Vida y= f(x), x O N, Onde Né o conjunto de números naturais (ou uma função de um argumento natural), denotado y=f(n) ou y 1 ,y 2 ,…, s n,…. Valores y 1 ,y 2 ,y 3 ,… são chamados respectivamente o primeiro, segundo, terceiro, ... membros da sequência.

Por exemplo, para a função y= n 2 pode ser escrito:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…s n = n 2 ;…

Métodos para definir sequências. As sequências podem ser especificadas de várias maneiras, dentre as quais três são especialmente importantes: analítica, descritiva e recorrente.

1. Uma sequência é dada analiticamente se sua fórmula for dada n-º membro:

s n=f(n).

Exemplo. s n= 2n- 1 – sequência de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Descritivo a maneira de especificar uma sequência numérica é explicando de quais elementos a sequência é construída.

Exemplo 1. "Todos os membros da sequência são iguais a 1." Isso significa que estamos falando de uma sequência estacionária 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplo 2. "A sequência consiste em todos os números primos em ordem crescente." Assim, a sequência 2, 3, 5, 7, 11, … é dada. Com essa maneira de especificar a sequência neste exemplo, é difícil responder a que, digamos, o milésimo elemento da sequência é igual.

3. A maneira recorrente de especificar uma sequência é que é indicada uma regra que permite calcular n-th membro da sequência, se seus membros anteriores forem conhecidos. O nome método recorrente vem da palavra latina recorrente- volte. Na maioria das vezes, nesses casos, é indicada uma fórmula que permite expressar nº membro da sequência através dos anteriores e especifique 1–2 membros iniciais da sequência.

Exemplo 1 y 1 = 3; s n = s n–1 + 4 se n = 2, 3, 4,….

Aqui y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Pode-se ver que a sequência obtida neste exemplo também pode ser especificada analiticamente: s n= 4n- 1.

Exemplo 2 y 1 = 1; y 2 = 1; s n = s n –2 + s n-1 se n = 3, 4,….

Aqui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

A sequência composta neste exemplo é especialmente estudada em matemática porque possui várias propriedades e aplicações interessantes. É chamada de sequência de Fibonacci - em homenagem ao matemático italiano do século XIII. Definir a sequência de Fibonacci recursivamente é muito fácil, mas analiticamente é muito difícil. n O número de Fibonacci é expresso em termos de seu número ordinal pela fórmula a seguir.

À primeira vista, a fórmula de n O número de Fibonacci parece implausível, pois a fórmula que especifica a sequência apenas de números naturais contém raízes quadradas, mas você pode verificar "manualmente" a validade dessa fórmula para os primeiros n.

Propriedades de sequências numéricas.

Uma sequência numérica é um caso especial de uma função numérica, portanto, várias propriedades de funções também são consideradas para sequências.

Definição . Subsequência ( s n} é chamado crescente se cada um de seus termos (exceto o primeiro) é maior que o anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definição.Sequência ( s n} é chamado decrescente se cada um de seus termos (exceto o primeiro) for menor que o anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > s n> s n +1 > … .

Sequências crescentes e decrescentes são unidas por um termo comum - sequências monotônicas.

Exemplo 1 y 1 = 1; s n= n 2 é uma sequência crescente.

Assim, o seguinte teorema é verdadeiro (uma propriedade característica de uma progressão aritmética). Uma sequência numérica é aritmética se e somente se cada um de seus membros, exceto o primeiro (e último no caso de uma sequência finita), for igual à média aritmética dos membros anteriores e subsequentes.

Exemplo. Em que valor x números 3 x + 2, 5x- 4 e 11 x+ 12 formam uma progressão aritmética finita?

De acordo com a propriedade característica, as expressões dadas devem satisfazer a relação

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Resolvendo esta equação dá x= –5,5. Com este valor x expressões dadas 3 x + 2, 5x- 4 e 11 x+ 12 levam, respectivamente, os valores -14,5, –31,5, –48,5. Esta é uma progressão aritmética, sua diferença é -17.

Progressão geométrica.

Uma sequência numérica cujos membros são todos diferentes de zero e cada membro, a partir do segundo, é obtido do membro anterior pela multiplicação pelo mesmo número q, é chamado de progressão geométrica, e o número q- o denominador de uma progressão geométrica.

Assim, uma progressão geométrica é uma sequência numérica ( b n) dado recursivamente pelas relações

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b e q- números dados, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... - progressão geométrica crescente b = 2, q = 3.

Exemplo 2. 2, -2, 2, -2, ... – progressão geométrica b= 2,q= –1.

Exemplo 3. 8, 8, 8, 8, … – progressão geométrica b= 8, q= 1.

Uma progressão geométrica é uma sequência crescente se b 1 > 0, q> 1, e decrescente se b 1 > 0, 0q

Uma das propriedades óbvias de uma progressão geométrica é que, se uma sequência é uma progressão geométrica, então a sequência de quadrados, ou seja,

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a b 1 2 , e o denominador é q 2 .

Fórmula n-º termo de uma progressão geométrica tem a forma

b n= b 1 q n– 1 .

Você pode obter a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica finita.

Seja uma progressão geométrica finita

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

deixar S n - a soma de seus membros, ou seja,

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Aceita-se que q Nº 1. Para determinar S n um truque artificial é aplicado: algumas transformações geométricas da expressão são realizadas S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Nesse caminho, S n q= S n +b n q – b 1 e daí

Esta é a fórmula com umma n membros de uma progressão geométrica para o caso em que q≠ 1.

No q= 1 fórmula não pode ser derivada separadamente, é óbvio que neste caso S n= uma 1 n.

A progressão geométrica é nomeada porque nela cada termo, exceto o primeiro, é igual à média geométrica dos termos anteriores e subsequentes. Com efeito, desde

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

Consequentemente, b n 2= b n– 1 bn+ 1 e o seguinte teorema é verdadeiro (uma propriedade característica de uma progressão geométrica):

uma sequência numérica é uma progressão geométrica se e somente se o quadrado de cada um de seus termos, exceto o primeiro (e o último no caso de uma sequência finita), for igual ao produto dos termos anteriores e subsequentes.

Limite de sequência.

Seja uma sequência ( c n} = {1/n}. Essa sequência é chamada de harmônica, pois cada um de seus membros, a partir do segundo, é a média harmônica entre os membros anteriores e os subsequentes. Média geométrica dos números uma e b existe um número

Caso contrário, a sequência é chamada divergente.

Com base nessa definição, pode-se, por exemplo, provar a existência de um limite A=0 para a sequência harmônica ( c n} = {1/n). Seja ε um número positivo arbitrariamente pequeno. Consideramos a diferença

Existe tal N isso para todos n≥ N desigualdade 1 /N? Se tomado como N qualquer número natural maior que 1/ε , então para todos n ≥ N desigualdade 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Às vezes é muito difícil provar a existência de um limite para uma determinada sequência. As sequências mais comuns são bem estudadas e estão listadas em livros de referência. Existem teoremas importantes que permitem concluir que uma dada sequência tem um limite (e até calculá-lo) com base em sequências já estudadas.

Teorema 1. Se uma sequência tem um limite, então ela é limitada.

Teorema 2. Se uma sequência é monótona e limitada, então ela tem um limite.

Teorema 3. Se a sequência ( um} tem um limite UMA, então as sequências ( posso}, {um+ c) e (| um|} tem limites cA, UMA +c, |UMA| respectivamente (aqui cé um número arbitrário).

Teorema 4. Se sequências ( um} e ( b n) tem limites iguais a UMA e B frigideira + qb n) tem um limite pA+ qB.

Teorema 5. Se sequências ( um) e ( b n) tem limites iguais a UMA e B respectivamente, então a sequência ( a n b n) tem um limite AB.

Teorema 6. Se sequências ( um} e ( b n) tem limites iguais a UMA e B respectivamente, e além bn ≠ 0 e B≠ 0, então a sequência ( a n / b n) tem um limite A/B.

Anna Chugainova

Antes de começarmos a decidir problemas de progressão aritmética, considere o que é uma sequência numérica, já que uma progressão aritmética é um caso especial de uma sequência numérica.

Uma sequência numérica é um conjunto numérico, cada elemento do qual tem seu próprio número de série. Os elementos deste conjunto são chamados membros da sequência. O número ordinal de um elemento de sequência é indicado por um índice:

O primeiro elemento da sequência;

O quinto elemento da sequência;

- "nésimo" elemento da sequência, i.e. o elemento "em pé na fila" no número n.

Existe uma dependência entre o valor de um elemento de sequência e seu número ordinal. Portanto, podemos considerar uma sequência como uma função cujo argumento é o número ordinal de um elemento da sequência. Em outras palavras, pode-se dizer que a sequência é uma função do argumento natural:

A sequência pode ser especificada de três maneiras:

1 . A sequência pode ser especificada usando uma tabela. Nesse caso, simplesmente definimos o valor de cada membro da sequência.

Por exemplo, Alguém decidiu fazer o gerenciamento pessoal do tempo e, para começar, calcular quanto tempo ele gasta no VKontakte durante a semana. Ao escrever a hora em uma tabela, ele obterá uma sequência composta por sete elementos:

A primeira linha da tabela contém o número do dia da semana, a segunda - o tempo em minutos. Vemos isso, ou seja, na segunda-feira Alguém gastou 125 minutos no VKontakte, ou seja, na quinta-feira - 248 minutos e, ou seja, na sexta-feira, apenas 15.

2 . A sequência pode ser especificada usando a enésima fórmula de membro.

Nesse caso, a dependência do valor de um elemento de sequência em seu número é expressa diretamente como uma fórmula.

Por exemplo, se , então

Para encontrar o valor de um elemento de sequência com um determinado número, substituímos o número do elemento na fórmula do enésimo membro.

Fazemos o mesmo se precisarmos encontrar o valor de uma função se o valor do argumento for conhecido. Substituímos o valor do argumento na equação da função:

Se, por exemplo, , então

Mais uma vez, observo que em uma sequência, ao contrário de uma função numérica arbitrária, apenas um número natural pode ser um argumento.

3 . A sequência pode ser especificada usando uma fórmula que expressa a dependência do valor do membro da sequência com o número n do valor dos membros anteriores. Nesse caso, não basta saber apenas o número de um membro da sequência para encontrar seu valor. Precisamos especificar o primeiro membro ou os primeiros membros da sequência.

Por exemplo, considere a sequência ,

Podemos encontrar os valores dos membros de uma sequência em sequência, a partir do terceiro:

Ou seja, cada vez que encontrarmos o valor do enésimo membro da sequência, voltamos aos dois anteriores. Essa forma de sequenciamento é chamada recorrente, da palavra latina recorrente- volte.

Agora podemos definir uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é um caso especial simples de uma sequência numérica.

Progressão aritmética é chamada de sequência numérica, cada membro do qual, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com o mesmo número.

O número é chamado a diferença de uma progressão aritmética. A diferença de uma progressão aritmética pode ser positiva, negativa ou zero.

If title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} aumentando.

Por exemplo, 2; 5; oito; onze;...

Se , então cada termo da progressão aritmética é menor que o anterior, e a progressão é minguante.

Por exemplo, 2; -1; -quatro; -7;...

Se , então todos os membros da progressão são iguais ao mesmo número, e a progressão é estacionário.

Por exemplo, 2;2;2;2;...

A principal propriedade de uma progressão aritmética:

Vamos olhar para a imagem.

Nós vemos que

, e ao mesmo tempo

Somando essas duas igualdades, obtemos:

.

Divida os dois lados da equação por 2:

Assim, cada membro da progressão aritmética, a partir do segundo, é igual à média aritmética de dois vizinhos:

Além disso, desde

, e ao mesmo tempo

, então

, e, portanto

Cada membro da progressão aritmética começando com title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ª fórmula do membro.

Vemos que para os membros da progressão aritmética, as seguintes relações são válidas:

e finalmente

Obtemos fórmula do enésimo termo.

IMPORTANTE! Qualquer membro de uma progressão aritmética pode ser expresso em termos de e . Conhecendo o primeiro termo e a diferença de uma progressão aritmética, você pode encontrar qualquer um de seus membros.

A soma de n membros de uma progressão aritmética.

Em uma progressão aritmética arbitrária, as somas dos termos igualmente espaçados dos extremos são iguais entre si:

Considere uma progressão aritmética com n membros. Deixe a soma de n membros desta progressão ser igual a .

Organize os termos da progressão primeiro em ordem crescente de números e depois em ordem decrescente:

Vamos emparelhar:

A soma em cada parêntese é , o número de pares é n.

Nós temos:

Então, a soma de n membros de uma progressão aritmética pode ser encontrada usando as fórmulas:

Considerar Resolvendo problemas de progressão aritmética.

1 . A sequência é dada pela fórmula do enésimo membro: . Prove que esta sequência é uma progressão aritmética.

Vamos provar que a diferença entre dois membros adjacentes da sequência é igual ao mesmo número.

Obtivemos que a diferença de dois membros adjacentes da sequência não depende de seu número e é uma constante. Portanto, por definição, essa sequência é uma progressão aritmética.

2 . Dada uma progressão aritmética -31; -27;...

a) Encontre os 31 termos da progressão.

b) Determine se o número 41 está incluído nesta progressão.

a) Nós vemos que ;

Vamos escrever a fórmula para o enésimo termo da nossa progressão.

No geral

No nosso caso , é por isso

Nós temos:

b) Suponha que o número 41 seja um membro da sequência. Vamos encontrar o número dele. Para isso, resolvemos a equação:

Temos um valor natural de n, portanto, sim, o número 41 é um membro da progressão. Se o valor encontrado de n não fosse um número natural, então responderíamos que o número 41 NÃO é um membro da progressão.

3 . a) Entre os números 2 e 8, insira 4 números para que eles, juntamente com os números dados, formem uma progressão aritmética.

b) Encontre a soma dos termos da progressão resultante.

a) Vamos inserir quatro números entre os números 2 e 8:

Temos uma progressão aritmética, na qual existem 6 termos.

Vamos encontrar a diferença dessa progressão. Para fazer isso, usamos a fórmula para o enésimo termo:

Agora ficou fácil encontrar os valores dos números:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Resposta: a) sim; b) 30

4. O caminhão transporta um lote de brita pesando 240 toneladas, aumentando diariamente a taxa de transporte no mesmo número de toneladas. Sabe-se que no primeiro dia foram transportadas 2 toneladas de entulho. Determine quantas toneladas de brita foram transportadas no décimo segundo dia se todo o trabalho foi concluído em 15 dias.

De acordo com a condição do problema, a quantidade de brita que o caminhão transporta aumenta a cada dia na mesma proporção. Portanto, estamos lidando com uma progressão aritmética.

Formulamos este problema em termos de uma progressão aritmética.

Durante o primeiro dia foram transportadas 2 toneladas de brita: a_1=2.

Todo o trabalho foi concluído em 15 dias: .

O caminhão transporta um lote de brita pesando 240 toneladas:

Precisamos encontrar.

Primeiro, vamos encontrar a diferença de progressão. Vamos usar a fórmula para a soma de n membros da progressão.

No nosso caso:

Sequência numérica.
Como ?

Nesta lição, aprenderemos muitas coisas interessantes da vida dos membros de uma grande comunidade chamada Vkontakte sequências numéricas. O tópico em consideração não se refere apenas ao curso de análise matemática, mas também aborda os fundamentos matemática discreta. Além disso, o material será necessário para o desenvolvimento de outras seções da torre, em especial, durante o estudo série numérica e linhas funcionais. Você pode dizer trivialmente que isso é importante, pode dizer com segurança que é simples, pode dizer muito mais frases de plantão, mas hoje é a primeira semana letiva incomumente preguiçosa, então é terrivelmente quebrado para mim escrever o primeiro parágrafo =) Já salvei o arquivo no meu coração e me preparei para dormir, de repente… a ideia de uma confissão franca iluminou a cabeça, o que aliviou incrivelmente a alma e empurrou para mais batidas dos dedos no teclado.

Vamos fugir das memórias de verão e olhar para este mundo fascinante e positivo de uma nova rede social:

O conceito de uma sequência numérica

Primeiro, vamos pensar na palavra em si: o que é uma sequência? Consistência é quando algo está localizado atrás de algo. Por exemplo, a sequência de ações, a sequência das estações. Ou quando alguém está localizado atrás de alguém. Por exemplo, uma sequência de pessoas em uma fila, uma sequência de elefantes em um caminho para um bebedouro.

Vamos esclarecer imediatamente os traços característicos da sequência. Primeiramente, membros da sequência estão localizados estritamente em uma certa ordem. Então, se duas pessoas na fila forem trocadas, isso já será outro subsequência. Em segundo lugar, a cada membro da sequência você pode atribuir um número de série:

É o mesmo com os números. Deixar para cada valor natural de acordo com alguma regra mapeado para um número real. Então dizemos que uma sequência numérica é dada.

Sim, em problemas matemáticos, em contraste com situações da vida, a sequência quase sempre contém infinitamente muitos números.

Em que:
chamado primeiro membro sequências;
– segundo membro sequências;
– terceiro membro sequências;
…
– enésimo ou membro comum sequências;
…

Na prática, a sequência geralmente é dada fórmula de termo comum, por exemplo:
é uma sequência de números pares positivos:

Assim, o registro determina exclusivamente todos os membros da sequência - esta é a regra (fórmula) segundo a qual os valores naturais os números são combinados. Portanto, a sequência é frequentemente denotada brevemente por um membro comum, e outras letras latinas podem ser usadas em vez de "x", por exemplo:

Sequência de números ímpares positivos:

Outra sequência comum:

Como, provavelmente, muitos já notaram, a variável "en" desempenha o papel de uma espécie de contador.

Na verdade, lidamos com sequências numéricas no ensino médio. Vamos lembrar progressão aritmética. Não vou reescrever a definição, vamos tocar na própria essência com um exemplo específico. Seja o primeiro termo e degrau progressão aritmética. Então:
é o segundo termo desta progressão;
é o terceiro membro desta progressão;
- quarto;
- quinta;
…
E, obviamente, o enésimo membro é perguntado recorrente Fórmula

Observação : em uma fórmula recursiva, cada próximo termo é expresso em termos do termo anterior ou mesmo em termos de todo um conjunto de termos anteriores.

A fórmula resultante é de pouca utilidade na prática - para chegar, digamos, a , você precisa passar por todos os termos anteriores. E em matemática, uma expressão mais conveniente para o enésimo termo de uma progressão aritmética é derivada: . No nosso caso:

Substitua os números naturais na fórmula e verifique a exatidão da sequência numérica construída acima.

Cálculos semelhantes podem ser feitos para progressão geométrica, cujo enésimo termo é dado pela fórmula , onde é o primeiro termo , e é denominador progressões. Em atribuições de matan, o primeiro termo geralmente é igual a um.

progressão define a sequência ;
progressão define a sequência;
progressão define a sequência ;
progressão define a sequência .

Espero que todos saibam que -1 para uma potência ímpar é -1, e para uma potência par é um.

A progressão é chamada diminuindo infinitamente, se (os dois últimos casos).

Vamos adicionar dois novos amigos à nossa lista, um dos quais acaba de bater na matriz do monitor:

A sequência no jargão matemático é chamada de "piscante":

Nesse caminho, membros da sequência podem ser repetidos. Assim, no exemplo considerado, a sequência consiste em dois números infinitamente alternados.

Acontece que a sequência consiste nos mesmos números? É claro. Por exemplo, ele define um número infinito de "triplos". Para os estetas, há um caso em que “en” ainda aparece formalmente na fórmula:

Vamos convidar uma namorada simples para dançar:

O que acontece quando "en" aumenta ao infinito? Obviamente, os termos da sequência infinitamente perto aproximar de zero. Este é o limite desta sequência, que é escrita da seguinte forma:

Se o limite de uma sequência é zero, então ela é chamada infinitesimal.

Na teoria da análise matemática, é dado definição estrita do limite de sequência pelo chamado bairro epsilon. O próximo artigo será dedicado a essa definição, mas por enquanto vamos analisar seu significado:

Vamos descrever os termos da sequência e a vizinhança simétrica em relação a zero (limite) na reta real:


Agora segure o bairro azul com as bordas das palmas das mãos e comece a reduzi-lo, puxando-o até o limite (ponto vermelho). Um número é o limite de uma sequência se PARA QUALQUER bairro pré-selecionado (arbitrariamente pequeno) dentro será infinitamente muitos membros da sequência e FORA dela - apenas final número de membros (ou nenhum). Ou seja, a vizinhança epsilon pode ser microscópica, e menos ainda, mas a “cauda infinita” da sequência deve, mais cedo ou mais tarde, totalmente entrar nesta área.

A sequência também é infinitamente pequena: com a diferença de que seus membros não saltam para frente e para trás, mas se aproximam do limite exclusivamente pela direita.

Naturalmente, o limite pode ser igual a qualquer outro número finito, um exemplo elementar:

Aqui a fração tende a zero e, portanto, o limite é igual a "dois".

Se a sequência existe um limite finito, então é chamado convergente(em particular, infinitesimal no ). Por outro lado - divergente, enquanto duas opções são possíveis: ou o limite não existe ou é infinito. Neste último caso, a sequência é chamada infinitamente grande. Vamos galopando pelos exemplos do primeiro parágrafo:

Sequências são infinitamente grande, à medida que seus membros se movem constantemente em direção ao "mais infinito":

Uma progressão aritmética com o primeiro termo e um passo também é infinitamente grande:

Aliás, qualquer progressão aritmética também diverge, exceto no caso com passo zero - quando adicionado infinitamente a um número específico. O limite de tal sequência existe e coincide com o primeiro termo.

As sequências têm um destino semelhante:

Qualquer progressão geométrica infinitamente decrescente, como o nome indica, infinitamente pequeno:

Se o denominador é uma progressão geométrica, então a sequência é infinitamente grandeA:

Se, por exemplo, , então não há limite algum, pois os membros pulam incansavelmente para “mais infinito”, depois para “menos infinito”. E o senso comum e os teoremas de matan sugerem que se algo se esforça em algum lugar, então esse lugar querido é único.

Depois de uma pequena revelação fica claro que o pisca-pisca é o culpado pelo arremesso desenfreado, que, aliás, diverge por conta própria.
De fato, para uma sequência é fácil escolher uma -vizinhança, que, digamos, prende apenas o número -1. Como resultado, um número infinito de membros da sequência (“mais uns”) permanecerá fora da vizinhança dada. Mas, por definição, a "cauda infinita" da sequência a partir de um certo momento (número natural) deve totalmente entre em QUALQUER vizinhança de seu limite. Conclusão: não há limite.

Fatorial é infinitamente grande seqüência:

Além disso, cresce aos trancos e barrancos, por isso é um número que tem mais de 100 dígitos (dígitos)! Por que exatamente 70? Ele pede misericórdia minha calculadora de engenharia.

Com um tiro de controle, tudo fica um pouco mais complicado, e acabamos de chegar à parte prática da palestra, na qual analisaremos exemplos de combate:

Mas agora é necessário poder resolver os limites das funções, pelo menos no nível de duas lições básicas: Limites. Exemplos de soluções e Limites notáveis. Porque muitos métodos de solução serão semelhantes. Mas, antes de tudo, vamos analisar as diferenças fundamentais entre o limite de uma sequência e o limite de uma função:

No limite da sequência, a variável "dinâmica" "en" pode tender a apenas para "mais infinito"– na direção de números naturais crescentes .
No limite da função, "x" pode ser direcionado para qualquer lugar - para "mais/menos infinito" ou para um número real arbitrário.

Subsequência discreto(descontínua), ou seja, consiste em membros isolados separados. Um, dois, três, quatro, cinco, o coelho saiu para passear. O argumento da função é caracterizado pela continuidade, ou seja, “x” suavemente, sem incidentes, tende a um ou outro valor. E, consequentemente, os valores da função também se aproximarão continuamente de seu limite.

Por causa de discrição dentro das sequências há coisas de marca própria, como fatoriais, pisca-piscas, progressões, etc. E agora vou tentar analisar os limites que são característicos das sequências.

Vamos começar com as progressões:

Exemplo 1

Encontrar o limite de uma sequência

Solução: algo semelhante a uma progressão geométrica infinitamente decrescente, mas é realmente? Para maior clareza, escrevemos os primeiros termos:

Já que estamos falando de soma membros de uma progressão geométrica infinitamente decrescente, que é calculada pela fórmula .

Tomando uma decisão:

Usamos a fórmula para a soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente: . NO este caso: - o primeiro termo, - o denominador da progressão.

Exemplo 2

Escreva os quatro primeiros termos da sequência e encontre seu limite

Este é um exemplo de faça você mesmo. Para eliminar a incerteza no numerador, você precisará aplicar a fórmula para a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética:
, onde é o primeiro e é o enésimo termo da progressão.

Como 'en' sempre tende a 'mais infinito' dentro de sequências, não é surpreendente que a indeterminação seja uma das mais populares.
E muitos exemplos são resolvidos exatamente da mesma maneira que os limites das funções!

Ou talvez algo mais complicado como ? Confira o Exemplo nº 3 do artigo Métodos de resolução de limites.

Do ponto de vista formal, a diferença será apenas em uma letra - há “x” e aqui “en”.
A recepção é a mesma - o numerador e o denominador devem ser divididos por "en" no grau mais alto.

Além disso, dentro de sequências, a incerteza é bastante comum. Como resolver limites como pode ser encontrado nos Exemplos N° 11-13 do mesmo artigo.

Para lidar com o limite, consulte o Exemplo #7 da lição Limites notáveis(o segundo limite notável também é válido para o caso discreto). A solução será novamente como uma cópia carbono com uma diferença em uma única letra.

Os quatro exemplos a seguir (nºs 3-6) também são “duas faces”, mas na prática, por alguma razão, são mais típicos para os limites de sequências do que para os limites de funções:

Exemplo 3

Encontrar o limite de uma sequência

Solução: primeiro solução completa, depois comentários passo a passo:

(1) No numerador usamos a fórmula duas vezes.

(2) Damos termos semelhantes no numerador.

(3) Para eliminar a incerteza, dividimos o numerador e o denominador por ("en" no grau mais alto).

Como você pode ver, nada complicado.

Exemplo 4

Encontrar o limite de uma sequência

Este é um exemplo para uma solução faça você mesmo, fórmulas de multiplicação abreviadas ajudar.

Dentro de s demonstrativo sequências usam um método semelhante de dividir o numerador e denominador:

Exemplo 5

Encontrar o limite de uma sequência

Solução vamos fazer da mesma forma:

A propósito, um teorema semelhante também é verdadeiro para funções: o produto de uma função limitada por uma função infinitesimal é uma função infinitesimal.

Exemplo 9

Encontrar o limite de uma sequência

Eva Hovhannisyan

Sequências numéricas. Abstrato.

Download:

Visualização:

Instituição de ensino orçamentária municipal
"Escola secundária nº 31"
a cidade de Barnaul

Sequências numéricas

abstrato

Trabalho concluído:
Oganesyan Eva,
Aluno da 8ª série MBOU "Escola Secundária No. 31"
Supervisor:
Poleva Irina Alexandrovna,
professor de matemática MBOU "Escola Secundária No. 31"

Barnaul - 2014

Introdução…………………………………………………………………………2

Sequências numéricas.……………………………………………….3

Maneiras de definir sequências numéricas……………………………4

Desenvolvimento da doutrina das progressões………………………………………………..5

Propriedades de sequências numéricas……………………………………7

Progressão aritmética……………………………..................................... .............. 9

Progressão geométrica……………………………………………….10

Conclusão ……………………………………………………………… 11

Referências…………………………………………………………11

Introdução

Objetivo deste resumo– estudo dos conceitos básicos relacionados com as sequências numéricas, sua aplicação na prática.
Tarefas:

1. Estudar os aspectos históricos do desenvolvimento da doutrina das progressões;
2. Considerar formas de configuração e propriedades de sequências numéricas;
3. Aprenda sobre progressões aritméticas e geométricas.

Atualmente, as sequências numéricas são consideradas como casos especiais de uma função. A sequência numérica é uma função do argumento natural. O conceito de sequência numérica surgiu e se desenvolveu muito antes da criação da teoria da função. Aqui estão exemplos de sequências numéricas infinitas conhecidas na antiguidade:

1, 2, 3, 4, 5, … - sequência de números naturais.

2, 4, 6, 8, 10,… - uma sequência de números pares.

1, 3, 5, 7, 9,… - uma sequência de números ímpares.

1, 4, 9, 16, 25,… - sequência de quadrados de números naturais.

2, 3, 5, 7, 11… - uma sequência de números primos.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - sequência de recíprocos de números naturais.

O número de membros de cada uma dessas séries é infinito; as primeiras cinco sequências são monotonicamente crescentes, a última é monotonicamente decrescente. Todas as sequências listadas, exceto a 5ª, são dadas devido ao fato de que para cada uma delas é conhecido o termo comum, ou seja, a regra para a obtenção de um termo com qualquer número. Para uma sequência de números primos, um termo comum é desconhecido, mas já no século III. BC e. o cientista alexandrino Eratóstenes indicou um método (embora muito complicado) para obter seu n-ésimo membro. Este método foi chamado de "peneira de Eratóstenes".

Progressões - tipos particulares de sequências numéricas - são encontradas nos monumentos do II milênio aC. e.

Sequências numéricas

Existem várias definições da sequência numérica.

Sequência numérica – é uma sequência de elementos de um espaço numérico (Wikipedia).

Sequência numérica – este é um conjunto de números numerados.

Uma função da forma y = f (x), xé chamada de função de argumento natural ousequência numéricae denotam y = f(n) ou

, , , …, A notação ().

Vamos escrever números pares positivos em ordem crescente. O primeiro desses números é 2, o segundo é 4, o terceiro é 6, o quarto é 8 e assim por diante, então obtemos a sequência: 2; quatro; 6; oito; dez….

Obviamente, o quinto lugar nesta sequência será o número 10, o décimo - 20, o centésimo - 200. Em geral, para qualquer número natural n, você pode especificar o número par positivo correspondente; é igual a 2n.

Vejamos outra sequência. Vamos escrever em ordem decrescente frações próprias com um numerador igual a 1:

; ; ; ; ; … .

Para qualquer número natural n, podemos especificar a fração correspondente; é igual a. Então, em sexto lugar deve estar uma fração, no trigésimo - , no milésimo - uma fração .

Os números que formam uma sequência são chamados de primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc., respectivamente. membros da sequência. Os membros de uma sequência geralmente são indicados por letras com subscritos indicando o número ordinal do membro. Por exemplo:, , etc. em geral, o termo da sequência com o número n, ou, como dizem, o enésimo membro da sequência, é denotado. A sequência em si é denotada por (). Uma sequência pode conter um número infinito de membros e um número finito. Neste caso, é chamado de final. Por exemplo: uma sequência de números de dois dígitos.10; onze; 12; 13; …; 98; 99

Métodos para especificar sequências numéricas

As sequências podem ser especificadas de várias maneiras.

Normalmente a sequência é mais apropriada para definirfórmula do seu enésimo termo comum, que permite encontrar qualquer membro da sequência, conhecendo seu número. Neste caso, diz-se que a sequência é dada analiticamente. Por exemplo: uma sequência de termos pares positivos=2n.

Uma tarefa: encontre a fórmula para o termo comum da sequência (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Solução. Escrevemos cada termo da sequência da seguinte forma:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

Como você pode ver, os termos da sequência são o produto de uma potência de dois multiplicada por números ímpares consecutivos, e dois é elevado a uma potência que é igual ao número do elemento em questão. Assim, concluímos que

Resposta: fórmula de termo comum:

Outra maneira de especificar uma sequência é especificar uma sequência usandorelação recorrente. Uma fórmula que expressa qualquer membro de uma sequência, começando com alguns até os anteriores (um ou mais), é chamada recorrente (da palavra latina recuro - retornar).

Nesse caso, um ou vários primeiros elementos da sequência são especificados e os demais são determinados de acordo com alguma regra.

Um exemplo de uma sequência dada recursivamente é a sequência de números de Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , em que cada número subsequente, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. uns: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 e assim por diante. Esta sequência pode ser dada recursivamente:

N N, = 1.

Uma tarefa: subsequênciadado pela relação de recorrência+ , n N, = 4. Escreva os primeiros termos desta sequência.

Solução. Vamos encontrar o terceiro termo da sequência dada:

+ =

etc.

Quando as sequências são especificadas de forma recorrente, os cálculos são muito complicados, pois para encontrar elementos com números grandes, é necessário encontrar todos os membros anteriores da sequência especificada, por exemplo, para encontrarprecisamos encontrar todos os 499 membros anteriores.

Maneira descritivaA atribuição de uma sequência numérica consiste em explicar de quais elementos a sequência é construída.

Exemplo 1 . "Todos os membros da sequência são 1." Isso significa que estamos falando de uma sequência estacionária 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplo 2. "A sequência consiste em todos os números primos em ordem crescente." Assim, a sequência 2, 3, 5, 7, 11, … é dada. Com essa maneira de especificar a sequência neste exemplo, é difícil responder a que, digamos, o milésimo elemento da sequência é igual.

Além disso, uma sequência numérica pode ser dada por um simpleslistando seus membros.

Desenvolvimento da doutrina das progressões

A palavra progressão é de origem latina (progressio), significa literalmente “avançar” (como a palavra “progresso”) e é encontrada pela primeira vez pelo autor romano Boécio (séculos V-VI). , por exemplo, uma sequência de números naturais, seus quadrados e cubos. No final da Idade Média e no início dos tempos modernos, esse termo deixa de ser comumente usado. No século 17, por exemplo, J. Gregory usou o termo "séries" em vez de progressão, e outro matemático inglês proeminente, J. Wallis, usou o termo "progressões infinitas" para séries infinitas.

Atualmente, consideramos as progressões como casos especiais de sequências numéricas.

Informações teóricas relacionadas às progressões são encontradas pela primeira vez nos documentos da Grécia antiga que chegaram até nós.

No Psammite, Arquimedes pela primeira vez compara progressões aritméticas e geométricas:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

As progressões eram consideradas como uma continuação das proporções, razão pela qual os epítetos aritméticos e geométricos foram transferidos de proporções para progressões.

Essa visão das progressões foi preservada por muitos matemáticos dos séculos XVII e até XVIII. É assim que se deve explicar o fato de que o símbolo encontrado em Barrow, e depois em outros cientistas ingleses da época para denotar uma proporção geométrica contínua, passou a denotar uma progressão geométrica nos livros didáticos ingleses e franceses do século XVIII. Por analogia, passaram a designar uma progressão aritmética.

Uma das provas de Arquimedes, exposta em sua obra "A Quadratura da Parábola", resume-se essencialmente à soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Para resolver alguns problemas de geometria e mecânica, Arquimedes derivou a fórmula para a soma dos quadrados dos números naturais, embora tenha sido usada antes dele.

1/6n(n+1)(2n+1)

Algumas fórmulas relacionadas a progressões eram conhecidas por cientistas chineses e indianos. Assim, Aryabhatta (século V) conhecia as fórmulas para o termo comum, a soma de uma progressão aritmética, etc., Magavira (século IX) usou a fórmula: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) e outras séries mais complexas. No entanto, a regra para encontrar a soma dos termos de uma progressão aritmética arbitrária é encontrada pela primeira vez no Livro do Ábaco (1202) de Leonardo de Pisa. Em The Science of Numbers (1484), N. Shuke, como Arquimedes, compara a progressão aritmética com a geométrica e dá uma regra geral para somar qualquer progressão geométrica decrescente infinitamente pequena. A fórmula para somar uma progressão infinitamente decrescente era conhecida por P. Fermat e outros matemáticos do século XVII.

Problemas para progressões aritméticas (e geométricas) também são encontrados no antigo tratado chinês "Matemática em Nove Livros", que, no entanto, não contém nenhuma instrução sobre o uso de qualquer fórmula de soma.

Os primeiros problemas de progressão que nos chegaram estão relacionados com as exigências da vida económica e da prática social, como a distribuição dos produtos, a divisão da herança, etc.

De uma tabuinha cuneiforme, podemos concluir que, observando a lua de lua nova a lua cheia, os babilônios chegaram a esta conclusão: nos primeiros cinco dias após a lua nova, o aumento da iluminação do disco lunar ocorre de acordo com a lei de progressão geométrica com denominador de 2. Em outra tabuinha posterior, estamos falando sobre progressão geométrica de soma:

1+2+ +…+ . solução e resposta S=512+(512-1), os dados da placa sugerem que o autor utilizou a fórmula.

Sn= +( -1), mas ninguém sabe como ele o alcançou.

A soma de progressões geométricas e a compilação de problemas correspondentes que nem sempre atendem às necessidades práticas foram praticadas por muitos amantes da matemática ao longo da Idade Antiga e Média.

Propriedades da sequência numérica

Uma sequência numérica é um caso especial de uma função numérica e, portanto, algumas propriedades das funções (limitação, monotonicidade) também são consideradas para sequências.

Sequências limitadas

Subsequência () é chamado limitado de cima, que para qualquer número n, M.

Subsequência () é chamado delimitado por baixo, se existe tal número m, que para qualquer número n, m.

Subsequência () é chamado de limitado , se é limitado por cima e limitado por baixo, isto é, existe tal número M0 , que para qualquer número n , M.

Subsequência () é chamado ilimitado , se existe tal número M0 que existe um número n tal que, M.

Uma tarefa: explore a sequência = à limitação.

Solução. A sequência dada é limitada, pois para qualquer número natural n valem as seguintes desigualdades:

0 1,

Ou seja, a sequência é limitada de baixo por zero e, ao mesmo tempo, é limitada de cima por unidade e, portanto, também é limitada.

Resposta: a sequência é limitada - de baixo por zero e de cima por um.

Sequências crescentes e decrescentes

Subsequência () é chamado de crescente , se cada termo for maior que o anterior:

Por exemplo, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... é uma sequência crescente.

Subsequência () é chamado decrescente , se cada termo for menor que o anterior:

Por exemplo, 1; é uma sequência descendente.

Sequências crescentes e decrescentes são combinadas por um termo comum -sequências monotônicas. Vamos a mais alguns exemplos.

1; - esta sequência não é crescente nem decrescente (sequência não monotônica).

2n. Estamos falando da sequência 2, 4, 8, 16, 32, ... - uma sequência crescente.

Em geral, se a > 1, então a sequência= aumenta;

se 0 = diminuindo.

Progressão aritmética

Uma sequência numérica, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual à soma do membro anterior e o mesmo número d, é chamadaprogressão aritmética, e o número d é a diferença de uma progressão aritmética.

Assim, uma progressão aritmética é uma sequência numérica

X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; aed são dados números).

Exemplo 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... é uma progressão aritmética crescente, na qual= 1, d = 2.

Exemplo 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - uma progressão aritmética decrescente, na qual= 20, d = –3.

Exemplo 3. Considere uma sequência de números naturais que, quando dividida por quatro, tem resto 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21…

Cada termo, a partir do segundo, obtém-se somando ao termo anterior o número 4. Esta sequência é um exemplo de progressão aritmética.

É fácil encontrar uma expressão explícita (fórmula)através de n. O valor do próximo elemento aumenta em d em relação ao anterior, assim, o valor do elemento n aumentará em (n - 1)d em relação ao primeiro membro da progressão aritmética, ou seja.

= + d (n – 1). Esta é a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética.

Esta é a fórmula da soma n membros de uma progressão aritmética.

A progressão aritmética é nomeada porque nela cada termo, exceto o primeiro, é igual à média aritmética dos dois adjacentes a ele - o anterior e o seguinte, de fato,

Progressão geométrica

Uma sequência numérica cujos membros são todos diferentes de zero e cada membro, a partir do segundo, é obtido do membro anterior multiplicando pelo mesmo número q, é chamadoprogressão geométrica, e o número q é o denominador de uma progressão geométrica. Assim, uma progressão geométrica é uma sequência numérica (dado recursivamente pelas relações

B, = q (n = 2, 3, 4…; b e q são números).

Exemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... - progressão geométrica crescente

2, q = 3.

Exemplo 2. 2, -2, 2, -2, ... é uma progressão geométrica= 2, q = –1.

Uma das propriedades óbvias de uma progressão geométrica é que, se uma sequência é uma progressão geométrica, então a sequência de quadrados, ou seja,; ;…-

é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a, e o denominador é.

A fórmula para o enésimo membro de uma progressão geométrica é:

A fórmula para a soma de n membros de uma progressão geométrica:

propriedade característicaprogressão geométrica: uma sequência numérica é uma progressão geométrica se e somente se o quadrado de cada um de seus termos, exceto o primeiro (e o último no caso de uma sequência finita), for igual ao produto dos termos anteriores e subsequentes,

Conclusão

As sequências numéricas têm sido estudadas por muitos cientistas por muitos séculos.Os primeiros problemas de progressão que nos chegaram estão relacionados com as exigências da vida económica e da prática social, como a distribuição dos produtos, a divisão da herança, etc. Eles são um dos conceitos-chave da matemática. No meu trabalho, tentei refletir os conceitos básicos associados às sequências numéricas, como defini-las, propriedades e considerei alguns deles. Separadamente, foram consideradas as progressões (aritméticas e geométricas) e descritos os conceitos básicos a elas associados.

Bibliografia

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2. Serviços educacionais online Webmath.ru
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Berço. Fraldas. Choro.
Palavra. Etapa. Resfriado. Médico.
Correndo em volta. Brinquedos. Irmão.
Quintal. Balanço. Jardim da infância.
Escola. Deu. Troika. Cinco.
Bola. Etapa. Gesso. Cama.
Lutar. Sangue. Nariz quebrado.
Quintal. Amigos. Partido. Força.
Instituto. Primavera. arbustos.
Verão. Sessão. Caudas.
Cerveja. Vodka. Gim gelado.
Café. Sessão. Diploma.
Romantismo. Ame. Estrela.
Braços. Lábios. Noite sem dormir.
Casamento. Sogra. Sogro. Armadilha.
Argumento. Clube. Amigos. Xícara.
Casa. Trabalho. Casa. Uma família.
Sol. Verão. Neve. Inverno.
Filho. Fraldas. Berço.
Estresse. Amante. Cama.
O negócio. Dinheiro. Plano. Avral.
Televisão. Série de TV.
Casa de campo. Cerejas. Abobrinha.
Cabelo grisalho. Enxaqueca. Óculos.
Neto. Fraldas. Berço.
Estresse. Pressão. Cama.
Coração. Rins. Ossos. Médico.
Discursos. Caixão. Até a próxima. Choro.

sequência de vida

SEQUÊNCIA - (sequência), números ou elementos dispostos de forma organizada. As sequências podem ser finitas (com um número limitado de elementos) ou infinitas, como uma sequência completa de números naturais 1, 2, 3, 4 ….… …

Dicionário enciclopédico científico e técnico

Definição:Sequência numéricaé chamado numérico, dado no conjunto N de números naturais. Para sequências numéricas, geralmente em vez de f(n) Escreva um e denote a sequência assim: um ). Números uma 1 , uma 2 , …, um,… chamado elementos de sequência.

Normalmente, a sequência numérica é determinada pela configuração n-th elemento ou uma fórmula recursiva, segundo a qual cada próximo elemento é determinado através do anterior. Uma maneira descritiva de especificar uma sequência numérica também é possível. Por exemplo:

• Todos os membros da sequência são "1". Isso significa que estamos falando de uma sequência estacionária 1, 1, 1, …, 1, ….

• A sequência consiste em todos os números primos em ordem crescente. Assim, a sequência 2, 3, 5, 7, 11, … é dada. Com essa maneira de especificar a sequência neste exemplo, é difícil responder a que, digamos, o milésimo elemento da sequência é igual.

Com o método recorrente, é indicada uma fórmula que permite expressar nº membro da sequência através dos anteriores e especifique 1–2 membros iniciais da sequência.

• y 1 = 3; sn =y n-1 + 4 , E se n = 2, 3, 4,…

Aqui y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; s n =y n-2 + y n-1 , E se n = 3, 4,…

Aqui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sequência expressa por fórmula recursiva sn =y n-1 + 4 também pode ser dado analiticamente: s n= y 1 +4*(n-1)

Verifique: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Aqui não precisamos conhecer o membro anterior da sequência numérica para calcular o n-ésimo elemento, apenas precisamos especificar seu número e o valor do primeiro elemento.

Como podemos ver, esta forma de especificar uma sequência numérica é muito semelhante à forma analítica de especificar funções. De fato, uma sequência numérica é um tipo especial de função numérica, portanto, várias propriedades de funções também podem ser consideradas para sequências.

As sequências numéricas são um tópico muito interessante e informativo. Esse tópico é encontrado em tarefas de maior complexidade, que são oferecidas aos alunos pelos autores de materiais didáticos, nas tarefas de olimpíadas de matemática, exames de admissão em instituições de ensino superior e assim por diante. E se você quiser saber mais sobre os diferentes tipos de sequências numéricas, clique aqui. Bem, se tudo for claro e simples para você, mas tente responder.