Mas muitos números naturais são igualmente divisíveis por outros números naturais.

Por exemplo:

O número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Os números pelos quais o número é divisível (para 12 é 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados divisores de números. Divisor de um número natural umaé o número natural que divide o número dado uma sem deixar vestígios. Um número natural que tem mais de dois fatores é chamado composto .

Observe que os números 12 e 36 têm divisores comuns. Estes são os números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12. O divisor comum desses dois números uma e bé o número pelo qual ambos os números dados são divisíveis sem deixar resto uma e b.

múltiplo comum vários números é chamado o número que é divisível por cada um desses números. Por exemplo, os números 9, 18 e 45 têm um múltiplo comum de 180. Mas 90 e 360 ​​também são seus múltiplos comuns. Entre todos os múltiplos comuns, há sempre o menor, neste caso é 90. Esse número é chamado ao menosmúltiplo comum (MMC).

LCM é sempre um número natural, que deve ser maior que o maior dos números para os quais foi definido.

Mínimo múltiplo comum (MMC). Propriedades.

Comutatividade:

Associatividade:

Em particular, se e são números primos , então:

Mínimo múltiplo comum de dois inteiros m e né um divisor de todos os outros múltiplos comuns m e n. Além disso, o conjunto dos múltiplos comuns m,n coincide com o conjunto de múltiplos para LCM( m,n).

A assintótica para pode ser expressa em termos de algumas funções da teoria dos números.

Então, Função Chebyshev. Assim como:

Isso decorre da definição e propriedades da função Landau g(n).

O que se segue da lei de distribuição de números primos.

Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum (MCC).

NOC( a, b) pode ser calculado de várias maneiras:

1. Se o máximo divisor comum for conhecido, você pode usar sua relação com o LCM:

2. Seja conhecida a decomposição canônica de ambos os números em fatores primos:

Onde p 1 ,..., p k são vários números primos, e d1,...,dk e e 1 ,..., ek são inteiros não negativos (eles podem ser zero se o primo correspondente não estiver na decomposição).

Então LCM ( uma,b) é calculado pela fórmula:

Em outras palavras, a expansão LCM contém todos os fatores primos incluídos em pelo menos uma das expansões numéricas a, b, e o maior dos dois expoentes desse fator é tomado.

Exemplo:

O cálculo do mínimo múltiplo comum de vários números pode ser reduzido a vários cálculos sucessivos do MMC de dois números:

Regra. Para encontrar o LCM de uma série de números, você precisa:

- decompor números em fatores primos;

- transfira a maior expansão para os fatores do produto desejado (o produto dos fatores do maior número dos dados) e, em seguida, adicione os fatores da expansão de outros números que não ocorrem no primeiro número ou estão nele um número menor de vezes;

- o produto resultante de fatores primos será o MMC dos números dados.

Quaisquer dois ou mais números naturais têm seu próprio LCM. Se os números não forem múltiplos um do outro ou não tiverem os mesmos fatores na expansão, seu MMC será igual ao produto desses números.

Os fatores primos do número 28 (2, 2, 7) foram suplementados com um fator de 3 (o número 21), o produto resultante (84) será o menor número divisível por 21 e 28.

Os fatores primos do maior número 30 foram suplementados com um fator de 5 do número 25, o produto resultante 150 é maior que o maior número 30 e é divisível por todos os números dados sem deixar resto. Este é o menor produto possível (150, 250, 300...) do qual todos os números dados são múltiplos.

Os números 2,3,11,37 são primos, então seu MMC é igual ao produto dos números dados.

regra. Para calcular o MMC de números primos, você precisa multiplicar todos esses números.

Outra opção:

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) de vários números, você precisa:

1) representam cada número como um produto de seus fatores primos, por exemplo:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) escreva as potências de todos os fatores primos:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) anote todos os divisores primos (multiplicadores) de cada um desses números;

4) escolha o maior grau de cada um deles, encontrado em todas as expansões desses números;

5) multiplique essas potências.

Exemplo. Encontre o LCM dos números: 168, 180 e 3024.

Solução. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Escrevemos as maiores potências de todos os divisores primos e os multiplicamos:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Mas muitos números naturais são igualmente divisíveis por outros números naturais.

Por exemplo:

O número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Os números pelos quais o número é divisível (para 12 é 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados divisores de números. Divisor de um número natural umaé o número natural que divide o número dado uma sem deixar vestígios. Um número natural que tem mais de dois fatores é chamado composto .

Observe que os números 12 e 36 têm divisores comuns. Estes são os números: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12. O divisor comum desses dois números uma e bé o número pelo qual ambos os números dados são divisíveis sem deixar resto uma e b.

múltiplo comum vários números é chamado o número que é divisível por cada um desses números. Por exemplo, os números 9, 18 e 45 têm um múltiplo comum de 180. Mas 90 e 360 ​​também são seus múltiplos comuns. Entre todos os múltiplos comuns, há sempre o menor, neste caso é 90. Esse número é chamado ao menosmúltiplo comum (MMC).

LCM é sempre um número natural, que deve ser maior que o maior dos números para os quais foi definido.

Mínimo múltiplo comum (MMC). Propriedades.

Comutatividade:

Associatividade:

Em particular, se e são números primos , então:

Mínimo múltiplo comum de dois inteiros m e né um divisor de todos os outros múltiplos comuns m e n. Além disso, o conjunto dos múltiplos comuns m,n coincide com o conjunto de múltiplos para LCM( m,n).

A assintótica para pode ser expressa em termos de algumas funções da teoria dos números.

Então, Função Chebyshev. Assim como:

Isso decorre da definição e propriedades da função Landau g(n).

O que se segue da lei de distribuição de números primos.

Encontrando o Mínimo Múltiplo Comum (MCC).

NOC( a, b) pode ser calculado de várias maneiras:

1. Se o máximo divisor comum for conhecido, você pode usar sua relação com o LCM:

2. Seja conhecida a decomposição canônica de ambos os números em fatores primos:

Onde p 1 ,..., p k são vários números primos, e d1,...,dk e e 1 ,..., ek são inteiros não negativos (eles podem ser zero se o primo correspondente não estiver na decomposição).

Então LCM ( uma,b) é calculado pela fórmula:

Em outras palavras, a expansão LCM contém todos os fatores primos incluídos em pelo menos uma das expansões numéricas a, b, e o maior dos dois expoentes desse fator é tomado.

Exemplo:

O cálculo do mínimo múltiplo comum de vários números pode ser reduzido a vários cálculos sucessivos do MMC de dois números:

Regra. Para encontrar o LCM de uma série de números, você precisa:

- decompor números em fatores primos;

- transfira a maior expansão para os fatores do produto desejado (o produto dos fatores do maior número dos dados) e, em seguida, adicione os fatores da expansão de outros números que não ocorrem no primeiro número ou estão nele um número menor de vezes;

- o produto resultante de fatores primos será o MMC dos números dados.

Quaisquer dois ou mais números naturais têm seu próprio LCM. Se os números não forem múltiplos um do outro ou não tiverem os mesmos fatores na expansão, seu MMC será igual ao produto desses números.

Os fatores primos do número 28 (2, 2, 7) foram suplementados com um fator de 3 (o número 21), o produto resultante (84) será o menor número divisível por 21 e 28.

Os fatores primos do maior número 30 foram suplementados com um fator de 5 do número 25, o produto resultante 150 é maior que o maior número 30 e é divisível por todos os números dados sem deixar resto. Este é o menor produto possível (150, 250, 300...) do qual todos os números dados são múltiplos.

Os números 2,3,11,37 são primos, então seu MMC é igual ao produto dos números dados.

regra. Para calcular o MMC de números primos, você precisa multiplicar todos esses números.

Outra opção:

Para encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) de vários números, você precisa:

1) representam cada número como um produto de seus fatores primos, por exemplo:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) escreva as potências de todos os fatores primos:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) anote todos os divisores primos (multiplicadores) de cada um desses números;

4) escolha o maior grau de cada um deles, encontrado em todas as expansões desses números;

5) multiplique essas potências.

Exemplo. Encontre o LCM dos números: 168, 180 e 3024.

Solução. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Escrevemos as maiores potências de todos os divisores primos e os multiplicamos:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) e o máximo divisor comum (GCD) de números naturais.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Escrevemos os fatores incluídos na expansão do primeiro desses números e adicionamos a eles o fator ausente 5 da expansão do segundo número. Obtemos: 2*2*3*5*5=300. Encontrado NOC, ou seja, esta soma = 300. Não esqueça a dimensão e escreva a resposta:
Resposta: Mamãe dá 300 rublos cada.

Definição de GCD: Máximo Divisor Comum (GCD) números naturais uma e dentro nome do maior número natural c, ao qual e uma, e b dividido sem resto. Aqueles. cé o menor número natural para o qual e uma e b são múltiplos.

Lembrete: Existem duas abordagens para a definição de números naturais

• números utilizados em: enumeração (numeração) de itens (primeiro, segundo, terceiro, ...); - nas escolas, geralmente.
• indicando o número de itens (sem pokemon - zero, um pokemon, dois pokemon, ...).

Números negativos e não inteiros (racionais, reais, ...) não são naturais. Alguns autores incluem o zero no conjunto dos números naturais, outros não. O conjunto de todos os números naturais é geralmente denotado pelo símbolo N

Lembrete: Divisor de um número natural uma ligue para o número b, ao qual uma dividido sem resto. Múltiplo do número natural b chamado de número natural uma, que é dividido por b sem deixar vestígios. Se número b- divisor de números uma, então uma múltiplo de b. Exemplo: 2 é um divisor de 4 e 4 é um múltiplo de 2. 3 é um divisor de 12 e 12 é um múltiplo de 3.
Lembrete: Os números naturais são chamados primos se forem divisíveis sem resto apenas por eles mesmos e por 1. Coprimos são números que têm apenas um divisor comum igual a 1.

Definição de como encontrar o GCD no caso geral: Para encontrar o GCD (Maior Divisor Comum) Vários números naturais são necessários:
1) Decomponha-os em fatores primos. (O gráfico de números primos pode ser muito útil para isso.)
2) Escreva os fatores incluídos na expansão de um deles.
3) Exclua aqueles que não estão incluídos na expansão dos números restantes.
4) Multiplique os fatores obtidos no parágrafo 3).

Tarefa 2 em (NOK): No ano novo, Kolya Puzatov comprou 48 hamsters e 36 cafeteiras na cidade. Fekla Dormidontova, como a garota mais honesta da classe, recebeu a tarefa de dividir essa propriedade no maior número possível de conjuntos de presentes para professores. Qual é o número de conjuntos? Qual é a composição dos conjuntos?

Exemplo 2.1. resolvendo o problema de encontrar GCD. Encontrar GCD por seleção.
Solução: Cada um dos números 48 e 36 deve ser divisível pelo número de presentes.
1) Escreva os divisores 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Escreva os divisores 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Escolha o máximo divisor comum. Op-la-la! Encontrado, este é o número de conjuntos de 12 peças.
3) Divida 48 por 12, obtemos 4, divida 36 por 12, obtemos 3. Não esqueça a dimensão e escreva a resposta:
Resposta: Você receberá 12 conjuntos de 4 hamsters e 3 cafeteiras em cada conjunto.

Um múltiplo de um número é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. O mínimo múltiplo comum (MLC) de um grupo de números é o menor número que é divisível por cada número no grupo. Para encontrar o mínimo múltiplo comum, você precisa encontrar os fatores primos dos números fornecidos. Além disso, o LCM pode ser calculado usando vários outros métodos aplicáveis ​​a grupos de dois ou mais números.

Passos

Um número de múltiplos

Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando são fornecidos dois números menores que 10. Se forem fornecidos números grandes, use um método diferente.

• Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 5 e 8. Esses são números pequenos, portanto, esse método pode ser usado.

1. Um múltiplo de um número é um número que é divisível por um determinado número sem deixar resto. Vários números podem ser encontrados na tabela de multiplicação.

   • Por exemplo, os números que são múltiplos de 5 são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Escreva uma série de números que são múltiplos do primeiro número. Faça isso em múltiplos do primeiro número para comparar duas linhas de números.

   • Por exemplo, os números que são múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

3. Encontre o menor número que aparece em ambas as séries de múltiplos. Você pode ter que escrever longas séries de múltiplos para encontrar o total. O menor número que aparece em ambas as séries de múltiplos é o mínimo múltiplo comum.

   • Por exemplo, o menor número que aparece na série de múltiplos de 5 e 8 é 40. Portanto, 40 é o mínimo múltiplo comum de 5 e 8.

   Fatoração primária

   1. Veja esses números. O método descrito aqui é melhor usado quando dois números são maiores que 10. Se números menores são fornecidos, use um método diferente.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum dos números 20 e 84. Cada um dos números é maior que 10, portanto, esse método pode ser usado.

   2. Fatorize o primeiro número. Ou seja, você precisa encontrar esses números primos, quando multiplicados, obtém um determinado número. Tendo encontrado os fatores primos, escreva-os como uma igualdade.

      • Por exemplo, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) e 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Assim, os fatores primos do número 20 são os números 2, 2 e 5. Escreva-os como uma expressão: .

   3. Fatore o segundo número em fatores primos. Faça isso da mesma forma que fatorou o primeiro número, ou seja, encontre esses números primos que, quando multiplicados, obterão esse número.

      • Por exemplo, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) e 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Assim, os fatores primos do número 84 são os números 2, 7, 3 e 2. Escreva-os como uma expressão: .

   4. Escreva os fatores comuns a ambos os números. Escreva esses fatores como uma operação de multiplicação. Ao escrever cada fator, risque-o em ambas as expressões (expressões que descrevem a decomposição de números em fatores primos).

      • Por exemplo, o fator comum para ambos os números é 2, então escreva 2 × (\displaystyle 2\times) e risque o 2 em ambas as expressões.
      • O fator comum para ambos os números é outro fator de 2, então escreva 2 × 2 (\displaystyle 2\vezes 2) e risque o segundo 2 em ambas as expressões.

   5. Adicione os fatores restantes à operação de multiplicação. São fatores que não estão riscados nas duas expressões, ou seja, fatores que não são comuns aos dois números.

      • Por exemplo, na expressão 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\vezes 2\vezes 5) ambos os dois (2) estão riscados porque são fatores comuns. O fator 5 não está riscado, então escreva a operação de multiplicação da seguinte forma: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5)
      • Na expressão 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\vezes 7\vezes 3\vezes 2) ambos os dois (2) também são riscados. Os fatores 7 e 3 não estão riscados, então escreva a operação de multiplicação da seguinte forma: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3).

   6. Calcule o mínimo múltiplo comum. Para fazer isso, multiplique os números na operação de multiplicação escrita.

      • Por exemplo, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\vezes 2\vezes 5\vezes 7\vezes 3=420). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 20 e 84 é 420.

   Encontrando divisores comuns

   1. Desenhe uma grade como você faria para um jogo da velha. Tal grade consiste em duas linhas paralelas que se cruzam (em ângulos retos) com duas outras linhas paralelas. Isso resultará em três linhas e três colunas (a grade se parece muito com o sinal #). Escreva o primeiro número na primeira linha e na segunda coluna. Escreva o segundo número na primeira linha e na terceira coluna.

      • Por exemplo, encontre o mínimo múltiplo comum de 18 e 30. Escreva 18 na primeira linha e na segunda coluna e 30 na primeira linha e na terceira coluna.

   2. Encontre o divisor comum a ambos os números. Anote-o na primeira linha e na primeira coluna. É melhor procurar divisores primos, mas isso não é um pré-requisito.

      • Por exemplo, 18 e 30 são números pares, então seu divisor comum é 2. Então escreva 2 na primeira linha e na primeira coluna.

   3. Divida cada número pelo primeiro divisor. Escreva cada quociente sob o número correspondente. O quociente é o resultado da divisão de dois números.

      • Por exemplo, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), então escreva 9 abaixo de 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), então escreva 15 abaixo de 30.

   4. Encontre um divisor comum a ambos os quocientes. Se não houver tal divisor, pule as próximas duas etapas. Caso contrário, anote o divisor na segunda linha e na primeira coluna.

      • Por exemplo, 9 e 15 são divisíveis por 3, então escreva 3 na segunda linha e na primeira coluna.

   5. Divida cada quociente pelo segundo divisor. Escreva cada resultado da divisão sob o quociente correspondente.

      • Por exemplo, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), então escreva 3 em 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), então escreva 5 abaixo de 15.

   6. Se necessário, complemente a grade com células adicionais. Repita as etapas acima até que os quocientes tenham um divisor comum.

   7. Circule os números na primeira coluna e na última linha da grade. Em seguida, escreva os números destacados como uma operação de multiplicação.

      • Por exemplo, os números 2 e 3 estão na primeira coluna e os números 3 e 5 estão na última linha, então escreva a operação de multiplicação assim: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5).

   8. Encontre o resultado da multiplicação de números. Isso calculará o mínimo múltiplo comum dos dois números fornecidos.

      • Por exemplo, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\vezes 3\vezes 3\vezes 5=90). Portanto, o mínimo múltiplo comum de 18 e 30 é 90.

   Algoritmo de Euclides

   1. Lembre-se da terminologia associada à operação de divisão. O dividendo é o número que está sendo dividido. O divisor é o número pelo qual dividir. O quociente é o resultado da divisão de dois números. O resto é o número que resta quando dois números são divididos.

      • Por exemplo, na expressão 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) descanso. 3:
        15 é o divisível
        6 é o divisor
        2 é privado
        3 é o resto.

Para entender como calcular o LCM, você deve primeiro determinar o significado do termo "múltiplo".

Um múltiplo de A é um número natural que é divisível por A sem deixar resto. Assim, 15, 20, 25 e assim por diante podem ser considerados múltiplos de 5.

Pode haver um número limitado de divisores de um determinado número, mas há um número infinito de múltiplos.

Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.

Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números

O mínimo múltiplo comum (MLC) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural que é divisível por todos esses números.

Para encontrar o NOC, você pode usar vários métodos.

Para números pequenos, é conveniente escrever em uma linha todos os múltiplos desses números até encontrar um comum entre eles. Múltiplos são indicados no registro com uma letra maiúscula K.

Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Essa entrada é realizada da seguinte forma:

LCM(4, 6) = 24

Se os números forem grandes, encontre o múltiplo comum de três ou mais números, então é melhor usar outra maneira de calcular o MMC.

Para completar a tarefa, é necessário decompor os números propostos em fatores primos.

Primeiro você precisa escrever a expansão do maior dos números em uma linha e abaixo dela - o resto.

Na expansão de cada número, pode haver um número diferente de fatores.

Por exemplo, vamos fatorar os números 50 e 20 em fatores primos.

Na expansão do número menor, deve-se sublinhar os fatores que faltam na expansão do primeiro número maior e, em seguida, adicioná-los a ele. No exemplo apresentado, um deuce está faltando.

Agora podemos calcular o mínimo múltiplo comum de 20 e 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Assim, o produto dos fatores primos do número maior pelos fatores do segundo número, que não estão incluídos na decomposição do número maior, será o mínimo múltiplo comum.

Para encontrar o MMC de três ou mais números, todos eles devem ser decompostos em fatores primos, como no caso anterior.

Como exemplo, você pode encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Assim, apenas dois dois da decomposição de dezesseis não foram incluídos na fatoração de um número maior (um está na decomposição de vinte e quatro).

Assim, eles precisam ser adicionados à decomposição de um número maior.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Existem casos especiais de determinação do mínimo múltiplo comum. Portanto, se um dos números puder ser dividido sem deixar resto por outro, o maior desses números será o mínimo múltiplo comum.

Por exemplo, NOCs de doze e vinte e quatro seriam vinte e quatro.

Se for necessário encontrar o mínimo múltiplo comum de números primos que não possuem os mesmos divisores, seu MMC será igual ao seu produto.

Por exemplo, LCM(10, 11) = 110.