Maneira gráfica de resolver sistemas de equações

(9 º ano)

Livro didático: Álgebra, 9ª série, editado por Telyakovsky S.A.

Tipo de lição: uma lição na aplicação complexa de conhecimentos, habilidades, habilidades.

Lições objetivas:

Educacional: Desenvolva a capacidade de aplicar o conhecimento de forma independente em um complexo, transferi-lo para novas condições, incluindo trabalhar com um programa de computador para traçar gráficos de funções e encontrar o número de raízes em determinadas equações.

Educacional: Formar a capacidade dos alunos de destacar as principais características, estabelecer semelhanças e diferenças. Enriquecer o vocabulário. Desenvolver a fala, complicando sua função semântica. Desenvolver raciocínio lógico, interesse cognitivo, cultura de construção gráfica, memória, curiosidade.

Educacional: Cultivar um senso de responsabilidade pelo resultado de seu trabalho. Aprenda a simpatizar com os sucessos e fracassos dos colegas.

Meios de educação : computador, projetor multimídia, apostila.

Plano de aula:

Organizando o tempo. Trabalho de casa - 2 min.

Atualização, repetição, correção de conhecimentos - 8 min.

Aprendendo novo material - 10 min.

Trabalho prático - 20 min.

Resumindo - 4 min.

Reflexão - 1 min.

DURANTE AS AULAS

Momento organizacional - 2 min.

Olá, pessoal! Hoje é uma aula sobre um tópico importante: "Resolvendo sistemas de equações".

Não existem tais áreas do conhecimento nas ciências exatas, onde quer que esse tema seja aplicado. A epígrafe da nossa lição são as seguintes palavras : "A mente não está apenas no conhecimento, mas também na capacidade de aplicar o conhecimento na prática ". (Aristóteles)

Definição do tema, metas e objetivos da aula.

O professor informa a turma sobre o que será estudado na aula e propõe a tarefa de aprender a resolver sistemas de equações com duas variáveis ​​de forma gráfica.

Lição de casa (P.18 No. 416, 418, 419 a).

Repetição da matéria teórica - 8 min.

MAS) Professor de matemática: De acordo com os desenhos prontos, responda às questões e justifique sua resposta.

1). Encontre o gráfico da função quadrática D = 0 (Os alunos respondem à pergunta e nomeiam o gráfico 3c).

2). Encontre um gráfico de uma função inversamente proporcional para k > 0 (Os alunos respondem à pergunta, chamam o gráfico 3uma ).

3). Encontre o gráfico de um círculo com centro O(-1; -5). (Os alunos respondem à pergunta, chamam o gráfico 1b).

4). Encontre o gráfico da função y =3x -2. (Os alunos respondem à pergunta e nomeiam o gráfico 3b).

5). Encontre o gráfico de uma função quadrática D >0, a >0. (Os alunos respondem à pergunta e nomeiam o gráfico 1uma ).

Professor de matemática: – Para resolver com sucesso sistemas de equações, vamos lembrar:

1). O que é um sistema de equações? (Um sistema de equações é chamado de várias equações para as quais é necessário encontrar os valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente todas essas equações).

2). O que significa resolver um sistema de equações? (Resolver um sistema de equações significa encontrar todas as soluções ou provar que não há soluções).

3). Qual é a solução de um sistema de equações? (A solução de um sistema de equações é um par de números (x; y), em que todas as equações do sistema se transformam em verdadeiras igualdades).

4) Descubra se a solução do sistema de equações
par de números: a) x = 1, y = 2;(–) b) x = 2, y = 4; (+) c) x \u003d - 2, y \u003d - 4? (+)

III Novo material - 10 min.

O item 18 do livro didático é apresentado pelo método de conversação.

Professor de matemática: No curso de álgebra da 7ª série, consideramos sistemas de equações do primeiro grau. Agora vamos tratar da solução de sistemas compostos por equações de primeiro e segundo grau.

1. O que é chamado de sistema de equações?

2. O que significa resolver um sistema de equações?

Sabemos que o método algébrico permite encontrar soluções exatas para o sistema, e o método gráfico permite ver visualmente quantas raízes o sistema possui e encontrá-las aproximadamente. Portanto, continuaremos aprendendo a resolver sistemas de equações de segundo grau nas próximas aulas, e hoje o principal objetivo da aula será a aplicação prática de um programa de computador para plotar funções e encontrar o número de raízes de sistemas de equações.

4 . Trabalho prático - 20 min. Resolução de sistemas de equações graficamente. Determinação das raízes das equações.(Traçando um gráfico em um computador.)

As tarefas são concluídas pelos alunos em computadores. As soluções são verificadas durante a operação.

y=2x2+5x+3

y=4

y \u003d -2x 2 + 5x + 3

y=-3x+4

y = -2x2 -5x-3

y=-4+2x

y=4x2+5x+3

y=2

y= -4 x 2 +5x+3

y=-3x+2

y = -4x2 -5x-3

y=-2+2x

y = 4 x 2 + 5 x+5

y=3

y = -4x2 +5x+5

y=-x+3

y = -4x2 -5x-5

y=-2+3x

Aqui estão os gráficos de duas equações. Escreva o sistema definido por essas equações e sua solução.

– Qual das seguintes sistemas você consegue resolver com essa imagem?

– 4 sistemas foram dados, eles tiveram que ser correlacionados com os gráficos. Agora a tarefa é inversa: há gráficos, eles precisam ser correlacionados com o sistema.

1. Resumindo a lição. Classificação - 4 min.

* Resolução de sistemas de equações. ( Tarefas com um asterisco*.)

Equações para o 1º grupo de alunos:

Equações para o 2º grupo de alunos:

Equações para o 3º grupo de alunos:

x y = 6

x 2 + y = 4

x 2 + y = 3

x - y + 1= 0

x 2 - y = 3

Considere as seguintes equações:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Cada uma das equações acima é uma equação com duas variáveis. O conjunto de pontos no plano coordenado cujas coordenadas transformam a equação em uma verdadeira igualdade numérica é chamado gráfico de uma equação com duas incógnitas.

Gráfico de uma equação com duas variáveis

Equações com duas variáveis ​​têm uma grande variedade de gráficos. Por exemplo, para a equação 2*x + 3*y = 15, o gráfico será uma reta, para a equação x 2 + y 2 = 4, o gráfico será um círculo com raio 2, o gráfico de a equação y*x = 1 será uma hipérbole, etc.

Equações inteiras com duas variáveis ​​também possuem um grau. Este grau é determinado da mesma forma que para toda a equação com uma variável. Para fazer isso, a equação é trazida para a forma quando o lado esquerdo é um polinômio da forma padrão e o lado direito é zero. Isso é feito por meio de transformações equivalentes.

Maneira gráfica de resolver sistemas de equações

Vamos descobrir como resolver sistemas de equações que consistirão em duas equações com duas variáveis. Considere uma maneira gráfica de resolver tais sistemas.

Exemplo 1. Resolva o sistema de equações:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Vamos traçar os gráficos da primeira e segunda equações no mesmo sistema de coordenadas. O gráfico da primeira equação será um círculo com centro na origem e raio 5. O gráfico da segunda equação será uma parábola com ramos para baixo.

Cada um dos pontos dos gráficos satisfará sua própria equação. Precisamos encontrar tais pontos que satisfaçam a primeira e a segunda equações. Obviamente, esses serão os pontos de interseção desses dois gráficos.

Usando nosso desenho, encontramos os valores aproximados das coordenadas nas quais esses pontos se cruzam. Obtemos os seguintes resultados:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Portanto, nosso sistema de equações tem quatro soluções.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Se substituirmos esses valores nas equações do nosso sistema, podemos ver que a primeira e a terceira soluções são aproximadas e a segunda e a quarta são exatas. O método gráfico é freqüentemente usado para estimar o número de raízes e seus limites aproximados. As soluções são mais frequentemente aproximadas do que exatas.

A data: ________________

assunto: álgebra

Tópico: "Método gráfico para resolver sistemas de equações."

Metas: Use gráficos para resolver sistemas de equações.

Tarefas:

Educacional: ensinam a resolver graficamente sistemas de equações lineares com duas variáveis.

Em desenvolvimento: desenvolvimento das habilidades de pesquisa dos alunos, autocontrole, fala.

Nutrir: fomentar uma cultura de comunicação, rigor.

Tipo de aula: combinado

Formulários: Levantamento frontal, trabalhe em pares.

Durante as aulas:

fase organizacional. Relatar o tópico da aula, definindo os objetivos da aula.(escreva o número, tópico em um caderno)

Repetição e consolidação do material abordado:

1. Verificação de trabalhos de casa (análise de problemas não resolvidos);

   Controle da assimilação do material:

Opção número 1	Opção número 2
Plote a função: (xy-1)(x+1)=0 (x-2) 2 + (y + 1) 2 \u003d 4	Plote a função: (xy+1)(y-1)=0 (x-1) 2 + (y + 2) 2 \u003d 4

Atualização de conhecimentos básicos:

Definição de uma equação linear em duas variáveis.

Como se chama a solução de uma equação linear com duas variáveis?

Como é chamado o gráfico de uma equação linear com duas variáveis?

Qual é o gráfico de uma equação linear com duas variáveis?

Quantos pontos definem uma linha?

O que significa resolver um sistema de equações?

Como se chama a solução de um sistema de equações lineares com duas variáveis?

Quando duas retas em um plano se cruzam?

Quando duas retas em um plano são paralelas?

Quando duas retas coincidem em um plano?

Aprender novos materiais:

Considerar sistema de duas equações com duas incógnitas. Decisão sistemas de equações são chamados par de valoresvariáveis, quem vira cada equação do sistema na igualdade correta. Resolver um sistema de equações significa encontrar todas as suas soluções ou provar que não há soluções.

Uma das maneiras eficazes e visuais de resolver e estudar equações e sistemas de equações maneira gráfica.

Algoritmo para traçar uma equação com duas variáveis.

Expresse a variável y em termos de x.

"Pegue" os pontos que definem o gráfico.

Equação do gráfico

Algoritmo para resolver um sistema de equações com duas variáveis ​​de forma gráfica.

Construir gráficos de cada uma das equações do sistema.

Encontre as coordenadas do ponto de interseção.

Escreva a resposta.

Exemplo 1

Vamos resolver o sistema de equações:

Vamos construir em um sistema de coordenadas os gráficos do primeiro x 2 + y 2 = 25
(círculo) e segundo ei= 12 (hipérboles) equações. Está claro que
gráficos de equação se cruzam em quatro pontos MAS(3; 4), NO(4; 3)
C(-3;-4) e D(-4; 3), cujas coordenadas são soluções
um sistema.

T
Como as soluções podem ser encontradas com certa precisão com um método gráfico, elas devem ser verificadas por substituição.

A verificação mostra que o sistema realmente tem quatro soluções: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).

Tarefa na lição: nº 415 (b); nº 416; nº 419 (b); nº 420 (b); nº 421 (a, b); nº 422 (a); nº 424(b); Nº 426 pp. 115-117.

Resumindo (avaliações).

Reflexão.

Vamos repetir o algoritmo para resolver sistemas de equações graficamente.

Quantas soluções pode ter um sistema de equações?

Quem já aprendeu a resolver sistemas de l equações graficamente?

Quem nunca aprendeu?

Quem mais duvida?

Levante a mão, quem gostou da aula? Quem não? Quem é indiferente?

Trabalho de casa:§18 pp. 114-115 aprenda as regras.

§17 pp.108-110 repita as regras.

Uma maneira de resolver equações é um método gráfico. Baseia-se na plotagem de funções e na determinação de seus pontos de interseção. Considere uma maneira gráfica de resolver a equação quadrática a*x^2+b*x+c=0.

Primeira forma de resolver

Vamos transformar a equação a*x^2+b*x+c=0 na forma a*x^2 =-b*x-c. Construímos gráficos de duas funções y= a*x^2 (parábola) e y=-b*x-c (reta). Procurando pontos de interseção. As abcissas dos pontos de interseção serão a solução da equação.

Vamos mostrar com um exemplo: resolva a equação x^2-2*x-3=0.

Vamos transformá-lo em x^2 =2*x+3. Construímos gráficos de funções y= x^2 e y=2*x+3 em um sistema de coordenadas.

Os gráficos se interceptam em dois pontos. Suas abcissas serão as raízes da nossa equação.

Fórmula Solução

Para ser convincente, verificamos esta solução analiticamente. Resolvemos a equação quadrática pela fórmula:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Significa, soluções coincidem.

O método gráfico de resolução de equações também tem sua desvantagem, com a ajuda dele nem sempre é possível obter uma solução exata da equação. Vamos tentar resolver a equação x^2=3+x.

Vamos construir uma parábola y=x^2 e uma reta y=3+x no mesmo sistema de coordenadas.

Mais uma vez, obtive uma imagem semelhante. Uma reta e uma parábola se interceptam em dois pontos. Mas não podemos dizer os valores exatos das abcissas desses pontos, apenas aproximados: x≈-1,3 x≈2,3.

Se estivermos satisfeitos com as respostas de tal precisão, podemos usar esse método, mas isso raramente acontece. Geralmente soluções exatas são necessárias. Portanto, o método gráfico é pouco utilizado, principalmente para verificar soluções existentes.

Precisa de ajuda com seus estudos?

Tópico anterior:

Instituição de ensino municipal estadual

Escola Secundária Popovskaya

em homenagem ao Herói da União Soviética N.K. Gorbanev

Aula pública

professores de matemática

Voronina Vera Vladimirovna,

matemática no 9º ano

sobre o tema: "Método gráfico para resolver sistemas de equações"

Tipo de aula: lição aprendendo novo material.

ano letivo 2017/2018

Maneira gráfica de resolver sistemas de equações. 9 º ano

Voronina Vera Vladimirovna, professora de matemática.

se lição:

didático:

descobrir, juntamente com os alunos, uma nova forma de resolver sistemas de equações;

exibir um algoritmo para resolver sistemas de equações graficamente;

ser capaz de determinar quantas soluções tem um sistema de equações;

aprender a encontrar soluções para um sistema de equações graficamente;

repetir a construção de gráficos de funções elementares;

criar condições de controle (autocontrole) dos alunos:

educacional:

promover uma atitude responsável no trabalho,

precisão da manutenção de registros.

Durante as aulas.

I. Momento organizacional.

O que é uma função? (slide 3-11)

O que é um gráfico de funções?

Que tipos de funções você conhece?

Qual é a fórmula de uma função linear? O que é o gráfico de uma função linear?

Qual é a fórmula da proporcionalidade direta? Qual é a agenda dela?

Qual é a fórmula da proporção inversa? Qual é a agenda dela?

Qual é a fórmula de uma função quadrática? Qual é a agenda dela?

Qual é a equação de um círculo?

O que é chamado de gráfico de uma equação com duas variáveis; (slide 12)

A familiaridade com as equações usadas em matemática superior e seus gráficos (estrofóide, lemniscata de Bernoulli, astróide, cardióide) é organizada. (slides 13-16)

A história do professor é acompanhada por uma apresentação de slides com esses gráficos.

Expresse a variável y em termos de x:
a) y - x² = 0
b) x + y + 2 = 0
c) 2x - y + 3 = 0
d) xy = -12

Um par de números (1; 0) é uma solução para a equação
a) x² + y \u003d 1;
b) xy + 3 = x;
c) y(x +2) = 0.

Qual é a solução de um sistema de equações com duas variáveis?

Qual dos pares de números é a solução do sistema de equações
a) (6; 3)
b) (- 3; - 6)
aos 21)
d) (3; 0)

Quais equações podem ser usadas para compor um sistema de equações cuja solução será um par de números (2; 1)
a) 2x - y \u003d 3
b) 3x - 2a \u003d 5
c) x² + y² = 4
d) xy = 2

III. Atualização do conhecimento dos alunos sobre o material estudado. (slides 20, 21)

Hoje vamos repetir e consolidar uma das formas de resolver sistemas de equações. A consolidação do material estudado é realizada com a ajuda da percepção visual (o slide mostra uma solução gráfica do sistema de equações):

O gráfico de uma equação com duas variáveis ​​é um conjunto de pontos no plano coordenado cujas coordenadas tornam a equação uma verdadeira igualdade. Gráficos de equações com duas incógnitas são muito diversos.

Perguntas para este slide:

Qual é o gráfico da equação x² + y²=25?

Qual é o gráfico da equação y = - x² +2x +5?

As coordenadas de qualquer ponto no círculo satisfarão a equação x² + y²=25, as coordenadas de qualquer ponto na parábola satisfarão a equação y = - x² +2x +5.

As coordenadas de quais pontos satisfarão a primeira e a segunda equações?

Quantos pontos de intersecção têm esses gráficos?

Quantas soluções esse sistema tem?

Cite essas soluções?

O que precisa ser feito para resolver graficamente um sistema de equações com duas variáveis?

É proposto um slide que mostra um algoritmo para um método gráfico para resolver sistemas de equações com duas incógnitas.

forma gráficaé aplicável à solução de qualquer sistema, mas com a ajuda de gráficos de equações é possível encontrar aproximadamente soluções para o sistema. Apenas algumas das soluções encontradas do sistema podem ser exatas. Isso pode ser verificado substituindo suas coordenadas nas equações do sistema.

4. Aplicação do método estudado à resolução de sistemas de equações.

1. Resolva graficamente o sistema de equações (slide 23)

Qual é o gráfico da equação xy = 3?

Qual é o gráfico da equação 3x - y = 0?

2. Escreva o sistema definido por essas equações e sua solução. (slide 24)

Fazendo perguntas principais:

Escreva o sistema definido por essas equações?

Quantos pontos de interseção esses gráficos têm?

Quantas soluções tem esse sistema de equações?

Quais são as soluções desse sistema de equações?

3. Concluindo a tarefa do GIA (slide 25).

4. Resolva graficamente o sistema de equações (slide 26)

A tarefa é concluída pelos alunos em cadernos. A solução é verificada.

V. Os resultados da lição.

O que significa resolver um sistema de equações em duas variáveis?

Com qual método de resolução de sistemas de equações com duas variáveis ​​você se familiarizou?

Qual é a sua essência?

Este método fornece resultados precisos?

Quando o sistema de equações não terá soluções?

VI. Trabalho de casa.

Item 18, nºs 420 (237), 425 (240)