Esse artigo é sobre frações comuns. Aqui vamos nos familiarizar com o conceito de fração de um todo, o que nos levará à definição de uma fração ordinária. Em seguida, vamos nos debruçar sobre a notação aceita para frações ordinárias e dar exemplos de frações, digamos sobre o numerador e o denominador de uma fração. Depois disso, daremos definições de frações corretas e incorretas, positivas e negativas, e também consideraremos a posição dos números fracionários no raio coordenado. Em conclusão, listamos as principais ações com frações.

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Ações de todo

Primeiro apresentamos compartilhar conceito.

Vamos supor que temos algum objeto composto de várias partes absolutamente idênticas (isto é, iguais). Para maior clareza, você pode imaginar, por exemplo, uma maçã cortada em várias partes iguais, ou uma laranja, composta por várias fatias iguais. Cada uma dessas partes iguais que compõem o objeto inteiro é chamada parte do todo ou simplesmente ações.

Observe que os compartilhamentos são diferentes. Vamos explicar isso. Digamos que temos duas maçãs. Vamos cortar a primeira maçã em duas partes iguais e a segunda em 6 partes iguais. É claro que a parte da primeira maçã será diferente da parte da segunda maçã.

Dependendo do número de compartilhamentos que compõem todo o objeto, esses compartilhamentos têm nomes próprios. Vamos analisar compartilhar nomes. Se o objeto consiste em duas partes, qualquer uma delas é chamada de segunda parte do objeto inteiro; se o objeto consiste em três partes, qualquer uma delas é chamada de uma terceira parte e assim por diante.

Uma segunda batida tem um nome especial - metade. Um terço é chamado terceiro, e um quádruplo - trimestre.

Por uma questão de brevidade, o seguinte compartilhar designações. Uma segunda ação é designada como ou 1/2, uma terceira ação - como ou 1/3; um quarto compartilhamento - like ou 1/4, e assim por diante. Observe que a notação com uma barra horizontal é usada com mais frequência. Para consolidar o material, vamos dar mais um exemplo: a entrada denota cento e sexagésimo sétimo do total.

O conceito de compartilhamento naturalmente se estende de objetos a magnitudes. Por exemplo, uma das medidas de comprimento é o metro. Para medir comprimentos inferiores a um metro, podem ser usadas frações de um metro. Então você pode usar, por exemplo, meio metro ou um décimo ou milésimo de metro. As participações de outras quantidades são aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos de frações

Para descrever o número de ações são usados frações comuns. Vamos dar um exemplo que nos permitirá abordar a definição de frações ordinárias.

Deixe uma laranja consistir em 12 partes. Cada ação neste caso representa um duodécimo de uma laranja inteira, ou seja, . Vamos denotar duas batidas como , três batidas como , e assim por diante, 12 batidas como . Cada uma dessas entradas é chamada de fração ordinária.

Agora vamos dar uma geral definição de frações comuns.

A definição sonora de frações ordinárias nos permite trazer exemplos de frações comuns: 5/10, 21/1, 9/4, . E aqui estão os registros não se enquadram na definição sonora de frações ordinárias, ou seja, não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Por conveniência, em frações ordinárias distinguimos numerador e denominador.

Definição.

Numerador fração ordinária (m / n) é um número natural m.

Definição.

Denominador fração ordinária (m / n) é um número natural n.

Assim, o numerador está localizado acima da barra de fração (à esquerda da barra) e o denominador está abaixo da barra de fração (à direita da barra). Por exemplo, vamos pegar uma fração comum 17/29, o numerador dessa fração é o número 17 e o denominador é o número 29.

Resta discutir o significado contido no numerador e denominador de uma fração ordinária. O denominador da fração mostra em quantas ações um item é composto, o numerador, por sua vez, indica o número de tais ações. Por exemplo, o denominador 5 da fração 12/5 significa que um item consiste em cinco partes, e o numerador 12 significa que 12 dessas partes são tomadas.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, podemos supor que o objeto é indivisível, ou seja, é algo inteiro. O numerador de tal fração indica quantos itens inteiros são retirados. Assim, uma fração ordinária da forma m/1 tem o significado de um número natural m. Foi assim que substanciamos a igualdade m/1=m .

Vamos reescrever a última igualdade assim: m=m/1 . Essa igualdade nos permite representar qualquer número natural m como uma fração ordinária. Por exemplo, o número 4 é a fração 4/1 e o número 103498 é a fração 103498/1.

Então, qualquer número natural m pode ser representado como uma fração ordinária com denominador 1 como m/1, e qualquer fração ordinária da forma m/1 pode ser substituída por um número natural m.

Barra de frações como sinal de divisão

A representação do objeto original na forma de n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Depois que o item for dividido em n partes, podemos dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada uma receberá uma parte.

Se inicialmente temos m objetos idênticos, cada um dos quais é dividido em n partes, então podemos dividir igualmente esses m objetos entre n pessoas, dando a cada pessoa uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1/n, e m ações 1/n dá uma fração ordinária m/n. Assim, a fração comum m/n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

Assim, obtivemos uma conexão explícita entre frações ordinárias e divisão (veja a ideia geral da divisão de números naturais). Essa relação é expressa da seguinte forma: A barra de uma fração pode ser entendida como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração comum, você pode escrever o resultado da divisão de dois números naturais para os quais a divisão por inteiro não é realizada. Por exemplo, o resultado da divisão de 5 maçãs por 8 pessoas pode ser escrito como 5/8, ou seja, cada um receberá cinco oitavos de uma maçã: 5:8=5/8.

Frações ordinárias iguais e desiguais, comparação de frações

Uma ação bastante natural é comparação de frações comuns, porque é claro que 1/12 de uma laranja é diferente de 5/12, e 1/6 de uma maçã é o mesmo que o outro 1/6 desta maçã.

Como resultado da comparação de duas frações ordinárias, um dos resultados é obtido: as frações são iguais ou não iguais. No primeiro caso temos frações comuns iguais, e no segundo frações comuns desiguais. Vamos dar uma definição de frações ordinárias iguais e desiguais.

Definição.

igual, se a igualdade a d=b c for verdadeira.

Definição.

Duas frações comuns a/b e c/d não igual, se a igualdade a d=b c não for satisfeita.

Aqui estão alguns exemplos de frações iguais. Por exemplo, a fração comum 1/2 é igual à fração 2/4, pois 1 4=2 2 (se necessário, veja as regras e exemplos de multiplicação de números naturais). Para maior clareza, você pode imaginar duas maçãs idênticas, a primeira é cortada ao meio e a segunda - em 4 partes. É óbvio que dois quartos de uma maçã são 1/2 por ação. Outros exemplos de frações comuns iguais são as frações 4/7 e 36/63, e o par de frações 81/50 e 1620/1000.

E as frações ordinárias 4/13 e 5/14 não são iguais, pois 4 14=56 e 13 5=65, ou seja, 4 14≠13 5. Outro exemplo de frações comuns desiguais são as frações 17/7 e 6/4.

Se, ao comparar duas frações ordinárias, descobrir que elas não são iguais, talvez você precise descobrir qual dessas frações ordinárias menos outro, e que mais. Para descobrir, é usada a regra para comparar frações ordinárias, cuja essência é trazer as frações comparadas a um denominador comum e depois comparar os numeradores. Informações detalhadas sobre este tópico são coletadas no artigo Comparação de frações: regras, exemplos, soluções.

Números fracionários

Cada fração é um registro número fracionário. Ou seja, uma fração é apenas uma “concha” de um número fracionário, sua aparência, e toda a carga semântica está contida precisamente em um número fracionário. No entanto, por brevidade e conveniência, o conceito de fração e número fracionário são combinados e simplesmente chamados de fração. Aqui é apropriado parafrasear um ditado bem conhecido: dizemos uma fração - queremos dizer um número fracionário, dizemos um número fracionário - queremos dizer uma fração.

Frações no feixe de coordenadas

Todos os números fracionários correspondentes a frações ordinárias têm seu próprio lugar único em , ou seja, há uma correspondência um a um entre frações e pontos do raio coordenado.

Para chegar ao ponto correspondente à fração m / n no raio coordenado, é necessário adiar m segmentos da origem na direção positiva, cujo comprimento é 1 / n do segmento unitário. Tais segmentos podem ser obtidos dividindo-se um único segmento em n partes iguais, o que sempre pode ser feito com compasso e régua.

Por exemplo, vamos mostrar o ponto M no raio coordenado, correspondente à fração 14/10. O comprimento do segmento com extremidades no ponto O e o ponto mais próximo a ele, marcado com um pequeno traço, é 1/10 do segmento unitário. O ponto com coordenada 14/10 é removido da origem por 14 desses segmentos.

Frações iguais correspondem ao mesmo número fracionário, ou seja, frações iguais são as coordenadas do mesmo ponto no raio coordenado. Por exemplo, um ponto corresponde às coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 no raio coordenado, pois todas as frações escritas são iguais (está localizado a uma distância de metade do segmento unitário, adiado da origem no sentido positivo).

Em um raio de coordenadas horizontal e direcionado à direita, o ponto cuja coordenada é uma fração grande está localizado à direita do ponto cuja coordenada é uma fração menor. Da mesma forma, o ponto com a coordenada menor fica à esquerda do ponto com a coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

Entre as frações ordinárias, há frações próprias e impróprias. Essa divisão basicamente tem uma comparação do numerador e denominador.

Vamos dar uma definição de frações ordinárias próprias e impróprias.

Definição.

Fração própriaé uma fração ordinária, cujo numerador é menor que o denominador, isto é, se m

Definição.

Fração imprópriaé uma fração ordinária em que o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, se m≥n, então a fração ordinária é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos de frações próprias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De fato, em cada uma das frações ordinárias escritas, o numerador é menor que o denominador (se necessário, veja o artigo comparação de números naturais), então eles estão corretos por definição.

E aqui estão exemplos de frações impróprias: 9/9, 23/4,. De fato, o numerador da primeira das frações ordinárias escritas é igual ao denominador, e nas frações restantes o numerador é maior que o denominador.

Existem também definições de frações próprias e impróprias baseadas na comparação de frações com uma.

Definição.

correto se for menor que um.

Definição.

A fração comum é chamada errado, se for igual a um ou maior que 1 .

Portanto, a fração ordinária 11/07 está correta, pois 11/07<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 e 27/27=1.

Vamos pensar em como frações ordinárias com numerador maior ou igual ao denominador merecem tal nome - "errado".

Vamos pegar a fração imprópria 9/9 como exemplo. Essa fração significa que são tomadas nove partes de um objeto, que consiste em nove partes. Ou seja, das nove ações disponíveis, podemos compor um assunto inteiro. Ou seja, a fração imprópria 9/9 essencialmente dá um objeto inteiro, ou seja, 9/9=1. Em geral, frações impróprias com numerador igual ao denominador denotam um objeto inteiro, e tal fração pode ser substituída por um número natural 1.

Agora considere as frações impróprias 7/3 e 12/4. É bastante óbvio que a partir desses sete terços podemos fazer dois objetos inteiros (um objeto inteiro é 3 partes, então para compor dois objetos inteiros precisamos de 3 + 3 = 6 partes) e ainda haverá um terço. Ou seja, a fração imprópria 7/3 significa essencialmente 2 itens e até 1/3 da parcela de tal item. E a partir de doze quartos podemos fazer três objetos inteiros (três objetos com quatro partes cada). Ou seja, a fração 12/4 significa essencialmente 3 objetos inteiros.

Os exemplos considerados nos levam à seguinte conclusão: as frações impróprias podem ser substituídas por números naturais, quando o numerador é dividido inteiramente pelo denominador (por exemplo, 9/9=1 e 12/4=3), ou pela soma de um número natural e uma fração própria, quando o numerador não é divisível pelo denominador (por exemplo, 7/3=2+1/3). Talvez seja exatamente isso que frações impróprias merecem esse nome - "errado".

De particular interesse é a representação de uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (7/3=2+1/3). Esse processo é chamado de extração de uma parte inteira de uma fração imprópria e merece uma consideração separada e mais cuidadosa.

Também é importante notar que existe uma relação muito próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo (veja o artigo números positivos e negativos). Ou seja, as frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, frações ordinárias 1/5, 56/18, 35/144 são frações positivas. Quando é necessário enfatizar a positividade de uma fração, um sinal de mais é colocado na frente dela, por exemplo, +3/4, +72/34.

Se você colocar um sinal de menos na frente de uma fração comum, essa entrada corresponderá a um número fracionário negativo. Neste caso, pode-se falar de frações negativas. Aqui estão alguns exemplos de frações negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

As frações positivas e negativas m/n e −m/n são números opostos. Por exemplo, as frações 5/7 e −5/7 são frações opostas.

Frações positivas, como números positivos em geral, denotam um aumento, renda, uma mudança em algum valor para cima, etc. As frações negativas correspondem a despesas, dívidas, uma mudança em qualquer valor na direção da diminuição. Por exemplo, uma fração negativa -3/4 pode ser interpretada como uma dívida, cujo valor é 3/4.

Na horizontal e as frações negativas direcionadas à direita estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos da linha de coordenadas cujas coordenadas são a fração positiva m/n e a fração negativa −m/n estão localizados à mesma distância da origem, mas em lados opostos do ponto O .

Aqui vale a pena mencionar frações da forma 0/n. Essas frações são iguais ao número zero, ou seja, 0/n=0 .

Frações positivas, frações negativas e frações 0/n se combinam para formar números racionais.

Ações com frações

Uma ação com frações ordinárias - comparando frações - já consideramos acima. Mais quatro aritméticas são definidas operações com frações- adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Vamos nos debruçar sobre cada um deles.

A essência geral das ações com frações é semelhante à essência das ações correspondentes com números naturais. Vamos fazer uma analogia.

Multiplicação de frações pode ser considerado como uma ação em que uma fração é encontrada a partir de uma fração. Para esclarecer, vamos dar um exemplo. Suponha que temos 1/6 de uma maçã e precisamos pegar 2/3 dela. A parte que precisamos é o resultado da multiplicação das frações 1/6 e 2/3. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (que em um caso particular é igual a um número natural). Além disso, recomendamos estudar a informação do artigo multiplicação de frações - regras, exemplos e soluções.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática: livro para 5 células. instituições educacionais.
• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

Uma parte de uma unidade ou várias de suas partes é chamada de fração simples ou ordinária. O número de partes iguais em que a unidade é dividida é chamado de denominador, e o número de partes tomadas é chamado de numerador. A fração é escrita como:

Neste caso, a é o numerador, b é o denominador.

Se o numerador for menor que o denominador, então a fração é menor que 1 e é chamada de fração própria. Se o numerador for maior que o denominador, então a fração é maior que 1, então a fração é chamada de fração imprópria.

Se o numerador e o denominador de uma fração são iguais, então a fração é igual.

1. Se o numerador pode ser dividido pelo denominador, então esta fração é igual ao quociente da divisão:

Se a divisão for realizada com resto, essa fração imprópria pode ser representada por um número misto, por exemplo:

Então 9 é um quociente incompleto (a parte inteira do número misto),
1 - resto (numerador da parte fracionária),
5 é o denominador.

Para converter um número misto em fração, multiplique a parte inteira do número misto pelo denominador e adicione o numerador da parte fracionária.

O resultado obtido será o numerador de uma fração ordinária, e o denominador permanecerá o mesmo.

Ações com frações

Expansão da fração. O valor de uma fração não muda se seu numerador e denominador forem multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.
Por exemplo:

Redução de fração. O valor de uma fração não muda se seu numerador e denominador forem divididos pelo mesmo número diferente de zero.
Por exemplo:

Comparação de frações. De duas frações com o mesmo numerador, a maior é aquela com o menor denominador:

De duas frações com denominadores iguais, a de maior numerador é maior:

Para comparar frações que possuem numeradores e denominadores diferentes, é necessário expandi-las, ou seja, trazê-las para um denominador comum. Considere, por exemplo, as seguintes frações:

Adição e subtração de frações. Se os denominadores das frações são os mesmos, para adicionar as frações, é necessário adicionar seus numeradores e, para subtrair as frações, é necessário subtrair seus numeradores. A soma ou diferença resultante será o numerador do resultado, enquanto o denominador permanecerá o mesmo. Se os denominadores das frações forem diferentes, você deve primeiro reduzir as frações a um denominador comum. Ao adicionar números mistos, suas partes inteiras e fracionárias são adicionadas separadamente. Ao subtrair números mistos, você deve primeiro convertê-los para a forma de frações impróprias, depois subtrair uns dos outros e, em seguida, trazer novamente o resultado, se necessário, para a forma de um número misto.

Multiplicação de frações. Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores separadamente e dividir o primeiro produto pelo segundo.

Divisão de frações. Para dividir um número por uma fração, você precisa multiplicar esse número pelo seu inverso.

Decimalé o resultado da divisão de um por dez, cem, mil, etc. partes. Primeiro, a parte inteira do número é escrita e, em seguida, o ponto decimal é colocado à direita. O primeiro dígito após o ponto decimal significa o número de décimos, o segundo - o número de centésimos, o terceiro - o número de milésimos, etc. Os números após o ponto decimal são chamados de casas decimais.

Por exemplo:

Propriedades decimais

Propriedades:

• A fração decimal não muda se zeros são adicionados à direita: 4,5 = 4,5000.
• A fração decimal não muda se os zeros localizados no final da fração decimal forem removidos: 0,0560000 = 0,056.
• O decimal aumenta em 10, 100, 1000 e assim por diante. vezes, se você mover o ponto decimal para um, dois, três, etc. posições à direita: 4,5 45 (a fração aumentou 10 vezes).
• O decimal é reduzido em 10, 100, 1000, etc. vezes, se você mover o ponto decimal para um, dois, três, etc. posições à esquerda: 4,5 0,45 (a fração diminuiu 10 vezes).

Um decimal periódico contém um grupo de dígitos que se repete infinitamente chamado de período: 0,321321321321…=0,(321)

Operações com decimais

Adicionar e subtrair decimais é feito da mesma forma que adicionar e subtrair números inteiros, você só precisa escrever as casas decimais correspondentes uma sob a outra.
Por exemplo:

A multiplicação de frações decimais é realizada em várias etapas:

• Multiplicamos os decimais como inteiros, sem levar em conta o ponto decimal.
• A regra se aplica: o número de casas decimais no produto é igual à soma das casas decimais em todos os fatores.

Por exemplo:

A soma dos números de casas decimais nos fatores é: 2+1=3. Agora você precisa contar 3 dígitos a partir do final do número resultante e colocar um ponto decimal: 0,675.

Divisão de decimais. Dividindo um decimal por um inteiro: se o dividendo for menor que o divisor, você precisará escrever zero na parte inteira do quociente e colocar um ponto decimal depois dele. Então, sem levar em conta o ponto decimal do dividendo, adicione o próximo dígito da parte fracionária à sua parte inteira e novamente compare a parte inteira resultante do dividendo com o divisor. Se o novo número for novamente menor que o divisor, a operação deve ser repetida. Esse processo é repetido até que o dividendo resultante seja maior que o divisor. Depois disso, a divisão é realizada como para números inteiros. Se o dividendo for maior ou igual ao divisor, primeiro dividimos sua parte inteira, escrevemos o resultado da divisão no quociente e colocamos uma vírgula. Depois disso, a divisão continua, como no caso de números inteiros.

Dividindo uma fração decimal em outra: primeiro, os pontos decimais no dividendo e no divisor são transferidos pelo número de casas decimais no divisor, ou seja, fazemos do divisor um número inteiro e as ações descritas acima são realizadas.

Para converter uma fração decimal em uma ordinária, é necessário tomar o número após o ponto decimal como numerador e tomar a k-ésima potência de dez como denominador (k é o número de casas decimais). A parte inteira diferente de zero é preservada na fração comum; a parte inteira zero é omitida.
Por exemplo:

Para converter uma fração ordinária em decimal, é necessário dividir o numerador pelo denominador de acordo com as regras de divisão.

Uma porcentagem é um centésimo de uma unidade, por exemplo: 5% significa 0,05. A razão é o quociente da divisão de um número por outro. Proporção é a igualdade de duas razões.

Por exemplo:

A principal propriedade da proporção: o produto dos membros extremos da proporção é igual ao produto dos membros do meio, ou seja, 5x30 = 6x25. Duas quantidades mutuamente dependentes são ditas proporcionais se a razão de suas quantidades permanece inalterada (coeficiente de proporcionalidade).

Assim, as seguintes operações aritméticas são reveladas.
Por exemplo:

O conjunto dos números racionais inclui números positivos e negativos (inteiros e fracionários) e zero. Uma definição mais precisa de números racionais, adotada em matemática, é a seguinte: um número é chamado racional se puder ser representado como uma fração irredutível ordinária da forma:, onde aeb são inteiros.

Para um número negativo, o valor absoluto (módulo) é um número positivo obtido alterando seu sinal de "-" para "+"; para um número positivo e zero, o próprio número. Para designar o módulo de um número, são utilizadas duas linhas retas, dentro das quais este número é escrito, por exemplo: |–5|=5.

Propriedades de valor absoluto

Seja dado o módulo de um número , para as quais as propriedades são válidas:

Um monômio é o produto de dois ou mais fatores, cada um dos quais é um número, ou uma letra, ou a potência de uma letra: 3 x a x b. O coeficiente é mais frequentemente chamado apenas de fator numérico. Os monômios são ditos semelhantes se são iguais ou diferem apenas nos coeficientes. O grau de um monômio é a soma dos expoentes de todas as suas letras. Se houver semelhantes entre a soma dos monômios, a soma pode ser reduzida a uma forma mais simples: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Essa operação é chamada de coerção de termos semelhantes ou parênteses.

Um polinômio é uma soma algébrica de monômios. O grau de um polinômio é o maior dos graus dos monômios incluídos no polinômio dado.

Existem as seguintes fórmulas para multiplicação abreviada:

Métodos de fatoração:

Uma fração algébrica é uma expressão da forma , onde A e B podem ser um número, um monômio, um polinômio.

Se duas expressões (numérica e alfabética) são conectadas pelo sinal "=", então elas formam igualdade. Qualquer igualdade verdadeira, válida para todos os valores numéricos admissíveis das letras incluídas nela, é chamada de identidade.

Uma equação é uma igualdade literal que é válida para determinados valores das letras incluídas nela. Essas letras são chamadas de incógnitas (variáveis), e seus valores, nos quais a equação dada se torna uma identidade, são chamados de raízes da equação.

Resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes. Duas ou mais equações são ditas equivalentes se tiverem as mesmas raízes.

• zero era a raiz da equação;
• A equação tem apenas um número finito de raízes.

Principais tipos de equações algébricas:

A equação linear tem ax + b = 0:

• se a x 0, existe uma única raiz x = -b/a;
• se a = 0, b ≠ 0, sem raízes;
• se a = 0, b = 0, a raiz é qualquer número real.

Equação xn = a, n N:

• se n for um número ímpar, tem uma raiz real igual a a/n para qualquer a;
• se n é um número par, então para 0, então ele tem duas raízes.

Transformações idênticas básicas: substituição de uma expressão por outra, identicamente igual a ela; transferência dos termos da equação de um lado para o outro com sinais opostos; multiplicação ou divisão de ambas as partes da equação pela mesma expressão (número) diferente de zero.

Uma equação linear com uma incógnita é uma equação da forma: ax+b=0, onde aeb são números conhecidos e x é um valor desconhecido.

Sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas têm a forma:

Onde a, b, c, d, e, f são dados números; x, y são desconhecidos.

Números a, b, c, d - coeficientes para incógnitas; e, f - membros livres. A solução para este sistema de equações pode ser encontrada por dois métodos principais: o método de substituição: de uma equação expressamos uma das incógnitas através dos coeficientes e a outra incógnita, e então a substituímos na segunda equação, resolvendo a última equação , primeiro encontramos uma incógnita, depois substituímos o valor encontrado na primeira equação e encontramos a segunda incógnita; método de adicionar ou subtrair uma equação de outra.

Operações com raízes:

A raiz aritmética do grau n de um número não negativo a é um número não negativo cuja n-ésima potência é igual a a. A raiz algébrica do enésimo grau de um determinado número é o conjunto de todas as raízes desse número.

Os números irracionais, ao contrário dos racionais, não podem ser representados como uma fração irredutível ordinária da forma m/n, onde m e n são inteiros. São números de um novo tipo que podem ser calculados com qualquer precisão, mas não podem ser substituídos por um número racional. Eles podem aparecer como resultado de medidas geométricas, por exemplo: a razão entre o comprimento da diagonal de um quadrado e o comprimento de seu lado é igual.

Uma equação quadrática é uma equação algébrica do segundo grau ax2+bx+c=0, onde a, b, c recebem coeficientes numéricos ou alfabéticos, x é uma incógnita. Se dividirmos todos os termos desta equação por a, como resultado obtemos x2+px+q=0 - a equação reduzida p=b/a, q=c/a. Suas raízes são encontradas pela fórmula:

Se b2-4ac>0 então existem duas raízes distintas, b2-4ac=0 então existem duas raízes iguais; b2-4ac Equações contendo módulos

Principais tipos de equações contendo módulos:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, onde f(x), g(x), fk(x), gk(x) são funções dadas.

Em matemática, uma fração é um número que consiste em uma ou mais partes (frações) de uma unidade. De acordo com a forma de escrita, as frações são divididas em ordinárias (exemplo \frac (5) (8)) e decimais (por exemplo, 123,45).

Definição. Fração ordinária (ou fração simples)

Fração ordinária (simples)é um número da forma \pm\frac(m)(n) onde m e n são números naturais. O número m é chamado numerador esta fração, e o número n é seu denominador.

Uma barra horizontal ou para a frente indica um sinal de divisão, ou seja, \frac(m)(n)=()^m/n=m:n

As frações ordinárias são divididas em dois tipos: próprias e impróprias.

Definição. Frações próprias e impróprias

correto Uma fração é chamada se o módulo do numerador for menor que o módulo do denominador. Por exemplo, \frac(9)(11) , porque 9

Errado Uma fração é chamada se o módulo do numerador for maior ou igual ao módulo do denominador. Tal fração é um número racional, módulo maior ou igual a um. Um exemplo seria frações \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)

Junto com uma fração imprópria, há outra notação para um número, que é chamada de fração mista (número misto). Tal fração não é comum.

Definição. Fração mista (número misto)

fração mistaé chamada de fração escrita como um número inteiro e uma fração própria e é entendida como a soma desse número e uma fração. Por exemplo, 2\frac(5)(7)

(escrito como um número misto) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19) )(7) (não escrito como uma fração imprópria)

Uma fração é apenas uma representação de um número. O mesmo número pode corresponder a diferentes frações, tanto ordinárias quanto decimais. Vamos formar um sinal de igualdade de duas frações ordinárias.

Definição. Sinal de igualdade de frações

As duas frações \frac(a)(b) e \frac(c)(d) são igual, se a\cdot d=b\cdot c . Por exemplo, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) desde 2\cdot12=3\cdot8

A propriedade principal da fração segue do sinal indicado.

Propriedade. Propriedade básica de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma dada fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número que não é igual a zero, então será obtida uma fração igual à dada.

\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0

Usando a propriedade básica de uma fração, você pode substituir uma determinada fração por outra fração igual à dada, mas com um numerador e denominador menores. Essa substituição é chamada de redução de fração. Por exemplo, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (aqui o numerador e o denominador são divididos primeiro por 2 e depois por mais 2). Uma fração pode ser reduzida se e somente se seu numerador e denominador não forem números primos coprimos. Se o numerador e o denominador de uma dada fração são primos, então a fração não pode ser reduzida, por exemplo, \frac(3)(4) é uma fração irredutível.

Regras para frações positivas:

De duas frações com os mesmos denominadores maior é a fração cujo numerador é maior. Por exemplo \frac(3)(15)

De duas frações com os mesmos numeradores a maior é a fração cujo denominador é menor. Por exemplo, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .

Para comparar duas frações com numeradores e denominadores diferentes, você precisa converter ambas as frações para que seus denominadores se tornem os mesmos. Essa transformação é chamada de redução de frações a um denominador comum.

Começaremos nossa consideração deste tópico estudando o conceito de fração como um todo, o que nos dará uma compreensão mais completa do significado de uma fração ordinária. Vamos dar os principais termos e sua definição, estudar o tópico em uma interpretação geométrica, ou seja, na linha de coordenadas, e também definir uma lista de ações básicas com frações.

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Ações de todo

Imagine um objeto consistindo de várias partes completamente iguais. Por exemplo, pode ser uma laranja, composta por várias fatias idênticas.

Definição 1

Parte de um todo ou parteé cada uma das partes iguais que compõem o objeto inteiro.

Obviamente, as ações podem ser diferentes. Para explicar claramente essa afirmação, imagine duas maçãs, uma das quais é cortada em duas partes iguais e a segunda em quatro. É claro que o tamanho das ações resultantes para diferentes maçãs irá variar.

As ações têm nomes próprios, que dependem do número de ações que compõem a totalidade do sujeito. Se um item tiver duas partes, cada uma delas será definida como uma segunda parte desse item; quando um objeto consiste em três partes, cada uma delas é um terço, e assim por diante.

Definição 2

Metade- uma segunda parte do assunto.

Terceiro- um terço do assunto.

Trimestre- um quarto do assunto.

Para encurtar o registro, foi introduzida a seguinte notação para ações: metade - 1 2 ou 1/2; terceiro - 1 3 ou 1/3; uma quarta parte 1 4 ou 1/4 e assim por diante. As entradas com uma barra horizontal são usadas com mais frequência.

O conceito de compartilhamento naturalmente se expande de objetos para magnitudes. Assim, você pode usar frações de um metro (um terço ou um centésimo) para medir pequenos objetos, como uma das unidades de comprimento. As cotas de outras quantidades podem ser aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos

As frações ordinárias são usadas para descrever o número de ações. Considere um exemplo simples que nos aproximará da definição de uma fração ordinária.

Imagine uma laranja, composta por 12 fatias. Cada ação será então - um décimo segundo ou 1/12. Duas ações - 2/12; três ações - 3/12, etc. Todas as 12 partes ou um inteiro ficariam assim: 12 / 12 . Cada uma das entradas usadas no exemplo é um exemplo de uma fração comum.

Definição 3

Fração comumé um registro do formulário m n ou m / n , onde m e n são quaisquer números naturais.

De acordo com esta definição, exemplos de frações ordinárias podem ser entradas: 4/9, 1134, 91754. E essas entradas: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Definição 4

numerador fração comum m n ou m / n é um número natural m .

denominador fração comum m n ou m / n é um número natural n .

Aqueles. o numerador é o número acima da barra de uma fração ordinária (ou à esquerda da barra), e o denominador é o número abaixo da barra (à direita da barra).

Qual é o significado do numerador e do denominador? O denominador de uma fração ordinária indica em quantas ações consiste um item, e o numerador nos dá informações sobre quantas dessas ações são consideradas. Por exemplo, a fração comum 7 54 nos indica que um determinado objeto consiste em 54 ações e, para consideração, levamos 7 dessas ações.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, é possível dizer que o objeto (valor) considerado é indivisível, é algo inteiro. O numerador em tal fração indicará quantos desses itens são retirados, ou seja, uma fração ordinária da forma m 1 tem o significado de um número natural m . Esta afirmação serve como justificativa para a igualdade m 1 = m .

Vamos escrever a última igualdade assim: m = m 1 . Isso nos dará a oportunidade de usar qualquer número natural na forma de uma fração ordinária. Por exemplo, o número 74 é uma fração ordinária da forma 74 1 .

Definição 5

Qualquer número natural m pode ser escrito como uma fração ordinária, onde o denominador é um: m 1 .

Por sua vez, qualquer fração ordinária da forma m 1 pode ser representada por um número natural m .

Barra de frações como sinal de divisão

A representação acima de um determinado objeto como n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Quando um objeto é dividido em n partes, temos a oportunidade de dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada um recebe sua parte.

No caso em que inicialmente temos m objetos idênticos (cada um dividido em n partes), então esses m objetos podem ser divididos igualmente entre n pessoas, dando a cada uma delas uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1 n , e m ações 1 n dará uma fração ordinária m n . Portanto, a fração comum m n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

A declaração resultante estabelece uma conexão entre frações ordinárias e divisão. E essa relação pode ser expressa da seguinte forma : é possível significar a linha de uma fração como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração ordinária, podemos escrever o resultado da divisão de dois números naturais. Por exemplo, dividir 7 maçãs por 10 pessoas será escrito como 7 10: cada pessoa receberá sete décimos.

Frações comuns iguais e desiguais

A ação lógica é comparar frações ordinárias, porque é óbvio que, por exemplo, 1 8 de uma maçã é diferente de 7 8 .

O resultado da comparação de frações ordinárias pode ser: igual ou desigual.

Definição 6

Frações comuns iguais são frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade é verdadeira: a d = b c .

Frações comuns desiguais- frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade: a · d = b · c não é verdadeira.

Um exemplo de frações iguais: 1 3 e 4 12 - já que a igualdade 1 12 \u003d 3 4 é verdadeira.

No caso em que as frações não são iguais, geralmente também é necessário descobrir qual das frações dadas é menor e qual é maior. Para responder a essas perguntas, as frações ordinárias são comparadas levando-as a um denominador comum e depois comparando os numeradores.

Números fracionários

Cada fração é um registro de um número fracionário, que na verdade é apenas uma “concha”, uma visualização da carga semântica. Mas ainda assim, por conveniência, combinamos os conceitos de fração e número fracionário, simplesmente falando - uma fração.

Todos os números fracionários, como qualquer outro número, têm sua própria localização única no raio coordenado: há uma correspondência um-para-um entre frações e pontos no raio coordenado.

Para encontrar um ponto no raio coordenado, denotando a fração m n , é necessário adiar m segmentos na direção positiva da origem das coordenadas, o comprimento de cada um dos quais será 1 n uma fração de um segmento unitário. Segmentos podem ser obtidos dividindo um único segmento em n partes idênticas.

Como exemplo, vamos denotar o ponto M no raio coordenado, que corresponde à fração 14 10 . O comprimento do segmento, cujas extremidades são o ponto O e o ponto mais próximo marcado com um pequeno traço, é igual a 1 10 frações do segmento unitário. O ponto correspondente à fração 14 10 está localizado a uma distância da origem das coordenadas a uma distância de 14 desses segmentos.

Se as frações são iguais, ou seja, eles correspondem ao mesmo número fracionário, então essas frações servem como coordenadas do mesmo ponto no raio coordenado. Por exemplo, as coordenadas na forma de frações iguais 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 correspondem ao mesmo ponto no raio coordenado, localizado a uma distância de um terço do segmento unitário, adiado do origem no sentido positivo.

O mesmo princípio funciona aqui com os inteiros: em um raio de coordenadas horizontal direcionado para a direita, o ponto ao qual a fração maior corresponde estará localizado à direita do ponto ao qual a fração menor corresponde. E vice-versa: o ponto, cuja coordenada é a fração menor, estará localizado à esquerda do ponto, que corresponde à coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

A divisão de frações em próprias e impróprias é baseada na comparação do numerador e denominador dentro da mesma fração.

Definição 7

Fração própriaé uma fração ordinária em que o numerador é menor que o denominador. Isto é, se a desigualdade m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fração imprópriaé uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador. Ou seja, se a desigualdade undefined for verdadeira, então a fração ordinária m n é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos: - frações próprias:

Exemplo 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Frações impróprias:

Exemplo 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Também é possível dar uma definição de frações próprias e impróprias, com base na comparação de uma fração com uma unidade.

Definição 8

Fração própriaé uma fração comum menor que um.

Fração imprópriaé uma fração comum igual ou maior que um.

Por exemplo, a fração 8 12 está correta, porque 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 e 14 14 = 1 .

Vamos pensar um pouco mais fundo por que frações em que o numerador é maior ou igual ao denominador são chamadas de "impróprias".

Considere a fração imprópria 8 8: ela nos diz que 8 partes de um objeto que consiste em 8 partes são tomadas. Assim, das oito ações disponíveis, podemos compor um objeto inteiro, ou seja, a fração dada 8 8 representa essencialmente todo o objeto: 8 8 \u003d 1. As frações em que o numerador e o denominador são iguais substituem totalmente o número natural 1.

Considere também frações em que o numerador excede o denominador: 11 5 e 36 3 . É claro que a fração 11 5 indica que podemos fazer dois objetos inteiros com ela e ainda haverá um quinto dela. Aqueles. fração 11 5 são 2 objetos e outros 1 5 dele. Por sua vez, 36 3 é uma fração, o que significa essencialmente 12 objetos inteiros.

Esses exemplos permitem concluir que frações impróprias podem ser substituídas por números naturais (se o numerador for divisível pelo denominador sem resto: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ou a soma de um número natural e um fração própria (se o numerador não for divisível pelo denominador sem resto: 11 5 = 2 + 1 5). É provavelmente por isso que essas frações são chamadas de "impróprias".

Aqui também encontramos uma das habilidades numéricas mais importantes.

Definição 9

Extraindo a parte inteira de uma fração imprópriaé uma fração imprópria escrita como a soma de um número natural e uma fração própria.

Observe também que existe uma relação próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Acima dissemos que cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo. Aqueles. frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, as frações 5 17 , 6 98 , 64 79 são positivas e, quando é necessário enfatizar a “positividade” de uma fração, ela é escrita usando um sinal de mais: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Se atribuirmos um sinal de menos a uma fração ordinária, o registro resultante será um registro de um número fracionário negativo e, nesse caso, estamos falando de frações negativas. Por exemplo, - 8 17 , - 78 14 etc.

As frações positivas e negativas m n e - m n são números opostos, por exemplo, as frações 7 8 e - 7 8 são opostas.

Frações positivas, como qualquer número positivo em geral, significam uma adição, uma mudança para cima. Por sua vez, as frações negativas correspondem ao consumo, uma mudança no sentido de decréscimo.

Se considerarmos a linha de coordenadas, veremos que as frações negativas estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos a que correspondem as frações, que são opostos (m n e - m n), estão localizados à mesma distância da origem das coordenadas O, mas em lados opostos desta.

Aqui também falamos separadamente sobre frações escritas na forma 0 n . Tal fração é igual a zero, ou seja. 0n = 0.

Resumindo todos os itens acima, chegamos ao conceito mais importante de números racionais.

Definição 10

Números racionaisé um conjunto de frações positivas, frações negativas e frações da forma 0 n .

Ações com frações

Vamos listar as operações básicas com frações. Em geral, sua essência é a mesma das operações correspondentes com números naturais

1. Comparação de frações - discutimos essa ação acima.
2. Adição de frações - o resultado da adição de frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, reduzida a um número natural).
3. A subtração de frações é uma ação, o oposto da adição, quando uma fração desconhecida é determinada a partir de uma fração conhecida e uma determinada soma de frações.
4. Multiplicação de frações - esta ação pode ser descrita como encontrar uma fração de uma fração. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, igual a um número natural).
5. A divisão de frações é o inverso da multiplicação, quando determinamos a fração pela qual é necessário multiplicar a dada para obter um produto conhecido de duas frações.

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Ações de uma unidade e é representado como \frac(a)(b).

Numerador de fração (a)- o número acima da linha da fração e indicando o número de ações em que a unidade foi dividida.

Denominador de fração (b)- o número abaixo da linha da fração e mostrando quantas ações a unidade foi dividida.

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Propriedade básica de uma fração

Se ad=bc , então duas frações \frac(a)(b) e \frac(c)(d) são considerados iguais. Por exemplo, frações serão iguais \frac35 e \frac(9)(15), já que 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) e \frac(24)(14), pois 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Da definição da igualdade das frações segue-se que as frações serão iguais \frac(a)(b) e \frac(am)(bm), já que a(bm)=b(am) é um exemplo claro do uso das propriedades associativas e comutativas da multiplicação de números naturais em ação.

Significa \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- se parece com isso propriedade básica de uma fração.

Em outras palavras, obtemos uma fração igual à dada multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador da fração original pelo mesmo número natural.

Redução de fraçãoé o processo de substituição de uma fração, em que a nova fração é igual à original, mas com numerador e denominador menores.

É costume reduzir frações com base na propriedade principal de uma fração.

Por exemplo, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(o numerador e o denominador são divisíveis pelo número 3); a fração resultante pode ser novamente reduzida dividindo-se por 5, ou seja, \frac(15)(20)=\frac 34.

fração irredutívelé uma fração da forma \frac 34, onde o numerador e o denominador são números relativamente primos. O principal objetivo da redução de fração é tornar a fração irredutível.

Trazendo frações para um denominador comum

Tomemos duas frações como exemplo: \frac(2)(3) e \frac(5)(8) com denominadores diferentes 3 e 8 . Para trazer essas frações a um denominador comum e primeiro multiplique o numerador e o denominador da fração \frac(2)(3) por 8. Obtemos o seguinte resultado: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Em seguida, multiplique o numerador e o denominador da fração \frac(5)(8) por 3. Obtemos como resultado: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Assim, as frações originais são reduzidas a um denominador comum 24.

Operações aritméticas sobre frações ordinárias

Adição de frações ordinárias

a) Com os mesmos denominadores, o numerador da primeira fração é somado ao numerador da segunda fração, deixando o denominador igual. Como visto no exemplo:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Com denominadores diferentes, as frações são primeiro reduzidas a um denominador comum e, em seguida, os numeradores são adicionados de acordo com a regra a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Subtração de frações ordinárias

a) Com os mesmos denominadores, subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração, deixando o denominador igual:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Se os denominadores das frações forem diferentes, primeiro as frações são reduzidas a um denominador comum e, em seguida, repetir os passos como na alínea a).

Multiplicação de frações ordinárias

A multiplicação de frações obedece à seguinte regra:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

isto é, multiplique os numeradores e denominadores separadamente.

Por exemplo:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Divisão de frações ordinárias

As frações são divididas da seguinte maneira:

\frac(a)(b): \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

isso é uma fração \frac(a)(b) multiplicado por uma fração \frac(d)(c).

Exemplo: \frac(7)(2): \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Números recíprocos

Se ab=1 , então o número b é número reverso para o número A.

Exemplo: para o número 9, o inverso é \frac(1)(9), Porque 9 \cdot \frac(1)(9)=1, para o número 5 - \frac(1)(5), Porque 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Decimais

Decimalé uma fração própria cujo denominador é 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Por exemplo: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Da mesma forma, números incorretos com denominador 10 ^ n ou números mistos são escritos.

Por exemplo: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Na forma de uma fração decimal, é representada qualquer fração ordinária com um denominador que seja um divisor de uma certa potência do número 10.

Exemplo: 5 é um divisor de 100, então a fração \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Operações aritméticas em frações decimais

Adicionando decimais

Para adicionar duas frações decimais, você precisa organizá-los para que os mesmos dígitos e uma vírgula apareçam um abaixo do outro e, em seguida, adicione as frações como números comuns.

Subtração de decimais

Funciona da mesma forma que a adição.

Multiplicação decimal

Ao multiplicar números decimais, basta multiplicar os números dados, ignorando as vírgulas (como números naturais), e na resposta recebida, a vírgula à direita separa quantos dígitos houver após o ponto decimal em ambos os fatores no total .

Vamos fazer a multiplicação de 2,7 por 1,3. Temos 27 \cdot 13=351 . Separamos dois dígitos da direita com uma vírgula (o primeiro e o segundo números têm um dígito após o ponto decimal; 1+1=2). Como resultado, obtemos 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Se o resultado for menos dígitos do que é necessário separar com uma vírgula, os zeros ausentes serão escritos na frente, por exemplo:

Para multiplicar por 10, 100, 1000, em uma fração decimal, mova a vírgula 1, 2, 3 dígitos para a direita (se necessário, um certo número de zeros é atribuído à direita).

Por exemplo: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Divisão decimal

A divisão de uma fração decimal por um número natural é feita da mesma forma que a divisão de um número natural por um número natural. Uma vírgula no privado é colocada após a divisão da parte inteira ser concluída.

Se a parte inteira do dividendo for menor que o divisor, a resposta será zero inteiros, por exemplo:

Considere dividir um decimal por um decimal. Digamos que precisamos dividir 2,576 por 1,12. Primeiramente, multiplicamos o dividendo e o divisor da fração por 100, ou seja, movemos a vírgula para a direita no dividendo e no divisor por quantos caracteres houver no divisor após a vírgula (neste exemplo , dois). Então você precisa dividir a fração 257,6 pelo número natural 112, ou seja, o problema é reduzido ao caso já considerado:

Acontece que a fração decimal final nem sempre é obtida ao dividir um número por outro. O resultado é um decimal infinito. Nesses casos, vá para frações ordinárias.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).