Encontramos frações na vida muito antes de começarem a estudar na escola. Se você cortar uma maçã inteira ao meio, obteremos um pedaço de fruta - ½. Corte novamente - será ¼. Isto é o que são as frações. E tudo, ao que parece, é simples. Para um adulto. Para uma criança (e ela começa a estudar esse tema no final do ensino fundamental), os conceitos matemáticos abstratos ainda são assustadoramente incompreensíveis, e o professor deve explicar de forma acessível o que são fração própria e imprópria, ordinária e decimal, quais operações pode ser realizado com eles e, mais importante, por que tudo isso é necessário.

O que são frações

O conhecimento de um novo tópico na escola começa com frações comuns. Eles são fáceis de reconhecer pela linha horizontal que separa os dois números - acima e abaixo. O de cima é chamado de numerador, o de baixo é chamado de denominador. Há também uma grafia minúscula de frações comuns impróprias e próprias - por meio de uma barra, por exemplo: ½, 4/9, 384/183. Esta opção é utilizada quando a altura da linha é limitada e não é possível aplicar a forma "dois andares" do registro. Por quê? Sim, porque é mais conveniente. Um pouco mais tarde, verificaremos isso.

Além do comum, também existem frações decimais. É muito fácil distingui-los: se em um caso é usada uma barra horizontal ou barra, no outro - uma vírgula separando sequências de números. Vejamos um exemplo: 2.9; 163,34; 1.953. Usamos deliberadamente o ponto e vírgula como delimitador para delimitar os números. O primeiro deles será lido assim: "dois inteiros, nove décimos".

Novos conceitos

Vamos voltar às frações comuns. Eles são de dois tipos.

A definição de uma fração própria é a seguinte: é uma fração cujo numerador é menor que o denominador. Por que isso é importante? Agora veremos!

Você tem várias maçãs cortadas ao meio. No total - 5 partes. Como se diz: você tem maçãs "dois anos e meio" ou "cinco segundos"? Claro, a primeira opção parece mais natural e, na hora de conversar com amigos, vamos usá-la. Mas se você precisar calcular quantas frutas cada um receberá, se houver cinco pessoas na empresa, anotaremos o número 5/2 e dividiremos por 5 - do ponto de vista da matemática, isso ficará mais claro.

Portanto, para nomear frações próprias e impróprias, a regra é a seguinte: se uma parte inteira (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) pode ser distinguida em uma fração, ela está incorreta. Se isso não puder ser feito, como no caso de ½, 13/16, 9/10, estará correto.

Propriedade básica de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem simultaneamente multiplicados ou divididos pelo mesmo número, seu valor não mudará. Imagine: o bolo foi cortado em 4 partes iguais e deram uma para você. O mesmo bolo foi cortado em oito pedaços e dado a você dois. Não é tudo a mesma coisa? Afinal, ¼ e 2/8 são a mesma coisa!

Redução

Os autores de problemas e exemplos em livros didáticos de matemática muitas vezes tentam confundir os alunos, oferecendo frações que são difíceis de escrever e podem ser reduzidas. Aqui está um exemplo de fração adequada: 167/334, que, ao que parece, parece muito "assustador". Mas, na verdade, podemos escrevê-lo como ½. O número 334 é divisível por 167 sem deixar resto - tendo feito esta operação, obtemos 2.

números mistos

Uma fração imprópria pode ser representada como um número misto. É quando toda a parte é apresentada e escrita no nível da linha horizontal. Na verdade, a expressão assume a forma de uma soma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 e assim por diante.

Para tirar a parte inteira, você precisa dividir o numerador pelo denominador. Escreva o restante da divisão acima, acima da linha e toda a parte antes da expressão. Assim, obtemos duas partes estruturais: unidades inteiras + fração própria.

Você também pode realizar a operação inversa - para isso, é necessário multiplicar a parte inteira pelo denominador e somar o valor resultante ao numerador. Nada complicado.

Multiplicação e divisão

Curiosamente, multiplicar frações é mais fácil do que adicioná-las. Basta estender a linha horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Com a divisão, tudo também é simples: você precisa multiplicar as frações cruzadas: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Adição de frações

E se você precisar fazer uma adição ou se eles tiverem números diferentes no denominador? Não funcionará da mesma forma que na multiplicação - aqui deve-se entender a definição de uma fração adequada e sua essência. É necessário trazer os termos a um denominador comum, ou seja, os mesmos números devem aparecer na parte inferior de ambas as frações.

Para fazer isso, você deve usar a propriedade básica de uma fração: multiplique as duas partes pelo mesmo número. Por exemplo, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Como escolher para qual denominador trazer os termos? Este deve ser o menor múltiplo de ambos os denominadores: para 1/3 e 1/9 será 9; para ½ e 1/7 - 14, porque não há menor valor divisível por 2 e 7 sem resto.

Uso

Para que servem as frações impróprias? Afinal, é muito mais conveniente selecionar imediatamente a peça inteira, obter um número misto - e pronto! Acontece que se você precisar multiplicar ou dividir duas frações, é mais lucrativo usar as erradas.

Vamos pegar o seguinte exemplo: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Parece que não há nada para cortar. Mas e se escrevermos o resultado da adição nos primeiros colchetes como uma fração imprópria? Veja: (37/17) / (37/68)

Agora tudo se encaixa! Vamos escrever o exemplo de forma que tudo fique óbvio: (37 * 68) / (17 * 37).

Vamos reduzir o 37 no numerador e no denominador e, finalmente, dividir as partes superior e inferior por 17. Você se lembra da regra básica para frações próprias e impróprias? Podemos multiplicá-los e dividi-los por qualquer número, desde que o façamos para o numerador e o denominador ao mesmo tempo.

Assim, obtemos a resposta: 4. O exemplo parecia complicado e a resposta contém apenas um dígito. Isso costuma acontecer na matemática. O principal é não ter medo e seguir regras simples.

Erros comuns

Ao se exercitar, o aluno pode facilmente cometer um dos erros populares. Geralmente ocorrem por desatenção e, às vezes, pelo fato de o material estudado ainda não ter sido devidamente depositado na cabeça.

Freqüentemente, a soma dos números no numerador causa o desejo de reduzir seus componentes individuais. Suponha, no exemplo: (13 + 2) / 13, escrito sem colchetes (com uma linha horizontal), muitos alunos, por inexperiência, riscam 13 de cima e de baixo. Mas isso não deve ser feito em hipótese alguma, porque é um erro grosseiro! Se ao invés da adição houvesse um sinal de multiplicação, teríamos na resposta o número 2. Mas na adição não são permitidas operações com um dos termos, apenas com a soma inteira.

As crianças costumam cometer erros ao dividir frações. Vamos pegar duas frações irredutíveis regulares e dividir uma pela outra: (5/6) / (25/33). O aluno pode confundir e escrever a expressão resultante como (5*25) / (6*33). Mas isso teria acontecido com a multiplicação e, no nosso caso, tudo será um pouco diferente: (5 * 33) / (6 * 25). Reduzimos o possível e na resposta veremos 11/10. Escrevemos a fração imprópria resultante como um decimal - 1,1.

Parênteses

Lembre-se que em qualquer expressão matemática, a ordem das operações é determinada pela precedência dos sinais de operação e pela presença de colchetes. Outras coisas sendo iguais, a sequência de ações é contada da esquerda para a direita. Isso também é verdade para frações - a expressão no numerador ou denominador é calculada estritamente de acordo com esta regra.

É o resultado da divisão de um número por outro. Se eles não se dividem completamente, acaba sendo uma fração - isso é tudo.

Como escrever uma fração em um computador

Como as ferramentas padrão nem sempre permitem que você crie uma fração que consiste em duas "camadas", os alunos às vezes usam vários truques. Por exemplo, eles copiam os numeradores e denominadores no editor do Paint e os colam, desenhando uma linha horizontal entre eles. Claro, existe uma opção mais simples, que, aliás, também oferece muitos recursos adicionais que serão úteis para você no futuro.

Abra o Microsoft Word. Um dos painéis na parte superior da tela é chamado de "Inserir" - clique nele. À direita, do lado onde estão os ícones para fechar e minimizar a janela, encontra-se o botão Fórmula. Isso é exatamente o que precisamos!

Se você usar esta função, uma área retangular aparecerá na tela na qual você poderá usar quaisquer símbolos matemáticos que não estejam no teclado, bem como escrever frações na forma clássica. Ou seja, separando o numerador e o denominador com uma linha horizontal. Você pode até se surpreender com o fato de uma fração tão adequada ser tão fácil de escrever.

aprender matemática

Se você estiver nas séries 5-6, em breve o conhecimento da matemática (incluindo a capacidade de trabalhar com frações!) Será exigido em muitas disciplinas escolares. Em quase todos os problemas da física, ao medir a massa de substâncias na química, na geometria e na trigonometria, as frações não podem ser dispensadas. Em breve você aprenderá a calcular tudo em sua mente, mesmo sem escrever expressões no papel, mas exemplos cada vez mais complexos aparecerão. Portanto, aprenda o que é uma fração adequada e como trabalhar com ela, acompanhe o currículo, faça sua lição de casa no prazo e você terá sucesso.

Esse artigo é sobre frações comuns. Aqui vamos nos familiarizar com o conceito de fração de um todo, o que nos levará à definição de fração ordinária. A seguir, vamos nos deter na notação aceita para frações comuns e dar exemplos de frações, digamos sobre o numerador e o denominador de uma fração. Depois disso, daremos definições de frações corretas e incorretas, positivas e negativas e também consideraremos a posição dos números fracionários no raio de coordenadas. Em conclusão, listamos as principais ações com frações.

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Ações do todo

Primeiro nós apresentamos conceito de compartilhamento.

Vamos supor que temos algum objeto formado por várias partes absolutamente idênticas (ou seja, iguais). Para maior clareza, você pode imaginar, por exemplo, uma maçã cortada em várias partes iguais ou uma laranja composta por várias fatias iguais. Cada uma dessas partes iguais que compõem o objeto inteiro é chamada parte do todo ou simplesmente ações.

Observe que os compartilhamentos são diferentes. Vamos explicar isso. Digamos que temos duas maçãs. Vamos cortar a primeira maçã em duas partes iguais e a segunda em 6 partes iguais. É claro que a parcela da primeira maçã será diferente da parcela da segunda maçã.

Dependendo do número de ações que compõem o objeto inteiro, essas ações têm seus próprios nomes. vamos analisar compartilhar nomes. Se o objeto consiste em duas partes, qualquer uma delas é chamada de segunda parte do objeto inteiro; se o objeto consiste em três partes, qualquer uma delas é chamada de terceira parte e assim por diante.

Uma segunda batida tem um nome especial - metade. Um terço é chamado terceiro, e um quádruplo - trimestre.

Por uma questão de brevidade, o seguinte designações de compartilhamento. Uma segunda ação é designada como ou 1/2, uma terceira ação - como ou 1/3; um quarto compartilhamento - como ou 1/4, e assim por diante. Observe que a notação com uma barra horizontal é usada com mais frequência. Para consolidar o material, vamos dar mais um exemplo: a entrada denota cento e sessenta e sete do total.

O conceito de ação estende-se naturalmente dos objetos às grandezas. Por exemplo, uma das medidas de comprimento é o metro. Para medir comprimentos menores que um metro, frações de um metro podem ser usadas. Então você pode usar, por exemplo, meio metro ou um décimo ou milésimo de metro. Ações de outras quantidades são aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos de frações

Para descrever o número de ações são usadas frações comuns. Vamos dar um exemplo que nos permitirá abordar a definição de frações ordinárias.

Deixe uma laranja consistir em 12 partes. Cada ação, neste caso, representa um doze avos de uma laranja inteira, ou seja, . Vamos denotar dois tempos como , três tempos como , e assim por diante, 12 tempos como . Cada uma dessas entradas é chamada de fração ordinária.

Agora vamos dar uma geral definição de frações comuns.

A definição expressa de frações ordinárias nos permite trazer exemplos de frações comuns: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . E aqui estão os registros não se encaixam na definição expressa de frações comuns, ou seja, não são frações comuns.

Numerador e denominador

Por conveniência, em frações ordinárias distinguimos numerador e denominador.

Definição.

Numerador fração comum (m / n) é um número natural m.

Definição.

Denominador fração ordinária (m / n) é um número natural n.

Portanto, o numerador está localizado acima da barra de fração (à esquerda da barra) e o denominador está abaixo da barra de fração (à direita da barra). Por exemplo, vamos pegar uma fração comum 17/29, o numerador dessa fração é o número 17 e o denominador é o número 29.

Resta discutir o significado contido no numerador e no denominador de uma fração ordinária. O denominador da fração mostra quantas ações um item consiste, o numerador, por sua vez, indica o número dessas ações. Por exemplo, o denominador 5 da fração 12/5 significa que um item consiste em cinco partes e o numerador 12 significa que 12 dessas partes foram retiradas.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, podemos assumir que o objeto é indivisível, ou seja, é algo inteiro. O numerador dessa fração indica quantos itens inteiros são retirados. Assim, uma fração ordinária da forma m/1 tem o significado de um número natural m. É assim que substanciamos a igualdade m/1=m .

Vamos reescrever a última igualdade assim: m=m/1 . Essa igualdade nos permite representar qualquer número natural m como uma fração ordinária. Por exemplo, o número 4 é a fração 4/1 e o número 103498 é a fração 103498/1.

Então, qualquer número natural m pode ser representado como uma fração ordinária com denominador 1 como m/1 , e qualquer fração ordinária da forma m/1 pode ser substituída por um número natural m.

Barra de fração como sinal de divisão

A representação do objeto original na forma de n ações nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Depois que o item for dividido em n ações, podemos dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada uma receberá uma ação.

Se inicialmente tivermos m objetos idênticos, cada um dos quais dividido em n partes, podemos dividir igualmente esses m objetos entre n pessoas, dando a cada pessoa uma parte de cada um dos m objetos. Nesse caso, cada pessoa terá m ações 1/n, e m ações 1/n dá uma fração ordinária m/n. Assim, a fração comum m/n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

Portanto, obtivemos uma conexão explícita entre frações comuns e divisão (veja a ideia geral da divisão de números naturais). Essa relação é expressa da seguinte forma: A barra de uma fração pode ser entendida como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração comum, você pode escrever o resultado da divisão de dois números naturais para os quais a divisão não é realizada por um inteiro. Por exemplo, o resultado da divisão de 5 maçãs por 8 pessoas pode ser escrito como 5/8, ou seja, cada um receberá cinco oitavos de uma maçã: 5:8=5/8.

Frações ordinárias iguais e desiguais, comparação de frações

Uma ação bastante natural é comparação de frações comuns, porque é claro que 1/12 de uma laranja é diferente de 5/12, e 1/6 de uma maçã é igual ao outro 1/6 desta maçã.

Como resultado da comparação de duas frações comuns, um dos resultados é obtido: as frações são iguais ou diferentes. No primeiro caso temos frações comuns iguais, e no segundo frações comuns desiguais. Vamos dar uma definição de frações ordinárias iguais e desiguais.

Definição.

igual, se a igualdade a d=b c for verdadeira.

Definição.

Duas frações comuns a/b e c/d não igual, se a igualdade a d=b c não for satisfeita.

Aqui estão alguns exemplos de frações iguais. Por exemplo, a fração comum 1/2 é igual à fração 2/4, pois 1 4=2 2 (se necessário, veja as regras e exemplos de multiplicação de números naturais). Para maior clareza, você pode imaginar duas maçãs idênticas, a primeira é cortada ao meio e a segunda - em 4 partes. É óbvio que dois quartos de uma maçã é 1/2 por ação. Outros exemplos de frações comuns iguais são as frações 4/7 e 36/63, e o par de frações 81/50 e 1620/1000.

E as frações comuns 4/13 e 5/14 não são iguais, pois 4 14=56 e 13 5=65, ou seja, 4 14≠13 5. Outro exemplo de frações comuns desiguais são as frações 17/7 e 6/4.

Se, ao comparar duas frações comuns, descobrir que elas não são iguais, talvez seja necessário descobrir qual dessas frações comuns menos outro e qual mais. Para descobrir, é usada a regra para comparar frações comuns, cuja essência é trazer as frações comparadas a um denominador comum e depois comparar os numeradores. Informações detalhadas sobre este tópico são coletadas no artigo comparação de frações: regras, exemplos, soluções.

números fracionários

Cada fração é um registro número fracionário. Ou seja, uma fração é apenas uma “casca” de um número fracionário, sua aparência e toda a carga semântica está contida precisamente em um número fracionário. No entanto, por brevidade e conveniência, os conceitos de fração e número fracionário são combinados e simplesmente chamados de fração. Aqui é apropriado parafrasear um ditado bem conhecido: dizemos uma fração - queremos dizer um número fracionário, dizemos um número fracionário - queremos dizer uma fração.

Frações no feixe de coordenadas

Todos os números fracionários correspondentes a frações comuns têm seu próprio lugar único em , ou seja, há uma correspondência um-para-um entre frações e pontos do raio de coordenadas.

Para chegar ao ponto correspondente à fração m / n no raio de coordenadas, é necessário adiar m segmentos da origem na direção positiva, cujo comprimento é 1 / n fração do segmento unitário. Esses segmentos podem ser obtidos dividindo-se um único segmento em n partes iguais, o que sempre pode ser feito com o uso de compasso e régua.

Por exemplo, vamos mostrar o ponto M no raio de coordenadas, correspondente à fração 14/10. O comprimento do segmento que termina no ponto O e o ponto mais próximo a ele, marcado com um pequeno traço, é 1/10 do segmento unitário. O ponto com coordenada 14/10 é removido da origem por 14 desses segmentos.

Frações iguais correspondem ao mesmo número fracionário, ou seja, frações iguais são as coordenadas do mesmo ponto no raio de coordenadas. Por exemplo, um ponto corresponde às coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 no raio de coordenadas, pois todas as frações escritas são iguais (está localizado a uma distância de metade do segmento unitário, adiado de a origem no sentido positivo).

Em um raio coordenado horizontal e direcionado para a direita, o ponto cuja coordenada é uma grande fração está localizado à direita do ponto cuja coordenada é uma fração menor. Da mesma forma, o ponto com a menor coordenada fica à esquerda do ponto com a maior coordenada.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

Entre as frações ordinárias, existem frações próprias e impróprias. Essa divisão basicamente tem uma comparação do numerador e denominador.

Vamos dar uma definição de frações ordinárias próprias e impróprias.

Definição.

Fração própriaé uma fração ordinária, cujo numerador é menor que o denominador, isto é, se m

Definição.

Fração imprópriaé uma fração ordinária em que o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, se m≥n, então a fração ordinária é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos de frações próprias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De fato, em cada uma das frações ordinárias escritas, o numerador é menor que o denominador (se necessário, veja a comparação do artigo de números naturais), então eles estão corretos por definição.

E aqui estão exemplos de frações impróprias: 9/9, 23/4,. De fato, o numerador da primeira das frações ordinárias escritas é igual ao denominador, e nas demais frações o numerador é maior que o denominador.

Também existem definições de frações próprias e impróprias com base na comparação de frações com uma.

Definição.

correto se for menor que um.

Definição.

A fração comum é chamada errado, se for igual a um ou maior que 1 .

Então a fração ordinária 7/11 está correta, já que 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , e 27/27=1 .

Vamos pensar em como as frações comuns com um numerador maior ou igual ao denominador merecem esse nome - "errado".

Tomemos como exemplo a fração imprópria 9/9. Essa fração significa que são retiradas nove partes de um objeto, que consiste em nove partes. Ou seja, das nove ações disponíveis, podemos compor um assunto inteiro. Ou seja, a fração imprópria 9/9 dá essencialmente um objeto inteiro, ou seja, 9/9=1. Em geral, frações impróprias com um numerador igual ao denominador denotam um objeto inteiro e essa fração pode ser substituída por um número natural 1.

Agora considere as frações impróprias 7/3 e 12/4. É bastante óbvio que desses sete terços podemos fazer dois objetos inteiros (um objeto inteiro é 3 partes, então para compor dois objetos inteiros precisamos de 3 + 3 = 6 partes) e ainda haverá uma terceira parte. Ou seja, a fração imprópria 7/3 significa essencialmente 2 itens e até 1/3 da parcela de tal item. E de doze quartos podemos fazer três objetos inteiros (três objetos com quatro partes cada). Ou seja, a fração 12/4 significa essencialmente 3 objetos inteiros.

Os exemplos considerados levam-nos à seguinte conclusão: as frações impróprias podem ser substituídas quer por números naturais, quando o numerador é dividido pelo denominador (por exemplo, 9/9=1 e 12/4=3), quer pela soma de um número natural e uma fração própria, quando o numerador não é divisível pelo denominador (por exemplo, 7/3=2+1/3 ). Talvez seja exatamente isso que as frações impróprias merecem esse nome - "errado".

De particular interesse é a representação de uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (7/3=2+1/3). Esse processo é chamado de extração de uma parte inteira de uma fração imprópria e merece uma consideração separada e mais cuidadosa.

Também é importante notar que existe uma relação muito próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo (veja o artigo números positivos e negativos). Ou seja, as frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, as frações comuns 1/5, 56/18, 35/144 são frações positivas. Quando é necessário enfatizar a positividade de uma fração, um sinal de mais é colocado na frente dela, por exemplo, +3/4, +72/34.

Se você colocar um sinal de menos na frente de uma fração comum, essa entrada corresponderá a um número fracionário negativo. Neste caso, pode-se falar em frações negativas. Aqui estão alguns exemplos de frações negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

As frações positivas e negativas m/n e −m/n são números opostos. Por exemplo, as frações 5/7 e −5/7 são frações opostas.

As frações positivas, como os números positivos em geral, denotam um aumento, uma renda, uma mudança em algum valor para cima, etc. Frações negativas correspondem a despesa, dívida, alteração de qualquer valor no sentido decrescente. Por exemplo, uma fração negativa -3/4 pode ser interpretada como uma dívida, cujo valor é 3/4.

Nas frações negativas horizontais e direcionadas à direita estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos da reta coordenada cujas coordenadas são a fração positiva m/n e a fração negativa −m/n estão localizados à mesma distância da origem, mas em lados opostos do ponto O .

Aqui vale a pena mencionar as frações da forma 0/n. Essas frações são iguais ao número zero, ou seja, 0/n=0 .

Frações positivas, frações negativas e frações 0/n se combinam para formar números racionais.

Ações com frações

Uma ação com frações comuns - comparando frações - já consideramos acima. Mais quatro aritméticas são definidas operações com frações- adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Vamos nos debruçar sobre cada um deles.

A essência geral das ações com frações é semelhante à essência das ações correspondentes com números naturais. Vamos fazer uma analogia.

Multiplicação de frações pode ser considerada como uma ação na qual uma fração é encontrada a partir de uma fração. Para esclarecer, vamos dar um exemplo. Suponha que temos 1/6 de uma maçã e precisamos pegar 2/3 dela. A parte que precisamos é o resultado da multiplicação das frações 1/6 e 2/3. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (que em um caso particular é igual a um número natural). Além disso, recomendamos estudar as informações do artigo multiplicação de frações - regras, exemplos e soluções.

Bibliografia.

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• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. Grau 6: livro didático para instituições de ensino.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para candidatos a escolas técnicas).

Fração imprópria

quartos

1. Ordem. uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles uma e apenas uma das três relações: “< », « >' ou ' = '. Esta regra é chamada regra de pedido e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois números inteiros e ; dois números não positivos uma e b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e ; se de repente uma não negativo e b- negativo, então uma > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   soma de frações

2. operação de adição. Para quaisquer números racionais uma e b existe um assim chamado regra de soma c. No entanto, o próprio número c chamado soma números uma e b e é denotado por , e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra da soma tem a seguinte forma: .
3. operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais uma e b existe um assim chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional c. No entanto, o próprio número c chamado trabalhar números uma e b e é denotado por , e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é a seguinte: .
4. Transitividade da relação de ordem. Para qualquer tripla de números racionais uma , b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. A soma não muda ao mudar os lugares dos termos racionais.
5. Associatividade de adição. A ordem em que três números racionais são adicionados não afeta o resultado.
6. A presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando somados.
7. A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que, quando somado, dá 0.
8. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
9. Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
10. A presença de uma unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
11. A presença de recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que, quando multiplicado, dá 1.
12. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é consistente com a operação de adição através da lei de distribuição:
13. Conexão da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, você pode pegar tantas unidades que sua soma excederá uma. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são apontadas como básicas, porque, de um modo geral, elas não são mais baseadas diretamente nas propriedades dos números inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. Existem muitas dessas propriedades adicionais. Faz sentido aqui citar apenas alguns deles.

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Definir contabilidade

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumera números racionais, ou seja, estabelece uma bijeção entre os conjuntos de números racionais e naturais.

O mais simples desses algoritmos é o seguinte. Uma tabela infinita de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada jª coluna da qual é uma fração. Para fins de definição, supõe-se que as linhas e colunas desta tabela sejam numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas por , onde eu- o número da linha da tabela na qual a célula está localizada e j- número da coluna.

A tabela resultante é gerenciada por uma "cobra" de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são pesquisadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada pela primeira correspondência.

No processo de tal desvio, cada novo número racional é atribuído ao próximo número natural. Ou seja, as frações 1/1 recebem o número 1, as frações 2/1 - o número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. O sinal formal de irredutibilidade é a igualdade à unidade do máximo divisor comum do numerador e denominador da fração.

Seguindo este algoritmo, pode-se enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos de números racionais positivos e negativos, simplesmente atribuindo a cada número racional o seu oposto. Este. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. Sua união também é contável pela propriedade dos conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um finito.

A afirmação sobre a enumerabilidade do conjunto dos números racionais pode causar certa perplexidade, pois à primeira vista tem-se a impressão de que ele é muito maior que o conjunto dos números naturais. Na verdade, este não é o caso, e existem números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Insuficiência de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não é expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1 / n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Esse fato cria uma impressão enganosa de que os números racionais podem medir quaisquer distâncias geométricas em geral. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Sabe-se do teorema de Pitágoras que a hipotenusa de um triângulo retângulo é expressa como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus catetos. Este. o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles com uma perna unitária é igual a, ou seja, um número cujo quadrado é 2.

Se assumirmos que o número é representado por algum número racional, existe tal número inteiro m e tal número natural n, que, além disso, a fração é irredutível, ou seja, os números m e n são coprime.

326. Preencha as lacunas.

1) Se o numerador de uma fração é igual ao denominador, então a fração é igual a 1.
2) Uma fração a/b (a e b são números naturais) é chamada correta se a< b
3) A fração a/b (a e b são números naturais) é chamada imprópria se a >b ou a =b.
4) 9/14 é uma fração própria porque 9< 14.
5) 7/5 é uma fração imprópria porque 7 > 5.
6) 16/16 é uma fração imprópria porque 16=16.

327. Escreva das frações 1/20, 16/9, 7/2, 14/28.10/10, 5/32.11/2: 1) frações próprias; 2) frações impróprias.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Pense e anote: 1) 5 frações corretas; 2) frações impróprias.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2 Yu 6/2, 7/2

329. Escreva todas as frações corretas com um denominador de 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Escreva todas as frações impróprias com o numerador 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Duas tiras idênticas foram divididas em 7 partes iguais. Pinte 4/7 de uma tira e 6/7 da outra.

Compare as frações resultantes: 4/7< 6/7.

Formule uma regra para comparar frações com os mesmos denominadores: de duas frações com os mesmos denominadores, aquela com o maior numerador é maior.

332. Duas tiras idênticas foram divididas em partes. Uma tira foi dividida em 7 partes iguais e a outra em 5 partes iguais. Pinte 3/7 da primeira tira e 3/5 da segunda.

Compare as frações resultantes: 3/7< /5.

Formule uma regra para comparar frações com os mesmos numeradores: de duas frações com os mesmos numeradores, aquela com o menor denominador é maior.

333. Preencha as lacunas.

1) Todas as frações próprias são menores que 1 e as impróprias são maiores que 1 ou iguais a 1.

2) Cada fração imprópria é maior que qualquer fração própria, e cada fração própria é menor que qualquer imprópria.

3) Em um feixe de coordenadas de duas frações, a fração maior está localizada à direita da menor.

334. Circule as afirmações corretas.

335. Compare números.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Qual das frações 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 é maior que 1?

Resposta: 16/4, 18/17, 310/303

337. Organize as frações 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Resposta: 29/29, 17/29, 13/29, 29/07, 29/05, 29/04.

338. Marque no feixe de coordenadas todos os números que são frações com denominador 5, localizados entre os números 0 e 3. Quais dos números marcados estão corretos e quais estão incorretos?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Resposta: 1) frações próprias: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) frações impróprias: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Encontre todos os valores naturais de x para os quais a fração x/8 está correta.

Resposta: 1,2,3,4,5,6,7

340. Encontre expressões naturais x para as quais a fração 11/x será irregular.

Resposta: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Escreva os números nas células vazias para que uma fração correta seja formada.

2) Digite os números nas células vazias para que uma fração imprópria seja formada.

342. Construa e designe um segmento cujo comprimento é: 1) 9/8 do comprimento do segmento AB; 2) 10/8 do comprimento do segmento AB; 3) 7/4 do comprimento do segmento AB; 4) o comprimento do segmento AB.

Sasha leu 42:6*7= 49 páginas

Resposta: 49 páginas

344. Encontre todos os valores naturais de x para os quais a desigualdade é verdadeira:

1) x/15<7/15;

2)10/x>10/9.

Resposta: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Usando os números 1,4,5,7 e a linha de uma fração, escreva todas as frações próprias possíveis.

Resposta: ¼, 1/5.1/7.4/5.4/7.5/7.

346. Encontre todos os valores naturais de m para os quais 4m+5/17 está correto.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

Resposta: m =1; 2.

347. Encontre todos os valores naturais de a para os quais a fração 10/a é imprópria e a fração 7/a é correta.

a≤10 e a >7, i.e. 7

Resposta: a = 8,9,10

348. Números naturais a, b, c e d tais que a

À palavra "frações", muitos arrepios correm. Porque eu me lembro da escola e das tarefas que eram resolvidas em matemática. Este era um dever que tinha de ser cumprido. Mas e se tratarmos tarefas contendo frações próprias e impróprias como um quebra-cabeça? Afinal, muitos adultos resolvem palavras cruzadas digitais e japonesas. Entenda as regras e pronto. Mesmo aqui. Basta mergulhar na teoria - e tudo se encaixará. E os exemplos se transformarão em uma forma de treinar o cérebro.

Que tipos de frações existem?

Vamos começar com o que é. Uma fração é um número que tem alguma fração de um. Pode ser escrito de duas formas. O primeiro é chamado de comum. Ou seja, aquele que tem traço horizontal ou oblíquo. Equivale ao sinal de divisão.

Em tal notação, o número acima do traço é chamado de numerador e abaixo dele é chamado de denominador.

Entre as frações comuns, distinguem-se as frações certas e erradas. Para o primeiro, o numerador do módulo é sempre menor que o denominador. Os errados são chamados assim porque têm o oposto. O valor de uma fração própria é sempre menor que um. Enquanto o errado é sempre maior que esse número.

Existem também os números mistos, ou seja, aqueles que possuem uma parte inteira e uma parte fracionária.

O segundo tipo de notação é a decimal. Sobre sua conversa separada.

Qual é a diferença entre frações impróprias e números mistos?

Basicamente, nada. É apenas uma notação diferente do mesmo número. Frações impróprias após operações simples facilmente se tornam números mistos. E vice versa.

Tudo depende da situação específica. Às vezes, nas tarefas, é mais conveniente usar uma fração imprópria. E às vezes é necessário traduzi-lo em um número misto, e então o exemplo será resolvido com muita facilidade. Portanto, o que usar: frações impróprias, números mistos - depende da observação do solucionador do problema.

O número misto também é comparado com a soma da parte inteira e da parte fracionária. Além disso, o segundo é sempre menor que a unidade.

Como representar um número misto como uma fração imprópria?

Se você deseja executar alguma ação com vários números escritos em formas diferentes, precisa torná-los iguais. Um método é representar números como frações impróprias.

Para isso, você precisará seguir o seguinte algoritmo:

• multiplique o denominador pela parte inteira;
• adicione o valor do numerador ao resultado;
• escreva a resposta acima da linha;
• deixe o denominador igual.

Aqui estão exemplos de como escrever frações impróprias de números mistos:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Como escrever uma fração imprópria como um número misto?

O próximo método é o oposto do discutido acima. Ou seja, quando todos os números mistos são substituídos por frações impróprias. O algoritmo de ações será o seguinte:

• divida o numerador pelo denominador para obter o restante;
• escreva o quociente no lugar da parte inteira do misto;
• o restante deve ser colocado acima da linha;
• o divisor será o denominador.

Exemplos de tal transformação:

76/14; 76:14 = 5 com um resto de 6; a resposta é 5 inteiros e 6/14; a parte fracionária neste exemplo precisa ser reduzida em 2, você obtém 3/7; a resposta final é 5 inteiros 3/7.

108/54; após a divisão, o quociente 2 é obtido sem resto; isso significa que nem todas as frações impróprias podem ser representadas como um número misto; a resposta é um número inteiro - 2.

Como você transforma um número inteiro em uma fração imprópria?

Há situações em que tal ação é necessária. Para obter frações impróprias com um denominador pré-determinado, você precisará executar o seguinte algoritmo:

• multiplique um número inteiro pelo denominador desejado;
• escreva este valor acima da linha;
• coloque um denominador abaixo dele.

A opção mais simples é quando o denominador é igual a um. Então não há necessidade de multiplicar. Basta escrever um inteiro, que é dado no exemplo, e colocar uma unidade sob a linha.

Exemplo: Transforme 5 em uma fração imprópria com denominador 3. Depois de multiplicar 5 por 3, você obtém 15. Esse número será o denominador. A resposta para a tarefa é uma fração: 15/3.

Duas abordagens para resolver tarefas com números diferentes

No exemplo, é necessário calcular a soma e a diferença, bem como o produto e o quociente de dois números: 2 inteiros 3/5 e 14/11.

Na primeira abordagem o número misto será representado como uma fração imprópria.

Depois de executar as etapas descritas acima, você obtém o seguinte valor: 13/5.

Para descobrir a soma, você precisa reduzir as frações ao mesmo denominador. 13/5 multiplicado por 11 resulta em 143/55. E 14/11 após a multiplicação por 5 terá a forma: 70/55. Para calcular a soma, basta somar os numeradores: 143 e 70 e, a seguir, anotar a resposta com um denominador. 213/55 - esta fração imprópria é a resposta para o problema.

Ao encontrar a diferença, esses mesmos números são subtraídos: 143 - 70 = 73. A resposta é uma fração: 73/55.

Ao multiplicar 13/5 e 14/11, você não precisa reduzir a um denominador comum. Basta multiplicar os numeradores e denominadores em pares. A resposta será: 182/55.

Da mesma forma com a divisão. Para a solução correta, você precisa substituir a divisão pela multiplicação e inverter o divisor: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Na segunda abordagem Uma fração imprópria torna-se um número misto.

Depois de realizar as ações do algoritmo, 14/11 se transformará em um número misto com parte inteira de 1 e parte fracionária de 3/11.

Ao calcular a soma, você precisa adicionar as partes inteira e fracionária separadamente. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. A resposta final é 3 inteiros 48/55. Na primeira abordagem houve uma fração 213/55. Você pode verificar a exatidão convertendo-o em um número misto. Depois de dividir 213 por 55, o quociente é 3 e o resto é 48. É fácil ver que a resposta está correta.

Ao subtrair, o sinal "+" é substituído por "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para verificar a resposta da abordagem anterior, você precisa convertê-la em um número misto: 73 é dividido por 55 e você obtém um quociente de 1 e um resto de 18.

Para encontrar o produto e o quociente, é inconveniente usar números mistos. Aqui é sempre recomendado mudar para frações impróprias.