As fórmulas de multiplicação abreviadas (FSU) são usadas para exponenciar e multiplicar números e expressões. Freqüentemente, essas fórmulas permitem que você faça cálculos de forma mais compacta e rápida.
Neste artigo, listaremos as principais fórmulas para multiplicação abreviada, agruparemos em uma tabela, consideraremos exemplos de uso dessas fórmulas e também nos debruçaremos sobre os princípios para provar fórmulas de multiplicação abreviada.
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Pela primeira vez, o tema FSU é abordado no curso "Álgebra" para a 7ª série. Abaixo estão 7 fórmulas básicas.
Fórmulas de multiplicação abreviadas
- fórmula da soma quadrada: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- fórmula do quadrado da diferença: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- fórmula do cubo de soma: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- fórmula do cubo da diferença: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- fórmula da diferença de quadrados: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- fórmula para a soma dos cubos: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- fórmula de diferença de cubo: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
As letras a, b, c nessas expressões podem ser quaisquer números, variáveis ou expressões. Para facilitar o uso, é melhor aprender as sete fórmulas básicas de cor. Nós os resumimos em uma tabela e os damos abaixo, circulando-os com uma caixa.
As primeiras quatro fórmulas permitem calcular, respectivamente, o quadrado ou cubo da soma ou diferença de duas expressões.
A quinta fórmula calcula a diferença de quadrados de expressões multiplicando sua soma e diferença.
A sexta e a sétima fórmulas são, respectivamente, a multiplicação da soma e da diferença das expressões pelo quadrado incompleto da diferença e pelo quadrado incompleto da soma.
A fórmula de multiplicação abreviada às vezes também é chamada de identidades de multiplicação abreviadas. Isso não é surpreendente, já que toda igualdade é uma identidade.
Ao resolver exemplos práticos, as fórmulas de multiplicação abreviadas são frequentemente usadas com as partes esquerda e direita reorganizadas. Isso é especialmente conveniente ao fatorar um polinômio.
Fórmulas adicionais de multiplicação abreviada
Não nos limitaremos ao curso de álgebra da 7ª série e adicionaremos mais algumas fórmulas à nossa tabela FSU.
Primeiro, considere a fórmula binomial de Newton.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Aqui C n k são os coeficientes binomiais que estão na linha número n no triângulo de Pascal. Os coeficientes binomiais são calculados pela fórmula:
C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Como você pode ver, o FSU para o quadrado e o cubo da diferença e da soma é um caso especial da fórmula binomial de Newton para n=2 e n=3, respectivamente.
Mas e se houver mais de dois termos na soma a ser elevada a uma potência? A fórmula para o quadrado da soma de três, quatro ou mais termos será útil.
um 1 + um 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Outra fórmula que pode ser útil é a fórmula para a diferença da enésima potência de dois termos.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Essa fórmula geralmente é dividida em duas fórmulas - respectivamente para graus pares e ímpares.
Para expoentes pares de 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Para expoentes ímpares 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2m
As fórmulas para a diferença de quadrados e a diferença de cubos, você adivinhou, são casos especiais dessa fórmula para n = 2 e n = 3, respectivamente. Para a diferença de cubos, b também é substituído por - b .
Como ler fórmulas de multiplicação abreviadas?
Daremos as formulações correspondentes para cada fórmula, mas primeiro trataremos do princípio da leitura de fórmulas. A maneira mais fácil de fazer isso é com um exemplo. Vamos pegar a primeira fórmula para o quadrado da soma de dois números.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Eles dizem: o quadrado da soma de duas expressões a e b é igual à soma do quadrado da primeira expressão, duas vezes o produto das expressões e o quadrado da segunda expressão.
Todas as outras fórmulas são lidas de forma semelhante. Para a diferença ao quadrado a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 escrevemos:
o quadrado da diferença de duas expressões aeb é igual à soma dos quadrados dessas expressões menos duas vezes o produto da primeira e da segunda expressões.
Vamos ler a fórmula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. O cubo da soma de duas expressões a e b é igual à soma dos cubos dessas expressões, três vezes o produto do quadrado da primeira expressão e da segunda, e três vezes o produto do quadrado da segunda expressão e a primeira expressão.
Passamos a ler a fórmula para a diferença de cubos a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. O cubo da diferença de duas expressões a e b é igual ao cubo da primeira expressão menos três vezes o quadrado da primeira expressão e da segunda, mais três vezes o quadrado da segunda expressão e da primeira expressão, menos o cubo da segunda expressão.
A quinta fórmula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferença de quadrados) é assim: a diferença dos quadrados de duas expressões é igual ao produto da diferença e a soma das duas expressões.
Expressões como a 2 + a b + b 2 e a 2 - a b + b 2 por conveniência são chamadas, respectivamente, de quadrado incompleto da soma e quadrado incompleto da diferença.
Com isso em mente, as fórmulas para a soma e diferença de cubos são lidas da seguinte forma:
A soma dos cubos de duas expressões é igual ao produto da soma dessas expressões e o quadrado incompleto de sua diferença.
A diferença dos cubos de duas expressões é igual ao produto da diferença dessas expressões pelo quadrado incompleto de sua soma.
Prova FSU
Provar FSU é bastante simples. Com base nas propriedades da multiplicação, realizaremos a multiplicação das partes das fórmulas entre parênteses.
Por exemplo, considere a fórmula para o quadrado da diferença.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Para elevar uma expressão à segunda potência, a expressão deve ser multiplicada por ela mesma.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Vamos expandir os colchetes:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
A fórmula foi comprovada. Os outros FSOs são provados de forma semelhante.
Exemplos de aplicação do FSO
O objetivo de usar fórmulas de multiplicação reduzida é multiplicar e exponenciar expressões de forma rápida e concisa. No entanto, este não é todo o escopo do FOE. Eles são amplamente utilizados na redução de expressões, redução de frações, fatoração de polinômios. Vamos dar exemplos.
Exemplo 1. FSO
Vamos simplificar a expressão 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Aplique a fórmula da soma dos quadrados e obtenha:
9 anos - (1 + 3 anos) 2 = 9 anos - (1 + 6 anos + 9 anos 2) = 9 anos - 1 - 6 anos - 9 anos 2 = 3 anos - 1 - 9 anos 2
Exemplo 2. FSO
Reduza a fração 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Notamos que a expressão no numerador é a diferença de cubos e no denominador - a diferença de quadrados.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Reduzimos e obtemos:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
As FSUs também ajudam a calcular os valores das expressões. O principal é poder perceber onde aplicar a fórmula. Vamos mostrar isso com um exemplo.
Vamos elevar o número 79 ao quadrado. Em vez de cálculos complicados, escrevemos:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Parece que um cálculo complexo foi realizado rapidamente apenas com o uso de fórmulas de multiplicação abreviadas e uma tabela de multiplicação.
Outro ponto importante é a seleção do quadrado do binômio. A expressão 4 x 2 + 4 x - 3 pode ser convertida em 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tais transformações são amplamente utilizadas na integração.
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Um dos primeiros tópicos estudados em um curso de álgebra são as fórmulas para multiplicação abreviada. No 7.º ano, são utilizados nas situações mais simples, em que é necessário reconhecer uma das fórmulas na expressão e fatorar o polinómio ou, pelo contrário, elevar rapidamente ao quadrado ou ao cubo a soma ou a diferença. No futuro, o FSU será usado para resolver rapidamente desigualdades e equações e até mesmo para calcular algumas expressões numéricas sem uma calculadora.
Como é a lista de fórmulas?
Existem 7 fórmulas básicas que permitem multiplicar rapidamente polinômios entre parênteses.
Às vezes, essa lista também inclui uma expansão de quarto grau, que segue das identidades apresentadas e tem a forma:
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Todas as igualdades têm um par (soma - diferença), exceto a diferença de quadrados. Não existe fórmula para a soma dos quadrados.
O resto das igualdades são fáceis de lembrar.:
Deve-se lembrar que os FSOs funcionam em qualquer caso e para quaisquer valores. uma e b: pode ser números arbitrários e expressões inteiras.
Em uma situação em que de repente você não consegue se lembrar qual sinal está na fórmula antes de um ou outro termo, você pode abrir os colchetes e obter o mesmo resultado depois de usar a fórmula. Por exemplo, se surgir um problema ao aplicar o FSU do cubo de diferença, você precisará escrever a expressão original e faça a multiplicação um por um:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Como resultado, após a redução de todos esses termos, obteve-se o mesmo polinômio da tabela. As mesmas manipulações podem ser realizadas com todos os outros FSOs.
Aplicação de FSO para resolver equações
Por exemplo, você precisa resolver uma equação contendo polinômio de 3º grau:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
O currículo escolar não considera técnicas universais para resolver equações cúbicas, e essas tarefas geralmente são resolvidas por métodos mais simples (por exemplo, fatoração). Se você perceber que o lado esquerdo da identidade se assemelha ao cubo da soma, a equação pode ser escrita de forma mais simples:
(x + 1)³ = 0.
A raiz de tal equação é calculada oralmente: x=-1.
As desigualdades são resolvidas de maneira semelhante. Por exemplo, podemos resolver a desigualdade x³ - 6x² + 9x > 0.
Em primeiro lugar, é necessário decompor a expressão em fatores. Primeiro você precisa tirar os suportes x. Depois disso, observe que a expressão entre colchetes pode ser convertida para o quadrado da diferença.
Em seguida, você precisa encontrar os pontos nos quais a expressão assume valores zero e marcá-los na reta numérica. Em um caso particular, serão 0 e 3. Em seguida, usando o método do intervalo, determine em quais intervalos x atenderá à condição de desigualdade.
FSOs podem ser úteis na realização de alguns cálculos sem a ajuda de uma calculadora:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Além disso, ao fatorar expressões, você pode facilmente reduzir frações e simplificar várias expressões algébricas.
Exemplos de tarefas para as séries 7-8
Em conclusão, analisaremos e resolveremos duas tarefas para a aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas em álgebra.
Tarefa 1. Simplifique a expressão:
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Solução. Na condição de atribuição, é necessário simplificar a expressão, ou seja, abrir os colchetes, realizar as operações de multiplicação e exponenciação e também trazer todos esses termos. Dividimos condicionalmente a expressão em três partes (de acordo com o número de termos) e abrimos os colchetes um a um, usando o FSU sempre que possível.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(soma ao quadrado);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(diferença de quadrados);
- No último termo, você precisa realizar a multiplicação: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Substitua os resultados na expressão original:
(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).
Levando em conta os sinais, abrimos os parênteses e damos termos semelhantes:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.
Tarefa 2. Resolva a equação que contém a incógnita k elevada a 5:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.
Solução. Neste caso, é necessário utilizar o FSO e o método de agrupamento. Precisamos transferir o último e penúltimo termo para o lado direito da identidade.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
O multiplicador comum é retirado das partes direita e esquerda (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).
Tudo é transferido para o lado esquerdo da equação para que 0 permaneça no lado direito:
k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.
Novamente, você precisa tirar o fator comum:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Do primeiro fator obtido, podemos derivar k. De acordo com a fórmula de multiplicação curta, o segundo fator será identicamente igual a (k + 2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
Usando a fórmula da diferença de quadrados:
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Como o produto é 0 se pelo menos um de seus fatores for zero, não será difícil encontrar todas as raízes da equação:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Com base em exemplos ilustrativos, pode-se entender como lembrar as fórmulas, suas diferenças e também resolver vários problemas práticos usando o FSU. As tarefas são simples e não devem ser difíceis de concluir.
Para simplificar polinômios algébricos, existem fórmulas de multiplicação abreviadas. Não são tantos e são fáceis de lembrar, mas você precisa se lembrar deles. A notação usada nas fórmulas pode assumir qualquer forma (número ou polinômio).
A primeira fórmula de multiplicação abreviada é chamada diferença de quadrados. Está no fato de que do quadrado de um número é subtraído o quadrado do segundo número igual à diferença entre esses números, bem como seu produto.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
Vamos analisar para maior clareza:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
A segunda fórmula sobre soma dos quadrados. Parece que a soma de dois valores ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro valor, o produto duplo do primeiro valor multiplicado pelo segundo é adicionado a ele, o quadrado do segundo valor é adicionado a eles.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Graças a esta fórmula, torna-se muito mais fácil calcular o quadrado de um grande número, sem o uso de tecnologia de computador.
Então por exemplo: o quadrado de 112 será
1) Inicialmente, vamos analisar 112 em números cujos quadrados nos são familiares
112 = 100 + 12
2) Entramos no recebido entre parênteses ao quadrado
112 2 = (100+12) 2
3) Aplicando a fórmula, obtemos:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
A terceira fórmula é diferença ao quadrado. Que diz que dois valores subtraídos um do outro ao quadrado são iguais ao fato de que, do primeiro valor ao quadrado, subtraímos o duplo produto do primeiro valor multiplicado pelo segundo, adicionando a eles o quadrado do segundo valor .
(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
onde (a - b) 2 é igual a (b - a) 2 . Para provar isso, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
A quarta fórmula de multiplicação abreviada é chamada cubo de soma. O que soa como: dois termos do valor no cubo são iguais ao cubo de 1 valor, o triplo produto de 1 valor ao quadrado multiplicado pelo 2º valor é adicionado a eles, o triplo produto de 1 valor multiplicado pelo quadrado de 2 valor é adicionado a eles, mais o segundo valor ao cubo.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
A quinta, como você já entendeu, chama-se cubo de diferença. Que encontra as diferenças entre os valores, pois da primeira designação no cubo subtraímos o triplo produto da primeira designação ao quadrado multiplicado pelo segundo, o triplo produto da primeira designação multiplicado pelo quadrado da segunda designação é adicionado a eles , menos a segunda designação no cubo.
(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
O sexto é chamado soma de cubos. A soma dos cubos é igual ao produto de dois termos multiplicado pelo quadrado incompleto da diferença, pois não há valor dobrado no meio.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)
De outra forma, você pode dizer que a soma dos cubos pode ser chamada de produto entre dois colchetes.
A sétima e última chama-se diferença de cubos(é fácil confundir com a fórmula do cubo das diferenças, mas são coisas diferentes). A diferença de cubos é igual ao produto da diferença de duas quantidades multiplicado pelo quadrado incompleto da soma, pois não há valor dobrado no meio.
a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
E assim são apenas 7 fórmulas para multiplicação abreviada, são semelhantes entre si e fáceis de lembrar, a única coisa é não se confundir nos sinais. Eles também são projetados para serem usados na ordem inversa e existem algumas dessas tarefas coletadas em livros didáticos. Tenha cuidado e você terá sucesso.
Se você tiver alguma dúvida sobre as fórmulas, não deixe de escrevê-las nos comentários. Teremos o maior prazer em atende-lo!
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Expressões matemáticas (fórmulas) multiplicação abreviada(o quadrado da soma e da diferença, o cubo da soma e da diferença, a diferença dos quadrados, a soma e a diferença dos cubos) são extremamente insubstituíveis em muitas áreas das ciências exatas. Essas entradas de 7 caracteres são insubstituíveis ao simplificar expressões, resolver equações, multiplicar polinômios, reduzir frações, resolver integrais e muito mais. Portanto, será muito útil descobrir como eles são obtidos, para que servem e, o mais importante, como lembrá-los e aplicá-los. Em seguida, aplicando fórmulas de multiplicação abreviadas na prática, o mais difícil será ver o que é x e o que tem. Obviamente, não há restrições quanto uma e b no, o que significa que pode ser qualquer expressão numérica ou literal.
E então aqui estão eles:
Primeiro x 2 - às 2 = (x - y) (x + y).Calcular diferença de quadrados duas expressões, é necessário multiplicar as diferenças dessas expressões por suas somas.
Segundo (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Encontrar soma ao quadrado duas expressões, você precisa adicionar ao quadrado da primeira expressão duas vezes o produto da primeira expressão pela segunda mais o quadrado da segunda expressão.
Terceiro (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Calcular diferença ao quadrado duas expressões, você precisa subtrair do quadrado da primeira expressão duas vezes o produto da primeira expressão pela segunda mais o quadrado da segunda expressão.
Quarto (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 anos + 3x 2 + em 3. Calcular cubo de soma duas expressões, você precisa adicionar ao cubo da primeira expressão três vezes o produto do quadrado da primeira expressão e da segunda, mais três vezes o produto da primeira expressão e o quadrado da segunda, mais o cubo da segunda expressão.
Quinto (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 anos + 3x 2 - às 3. Calcular cubo de diferença duas expressões, é necessário subtrair do cubo da primeira expressão três vezes o produto do quadrado da primeira expressão pela segunda mais três vezes o produto da primeira expressão e o quadrado da segunda menos o cubo da segunda expressão.
sexto x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Calcular soma de cubos duas expressões, você precisa multiplicar as somas da primeira e da segunda expressões pelo quadrado incompleto da diferença dessas expressões.
sétimo x 3 - às 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Para fazer um cálculo diferenças de cubo duas expressões, é necessário multiplicar a diferença da primeira e da segunda expressões pelo quadrado incompleto da soma dessas expressões.
Não é difícil lembrar que todas as fórmulas são usadas para fazer cálculos na direção oposta (da direita para a esquerda).
A existência dessas regularidades era conhecida há cerca de 4 mil anos. Eles foram amplamente utilizados pelos habitantes da antiga Babilônia e Egito. Mas naquela época eles eram expressos verbalmente ou geometricamente e não usavam letras nos cálculos.
vamos analisar prova de soma quadrada(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
este regularidade matemática provou o antigo cientista grego Euclides, que trabalhou em Alexandria no século III aC, ele usou o método geométrico para provar a fórmula para isso, já que os cientistas da antiga Hellas não usavam letras para denotar números. Em todos os lugares eles usaram não “a 2”, mas “quadrado no segmento a”, não “ab”, mas “retângulo entre os segmentos a e b”.
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