao eixo (ox). É fácil verificar isso preenchendo uma tabela semelhante:

II CASO, "um" DIFERENTE DE UM

O que acontecerá se tomarmos , , ? Como o comportamento da parábola mudará? Com title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

A primeira figura (ver acima) mostra claramente que os pontos da tabela para a parábola (1;1), (-1;1) foram transformados em pontos (1;4), (1;-4), ou seja, com os mesmos valores, a ordenada de cada ponto é multiplicada por 4. Isso acontecerá com todos os pontos-chave da tabela original. Argumentamos de forma semelhante nos casos das figuras 2 e 3.

E quando a parábola "se torna mais larga" parábola:

Vamos recapitular:

1)O sinal do coeficiente é responsável pela direção dos ramos. Com title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valor absoluto coeficiente (módulo) é responsável pela "expansão", "compressão" da parábola. Quanto maior , mais estreita a parábola, quanto menor |a|, mais larga a parábola.

CASO III, "C" APARECER

Agora vamos colocar em jogo (isto é, consideramos o caso quando ), vamos considerar parábolas da forma . É fácil adivinhar (você sempre pode consultar a tabela) que a parábola se moverá para cima ou para baixo ao longo do eixo, dependendo do sinal:

IV CASO, APARECER "b"

Quando a parábola “se arrancará” do eixo e finalmente “caminhará” ao longo de todo o plano coordenado? Quando deixa de ser igual.

Aqui, para construir uma parábola, precisamos fórmula para calcular o vértice: , .

Portanto, neste ponto (como no ponto (0; 0) do novo sistema de coordenadas), construiremos uma parábola, que já está ao nosso alcance. Se estivermos lidando com o caso , então, de cima, separamos um segmento de unidade à direita, um para cima - o ponto resultante é nosso (da mesma forma, um passo para a esquerda, um passo para cima é o nosso ponto); se estivermos lidando, por exemplo, do topo, separamos um único segmento à direita, dois - para cima, etc.

Por exemplo, o vértice de uma parábola:

Agora o principal a entender é que neste vértice vamos construir uma parábola de acordo com o gabarito da parábola, porque no nosso caso.

Ao construir uma parábola depois de encontrar as coordenadas do vértice é muitoÉ conveniente considerar os seguintes pontos:

1) parábola deve passar pelo ponto . De fato, substituindo x=0 na fórmula, obtemos que . Ou seja, a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo (oy), isto é. Em nosso exemplo (acima), a parábola intercepta o eixo y em , desde .

2) eixo de simetria parábolas é uma linha reta, então todos os pontos da parábola serão simétricos em relação a ela. Em nosso exemplo, pegamos imediatamente o ponto (0; -2) e construímos uma parábola simétrica em relação ao eixo de simetria, obtemos o ponto (4; -2), pelo qual a parábola passará.

3) Igualando a , descobrimos os pontos de interseção da parábola com o eixo (ox). Para fazer isso, resolvemos a equação. Dependendo do discriminante, teremos um (, ), dois ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . No exemplo anterior, temos a raiz do discriminante - não é um número inteiro, ao construí-lo, não faz muito sentido encontrarmos as raízes, mas podemos ver claramente que teremos dois pontos de interseção com o (oh) axis (desde o título = "(!LANG: Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Então vamos malhar

Algoritmo para construir uma parábola se for dada na forma

1) determinar a direção dos ramos (a>0 - para cima, a<0 – вниз)

2) encontre as coordenadas do vértice da parábola pela fórmula , .

3) encontramos o ponto de interseção da parábola com o eixo (oy) pelo termo livre, construímos um ponto simétrico ao dado em relação ao eixo de simetria da parábola (note-se que acontece que é não adianta marcar esse ponto, por exemplo, porque o valor é grande... pulamos esse ponto...)

4) No ponto encontrado - o topo da parábola (como no ponto (0; 0) do novo sistema de coordenadas), construímos uma parábola. If title="(!LANG:Renderizado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Encontramos os pontos de interseção da parábola com o eixo (oy) (se eles próprios ainda não “apareceram”), resolvendo a equação

Exemplo 1

Exemplo 2

Observação 1. Se a parábola nos for inicialmente dada na forma , onde estão alguns números (por exemplo, ), será ainda mais fácil construí-la, pois já recebemos as coordenadas do vértice . Por quê?

Vamos pegar um trinômio quadrado e selecionar um quadrado completo nele: Olha, aqui temos que , . Anteriormente, chamamos o topo da parábola, ou seja, agora.

Por exemplo, . Marcamos o topo da parábola no plano, entendemos que os ramos são direcionados para baixo, a parábola é expandida (relativamente). Ou seja, realizamos os passos 1; 3; quatro; 5 do algoritmo para construir uma parábola (veja acima).

Observação 2. Se a parábola for dada de forma semelhante a esta (ou seja, representada como um produto de dois fatores lineares), veremos imediatamente os pontos de interseção da parábola com o eixo (x). Neste caso - (0;0) e (4;0). De resto, agimos de acordo com o algoritmo, abrindo os colchetes.

Esta lição de álgebra é conduzida como uma recapitulação-generalização em preparação para o GIA na 9ª série. Esta é uma lição na complexa aplicação do conhecimento. A lição deve formar os conceitos básicos de uma função quadrática, suas propriedades, gráfico. Os alunos devem conhecer a definição de função quadrática, ser capazes de plotar uma função quadrática, transformá-la e aplicar esse conhecimento ao resolver desigualdades quadráticas

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MOU "Escola Secundária No. 3 de Ershov, Região de Saratov"

9º ano

Tópico: "Função quadrática, seu gráfico e propriedades"

O lema da lição: "Difícil de tornar fácil, fácil habitual, habitual agradável"

Professora: E.I. Kormilina

Ano letivo 2010-2011.

Função quadrática, suas propriedades e gráfico.

Tipo de aula: Aula de aplicação complexa do conhecimento.

Lições objetivas:

1. Revelar o grau de formação do conceito de função quadrática entre os alunos, suas propriedades para resolver inequações, as características de seu gráfico.
2. Criar condições para a formação da capacidade de analisar, comparar, classificar gráficos de funções quadráticas.
3. Continue desenvolvendo a cultura de plotar uma função quadrática.
4. Cultive um senso de camaradagem, delicadeza e disciplina.

Lógica da lição:

1. atualização de conhecimento
2. Repetição
3. Mostrando um exemplo de aplicação de um conjunto de conhecimento
4. Aplicação independente do conhecimento
5. Controle, autocontrole
6. Correção

Estrutura da lição:

1. Organizacional
2. Atualizar
3. Aplicação de conhecimentos, habilidades e habilidades

4. Controle, autocontrole

5. Correção

6. Informações sobre o dever de casa

7. Resumindo

8. Reflexão

Legendas dos slides:

Função quadrática, seu gráfico e propriedades Nosso lema é: “Torne o difícil fácil, o fácil familiar, o familiar agradável!”

y x 0 Gráfico da função y = a x , 2 para a=1 para a= -1 1 2 3 4 5 6 Х -3 -2 -1 0 1 2 3 y - 9 - 4 - 1 0 - 1 - 4 - 9 - 6 -5-4-3-2-1 1 4 9 -9 -4

Transformando um gráfico de uma função quadrática

Traçando funções y=x 2 e y=x 2 + m.

0 m X Y m 1 1 y \u003d x 2 + m, m>0

0 X Y m 1 1 m y \u003d x 2 + m, m

Funções de plotagem y \u003d x 2 e y \u003d (x + l) 2.

0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l\u003e 0

0 l l X Y 1 1 y \u003d (x + l) 2, l

Plote os gráficos de função em um plano de coordenadas:

Encontre as coordenadas do vértice da parábola: Y=2(x-4)² +5 Y=-6(x-1)² Y=-x²+12 Y= x²+4 Y= (x+7)² - 9 Y=6 x² (4;5) (1;0) (0;12) (0;4) (-7;-9) (0;0)

Gráfico de uma função quadrática, suas propriedades

Uma função quadrática é uma função que pode ser especificada por uma fórmula da forma y=ax² + bx+c, onde x é uma variável independente, a, b e c são alguns números (além disso, a ≠ 0). Por exemplo: y \u003d 5x ² + 6x + 3, y \u003d -7x ² + 8x-2, y \u003d 0,8x ² +5, y \u003d ¾ x ² -8x, y \u003d -12x ² funções quadráticas

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujos ramos são direcionados para cima (se a > 0) ou para baixo (se a 0). y \u003d -7 x ² -x + 3 - o gráfico é uma parábola, cujos ramos são direcionados para baixo (porque a \u003d -7 e

Determine a coordenada do vértice da parábola usando as fórmulas: Marque este ponto no plano coordenado. Desenhe o eixo de simetria da parábola através do vértice da parábola Encontre os zeros da função e marque-os na reta numérica Encontre as coordenadas de dois pontos adicionais e aqueles simétricos a eles Desenhe uma curva da parábola. Algoritmo de solução

Construa um gráfico da função y \u003d 2x ² + 4x-6, descreva suas propriedades

X Y 1 1 -2 2 3 -1 1. D(y) = R 2. y=0 se x= 1; -3 3. y > 0 se x 4. y ↓ se x y se x 5. y naim = -8 se x= -1 y naib não existe. 6. E (y): Verifique você mesmo: y

Resolvendo uma desigualdade quadrática usando um gráfico de uma função quadrática

Definição: Uma desigualdade cujo lado esquerdo é um polinômio de segundo grau e o lado direito é zero é chamada de desigualdade de segundo grau. Todas as desigualdades quadráticas podem ser reduzidas a uma das seguintes formas: 1) ax 2 + bx + c >0; 2) ax 2 + bx + c

Quais das desigualdades você chamaria de desigualdades de segundo grau: 1) 6x 2 -13x>0; 2) x 2 -3 x -14>0; 3) (5+ x)(x -4)>7; quatro); 5) 6) 8 x 2 >0; 7) (x -5) 2 -25>0;

Quais números são soluções para a inequação? 1 -3 0 -1 5 -4 -2 0,5 ? ? ? ? ? ? ? ?

Qual é o número de raízes da equação a x 2 + b x+ c \u003d 0 e o sinal do coeficiente a se o gráfico da função quadrática correspondente estiver localizado da seguinte forma: f a b c d e

Nomeie os intervalos de constância de sinal de uma função se seu gráfico estiver localizado na forma indicada: Ι variante. Eu opção. c b a c b

Nomeie os intervalos de constância da função se seu gráfico estiver localizado da maneira indicada: Ι variante f(x)>0 para x Є R f(x) 0 para x Є (-∞ ;1) U (2.5;+∞ ); f(x)

Nomeie os intervalos de constância da função se seu gráfico estiver localizado da maneira indicada: Ι opção f(x)>0 para x Є (-∞ ;-3) U (-3;+∞) f(x) 0 para x Є (-∞ ; 0,5) U (0,5;+∞) f(x)

Nomeie os intervalos de constância da função se seu gráfico estiver localizado na forma indicada Ι opção f (x)> 0 para x Є (-∞ ;-4) U (3; + ∞); f(x) 0 __________ ; f(x)

Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grau com uma variável 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y

Algoritmo para resolver desigualdades de segundo grau com uma variável 5x 2 +9x-2 0 (a x 2 + b x+ c 0 (y 0 (y

Na tabela 1, encontre a solução correta para a desigualdade 1, na tabela 2 - a solução para a desigualdade 2: 1. 2. Tabela 1 a c c d a b c d Tabela 2

Na tabela 1, encontre a solução correta para a desigualdade 1, na tabela 2, a solução para a desigualdade 2: 1. 2. Tabela 1 a c c d a b c d Tabela 2

Na tabela 1, encontre a solução correta para a desigualdade 1, na tabela 2, a solução para a desigualdade 2: 1. 2. Tabela 1 a c c d a b c d Tabela 2

Resumo da lição Ao resolver essas tarefas, conseguimos sistematizar o conhecimento sobre o uso de uma função quadrática. A matemática é um campo de atividade significativo, excitante e acessível que fornece ao aluno um rico alimento para o pensamento. As propriedades de uma função quadrática fundamentam a solução de desigualdades quadráticas. Muitas relações físicas são expressas por uma função quadrática; por exemplo, uma pedra lançada para cima com uma velocidade v 0 está no momento t a uma distância s (t)=- q \2 t 2+ v 0 t da superfície da terra (aqui q é a aceleração da gravidade); a quantidade de calor Q liberada durante a passagem da corrente em um condutor com resistência R é expressa em termos de força de corrente I pela fórmula Q \u003d RI 2. O conhecimento das propriedades de uma função quadrática permite calcular o alcance de vôo de um corpo lançado verticalmente para cima ou em um determinado ângulo. Isso é usado na indústria de defesa.

Tarefa de frase inacabada: Complete uma das três frases que melhor se adapta à sua condição. “É difícil para mim concluir tarefas e resolver problemas, porque...” “É fácil para mim concluir tarefas e resolver problemas, porque...” “É agradável e interessante para mim concluir tarefas e resolver problemas , Porque ..."

Livro de Trabalho de Casa No. 142; №190