Lições objetivas:

Didático:

• Nível 1 - ensinar a resolver as inequações logarítmicas mais simples, usando a definição de logaritmo, as propriedades dos logaritmos;
• Nível 2 - resolver inequações logarítmicas, escolhendo o seu próprio método de solução;
• Nível 3 - ser capaz de aplicar conhecimentos e habilidades em situações fora do padrão.

Em desenvolvimento: desenvolver memória, atenção, pensamento lógico, habilidades de comparação, ser capaz de generalizar e tirar conclusões

Educacional: cultivar precisão, responsabilidade pela tarefa executada, assistência mútua.

Métodos de ensino: verbal , visual , prático , pesquisa parcial , autogoverno , ao controle.

Formas de organização da atividade cognitiva dos alunos: frontal , Individual , Trabalho em dupla.

Equipamento: um conjunto de tarefas de teste, uma nota de referência, folhas em branco para soluções.

Tipo de aula: aprender novos materiais.

durante as aulas

1. Momento organizacional. São anunciados o tema e os objetivos da aula, o esquema da aula: é entregue a cada aluno uma ficha de avaliação, que o aluno preenche durante a aula; para cada dupla de alunos - materiais impressos com tarefas, você precisa concluir as tarefas em duplas; folhas em branco para decisões; folhas de referência: definição do logaritmo; gráfico de uma função logarítmica, suas propriedades; propriedades dos logaritmos; algoritmo para resolver inequações logarítmicas.

Todas as decisões após a autoavaliação são submetidas ao professor.

Folha de pontuação do aluno

2. Atualização do conhecimento.

Instruções do professor. Lembre-se da definição do logaritmo, o gráfico da função logarítmica e suas propriedades. Para fazer isso, leia o texto nas páginas 88–90, 98–101 do livro “Álgebra e o início da análise 10–11” editado por Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin e outros.

Os alunos recebem folhas nas quais estão escritos: a definição do logaritmo; mostra um gráfico de uma função logarítmica, suas propriedades; propriedades dos logaritmos; algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas, um exemplo de resolução de uma desigualdade logarítmica que se reduz a um quadrado.

3. Aprender novos materiais.

A solução de desigualdades logarítmicas é baseada na monotonicidade da função logarítmica.

Algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas:

A) Encontre o domínio de definição da desigualdade (a expressão sublogarítmica é maior que zero).
B) Apresente (se possível) as partes esquerda e direita da desigualdade como logaritmos na mesma base.
C) Determine se a função logarítmica é crescente ou decrescente: se t>1, então crescente; se 0 1, depois diminuindo.
D) Passe para uma desigualdade mais simples (expressões sublogarítmicas), considerando que o sinal da desigualdade permanecerá se a função for crescente, e mudará se for decrescente.

Elemento de aprendizagem #1.

Objetivo: fixar a solução das desigualdades logarítmicas mais simples

Forma de organização da atividade cognitiva dos alunos: trabalho individual.

Tarefas para trabalho independente por 10 minutos. Para cada desigualdade, existem várias respostas, você precisa escolher a certa e verificar por chave.

CHAVE: 13321, pontos máximos - 6 p.

Elemento de aprendizagem #2.

Objetivo: fixar a solução de inequações logarítmicas aplicando as propriedades dos logaritmos.

Instruções do professor. Lembre-se das propriedades básicas dos logaritmos. Para fazer isso, leia o texto do livro nas p.92, 103–104.

Tarefas para trabalho independente por 10 minutos.

CHAVE: 2113, o número máximo de pontos é 8 b.

Elemento de aprendizagem #3.

Objetivo: estudar a solução de inequações logarítmicas pelo método de redução ao quadrado.

Instruções ao professor: o método para reduzir a desigualdade ao quadrado é transformar a desigualdade de tal forma que uma certa função logarítmica seja denotada por uma nova variável, enquanto se obtém uma desigualdade quadrada em relação a essa variável.

Vamos usar o método do intervalo.

Você passou o primeiro nível de assimilação do material. Agora você terá que escolher independentemente um método para resolver equações logarítmicas, usando todo o seu conhecimento e capacidade.

Elemento de aprendizagem número 4.

Objetivo: consolidar a solução de inequações logarítmicas escolhendo uma forma racional de resolvê-la você mesmo.

Tarefas para trabalho independente por 10 minutos

Elemento de aprendizagem número 5.

Instruções do professor. Bem feito! Você domina a solução de equações do segundo nível de complexidade. O objetivo de seu trabalho futuro é aplicar seus conhecimentos e habilidades em situações mais complexas e fora do padrão.

Tarefas para solução independente:

Instruções do professor. É ótimo se você fez todo o trabalho. Bem feito!

A nota para toda a lição depende do número de pontos marcados para todos os elementos educacionais:

• se N ≥ 20, então você obtém uma pontuação de “5”,
• para 16 ≤ N ≤ 19 – pontuação “4”,
• para 8 ≤ N ≤ 15 – pontuação “3”,
• em N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Raposas estimadas para entregar ao professor.

5. Tarefa de casa: se você acertou no máximo 15 b - resolva os erros (as soluções podem ser tiradas do professor), se acertou mais de 15 b - faça uma tarefa criativa sobre o tema “Desigualdades logarítmicas”.

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Desigualdades logarítmicas

Nas aulas anteriores, conhecemos as equações logarítmicas e agora sabemos o que são e como resolvê-las. E a lição de hoje será dedicada ao estudo das desigualdades logarítmicas. Quais são essas desigualdades e qual é a diferença entre resolver uma equação logarítmica e inequações?

Desigualdades logarítmicas são desigualdades que possuem uma variável sob o sinal do logaritmo ou em sua base.

Ou, pode-se dizer também que uma desigualdade logarítmica é uma desigualdade em que seu valor desconhecido, como na equação logarítmica, estará sob o sinal do logaritmo.

As desigualdades logarítmicas mais simples são assim:

onde f(x) eg(x) são algumas expressões que dependem de x.

Vejamos isso usando o seguinte exemplo: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Resolvendo desigualdades logarítmicas

Antes de resolver as desigualdades logarítmicas, vale a pena notar que quando são resolvidas, são semelhantes às desigualdades exponenciais, a saber:

Primeiro, ao passar de logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, também precisamos comparar a base do logaritmo com um;

Em segundo lugar, ao resolver uma desigualdade logarítmica usando uma mudança de variáveis, precisamos resolver as desigualdades com relação à mudança até obter a desigualdade mais simples.

Mas fomos nós que consideramos os momentos semelhantes de resolução de inequações logarítmicas. Agora vamos ver uma diferença bastante significativa. Você e eu sabemos que a função logarítmica tem um domínio de definição limitado, portanto, ao passar de logaritmos para expressões que estão sob o signo do logaritmo, você precisa levar em consideração a faixa de valores aceitáveis ​​(ODV).

Ou seja, deve-se ter em mente que, ao resolver uma equação logarítmica, podemos primeiro encontrar as raízes da equação e depois verificar essa solução. Mas resolver a desigualdade logarítmica não funcionará dessa maneira, pois passando de logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, será necessário anotar o ODZ da desigualdade.

Além disso, vale lembrar que a teoria das desigualdades é composta pelos números reais, que são os números positivos e negativos, além do número 0.

Por exemplo, quando o número "a" for positivo, deve-se usar a seguinte notação: a > 0. Nesse caso, tanto a soma quanto o produto desses números também serão positivos.

O princípio básico para resolver uma inequação é substituí-la por uma inequação mais simples, mas o principal é que ela seja equivalente à dada. Além disso, também obtivemos uma desigualdade e novamente a substituímos por uma que tenha uma forma mais simples e assim por diante.

Resolvendo desigualdades com uma variável, você precisa encontrar todas as suas soluções. Se duas desigualdades têm a mesma variável x, então tais desigualdades são equivalentes, desde que suas soluções sejam as mesmas.

Ao realizar tarefas para resolver desigualdades logarítmicas, é necessário lembrar que quando a > 1, a função logarítmica aumenta e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Formas de resolver inequações logarítmicas

Agora vamos ver alguns dos métodos que ocorrem ao resolver inequações logarítmicas. Para uma melhor compreensão e assimilação, tentaremos entendê-los por meio de exemplos específicos.

Sabemos que a desigualdade logarítmica mais simples tem a seguinte forma:

Nesta desigualdade, V - é um dos sinais de desigualdade como:<,>, ≤ ou ≥.

Quando a base deste logaritmo é maior que um (a>1), fazendo a transição de logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, então nesta versão o sinal de desigualdade é preservado, e a desigualdade ficará assim:

que é equivalente ao seguinte sistema:

No caso em que a base do logaritmo é maior que zero e menor que um (0

Isso é equivalente a este sistema:

Vejamos mais exemplos de resolução das inequações logarítmicas mais simples mostradas na figura abaixo:

Solução de exemplos

Exercício. Vamos tentar resolver essa desigualdade:

A decisão da área de valores admissíveis.

Agora vamos tentar multiplicar seu lado direito por:

Vejamos o que podemos fazer:

Agora, vamos passar para a transformação de expressões sublogarítmicas. Como a base do logaritmo é 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

E daí resulta que o intervalo que obtivemos pertence inteiramente ao ODZ e é uma solução para tal desigualdade.

Aqui está a resposta que obtivemos:

O que é necessário para resolver inequações logarítmicas?

Agora vamos tentar analisar o que precisamos para resolver inequações logarítmicas com sucesso?

Primeiro, concentre toda a sua atenção e tente não errar ao realizar as transformações que são dadas nessa desigualdade. Além disso, deve-se lembrar que, ao resolver tais desigualdades, é necessário evitar expansões e estreitamentos da desigualdade ODZ, que podem levar à perda ou aquisição de soluções estranhas.

Em segundo lugar, ao resolver desigualdades logarítmicas, você precisa aprender a pensar logicamente e entender a diferença entre conceitos como um sistema de desigualdades e um conjunto de desigualdades, para que você possa selecionar facilmente soluções para uma desigualdade, enquanto é guiado por seu DHS.

Em terceiro lugar, para resolver com sucesso tais desigualdades, cada um de vocês deve conhecer perfeitamente bem todas as propriedades das funções elementares e entender claramente seu significado. Tais funções incluem não apenas logarítmicas, mas também racionais, potências, trigonométricas, etc., em uma palavra, todas aquelas que você estudou durante a álgebra escolar.

Como você pode ver, tendo estudado o tema das desigualdades logarítmicas, não há nada difícil em resolver essas desigualdades, desde que você esteja atento e persistente em atingir seus objetivos. Para que não haja problemas na resolução de inequações, é preciso treinar o máximo possível, resolvendo diversas tarefas e ao mesmo tempo memorizar as principais formas de resolver tais inequações e seus sistemas. Com soluções malsucedidas para desigualdades logarítmicas, você deve analisar cuidadosamente seus erros para não voltar a eles no futuro.

Trabalho de casa

Para melhor assimilação do tema e consolidação do material abordado, resolva as seguintes inequações:

Entre toda a variedade de desigualdades logarítmicas, as desigualdades de base variável são estudadas separadamente. Eles são resolvidos de acordo com uma fórmula especial, que por algum motivo raramente é ensinada na escola:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Em vez de uma gralha "∨", você pode colocar qualquer sinal de desigualdade: mais ou menos. O principal é que em ambas as desigualdades os sinais são iguais.

Então nos livramos dos logaritmos e reduzimos o problema a uma desigualdade racional. Este último é muito mais fácil de resolver, mas ao descartar logaritmos, podem aparecer raízes extras. Para cortá-los, basta encontrar a faixa de valores admissíveis. Se você esqueceu o ODZ do logaritmo, recomendo fortemente repeti-lo - veja "O que é um logaritmo".

Tudo relacionado ao intervalo de valores aceitáveis ​​​​deve ser escrito e resolvido separadamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Essas quatro desigualdades constituem um sistema e devem ser preenchidas simultaneamente. Quando a faixa de valores aceitáveis ​​​​é encontrada, resta cruzá-la com a solução de uma desigualdade racional - e a resposta está pronta.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

Primeiro, vamos escrever o ODZ do logaritmo:

As duas primeiras desigualdades são realizadas automaticamente, e a última terá que ser escrita. Como o quadrado de um número é zero se e somente se o próprio número for zero, temos:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Acontece que o ODZ do logaritmo é todos os números, exceto zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Agora resolvemos a desigualdade principal:

Realizamos a transição da desigualdade logarítmica para a racional. Na desigualdade original há um sinal de “menor que”, então a desigualdade resultante também deve ter um sinal de “menor que”. Nós temos:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zeros desta expressão: x = 3; x = -3; x = 0. Além disso, x = 0 é a raiz da segunda multiplicidade, o que significa que ao passar por ela, o sinal da função não muda. Nós temos:

Obtemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está completamente contido no ODZ do logaritmo, o que significa que esta é a resposta.

Transformação de desigualdades logarítmicas

Frequentemente, a desigualdade original difere da anterior. Isso é fácil de corrigir de acordo com as regras padrão para trabalhar com logaritmos - consulte "Propriedades básicas dos logaritmos". Nomeadamente:

1. Qualquer número pode ser representado como um logaritmo com uma determinada base;
2. A soma e a diferença de logaritmos com a mesma base podem ser substituídas por um único logaritmo.

Separadamente, quero lembrá-lo sobre a faixa de valores aceitáveis. Como pode haver vários logaritmos na desigualdade original, é necessário encontrar o VPL de cada um deles. Assim, o esquema geral para resolver inequações logarítmicas é o seguinte:

1. Encontre o ODZ de cada logaritmo incluído na desigualdade;
2. Reduza a desigualdade ao padrão usando as fórmulas para adicionar e subtrair logaritmos;
3. Resolva a desigualdade resultante de acordo com o esquema acima.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

Encontre o domínio de definição (ODZ) do primeiro logaritmo:

Resolvemos pelo método do intervalo. Encontrando os zeros do numerador:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Então - os zeros do denominador:

x − 1 = 0;
x = 1.

Marcamos zeros e sinais na seta de coordenadas:

Obtemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). O segundo logaritmo do ODZ será o mesmo. Se você não acredita em mim, você pode verificar. Agora transformamos o segundo logaritmo para que a base seja dois:

Como você pode ver, os triplos na base e antes do logaritmo encolheram. Obtenha dois logaritmos com a mesma base. Vamos juntá-los:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Obtivemos a desigualdade logarítmica padrão. Nós nos livramos dos logaritmos pela fórmula. Como há um sinal menor que na desigualdade original, a expressão racional resultante também deve ser menor que zero. Nós temos:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Temos dois conjuntos:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Candidato à resposta: x ∈ (−1; 3).

Resta cruzar esses conjuntos - obtemos a resposta real:

Estamos interessados ​​na interseção de conjuntos, então escolhemos os intervalos sombreados em ambas as setas. Obtemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos os pontos são perfurados.