Neste artigo, vamos considerar a solução de equações quadráticas incompletas.

Mas primeiro, vamos repetir quais equações são chamadas quadráticas. Uma equação da forma ax 2 + bx + c \u003d 0, onde x é uma variável e os coeficientes a, b e c são alguns números, e a ≠ 0, é chamada quadrado. Como podemos ver, o coeficiente em x 2 não é igual a zero e, portanto, os coeficientes em x ou o termo livre podem ser iguais a zero; nesse caso, obtemos uma equação quadrática incompleta.

Existem três tipos de equações de segundo grau incompletas:

1) Se b \u003d 0, c ≠ 0, então ax 2 + c \u003d 0;

2) Se b ≠ 0, c \u003d 0, então ax 2 + bx \u003d 0;

3) Se b \u003d 0, c \u003d 0, então ax 2 \u003d 0.

• Vamos ver como eles resolvem equações da forma ax 2 + c = 0.

Para resolver a equação, transferimos o termo livre de para o lado direito da equação, obtemos

ax 2 = ‒s. Como a ≠ 0, então dividimos ambas as partes da equação por a, então x 2 \u003d -c / a.

Se ‒с/а > 0, então a equação tem duas raízes

x = ±√(–c/a) .

Se ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Vamos tentar entender com exemplos como resolver tais equações.

Exemplo 1. Resolva a equação 2x 2 - 32 = 0.

Resposta: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Exemplo 2. Resolva a equação 2x 2 + 8 = 0.

Resposta: A equação não tem soluções.

• Vamos ver como eles resolvem equações da forma ax 2 + bx = 0.

Para resolver a equação ax 2 + bx \u003d 0, decompomos em fatores, ou seja, tiramos x dos colchetes, obtemos x (ax + b) \u003d 0. O produto é zero se pelo menos um dos fatores é zero. Então х = 0 ou ах + b = 0. Resolvendo a equação ах + b = 0, obtemos ах = – b, de onde х = – b/a. Uma equação da forma ax 2 + bx \u003d 0 sempre tem duas raízes x 1 \u003d 0 e x 2 \u003d - b / a. Veja como fica a solução de equações desse tipo no diagrama.

Vamos consolidar nosso conhecimento em um exemplo concreto.

Exemplo 3. Resolva a equação 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 ou 3x - 12 \u003d 0

Resposta: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Equações do terceiro tipo ax 2 = 0 resolvido de forma muito simples.

Se ax 2 \u003d 0, então x 2 \u003d 0. A equação tem duas raízes iguais x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Para maior clareza, considere o diagrama.

Ao resolver o Exemplo 4, garantiremos que as equações desse tipo sejam resolvidas de maneira muito simples.

Exemplo 4 Resolva a equação 7x 2 = 0.

Resposta: x 1, 2 = 0.

Nem sempre fica imediatamente claro que tipo de equação quadrática incompleta temos que resolver. Considere o seguinte exemplo.

Exemplo 5 resolva a equação

Multiplique ambos os lados da equação por um denominador comum, ou seja, por 30

vamos cortar

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Vamos abrir os colchetes

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

aqui são semelhantes

Vamos mover 99 do lado esquerdo da equação para a direita, mudando o sinal para o oposto

Resposta: sem raízes.

Analisamos como as equações quadráticas incompletas são resolvidas. Espero que agora você não tenha dificuldades com essas tarefas. Tenha cuidado ao determinar o tipo de uma equação quadrática incompleta, então você terá sucesso.

Se você tiver alguma dúvida sobre este tema, inscreva-se nas minhas aulas, vamos resolver os problemas juntos.

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O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As soluções (raízes) de uma equação quadrática são os pontos de interseção da parábola com o eixo das abcissas. Se a parábola descrita pela função quadrática não intercepta o eixo x, a equação não tem raízes reais. Se a parábola intercepta o eixo x em um ponto (o ápice da parábola), a equação tem uma raiz real (também se diz que a equação tem duas raízes coincidentes). Se a parábola intercepta o eixo x em dois pontos, a equação tem duas raízes reais.

Se o coeficiente uma Se for positivo, os ramos da parábola são direcionados para cima; se for negativo, os ramos da parábola são direcionados para baixo. Se o coeficiente b for positivo, o vértice da parábola estará no semiplano esquerdo, se negativo - no semiplano direito.

Derivação de uma fórmula para resolver uma equação quadrática

A fórmula para resolver uma equação quadrática pode ser obtida da seguinte forma

uma x 2 + b x + c = 0
uma x 2 + b x=- c

Multiplique a equação por 4 uma

4uma 2 x 2 + 4 ab x=-4 ac
4uma 2 x 2 + 4 ab x + b 2 = -4ac + b 2
(2uma x + b) 2 = b 2 -4ac
2uma x + b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Encontrando as raízes de uma equação quadrática

Uma equação do segundo grau com coeficientes reais pode ter de 0 a 2 raízes reais, dependendo do valor do discriminante D = b 2 − 4ac:

• para D > 0 existem duas raízes, e elas são calculadas pela fórmula
• para D = 0, há uma raiz (duas raízes iguais ou coincidentes), multiplicidade 2:

Na continuação do tópico “Resolvendo Equações”, o material deste artigo irá apresentá-lo às equações quadráticas.

Vamos considerar tudo em detalhes: a essência e a notação de uma equação quadrática, definir termos relacionados, analisar o esquema para resolver equações incompletas e completas, conhecer a fórmula das raízes e o discriminante, estabelecer conexões entre raízes e coeficientes e, claro, daremos uma solução visual de exemplos práticos.

Equação quadrática, seus tipos

Definição 1

Equação quadrática a equação é escrita como a x 2 + b x + c = 0, Onde x– variável, a , b e c são alguns números, enquanto uma não é zero.

Freqüentemente, as equações de segundo grau também são chamadas de equações de segundo grau, pois, na verdade, uma equação de segundo grau é uma equação algébrica de segundo grau.

Vamos dar um exemplo para ilustrar a definição dada: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. são equações de segundo grau.

Definição 2

Números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, enquanto o coeficiente umaé chamado de primeiro, ou sênior, ou coeficiente em x 2, b - o segundo coeficiente, ou coeficiente em x, uma c chamado de membro livre.

Por exemplo, na equação quadrática 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 o coeficiente mais alto é 6 , o segundo coeficiente é − 2 , e o termo livre é igual a − 11 . Atentemos para o fato de que quando os coeficientes b e/ou c são negativos, então a forma abreviada é usada 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, mas não 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Esclareçamos também este aspecto: se os coeficientes uma e/ou b igual 1 ou − 1 , então eles podem não participar explicitamente da escrita da equação quadrática, o que é explicado pelas peculiaridades de escrever os coeficientes numéricos indicados. Por exemplo, na equação quadrática y 2 − y + 7 = 0 o coeficiente sênior é 1 e o segundo coeficiente é − 1 .

Equações de segundo grau reduzidas e não reduzidas

De acordo com o valor do primeiro coeficiente, as equações quadráticas são divididas em reduzidas e não reduzidas.

Definição 3

Equação quadrática reduzidaé uma equação quadrática onde o coeficiente líder é 1 . Para outros valores do coeficiente principal, a equação quadrática não é reduzida.

Aqui estão alguns exemplos: equações quadráticas x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 são reduzidas, em cada uma das quais o coeficiente líder é 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- equação quadrática não reduzida, onde o primeiro coeficiente é diferente de 1 .

Qualquer equação quadrática não reduzida pode ser convertida em uma equação reduzida dividindo ambas as partes pelo primeiro coeficiente (transformação equivalente). A equação transformada terá as mesmas raízes que a equação não reduzida fornecida ou também não terá raízes.

A consideração de um exemplo específico nos permitirá demonstrar claramente a transição de uma equação quadrática não reduzida para uma reduzida.

Exemplo 1

Dada a equação 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . É necessário converter a equação original na forma reduzida.

Solução

De acordo com o esquema acima, dividimos ambas as partes da equação original pelo coeficiente líder 6 . Então obtemos: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, e isso é o mesmo que: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 e ainda: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Daqui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Assim, obtém-se uma equação equivalente à dada.

Responda: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equações de segundo grau completas e incompletas

Vamos nos voltar para a definição de uma equação quadrática. Nela, especificamos que a ≠ 0. Uma condição similar é necessária para a equação a x 2 + b x + c = 0 era exatamente quadrado, pois a = 0 basicamente se transforma em uma equação linear b x + c = 0.

No caso em que os coeficientes b e c são iguais a zero (o que é possível, tanto individualmente como conjuntamente), a equação quadrática é dita incompleta.

Definição 4

Equação quadrática incompletaé uma equação quadrática a x 2 + b x + c \u003d 0, onde pelo menos um dos coeficientes b e c(ou ambos) é zero.

Equação quadrática completaé uma equação quadrática em que todos os coeficientes numéricos não são iguais a zero.

Vamos discutir por que os tipos de equações quadráticas recebem exatamente esses nomes.

Para b = 0, a equação quadrática assume a forma a x 2 + 0 x + c = 0, que é o mesmo que a x 2 + c = 0. No c = 0 a equação de segundo grau é escrita como a x 2 + b x + 0 = 0, que é equivalente a x 2 + b x = 0. No b = 0 e c = 0 a equação terá a forma a x 2 = 0. As equações que obtivemos diferem da equação quadrática completa porque seus lados esquerdos não contêm nem um termo com a variável x, nem um termo livre, ou ambos ao mesmo tempo. Na verdade, esse fato deu o nome a esse tipo de equação - incompleta.

Por exemplo, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 são equações quadráticas completas; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 são equações de segundo grau incompletas.

Resolvendo equações quadráticas incompletas

A definição dada acima permite distinguir os seguintes tipos de equações quadráticas incompletas:

• a x 2 = 0, os coeficientes correspondem a tal equação b = 0 ec = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 para b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 para c = 0 .

Considere sucessivamente a solução de cada tipo de equação quadrática incompleta.

Solução da equação a x 2 \u003d 0

Como já mencionado acima, tal equação corresponde aos coeficientes b e c, igual a zero. A equação a x 2 = 0 pode ser convertido em uma equação equivalente x2 = 0, que obtemos dividindo ambos os lados da equação original pelo número uma, diferente de zero. O fato óbvio é que a raiz da equação x2 = 0é zero porque 0 2 = 0 . Esta equação não tem outras raízes, o que é explicado pelas propriedades do grau: para qualquer número p , diferente de zero, a desigualdade é verdadeira p2 > 0, de onde se conclui que quando p ≠ 0 igualdade p2 = 0 nunca será alcançado.

Definição 5

Assim, para a equação quadrática incompleta a x 2 = 0, existe uma única raiz x=0.

Exemplo 2

Por exemplo, vamos resolver uma equação quadrática incompleta − 3 x 2 = 0. É equivalente à equação x2 = 0, sua única raiz é x=0, então a equação original tem uma única raiz - zero.

A solução é resumida da seguinte forma:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solução da equação a x 2 + c \u003d 0

O próximo da linha é a solução de equações quadráticas incompletas, onde b \u003d 0, c ≠ 0, ou seja, equações da forma a x 2 + c = 0. Vamos transformar essa equação transferindo o termo de um lado da equação para o outro, trocando o sinal pelo oposto e dividindo os dois lados da equação por um número diferente de zero:

• aguentar c para o lado direito, o que dá a equação a x 2 = − c;
• divida os dois lados da equação por uma, obtemos como resultado x = - c a .

Nossas transformações são equivalentes, respectivamente, a equação resultante também é equivalente à original, e esse fato permite tirar uma conclusão sobre as raízes da equação. De quais são os valores uma e c depende do valor da expressão - c a: pode ter um sinal de menos (por exemplo, se a = 1 e c = 2, então - c a = - 2 1 = - 2) ou um sinal de mais (por exemplo, se a = -2 e c=6, então - c a = - 6 - 2 = 3); não é igual a zero porque c ≠ 0. Vamos nos deter mais detalhadamente nas situações em que - c a< 0 и - c a > 0 .

No caso em que - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p a igualdade p 2 = - c a não pode ser verdadeira.

Tudo é diferente quando - c a > 0: lembre-se da raiz quadrada, e ficará óbvio que a raiz da equação x 2 \u003d - c a será o número - c a, pois - c a 2 \u003d - c a. É fácil entender que o número - - c a - também é a raiz da equação x 2 = - c a: de fato, - - c a 2 = - c a .

A equação não terá outras raízes. Podemos demonstrar isso usando o método oposto. Primeiro, vamos definir a notação das raízes encontradas acima como x 1 e − x 1. Vamos supor que a equação x 2 = - c a também tem uma raiz x2, que é diferente das raízes x 1 e − x 1. Sabemos que substituindo na equação em vez de x suas raízes, transformamos a equação em uma igualdade numérica justa.

Por x 1 e − x 1 escreva: x 1 2 = - c a , e para x2- x 2 2 \u003d - c a. Com base nas propriedades das igualdades numéricas, subtraímos uma igualdade verdadeira de outra termo a termo, o que nos dará: x 1 2 − x 2 2 = 0. Use as propriedades das operações numéricas para reescrever a última igualdade como (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Sabe-se que o produto de dois números é zero se e somente se pelo menos um dos números for zero. Do que foi dito, conclui-se que x1 − x2 = 0 e/ou x1 + x2 = 0, que é o mesmo x2 = x1 e/ou x 2 = − x 1. Surgiu uma óbvia contradição, pois a princípio concordou-se que a raiz da equação x2é diferente de x 1 e − x 1. Assim, provamos que a equação não tem outras raízes além de x = - c a e x = - - c a .

Resumimos todos os argumentos acima.

Definição 6

Equação quadrática incompleta a x 2 + c = 0é equivalente à equação x 2 = - c a , que:

• não terá raízes em - c a< 0 ;
• terá duas raízes x = - c a e x = - - c a quando - c a > 0 .

Vamos dar exemplos de resolução de equações a x 2 + c = 0.

Exemplo 3

Dada uma equação quadrática 9 x 2 + 7 = 0 .É necessário encontrar a sua solução.

Solução

Transferimos o termo livre para o lado direito da equação, então a equação assumirá a forma 9 x 2 \u003d - 7.
Dividimos ambos os lados da equação resultante por 9 , chegamos a x 2 = - 7 9 . No lado direito vemos um número com um sinal de menos, o que significa: a equação dada não tem raízes. Então a equação quadrática incompleta original 9 x 2 + 7 = 0 não terá raízes.

Responda: a equação 9 x 2 + 7 = 0 não tem raízes.

Exemplo 4

É preciso resolver a equação − x2 + 36 = 0.

Solução

Vamos mover 36 para o lado direito: − x 2 = − 36.
Vamos dividir as duas partes em − 1 , Nós temos x2 = 36. No lado direito está um número positivo, do qual podemos concluir que x = 36 ou x = -36 .
Extraímos a raiz e escrevemos o resultado final: uma equação quadrática incompleta − x2 + 36 = 0 tem duas raízes x=6 ou x = -6.

Responda: x=6 ou x = -6.

Solução da equação a x 2 +b x=0

Vamos analisar o terceiro tipo de equações quadráticas incompletas, quando c = 0. Para encontrar uma solução para uma equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0, usamos o método de fatoração. Vamos fatorar o polinômio, que está no lado esquerdo da equação, tirando o fator comum dos parênteses x. Esta etapa permitirá transformar a equação quadrática incompleta original em sua equivalente x(a x + b) = 0. E esta equação, por sua vez, é equivalente ao conjunto de equações x=0 e a x + b = 0. A equação a x + b = 0 linear, e sua raiz: x = − b a.

Definição 7

Assim, a equação quadrática incompleta a x 2 + b x = 0 terá duas raízes x=0 e x = − b a.

Vamos consolidar o material com um exemplo.

Exemplo 5

É necessário encontrar a solução da equação 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Solução

vamos tirar x fora dos colchetes e obtenha a equação x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Esta equação é equivalente às equações x=0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Agora você deve resolver a equação linear resultante: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Resumidamente, escrevemos a solução da equação da seguinte forma:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ou x = 3 3 7

Responda: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminante, fórmula das raízes de uma equação quadrática

Para encontrar uma solução para equações quadráticas, existe uma fórmula de raiz:

Definição 8

x = - b ± D 2 a, onde D = b 2 − 4 a cé o chamado discriminante de uma equação quadrática.

Escrever x \u003d - b ± D 2 a significa essencialmente que x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Será útil entender como a fórmula indicada foi derivada e como aplicá-la.

Derivação da fórmula das raízes de uma equação quadrática

Suponha que nos deparamos com a tarefa de resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0. Vamos realizar uma série de transformações equivalentes:

• divida os dois lados da equação pelo numero uma, diferente de zero, obtemos a equação quadrática reduzida: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• selecione o quadrado completo no lado esquerdo da equação resultante:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Depois disso, a equação terá a forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• agora é possível transferir os dois últimos termos para o lado direito, mudando o sinal para o oposto, após o que obtemos: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• por fim, transformamos a expressão escrita do lado direito da última igualdade:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Assim, chegamos à equação x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , que é equivalente à equação original a x 2 + b x + c = 0.

Discutimos a solução de tais equações nos parágrafos anteriores (a solução de equações quadráticas incompletas). A experiência já adquirida permite tirar uma conclusão sobre as raízes da equação x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• para b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, a equação tem a forma x + b 2 · a 2 = 0, então x + b 2 · a = 0.

A partir daqui, a única raiz x = - b 2 · a é óbvia;

• para b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, o correto é: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ou x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , que é o o mesmo que x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ou x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ou seja a equação tem duas raízes.

É possível concluir que a presença ou ausência das raízes da equação x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (e, portanto, a equação original) depende do sinal da expressão b 2 - 4 a c 4 · um 2 escrito no lado direito. E o sinal desta expressão é dado pelo sinal do numerador, (o denominador 4 a 2 será sempre positivo), ou seja, o sinal da expressão b 2 − 4 a c. esta expressão b 2 − 4 a c um nome é dado - o discriminante de uma equação quadrática e a letra D é definida como sua designação. Aqui você pode anotar a essência do discriminante - por seu valor e sinal, eles concluem se a equação quadrática terá raízes reais e, em caso afirmativo, quantas raízes - uma ou duas.

Voltemos à equação x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Vamos reescrever usando a notação discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Vamos recapitular as conclusões:

Definição 9

• no D< 0 a equação não tem raízes reais;
• no D=0 a equação tem uma única raiz x = - b 2 · a ;
• no D > 0 a equação tem duas raízes: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ou x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Com base nas propriedades dos radicais, essas raízes podem ser escritas como: x \u003d - b 2 a + D 2 a ou - b 2 a - D 2 a. E quando abrimos os módulos e reduzimos as frações a um denominador comum, obtemos: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Assim, o resultado do nosso raciocínio foi a derivação da fórmula para as raízes da equação do segundo grau:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminante D calculado pela fórmula D = b 2 − 4 a c.

Estas fórmulas permitem, quando o discriminante é maior que zero, determinar ambas as raízes reais. Quando o discriminante é zero, a aplicação de ambas as fórmulas resultará na mesma raiz como a única solução para a equação quadrática. No caso do discriminante ser negativo, tentando usar a fórmula da raiz quadrática, nos depararemos com a necessidade de extrair a raiz quadrada de um número negativo, o que nos levará além dos números reais. Com um discriminante negativo, a equação quadrática não terá raízes reais, mas é possível um par de raízes complexas conjugadas, determinadas pelas mesmas fórmulas de raiz que obtivemos.

Algoritmo para resolver equações quadráticas usando fórmulas de raiz

É possível resolver uma equação do segundo grau usando imediatamente a fórmula da raiz, mas basicamente isso é feito quando é necessário encontrar raízes complexas.

Na maior parte dos casos, a busca geralmente não é por raízes complexas, mas por raízes reais de uma equação quadrática. Então é ideal, antes de usar as fórmulas para as raízes da equação quadrática, primeiro determinar o discriminante e garantir que não seja negativo (caso contrário, concluiremos que a equação não possui raízes reais) e, em seguida, proceder ao cálculo do valor das raízes.

O raciocínio acima permite formular um algoritmo para resolver uma equação quadrática.

Definição 10

Para resolver uma equação quadrática a x 2 + b x + c = 0, necessário:

• de acordo com a fórmula D = b 2 − 4 a c encontre o valor do discriminante;
• em D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para D = 0 encontre a única raiz da equação pela fórmula x = - b 2 · a ;
• para D > 0, determine duas raízes reais da equação quadrática pela fórmula x = - b ± D 2 · a.

Observe que quando o discriminante é zero, você pode usar a fórmula x = - b ± D 2 · a , ela dará o mesmo resultado da fórmula x = - b 2 · a .

Considere exemplos.

Exemplos de resolução de equações quadráticas

Apresentamos a solução de exemplos para vários valores do discriminante.

Exemplo 6

É necessário encontrar as raízes da equação x 2 + 2 x - 6 = 0.

Solução

Escrevemos os coeficientes numéricos da equação quadrática: a \u003d 1, b \u003d 2 e c = − 6. Em seguida, agimos de acordo com o algoritmo, ou seja. Vamos começar a calcular o discriminante, para o qual substituímos os coeficientes a , b e c na fórmula discriminante: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Então, temos D > 0, o que significa que a equação original terá duas raízes reais.
Para encontrá-los, usamos a fórmula raiz x \u003d - b ± D 2 · a e, substituindo os valores apropriados, obtemos: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Simplificamos a expressão resultante tirando o fator do sinal da raiz, seguido da redução da fração:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ou x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ou x = - 1 - 7

Responda: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplo 7

É necessário resolver uma equação de segundo grau − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solução

Vamos definir o discriminante: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Com este valor do discriminante, a equação original terá apenas uma raiz, determinada pela fórmula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Responda: x = 3, 5.

Exemplo 8

É preciso resolver a equação 5 anos 2 + 6 anos + 2 = 0

Solução

Os coeficientes numéricos desta equação serão: a = 5 , b = 6 e c = 2 . Usamos esses valores para encontrar o discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . O discriminante calculado é negativo, então a equação quadrática original não tem raízes reais.

No caso em que a tarefa é indicar raízes complexas, aplicamos a fórmula da raiz realizando operações com números complexos:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ou x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ou x = - 3 5 - 1 5 i .

Responda: não há raízes reais; as raízes complexas são: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

No currículo escolar, por norma, não há exigência de procurar raízes complexas, portanto, se o discriminante for definido como negativo durante a decisão, é imediatamente registrada a resposta de que não há raízes reais.

Fórmula raiz para coeficientes pares

A fórmula da raiz x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) permite obter outra fórmula, mais compacta, permitindo encontrar soluções para equações quadráticas com coeficiente par em x (ou com coeficiente da forma 2 a n, por exemplo, 2 3 ou 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Vamos mostrar como essa fórmula é derivada.

Suponha que nos deparamos com a tarefa de encontrar uma solução para a equação quadrática a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Agimos de acordo com o algoritmo: determinamos o discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) e, em seguida, usamos a fórmula da raiz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · ca.

Deixe a expressão n 2 − a c ser denotada como D 1 (às vezes é denotada D "). Em seguida, a fórmula para as raízes da equação quadrática considerada com o segundo coeficiente 2 n assumirá a forma:

x \u003d - n ± D 1 a, onde D 1 \u003d n 2 - a c.

É fácil ver que D = 4 · D 1 , ou D 1 = D 4 . Em outras palavras, D 1 é um quarto do discriminante. Obviamente, o sinal de D 1 é o mesmo que o sinal de D, o que significa que o sinal de D 1 também pode servir como um indicador da presença ou ausência das raízes de uma equação quadrática.

Definição 11

Assim, para encontrar uma solução para uma equação quadrática com um segundo coeficiente de 2 n, é necessário:

• encontre D 1 = n 2 − a c ;
• em D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• para D 1 = 0, determine a única raiz da equação pela fórmula x = - n a ;
• para D 1 > 0, determine duas raízes reais usando a fórmula x = - n ± D 1 a.

Exemplo 9

É necessário resolver a equação quadrática 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Solução

O segundo coeficiente da equação dada pode ser representado como 2 · (− 3) . Em seguida, reescrevemos a equação quadrática dada como 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , onde a = 5 , n = − 3 ec = − 32 .

Vamos calcular a quarta parte do discriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . O valor resultante é positivo, o que significa que a equação tem duas raízes reais. Nós os definimos pela fórmula correspondente das raízes:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ou x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ou x = - 2

Seria possível realizar cálculos usando a fórmula usual para as raízes de uma equação quadrática, mas neste caso a solução seria mais incômoda.

Responda: x = 3 1 5 ou x = - 2 .

Simplificação da forma de equações quadráticas

Às vezes é possível otimizar a forma da equação original, o que simplificará o processo de cálculo das raízes.

Por exemplo, a equação quadrática 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 é claramente mais conveniente para resolver do que 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mais frequentemente, a simplificação da forma de uma equação quadrática é realizada multiplicando ou dividindo suas duas partes por um determinado número. Por exemplo, acima mostramos uma representação simplificada da equação 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obtida pela divisão de ambas as partes por 100.

Tal transformação é possível quando os coeficientes da equação quadrática não são números relativamente primos. Então, geralmente, ambas as partes da equação são divididas pelo máximo divisor comum dos valores absolutos de seus coeficientes.

Como exemplo, usamos a equação quadrática 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Vamos definir o mdc dos valores absolutos de seus coeficientes: mdc (12 , 42 , 48) = mdc(gcd (12 , 42) , 48) = mdc (6 , 48) = 6 . Vamos dividir ambas as partes da equação quadrática original por 6 e obter a equação quadrática equivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Ao multiplicar ambos os lados da equação quadrática, os coeficientes fracionários são geralmente eliminados. Nesse caso, multiplique pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores de seus coeficientes. Por exemplo, se cada parte da equação quadrática 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 for multiplicada por LCM (6, 3, 1) \u003d 6, ela será escrita de uma forma mais simples x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Por fim, notamos que quase sempre eliminamos o sinal de menos no primeiro coeficiente da equação quadrática, alterando os sinais de cada termo da equação, o que se consegue multiplicando (ou dividindo) ambas as partes por − 1. Por exemplo, da equação quadrática - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, você pode ir para sua versão simplificada 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relação entre raízes e coeficientes

A já conhecida fórmula das raízes das equações de segundo grau x = - b ± D 2 · a expressa as raízes da equação em termos de seus coeficientes numéricos. Com base nessa fórmula, temos a oportunidade de definir outras dependências entre as raízes e os coeficientes.

As mais famosas e aplicáveis ​​são as fórmulas do teorema de Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a e x 2 \u003d c a.

Em particular, para a equação quadrática dada, a soma das raízes é o segundo coeficiente com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Por exemplo, pela forma da equação quadrática 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, é possível determinar imediatamente que a soma de suas raízes é 7 3 e o produto das raízes é 22 3.

Você também pode encontrar várias outras relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática. Por exemplo, a soma dos quadrados das raízes de uma equação quadrática pode ser expressa em termos de coeficientes:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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”, ou seja, equações de primeiro grau. Nesta lição, exploraremos o que é uma equação quadrática e como resolvê-lo.

O que é uma equação quadrática

Importante!

O grau de uma equação é determinado pelo grau mais alto em que a incógnita se encontra.

Se o grau máximo em que a incógnita está é “2”, então você tem uma equação quadrática.

Exemplos de equações quadráticas

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Importante! A forma geral da equação quadrática é assim:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" e "c" - números dados.

• "a" - o primeiro ou coeficiente sênior;
• "b" - o segundo coeficiente;
• "c" é um membro gratuito.

Para encontrar "a", "b" e "c" Você precisa comparar sua equação com a forma geral da equação quadrática "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vamos praticar a determinação dos coeficientes "a", "b" e "c" em equações de segundo grau.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

A equação	Chances
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Como resolver equações de segundo grau

Ao contrário das equações lineares, uma equação especial é usada para resolver equações quadráticas. fórmula para encontrar raízes.

Lembrar!

Para resolver uma equação do segundo grau você precisa:

• traga a equação quadrática para a forma geral "ax 2 + bx + c \u003d 0". Ou seja, apenas "0" deve permanecer no lado direito;
• use a fórmula para raízes:

Vamos usar um exemplo para descobrir como aplicar a fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática. Vamos resolver a equação quadrática.

X 2 - 3x - 4 = 0

A equação "x 2 - 3x - 4 = 0" já foi reduzida à forma geral "ax 2 + bx + c = 0" e não requer simplificações adicionais. Para resolvê-lo, precisamos apenas aplicar fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

Vamos definir os coeficientes "a", "b" e "c" para esta equação.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Com sua ajuda, qualquer equação quadrática é resolvida.

Na fórmula "x 1; 2 \u003d" a expressão raiz é frequentemente substituída
"b 2 − 4ac" à letra "D" e denominado discriminante. O conceito de discriminante é discutido com mais detalhes na lição "O que é um discriminante".

Considere outro exemplo de uma equação quadrática.

x 2 + 9 + x = 7x

Nesta forma, é bastante difícil determinar os coeficientes "a", "b" e "c". Vamos primeiro trazer a equação para a forma geral "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Agora você pode usar a fórmula para as raízes.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Resposta: x = 3

Há momentos em que não há raízes em equações quadráticas. Essa situação ocorre quando um número negativo aparece na fórmula abaixo da raiz.

Uma equação quadrática, ou uma equação algébrica do 2º grau com uma incógnita, é geralmente escrita da seguinte forma:

Ax 2 + bx + c = 0,

• a, b, c são coeficientes conhecidos, com a ≠ 0.
• x é desconhecido.

3x2 + 8x - 5 = 0.

2. Tipos de equações quadráticas

Dividindo ambos os lados da equação por uma, Nós temos equação quadrática reduzida:

x 2 + px + q = 0,

• p = b/a
• q = c/a

Se um dos coeficientes b, c ou ambos são iguais a 0, então a equação de segundo grau é chamada incompleta.

• x 2 +8x-5=0 é a equação quadrática reduzida completa.
• 3x 2 -5=0 não é uma equação quadrática não reduzida completa.
• x 2 -8x=0 não é uma equação quadrática reduzida completa.

Equação de segundo grau incompleta da forma

X 2 \u003d m

o mais simples e o mais importante, porque a solução de qualquer equação quadrática é dada a ele.

Três casos são possíveis:

• m = 0, x = 0
• m > 0, x = ±√‾m
• m< 0, x = ±i√‾m. Где i — мнимая единица, равная √‾-1.

3. Solução da equação quadrática

As raízes da equação quadrática completa não reduzida são encontradas pela fórmula

x \u003d (-b ± √‾ (b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± √‾(1)) / 6

4. Propriedades das raízes de uma equação quadrática. Discriminante.

De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, pode haver três casos, determinados pela expressão do radical (b 2 - 4ac). É chamado discriminante(distintivo).

Denotando o discriminante com a letra D, podemos escrever:

• D > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.
• D = 0, a equação tem duas raízes reais iguais.
• D< 0, уравнение имеет два различных мнимых корня.

x \u003d (-b ± √‾ (b 2 - 4ac)) / 2a

x = (7 ± √‾(7 2 - 4×3×4)) / (2×3)

x = (7 ± √‾(1)) / 6

5. Fórmulas úteis na vida

Freqüentemente, há problemas de conversão de volume em área ou comprimento, e o problema inverso é a conversão de área em volume. Por exemplo, as placas são vendidas em cubos (metros cúbicos) e precisamos calcular quanta área de parede pode ser revestida com placas contidas em um determinado volume, veja abaixo.