Para resolver efetivamente vários problemas de processamento de AND, é necessária sua formulação matemática, que inclui principalmente uma descrição matemática, ou seja, um modelo de AND como objeto de estudo. Até o momento, vários desses modelos foram desenvolvidos, alguns dos quais são discutidos neste capítulo.

1.1. Campos aleatórios

Os mais comuns atualmente são os complexos de informação, que incluem sistemas de sensores espaciais e computadores digitais. Portanto, consideraremos principalmente MI com variáveis ​​espaciais e temporais discretas. Sem perda de generalidade, assumiremos que os MPs são dados em grades retangulares multidimensionais com um passo unitário. Na fig. 1.1a e 1.1b mostram grades bidimensionais e tridimensionais. No caso geral, AND é dado nos nós de uma grade n-dimensional.

Dependendo da natureza física, os valores de AND podem ser escalares (por exemplo, o brilho de uma imagem monocromática), vetoriais (campo de velocidade, imagens coloridas, campo de deslocamento) e valores mais complexos (por exemplo, matriz). Se denotado pelo valor AND no nó (pixel), então AND é a totalidade desses valores na grade: .

Se os dados forem uma sequência temporal de ANDs, às vezes é conveniente considerar essa sequência como um AND, aumentando a dimensão da grade em um. Por exemplo, uma sequência de ANDs planos (Fig. 1.1, a) pode ser considerada como um AND tridimensional (Fig. 2.1, b).

Se você quiser destacar uma variável temporária especificamente, vamos escrevê-la acima: . Este AND é dado no produto direto das grades e I, onde I é o conjunto de valores do índice de tempo. corte transversal , ou seja conjunto de leituras E para um valor fixo do índice de tempo i, é chamado i-ésimo quadro E. Cada quadro é definido em uma grade. Por exemplo, na fig. 1.1b mostra três quadros bidimensionais.

Assim, o MI pode ser considerado como uma função definida em uma grade multidimensional. O valor dos elementos AND não pode ser previsto com precisão com antecedência (caso contrário, o sistema de observação não seria necessário), portanto, é natural considerar esses valores como variáveis ​​​​aleatórias (CV), usando o aparato da teoria da probabilidade e da estatística matemática. Assim, chegamos ao modelo principal do MI - o sistema de SVs dados em uma grade multidimensional. Tais sistemas são chamados de campos aleatórios discretos (RS) ou funções aleatórias de várias variáveis.

Para descrever o SP, como qualquer outro sistema VS, você pode definir a função de distribuição de probabilidade conjunta (DF) de seus elementos ou a densidade de distribuição de probabilidade conjunta (PDD) . No entanto, I geralmente consiste em um número muito grande de elementos (milhares e milhões), então o DF (ou PDF) com tal número de variáveis ​​torna-se ilimitado e outros métodos menos complicados para descrever o SP são necessários.

INTRODUÇÃO

Os objetos do mundo material são complexos e diversos. A reflexão de todas as suas propriedades nas imagens criadas, estudadas e utilizadas é muito difícil e desnecessária. É importante que a imagem do objeto contenha as características mais importantes para seu uso. O método de modelagem é a substituição do objeto original por um objeto substituto que tenha certa semelhança com o original, a fim de obter novas informações sobre o objeto original. Um modelo é um objeto substituto do objeto original, projetado para obter informações sobre o original.

Modelos matemáticos referem-se a modelos simbólicos e representam uma descrição de objetos na forma de símbolos matemáticos, fórmulas, expressões. Se um modelo matemático suficientemente preciso estiver disponível, é possível, por meio de cálculos matemáticos, prever os resultados do funcionamento de um objeto sob várias condições, escolher entre uma variedade de opções possíveis aquela que dá os melhores resultados.

Este artigo apresenta os tipos de classificação dos métodos de modelagem matemática e descreve alguns métodos:

A programação linear são métodos de modelagem matemática que servem para encontrar a melhor opção para alocar recursos limitados entre trabalhos concorrentes.

Modelagem de simulação. O objetivo da modelagem de simulação é reproduzir o comportamento do sistema em estudo com base nos resultados da análise das relações mais significativas entre seus elementos, ou seja, desenvolver um simulador da área estudada para a realização de diversos experimentos.

Classificação de métodos de modelagem matemática

Devido à variedade de modelos matemáticos aplicados, sua classificação geral é difícil. Na literatura, geralmente são dadas classificações baseadas em várias abordagens e princípios.

Por pertencer a um nível hierárquico os modelos matemáticos são divididos em modelos de nível micro, macro e meta. Modelos matemáticos no nível micro do processo refletem os processos físicos que ocorrem, por exemplo, ao cortar metais. Eles descrevem processos no nível de transição (passagem).

Modelos matemáticos no nível macro do processo descrevem processos tecnológicos.

Os modelos matemáticos no meta-nível do processo descrevem os sistemas tecnológicos (seções, oficinas, a empresa como um todo).

Pela natureza das propriedades do objeto exibido Os modelos podem ser classificados em estruturais e funcionais.

O modelo é estrutural, se pode ser representado por uma estrutura de dados ou estruturas de dados e relacionamentos entre eles.Por sua vez, um modelo estrutural pode ser hierárquico ou em rede.

O modelo é hierárquico (tree-like), - se é representado por alguma estrutura hierárquica (tree); por exemplo, para resolver o problema de encontrar uma rota em uma árvore de busca, você pode construir um modelo de árvore mostrado na Figura 1.

Figura 1 - Modelo da estrutura hierárquica.

O modelo é rede, se puder ser representado por alguma estrutura de rede. Por exemplo, a construção de uma nova casa envolve várias operações que podem ser representadas no modelo de rede mostrado na Figura 2.

Figura 2 - Modelo de estrutura de rede.

O modelo é funcional se puder ser representado como um sistema de relações funcionais. Por exemplo, a lei de Newton e o modelo para a produção de bens são funcionais.

A propósito, as propriedades do objeto são representadas os modelos são divididos em analíticos, numéricos, algorítmicos e de simulação.

Modelos matemáticos analíticos são expressões matemáticas explícitas de parâmetros de saída como funções de entrada e parâmetros internos e possuem soluções únicas para quaisquer condições iniciais. Por exemplo, o processo de corte (torneamento) em termos de forças atuantes é um modelo analítico. Além disso, uma equação quadrática que tenha uma ou mais soluções será um modelo analítico. O modelo será numérico se tiver soluções sob condições iniciais específicas (diferenciais, equações integrais).

O modelo é algorítmico se for descrito por algum algoritmo ou conjunto de algoritmos que determina seu funcionamento e desenvolvimento. A introdução deste tipo de modelo (aliás, parece que qualquer modelo pode ser representado por um algoritmo para o seu estudo) é bastante justificada, uma vez que nem todos os modelos podem ser estudados ou implementados algoritmicamente. Por exemplo, um modelo para calcular a soma de uma série infinita decrescente de números pode ser um algoritmo para calcular uma soma finita de uma série até um certo grau especificado de precisão. Um algoritmo para calcular seu valor aproximado e arbitrariamente preciso usando uma fórmula recorrente bem conhecida pode servir como um modelo algorítmico para a raiz quadrada de um número X.

Um modelo de simulação, se se destina a testar ou estudar possíveis formas de desenvolvimento e comportamento de um objeto variando alguns ou todos os parâmetros do modelo, por exemplo, um modelo de um sistema econômico para a produção de dois tipos de bens . Tal modelo pode ser usado como uma simulação para determinar e variar o custo total dependendo de certos valores do volume de mercadorias produzidas.

Por meio de obter os modelos são divididos em teóricos e empíricos.Os modelos matemáticos teóricos são criados como resultado do estudo de objetos (processos) no nível teórico. Por exemplo, existem expressões para forças de corte obtidas com base na generalização das leis físicas. Mas eles são inaceitáveis ​​​​para uso prático, porque são muito pesados ​​​​e não totalmente adaptados aos processos reais. Modelos matemáticos empíricos são criados como resultado de experimentos (estudando as manifestações externas das propriedades de um objeto medindo seus parâmetros na entrada e na saída) e processando seus resultados usando métodos estatísticos matemáticos.

De acordo com a forma de representação das propriedades do objeto os modelos são divididos em lógicos, teóricos de conjuntos e grafos. O modelo é lógico, se puder ser representado por predicados, funções lógicas, por exemplo, um conjunto de duas funções lógicas pode servir como modelo matemático de um somador de um dígito. Um modelo é teórico de conjuntos se pode ser representado com a ajuda de certos conjuntos e relações de pertença a eles e entre eles. Um modelo gráfico é se ele pode ser representado por um gráfico ou gráficos e as relações entre eles.

De acordo com o grau de estabilidade. Os modelos podem ser divididos em estáveis ​​e instáveis. Um sistema estável é aquele que, sendo removido de seu estado inicial, tende a ele. Ele pode oscilar por algum tempo em torno do ponto de partida, como um pêndulo comum posto em movimento, mas as perturbações nele diminuem e desaparecem com o tempo.

Em relação a fatores externos modelos podem ser divididos em aberto e fechado. Um modelo fechado é um modelo que opera independentemente de variáveis ​​externas (exógenas). Em um modelo fechado, as mudanças nos valores das variáveis ​​ao longo do tempo são determinadas pela interação interna das próprias variáveis. Um modelo fechado pode revelar o comportamento de um sistema sem introduzir uma variável externa. Exemplo: sistemas de informação com realimentação são sistemas fechados. Eles são sistemas autoajustáveis ​​e suas características derivam da estrutura interna e das interações que refletem a entrada de informações externas. Um modelo associado a variáveis ​​externas (exógenas) é chamado de aberto.

Em relação ao fator tempo os modelos são divididos em dinâmicos e estáticos Um modelo é chamado de estático se não houver parâmetro de tempo entre os parâmetros envolvidos em sua descrição. Um modelo é chamado de modelo dinâmico se entre seus parâmetros houver um parâmetro de tempo, ou seja, ele exibe o sistema (processos no sistema) no tempo. simultaneamente.

Programação linear

Dentre os problemas de programação matemática, os mais simples (e mais estudados) são os chamados problemas de programação linear. Característica para eles é que:

a) o indicador de desempenho (função objetivo) W depende linearmente dos elementos da solução x 1, x 2, ....., x p e

b) as restrições impostas aos elementos da solução têm a forma de igualdades ou desigualdades lineares em relação a x 1, x 2, ..., x p

Tais tarefas são bastante comuns na prática, por exemplo, ao resolver problemas relacionados à alocação de recursos, planejamento da produção, organização do transporte etc. Isso é natural, pois em muitos problemas da prática “custos” e “receitas” dependem linearmente de a quantidade de fundos adquiridos ou alienados (por exemplo, o custo total de uma remessa de mercadorias depende linearmente do número de unidades adquiridas; o pagamento pelo transporte é feito proporcionalmente ao peso das mercadorias transportadas, etc.).

Qualquer problema de programação linear pode ser reduzido a uma forma padrão, o chamado “problema básico de programação linear” (BLI), que é formulado da seguinte forma: encontre valores não negativos das variáveis ​​x 1 , x 2 , .. ., x n que satisfaria as condições de igualdade ( um).

O caso em que f deve ser girado não para o máximo, mas para. o mínimo pode ser facilmente reduzido ao anterior se você simplesmente inverter o sinal de f (maximize não f, mas f" = - f). Além disso, você pode ir de quaisquer condições de desigualdade para condições de igualdade ao custo de introduzir novas variáveis ​​adicionais.

Dependendo do tipo de função objetivo e restrições, vários tipos de problemas de programação linear ou modelos lineares podem ser distinguidos: problema linear geral, problema de transporte, problema de atribuição.

O problema de transporte (o problema de Monge-Kantorovich) é um problema matemático de programação linear de um tipo especial sobre como encontrar a distribuição ótima de objetos homogêneos do acumulador para os receptores com a minimização do custo de movimentação. Para facilitar o entendimento, considera-se como um problema de planejamento ótimo para o transporte de mercadorias desde os pontos de partida até os pontos de consumo, com custos mínimos de transporte.

O problema de atribuição é formulado da seguinte forma:

Há um certo número de obras e um certo número de intérpretes. Qualquer empreiteiro pode ser designado para executar qualquer (mas apenas um) trabalho, mas com custos diferentes. É necessário distribuir o trabalho de forma a concluir o trabalho com custo mínimo. Se o número de tarefas e executores for o mesmo, o problema é chamado de problema de atribuição linear.

Existem várias maneiras de resolver um problema de programação linear, em particular o método gráfico e o método simplex. O método gráfico é baseado na interpretação geométrica de um problema de programação linear e é utilizado para resolver problemas no espaço bidimensional. Problemas de espaço tridimensional são resolvidos muito raramente, porque. a construção de sua solução é inconveniente e desprovida de visualização. Considere o método no exemplo de um problema bidimensional.

Encontre uma solução X \u003d (x 1, x 2), satisfazendo o sistema de desigualdades (3)

(3)

6x1 +7x2 ≤42

em que o valor da função objetivo F = 2x 1 x 2 atinge seu máximo.

Vamos construir no plano no sistema cartesiano de coordenadas retangulares x 1 Ox 2 a área de soluções factíveis para o problema.

Cada uma das linhas construídas divide o plano em dois semiplanos. As coordenadas dos pontos de um semiplano satisfazem a desigualdade original, enquanto o outro não. Para determinar o semiplano desejado, você precisa pegar algum ponto pertencente a um dos semiplanos e verificar se suas coordenadas satisfazem essa desigualdade. Se as coordenadas de um dado ponto satisfazem esta desigualdade, então o semiplano desejado é aquele ao qual este ponto pertence. Caso contrário, outro meio-plano.

Vamos encontrar o semiplano definido pela desigualdade x 1 -x 2 ≥-3. Para isso, tendo construído uma reta (I) x 1 -x 2 \u003d-3, tomamos algum ponto que pertence a um dos dois semiplanos obtidos, por exemplo, o ponto O (0,0). As coordenadas deste ponto satisfazem a desigualdade x 1 -x 2 ≥-3. Isto significa que o semiplano ao qual pertence o ponto O(0,0) é determinado pela desigualdade x 1 -x 2 ≥-3.

Agora vamos encontrar o semiplano definido pela desigualdade 6x1+7x 2 ≤42.

Construímos uma linha II 6x 1 +7x 2 =42. As coordenadas do ponto O(0,0) satisfazem a desigualdade 6x 1 +7x 2 ≤42, o que significa que o segundo semiplano será o desejado.

Agora estamos procurando um semiplano para a desigualdade 2 x 1 -3 x 2 ≤6. As coordenadas do ponto O(0,0) satisfazem as desigualdades 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Portanto, o semiplano ao qual pertence o ponto O(0,0) é determinado pela desigualdade 2 x 1 -3 x 2 ≤6 (Linha III).

E um semiplano para a desigualdade x 1 + x 2 ≥4. As coordenadas do ponto O(0,0) satisfazem a desigualdade x 1 + x 2 ≥4 (Linha IV). Portanto, a linha x 1 + x 2 =4 é determinada pelo primeiro semiplano.

As desigualdades x 1 ≥0 e x 2 ≥0 significam que a área da solução estará localizada à direita da ordenada e acima da abcissa. Assim, a área ABCD, sombreada na Figura 3, será a área de soluções viáveis, definida pelas restrições do problema. A função objetivo assume seu valor máximo em um dos vértices da figura ABCD. Para determinar esse vértice, construímos um vetor C (2; -1) e uma linha 2x 1 -x 2 =p, onde p é uma constante tal que a linha 2x 1 -x 2 =p tem pontos comuns com o polígono da solução . Vamos colocar, por exemplo, p=1/2 e construir uma reta 2 x 1 -x 2 =1/2. Além disso, moveremos a linha reta construída na direção do vetor até que ela passe por seu último ponto comum com o polígono da solução. As coordenadas do ponto especificado determinam o plano ideal para esta tarefa.

A Figura 3 mostra que o último ponto comum da reta 2x 1 -x 2 \u003d p com o polígono de soluções é o ponto A. Este ponto é a interseção das retas II e III, portanto suas coordenadas são encontradas como solução do sistema de equações que definem essas retas:

(4)

6x1 +7x2 =42

Nesse caso, o valor da função objetivo F \u003d 2 x 1 -x 2 \u003d 2 * 5,25 - 1 * 1,5 \u003d 9.

O ponto B será a solução ótima para o problema X opt = (x 1 opt, x 2 opt) e suas coordenadas serão x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.

Figura 3 - A área de soluções admissíveis para o problema

Simplex - método

Este método é um método de enumeração proposital de soluções de referência de um problema de programação linear. Ele permite um número finito de etapas para encontrar a solução ótima ou estabelecer que não há solução ótima.

1) Especifique o método para encontrar a solução de referência ótima.

2) Especifique o método de transição de uma solução de referência para outra, na qual o valor da função objetivo estará mais próximo do ótimo, ou seja, indicar uma maneira de melhorar a solução de referência.

3) Defina critérios que permitam interromper oportunamente a enumeração de soluções de referência na solução ótima ou concluir sobre a ausência de uma solução ótima.

Para resolver o problema pelo método simplex, você deve fazer o seguinte:

1) Traga o problema para a forma canônica.

2) Encontrar uma solução de referência inicial com "base unitária" (se não houver solução de referência, então o problema não tem solução devido à incompatibilidade do sistema de restrições).

3) Calcular estimativas de expansões vetoriais em termos da base da solução de referência e preencher a tabela do método simplex.

4) Se o critério de unicidade da solução ótima for satisfeito, a solução do problema termina. Se a condição para a existência de um conjunto de soluções ótimas for satisfeita, então, por simples enumeração, todas as soluções ótimas serão encontradas.

A eficiência computacional dos métodos matemáticos é geralmente estimada usando dois parâmetros:

1) O número de iterações necessárias para obter uma solução;

2) O custo do tempo da máquina.

Como resultado de experimentos numéricos, os seguintes resultados foram obtidos para o método simplex:

1) O número de iterações na resolução de problemas de programação linear na forma padrão com restrições e variáveis ​​está entre e . Número médio de iterações. O limite superior do número de iterações é .

2) O tempo de máquina necessário é proporcional a .

O número de restrições afeta mais a eficiência computacional do que o número de variáveis, portanto, ao formular problemas de programação linear, deve-se procurar reduzir o número de restrições, mesmo que aumentando o número de variáveis.

Conceitos básicos do método de simulação.

O termo “modelagem de simulação” (“modelo de simulação”) geralmente significa o cálculo dos valores de algumas características de um processo que se desenvolve ao longo do tempo, reproduzindo o curso desse processo em um computador usando seu modelo matemático, sendo impossível ou extremamente difícil obter os resultados necessários de outras maneiras. A reprodução do fluxo do processo em um computador usando um modelo matemático é comumente chamada de experimento de simulação.

Os modelos de simulação pertencem à classe dos modelos que são um sistema de relacionamentos entre as características do processo descrito. Essas características são divididas em internas ("endógenas", "variáveis ​​de fase") e externas ("exógenas", "parâmetros"). As características aproximadamente internas são aquelas cujos valores se pretende conhecer por meio de ferramentas de modelagem matemática; externo - aqueles dos quais as características internas dependem significativamente, mas a relação inversa (com precisão praticamente aceitável) não ocorre.

Um modelo capaz de prever os valores de características internas deve ser fechado (“modelo fechado”), no sentido de que suas relações permitem calcular características internas com externas conhecidas. O procedimento para determinar as características externas do modelo é chamado de identificação ou calibração. Os modelos matemáticos da classe descrita (incluem modelos de simulação) definem um mapeamento que permite obter os valores dos internos a partir dos valores conhecidos das características externas. Daqui em diante, esse mapeamento será chamado de mapeamento associado ao modelo.

Os modelos da classe em questão partem do postulado da independência das características externas das internas, e as relações do modelo são uma forma de registrar o mapeamento a ele associado. Conforme mostrado na Figura 4, o pesquisador lida com quatro elementos principais no processo de simulação:

Sistema real;

Modelo lógico-matemático do objeto modelado;

Modelo de simulação (máquina);

O computador no qual a simulação é realizada é um experimento computacional direcionado.

O pesquisador estuda o sistema real, desenvolve um modelo lógico e matemático do sistema real. A natureza de simulação do estudo implica a presença de modelos lógicos ou lógico-matemáticos que descrevam o processo em estudo. Acima, um sistema real foi definido como um conjunto de elementos em interação funcionando no tempo. A natureza composta de um sistema complexo descreve a representação de seu modelo na forma de três conjuntos: A, S, T, onde
A é um conjunto de elementos (incluindo o ambiente externo);
S é o conjunto de conexões admissíveis entre elementos (estrutura do modelo);
T é o conjunto de momentos de tempo considerados.

Figura 4 Processo de simulação

Uma característica da modelagem de simulação é que o modelo de simulação permite reproduzir os objetos simulados:

Com a preservação de sua estrutura lógica;

Com a preservação das propriedades comportamentais (a sequência de alternância no tempo dos eventos que ocorrem no sistema), ou seja, dinâmica de interação.

Na modelagem de simulação, a estrutura do sistema simulado é adequadamente apresentada no modelo, e os processos de seu funcionamento são reproduzidos (simulados) no modelo construído. Portanto, a construção de um modelo de simulação consiste em descrever a estrutura e o funcionamento do objeto ou sistema simulado.

Existem modelos de simulação:

Contínuo;

discreto;

Contínuo-discreto.

Nos modelos de simulação contínua, as variáveis ​​mudam continuamente, o estado do sistema simulado muda em função contínua do tempo e, via de regra, essa mudança é descrita por sistemas de equações diferenciais. Assim, o avanço do tempo do modelo depende de métodos numéricos para resolver equações diferenciais. Em modelos de simulação discreta, as variáveis ​​mudam discretamente em determinados momentos do tempo de simulação (ocorrência de eventos).

A dinâmica dos modelos discretos é um processo de transição do momento do próximo evento para o momento do próximo evento. Como os processos contínuos e discretos em sistemas reais muitas vezes não podem ser separados, foram desenvolvidos modelos contínuos-discretos que combinam os mecanismos de avanço de tempo característicos desses dois processos.

O método de modelagem de simulação permite resolver problemas de alta complexidade, proporciona a imitação de processos complexos e diversos, com um grande número de elementos. Dependências funcionais separadas em tais modelos podem ser descritas por relações matemáticas incômodas. Portanto, a modelagem de simulação é efetivamente utilizada nos problemas de estudo de sistemas com uma estrutura complexa para resolver problemas específicos. O modelo de simulação contém elementos de ação contínua e discreta, portanto é utilizado para estudar sistemas dinâmicos, quando é necessária a análise de gargalos, o estudo da dinâmica de funcionamento, quando é desejável observar o processo no modelo de simulação para um determinado Tempo.

A modelagem de simulação é uma ferramenta eficaz para estudar sistemas estocásticos, quando o sistema em estudo pode ser influenciado por inúmeros fatores aleatórios de natureza complexa. É possível realizar pesquisas em condições de incerteza, com dados incompletos e imprecisos. A modelagem de simulação é um fator importante em sistemas de apoio à decisão, porque permite explorar um grande número de alternativas (soluções), jogar diferentes cenários para qualquer entrada.

A principal vantagem da modelagem de simulação é que o pesquisador, para testar novas estratégias e tomar decisões, ao mesmo tempo em que estuda situações possíveis, pode sempre obter uma resposta para a pergunta “O que acontecerá se?”. O modelo de simulação permite prever quando se trata de um sistema que está sendo projetado ou os processos de desenvolvimento estão sendo estudados (ou seja, nos casos em que um sistema real ainda não existe). No modelo de simulação, vários, inclusive com alto nível de detalhamento dos processos simulados, podem ser fornecidos. Nesse caso, o modelo é criado em etapas, evolutivamente.

BIBLIOGRAFIA

1. Blinov, Yu.F. Métodos de modelagem matemática [Texto]: Livro eletrônico / Yu.F. Blinov, V. V. Ivantsov, P. V. Sérvio. -Taganrog: TTI SFU, 2012. -42 p.

2. Wentzel, E.S. Pesquisa operacional. Tarefas, princípios, metodologia. [Texto]: Guia de estudo / E.S. Wentzel - M. : KNORUS, 2010. - 192 p.

3. Getmanchuk, A. V. Métodos e modelos econômicos e matemáticos [Texto]: Livro didático para bacharéis. / A.V. Getmanchuk - M.: Publishing and Trade Corporation "Dashkov and Co", 2013. -188 p.

4. Zamyatina O.M. Modelagem de Sistemas. [Texto]: Guia de estudo. / O.M. Zamyatina - Tomsk: TPU Publishing House, 2009. - 204 p.

5. Pavlovsky, Yu.N. Modelagem de simulação. [Texto]: livro didático para estudantes universitários / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I.

Determinar as características dominantes da classificação do objeto de localização e desenvolver um modelo matemático para a análise de imagens de expressões faciais.

Tarefas

Pesquisa e análise de métodos de localização facial, determinação de características de classificação dominante, desenvolvimento de um modelo matemático ideal para a tarefa de reconhecer o movimento das expressões faciais.

Tema

Além da determinação do espaço de cores ótimo para a construção de objetos de destaque em uma determinada classe de imagem, o que foi feito na etapa anterior do estudo, a determinação dos traços dominantes da classificação e o desenvolvimento de um modelo matemático de imagens de expressões faciais também desempenham um papel importante.

Para resolver este problema, é necessário, em primeiro lugar, definir os recursos de modificação da tarefa de detecção de face por uma câmera de vídeo para o sistema e, em seguida, realizar a localização do movimento dos lábios.

Quanto à primeira tarefa, dois tipos devem ser distinguidos:
Localização facial;
Rastreamento facial.
Como nos deparamos com a tarefa de desenvolver um algoritmo de reconhecimento facial, é lógico supor que esse sistema será usado por um usuário que não moverá a cabeça muito ativamente. Portanto, para implementar a tecnologia de reconhecimento de movimentos labiais, é necessário tomar como base uma versão simplificada do problema de detecção, onde há uma e apenas uma face na imagem.

E isso significa que a busca facial pode ser realizada relativamente raramente (cerca de 10 quadros / seg. ou até menos). Ao mesmo tempo, os movimentos dos lábios do locutor durante uma conversa são bastante ativos e, portanto, seu contorno deve ser avaliado com maior intensidade.

A tarefa de encontrar um rosto em uma imagem pode ser resolvida pelos meios existentes. Hoje existem vários métodos para detectar e localizar um rosto em uma imagem, que podem ser divididos em 2 categorias:
1. Reconhecimento empírico;
2. Modelar a imagem do rosto. .

A primeira categoria inclui métodos de reconhecimento top-down baseados em características invariantes de imagens de rosto, com base na suposição de que existem alguns sinais da presença de rostos na imagem que são invariantes em relação às condições de filmagem. Esses métodos podem ser divididos em 2 subcategorias:
1.1. Detecção de elementos e feições (features) que são característicos da imagem do rosto (bordas, brilho, cor, forma característica dos traços faciais, etc.), .;
1.2. Análise das feições detectadas, tomada de decisão sobre o número e localização das faces (algoritmo empírico, estatísticas da posição relativa das feições, modelagem dos processos de imagens visuais, uso de templates rígidos e deformáveis, etc.), .

Para o correto funcionamento do algoritmo, é necessário criar um banco de dados de características faciais com testes posteriores. Para uma implementação mais precisa dos métodos empíricos, podem ser utilizados modelos que permitam levar em consideração as possibilidades de transformação da face e, portanto, tenham um conjunto estendido de dados básicos para reconhecimento ou um mecanismo que permita modelar a transformação em elementos básicos . Dificuldades na construção de um banco de dados classificador focado em uma ampla gama de usuários com características individuais, feições faciais, etc., contribuem para uma diminuição na precisão do reconhecimento desse método.

A segunda categoria inclui métodos de estatística matemática e aprendizado de máquina. Os métodos desta categoria são baseados em ferramentas de reconhecimento de imagens, considerando o problema de detecção de faces como um caso especial do problema de reconhecimento. À imagem é atribuído um determinado vetor de características, que é usado para classificar as imagens em duas classes: face/não-face. A maneira mais comum de obter um vetor de características é usar a própria imagem: cada pixel torna-se um componente do vetor, transformando a imagem n×m em um vetor espacial R^(n×m), onde n e m são inteiros positivos . . A desvantagem dessa representação é a dimensão extremamente alta do espaço de recursos. A vantagem deste método é a exclusão de todo o procedimento de construção de um classificador de participação humana, bem como a possibilidade de treinar o próprio sistema para um usuário específico. Portanto, o uso de métodos de modelagem de imagem para construir um modelo matemático de localização facial é ideal para resolver nosso problema.

Já para segmentar o perfil da face e rastrear a posição dos pontos dos lábios em uma sequência de quadros, métodos de modelagem matemática também devem ser usados ​​para resolver esse problema. Existem várias maneiras de determinar o movimento das expressões faciais, as mais famosas delas são o uso de um modelo matemático baseado em modelos de contorno ativo:

Localização da área de expressões faciais com base no modelo matemático de modelos de contorno ativo

Um contorno ativo (serpente) é um modelo deformável cujo modelo é definido na forma de uma curva paramétrica, inicializada manualmente por um conjunto de pontos de controle situados em uma curva aberta ou fechada na imagem de entrada.

Para adaptar o contorno ativo à imagem das expressões faciais, é necessário proceder à adequada binarização do objeto em estudo, ou seja, a sua transformação numa espécie de imagens raster digitais, e posteriormente uma adequada avaliação dos parâmetros do contorno ativo e o cálculo do vetor de características devem ser executados.

O modelo de contorno ativo é definido como:
Conjunto de pontos N;
Áreas internas de energia de interesse (termo de energia elástica interna);
Regiões externas de energia de interesse (termo de energia baseado em borda externa).

Para melhorar a qualidade do reconhecimento, são distinguidas duas classes de cores - pele e lábios. A função de associação de classe de cor tem um valor no intervalo de 0 a 1.

A equação do modelo de contorno ativo (cobra) é representada pela fórmula expressa v(s) como:

Onde E é a energia da cobra (modelo de contorno ativo). Os dois primeiros termos descrevem a energia de regularidade do modelo de contorno ativo (serpente). Em nosso sistema de coordenadas polares, v(s) = , s é de 0 a 1. O terceiro termo é a energia relacionada à força externa obtida da imagem, o quarto é a força de pressão.

A força externa é determinada com base nas características descritas acima. É capaz de deslocar os pontos de controle para algum valor de intensidade. É calculado como:

O multiplicador de gradiente (derivado) é calculado nos pontos serpentinos ao longo da linha radial correspondente. A força aumenta se o gradiente for negativo e diminui caso contrário. O coeficiente antes do gradiente é um fator de ponderação que depende da topologia da imagem. A força de compressão é apenas uma constante, ½ do fator de ponderação mínimo é usado. A melhor forma de cobra é obtida minimizando o funcional de energia após um certo número de iterações.

Vamos considerar as operações básicas de processamento de imagem com mais detalhes. Para simplificar, vamos supor que já selecionamos a área da boca do locutor de alguma forma. Nesse caso, as principais operações de processamento da imagem resultante, que precisamos realizar, são mostradas na Fig. 3.

Conclusão

Para determinar as características dominantes de classificação de imagens no decorrer do trabalho de pesquisa, foram identificadas as características de modificação da tarefa de detecção de faces por uma câmera de vídeo. Dentre todos os métodos de localização facial e detecção da área estudada das expressões faciais, os mais indicados para as tarefas de criação de um sistema de reconhecimento universal para dispositivos móveis são os métodos de modelagem da imagem facial.
O desenvolvimento de um modelo matemático de imagens do movimento das expressões faciais é baseado em um sistema de modelos de contorno ativo da binarização do objeto em estudo. Uma vez que este modelo matemático permite, após a mudança do espaço de cores de RGB para o modelo de cores YCbCr, transformar efetivamente o objeto de interesse, para sua posterior análise com base em modelos de contorno ativo e identificação de limites claros de expressões faciais após iterações apropriadas da imagem.

Lista de fontes usadas

1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Detecção e localização do rosto na imagem. Jornal CGM, 2003
2. Ibidem.
3. E. Hjelmas e B.K. Baixo, Detecção de rosto: uma pesquisa, Journal of Computer vision and image Understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang e T.S. Huang, Detecção de rosto humano em fundo complexo, Reconhecimento de padrões, vol.27, no.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka e I. Pitas, Um novo método para segmentação automática de face, extração e rastreamento de características faciais, Processamento de sinal: Comunicação de imagem, Vol. 12, nº 3, pp. 263-281, junho de 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona, e J. Big.un., busca sacádica com recursos de Gabor aplicados à detecção de olhos e rastreamento de cabeça em tempo real, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. Análise de algoritmos empíricos e matemáticos para reconhecimento facial humano. rede-jornal. Instituto de Engenharia de Energia de Moscou (Universidade Técnica). Nº 1 (18), 2011

Continua

Matemáticomodelagem- o processo de estabelecimento de conformidade com o real sistema S mat do modelo M e o estudo deste modelo, que permite obter as características de um sistema real. Inscrição modelagem de esteira permite estudar objetos, experimentos reais em que são difíceis ou impossíveis.

modelagem analítica- os processos da função dos elementos são escritos na forma de relações matemáticas (álgebras, integrais, difere, lógico, etc.). Esteira. o modelo pode não conter explicitamente as quantidades necessárias. Deve ser convertido em um sistema de razões relativas às quantidades desejadas, permitindo que o resultado desejado seja obtido por métodos puramente analíticos. Com isso queremos dizer a obtenção de fórmulas explícitas da forma

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, ou obtenção de equações de forma conhecida, cuja solução também é conhecida. Em alguns casos é possível qualidade estudo de um modelo no qual apenas algumas propriedades da solução podem ser encontradas explicitamente.

modo numérico usa os métodos de cálculo da matemática e permite que você obtenha apenas soluções aproximadas. A solução do problema é menos completa do que no modo anal-m. A desvantagem fundamental do mod-I numérico zakl-Xia na implementação auto-th do método numérico selecionado. O algoritmo de modelagem reflete o método numérico em maior extensão do que as características do modelo. Portanto, ao alterar o método numérico, é necessário retrabalhar o algoritmo de simulação.

modo de simulação- reprodução em computador (imitação) do processo da função do sistema em estudo de acordo com a sequência lógica e temporal de eventos reais. Para imit-mod-i caracteristicamente reprodução de eventos ocorrendo no sistema (descrito pelo modelo) com seus estrutura lógica e seqüência de tempo. Ele permite que você descubra dados sobre o estado do sistema ou seus elementos individuais em determinados pontos no tempo. A modelagem de simulação é semelhante ao estudo experimental de processos em um objeto real, ou seja, na localização.

12. Obtenção de números aleatórios com uma lei de distribuição arbitrária pelo método das funções inversas. Md arr f-th é a maneira mais geral e universal de obter números que obedecem a uma determinada lei. O método de modelagem padrão é baseado no fato de que a função de distribuição cumulativa
de qualquer variável aleatória contínua é uniformemente distribuída no intervalo (0;1), ou seja, para qualquer variável aleatória x com densidade de distribuição f(x) a variável aleatória é uniformemente distribuída no intervalo (0;1).

Então uma variável aleatória X com uma densidade de distribuição arbitrária f(x) pode ser calculado de acordo com o seguinte algoritmo: 1. É necessário gerar uma variável aleatória r (o valor da variável aleatória R) distribuída uniformemente no intervalo (0;1). 2. Iguale o número aleatório gerado à função de distribuição conhecida F( x ) e obter a equação
. 3. Resolvendo a equação X=F -1 (r), encontramos o valor desejado X

solução gráfica

.

Além da questão 11.

Vamos considerar um exemplo que caracteriza a diferença entre os tipos de modelagem considerados.

Existe um sistema composto por três blocos.

O sistema funciona normalmente se pelo menos um dos blocos 1 e 2 estiver em boas condições, bem como o bloco 3 estiver em boas condições. As funções de distribuição do tempo de atividade dos blocos f1(t), f2(t), f3(t) são conhecidos. É necessário encontrar a probabilidade de operação sem falhas do sistema no tempo t.

circuito lógico equivalente

significa que a falha do sistema ocorre quando o circuito é interrompido. Isso ocorre nos seguintes casos:

os blocos 1 e 2 falharam, o bloco 3 pode ser reparado;

bloco 3 falhou, pelo menos um dos blocos 1 e 2 está operacional.

Probabilidade de operação sem falhas do sistema P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Esta fórmula é a base do modelo matemático do sistema.

Modelagem analítica.É possível apenas sob a condição de que todas as integrais sejam expressas em termos de funções elementares. Vamos supor que

Então
=
=
.

Com isso em mente, o modelo (1) assume a forma

Esta é a expressão analítica explícita para a probabilidade desejada; é válido apenas sob as suposições feitas.

Simulação numérica. A necessidade disso pode surgir, por exemplo, quando se estabelece que as integrais não são definidas (isto é, não expressas em termos de funções elementares). A necessidade disso pode surgir, por exemplo, quando se constata que as distribuições f1(t), f2(t), f3(t) obedecem à lei de Gauss (normal):
.Para cálculos de acordo com a fórmula P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = para cada valor de t eles devem ser determinados numericamente, por exemplo, pelo método dos trapézios, Simpson, Gauss ou outros métodos. Para cada valor de t, os cálculos são realizados novamente.

método do retângulo, método do trapézio, método da parábola. Com o método do retângulo, ocorre um erro - imprecisão dos cálculos. Mas pode ser dividido em 2 ou mais intervalos. Aparecem muitas integrais, mas aqui já ocorre um erro de arredondamento.

método Gauss

método de Monte Carlo

Modelagem de simulação. A imitação é uma reprodução de eventos que ocorrem no sistema, ou seja, operação correta ou falha de cada elemento. Se o tempo de operação do sistema for t, e ti for o tempo de operação sem falhas do elemento de número i, então: o evento ti>t significa o funcionamento correto do elemento durante o tempo (0; t];

evento ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Observe que ti é uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei fi(t), que é conhecida por condição.

A simulação de um evento aleatório "operação correta do k-ésimo elemento durante o tempo (0; t]" é:

1) na obtenção de um número aleatório ti distribuído de acordo com a lei fi(t);

2) ao verificar a veracidade da expressão lógica ti>t. Se for true, o i-ésimo elemento está funcionando, se for false, falhou.

O algoritmo de simulação é o seguinte:

1. Coloque n=0, k=0. Aqui n é o contador do número de realizações (repetições) do processo aleatório; k é o contador do número de "sucessos".

2. Obtenha três números aleatórios t1,t2,t3, distribuídos de acordo com as leis f1(t),f2(t),f3(t).

3. Verifique a veracidade da expressão lógica L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Se L=verdadeiro, coloque k=k+1 e vá para o passo 4, caso contrário, vá para o passo 4.

4. Coloque n=n+1.

5.Se n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Ressaltamos mais uma vez: O valor de N é definido antecipadamente por razões de garantir a precisão dada sobre a confiabilidade da estimativa estatística do valor desejado P(t).

Complexo educacional de Yalta "Escola-Liceu No. 9"

Vice-diretor de gestão de recursos hídricosRomanova A. N.

"Modelagem nas aulas de matemática no ensino fundamental"

Oficina

Matemática deveria ser ensinada na escola

Ficam também como meta para que o conhecimento,

quem chegar aqui seria

suficiente para normal

necessidades na vida.

M. Lobachevsky

plano de relatório

Novas Diretrizes em Educação Matemática.

Bases metódicas da modelação. Modelo matemático.

Utilização do método de modelagem em aulas de matemática no ensino fundamental.

Familiarização dos alunos com as técnicas de modelação matemática.

Aplicação da modelação na resolução de equações.

Modelagem durante a resolução de problemas de texto.

O uso da modelagem no estudo da numeração, métodos de adição e subtração de números, bem como no trabalho com unidades de comprimento.

Novas Diretrizes em Educação Matemática. (5 minutos)

É sabido que os modelos são a linguagem da matemática e a modelagem é a sua fala. O sucesso do domínio da matemática é determinado, em primeiro lugar, pelo quão bem a criança aprendeu a “falar” sua língua. Isso é determinado não apenas pelo sucesso acadêmico do aluno na resolução de tarefas científicas e cognitivas, mas em maior medida pelo sucesso na vida do indivíduo - graças acapacidade de aplicar métodos matemáticos para resolver tarefas práticas da vida real que o exijam. Concordo, este também é um bom resultado do ensino de matemática na escola.

Ensinamos a linguagem matemática aos nossos alunos? Ou talvez consideremos isso uma tarefa difícil para uma escola primária? Ou apenas esperamos que, ao longo da resolução diária de exemplos e problemas, as próprias crianças aprendam gradualmente a usá-lo?

De acordo com dados de monitoramento em escolas de Kiev, bem como dados de monitoramento de toda a Ucrânia, a maioria dos alunos (60% e 53%, respectivamente) não sabe como trabalhar com modelos gráficos prontos, realizar tarefas criativas e aplicar seus conhecimentos em novas situações para resolver problemas.

Este estado da educação matemática levou à necessidade de uma revisão significativa dos requisitos do estado para o ensino de matemática para crianças em idade escolar. A nova edição da "Norma do Estado...", que entrou em vigor este ano. Do ponto de vista de uma abordagem orientada para a personalidade e baseada na competência, ela realmente reorienta a atividade do professor.Competência - a disponibilidade de conhecimento e experiência necessários para uma atividade efetiva em uma determinada área temática . vamos comparar . aindaatual O padrão estadual afirma: “O estudo da matemática no ensino fundamental fornece aos alunos os conhecimentos, habilidades e habilidades necessárias para o estudo posterior da matemática e de outras disciplinas ... O estudo da matemática contribui para o desenvolvimento das habilidades cognitivas dos alunos mais jovens - memória , pensamento lógico e criativo, imaginação, linguagem matemática."Na nova edição da norma estadual o objetivo no campo educacional "Matemática" já foi definido como "a formação de disciplinas matemáticas e competências-chave necessárias para a auto-realização dos alunos em um mundo em rápida mudança". A competência matemática disciplinar é considerada como "uma educação pessoal que caracteriza a capacidade de um aluno (estudante) de criar modelos matemáticos dos processos do mundo ao seu redor, de aplicar a experiência da atividade matemática ao resolver problemas educacionais, cognitivos e de orientação prática".

Portanto, dominar o discurso matemático - a capacidade de construir modelos matemáticos - torna-se o principal objetivo do ensino da matemática, que se concretiza por meio da formação dos alunos "na capacidade de usar terminologia matemática, signos e informações gráficas".

A experiência positiva de ensinar modelagem aos alunos (e não apenas nas aulas de matemática) acumulada pelo sistema de educação desenvolvimentista de D.B. Elkonin - V.V. Davydov, com o objetivo de desenvolver uma atividade de aprendizado completa para os alunos, uma das quais é a modelagem.

A formação da capacidade de modelar dos alunos é um dos objetivos da educação desenvolvimentista, e os modelos que as crianças criam e usam são, antes de tudo, uma das formas de formar habilidades de aprendizagem (e não apenas uma forma de visualização).

A tarefa do nosso seminário hoje é entender as questões de modelagem, mostrar como os modelos podem ser usados ​​para ensinar os alunos mais jovens a resolver equações e problemas, propriedades matemáticas, métodos de adição e subtração de números.

2. Bases metódicas da modelação. (8 minutos)

A modelagem é um dos meios de cognição da realidade. O modelo é usado para estudar quaisquer objetos (fenômenos, processos), para resolver vários problemas e obter novas informações. Portanto, um modelo é um determinado objeto (sistema), cujo uso serve para obter conhecimento sobre outro objeto (original).

O uso da simulação é considerado em dois aspectos:

em primeiro lugar, a modelagem serve como o conteúdo que deve ser aprendido pelas crianças como resultado do processo pedagógico;

em segundo lugar, a modelagem é a ação educacional e os meios sem os quais a aprendizagem plena é impossível.

A visibilidade dos modelos baseia-se na seguinte regularidade importante: a criação de um modelo baseia-se na criação preliminar de um modelo mental - imagens visuais dos objetos que estão sendo modelados, ou seja, o sujeito cria uma imagem mental desse objeto e depois (juntamente com as crianças) constrói um modelo material ou figurativo (visual). Os modelos mentais são criados por adultos e podem ser transformados em modelos visuais com a ajuda de certas ações práticas (nas quais as crianças também podem participar), as crianças também podem trabalhar com modelos visuais já criados.

Ao trabalhar com crianças, você pode usar a substituição de objetos: símbolos e sinais, modelos planares (planos, mapas, desenhos, diagramas, gráficos), modelos tridimensionais, layouts.

O uso do método de modelagem ajuda a resolver um conjunto de tarefas muito importantes:

desenvolvimento da criatividade produtiva das crianças;

desenvolvimento de formas superiores de pensamento figurativo;

aplicação dos conhecimentos previamente adquiridos na resolução de problemas práticos;

consolidação dos conhecimentos matemáticos adquiridos pelas crianças mais cedo;

criação de condições para cooperação empresarial;

ativação do vocabulário matemático infantil;

desenvolvimento da motricidade fina da mão;

obtenção de novas ideias e habilidades no processo de trabalho;

a compreensão mais profunda pelas crianças dos princípios do trabalho e da estrutura dos originais com a ajuda de modelos.

O modelo nos dá não apenas a oportunidade de criar uma imagem visual do objeto modelado, ele nos permite criar uma imagem de suas propriedades mais significativas refletidas no modelo. Todas as outras propriedades não essenciais são descartadas ao desenvolver o modelo. Assim, criamos uma imagem visual generalizada do objeto modelado.

A base científica da modelagem é a teoria da analogia, em que o conceito principal é - o conceito de analogia - a semelhança de objetos em termos de suas características qualitativas e quantitativas. Todos esses tipos estão unidos pelo conceito de analogia generalizada - abstração. A analogia expressa um tipo especial de correspondência entre os objetos comparados, entre o modelo e o original.

A modelagem é multifuncional, ou seja, é usada de várias maneiras para diferentes propósitos em diferentes níveis (estágios) de pesquisa ou transformação. Nesse sentido, a prática secular de usar modelos deu origem a uma abundância de formas e tipos de modelos.

Considere a classificação proposta por L. M. Fridman. Do ponto de vista do grau de clareza, ele divide todos os modelos em duas classes:

passo 1. 1-2

· material (real, real);

· ideal.

para material modelos incluem aqueles que são construídos a partir de quaisquer objetos materiais.

Passo 2

Os modelos de materiais, por sua vez, podem ser divididos emestático (fixo) edinâmico (operativo).

etapa 3

O próximo tipo de modelos dinâmicos sãoanalógico e simulado , que reproduzem este ou aquele fenômeno com a ajuda de outro, em algum sentido mais conveniente. Por exemplo, esse modelo - um rim artificial - funciona da mesma maneira que um rim natural (vivo), removendo toxinas e outros produtos metabólicos do corpo, mas, é claro, é organizado de maneira completamente diferente de um rim vivo.

Ideal Os modelos são geralmente divididos em três tipos:

Passo 4

· figurativo (icônico);

· icônico (sinal-simbólico);

· mental (mental).

A classificação dos modelos pode ser realizada de acordo com vários critérios:

1) pela natureza dos modelos (ou seja, pelas ferramentas de modelagem);

2) pela natureza dos objetos simulados;

3) por áreas de aplicação da modelagem (modelagem na engenharia, nas ciências físicas, na química, modelagem de processos vivos, modelagem da psique, etc.)

4) por níveis ("profundidade") de modelagem.

O mais famoso éclassificação pela natureza dos modelos .

Passo 5

Segundo ele, o seguintetipos de modelagem :

Passo 6

1. Modelagem de objetos , em que o modelo reproduz as características geométricas, físicas, dinâmicas ou funcionais do objeto. Por exemplo, um modelo de uma ponte, uma barragem, um modelo de uma asa de avião, etc.

Passo 7

2. simulação analógica , em que o modelo e o original são descritos por uma única relação matemática. Um exemplo são os modelos elétricos usados ​​para estudar fenômenos mecânicos, hidrodinâmicos e acústicos.

Passo 8

3. modelagem icônica , em que os modelos são formações sígnicas de qualquer tipo: diagramas, gráficos, desenhos, fórmulas, gráficos, palavras e frases.

Passo 9

4. Intimamente conectado com o icônicomodelagem mental , em que os modelos adquirem um caráter mentalmente visual.

Passo 10

5. experimento simulado - um tipo especial de modelagem onde não é usado o objeto em si, mas seu modelo.

O principal objetivo da modelagem é identificar e fixar as relações mais comuns no assunto para seu estudo.

O método de modelagem é uma formação complexa e integradora. De acordo com a classificação de métodos didáticos de N.G. Kazansky e T.S. Nazarova, o método de modelagem tem uma estrutura de três componentes

Passo 11(ver diagrama). Assim, na estrutura do método de modelagemlado externo É uma forma concreta de interação entre professor e alunos.Lado interno - este é um conjunto de técnicas educacionais gerais (análise, síntese, generalização, etc.) e métodos de trabalho educacional.lado tecnológico - este é um conjunto de técnicas específicas deste método (análise preliminar, construção de um modelo, trabalho com ele, transferência de informações do modelo para o objeto desejado - o original).

Método de modelagem

Lado externo

Lado interno

lado tecnológico

Formulários:

exposição

conversação

trabalho independente

Essência psicológica:

forma dogmática de trabalho educativo;

método heurístico de trabalho educativo

método de pesquisa do trabalho educativo

Entidade lógica:

analítico;

sintético;

indutivo;

dedutivo;

analítico-sintético

Técnicas de construção de um modelo;

técnicas de transformação de modelos;

técnicas de especificação de modelos

Modelo matemático. Modelagem matemática.

Um modelo matemático é uma descrição aproximada de alguma classe de fenômenos do mundo externo usando símbolos matemáticos. Por exemplo, a relação entre os elementos A, B, C, é expressa pela fórmula A + B = C - um modelo matemático.

O processo de modelagem matemática, ou seja, estudar fenômenos usando modelos matemáticos pode ser dividido em quatro etapas.

Passo 12

Primeira etapa - isolar as características essenciais do objeto.

13.

segunda fase – construção de modelos.

14 .

Terceira fase – pesquisa modelo.

15 .

Quarta etapa -transferir as informações obtidas nos modelos para o objeto em estudo.

A peculiaridade da modelagem é que a visibilidade não é uma simples demonstração de objetos naturais, mas estimula a atividade prática independente das crianças.. A capacidade dos alunos de trabalhar com o modelo, sua transformação para estudar as propriedades gerais dos conceitos estudados é uma das principais tarefas do ensino em todas as áreas disciplinares.

Vários modelos são usados ​​para modelagem.objetos matemáticos: fórmulas numéricas, tabelas numéricas, fórmulas literais, funções, equações algébricas, séries, figuras geométricas, diagramas diversos, diagramas de Euler-Venn, gráficos.

3. Utilização do método de modelagem em aulas de matemática no ensino fundamental. (1,5 min)

A necessidade de os alunos mais jovens dominarem o método de modelagem como método de cognição no processo de aprendizagem pode ser justificada a partir de diferentes posições.

Passo 16

Em primeiro lugar , isso contribui para a formação de uma visão de mundo dialético-materialista.

17.

em segundo lugar Como mostram os experimentos, a introdução dos conceitos de modelo e modelagem no conteúdo da educação muda significativamente a atitude dos alunos em relação ao assunto, torna suas atividades de aprendizado mais significativas e produtivas.

18.

Em terceiro lugar , o treinamento intencional e sistemático no método de modelagem aproxima os alunos mais jovens dos métodos do conhecimento científico, garante seu desenvolvimento intelectual. Para "armar" os alunos com a modelagem como forma de cognição, não basta que um professor mostre a eles diferentes modelos científicos e mostre o processo de modelagem de fenômenos individuais. É necessário que os próprios alunos construam modelos, estudem quaisquer objetos, os próprios fenômenos com a ajuda da modelagem. Quando os alunos, resolvendo um problema matemático prático (enredo), entendem que é um modelo simbólico de alguma situação real, compõem uma sequência de seus vários modelos, depois estudam (resolvem) esses modelos e, finalmente, traduzem a solução resultante para a linguagem do problema original, então a maioria dos alunos domina o método de modelagem.

Familiarização dos alunos com as técnicas de modelação matemática. (10 minutos)

O conhecido psicólogo P. Galperin e seus colegas desenvolveram uma teoria da formação gradual das ações mentais. De acordo com essa teoria, o processo de aprendizagem é visto como o domínio da criança sobre um sistema de ações mentais, que ocorre no processo de internalização (transição para dentro) e corresponde à atividade prática externa.

A criança realiza ações práticas com objetos (primeiro com os reais e depois com os imaginários) - ações objetivas. A partir deles, contando primeiro com um desenho de cópia e depois com modelos de objetos, ele passa para modelos gráficos. Após a introdução de sinais matemáticos, letras para designar quantidades, o aluno usa fórmulas para descrever ações, ou seja, modelos de letras simbólicas e depois modelos verbais (definições, regras).

Por exemplo, as crianças recebem uma tarefa prática específica, que exige que elas encontrem dois vasos do mesmo volume (diferentes em forma).Foto passo 19

Em seguida, as crianças (e não a professora) realizam ações práticas: despejar água em uma jarra, despejar em outra. Se toda a água da primeira entrou na outra jarra, os volumes dessas jarras são iguais. É aconselhável oferecer às crianças que peguem essas duas tiras, com as quais você pode contar sobre a relação entre volumes, formas - são iguais ou diferentes. Se os volumes dos potes forem iguais, as crianças devem levantar duas tiras do mesmo comprimento e, se forem diferentes, terão comprimentos diferentes.foto

passo 20

Para levar as crianças ao uso de um modelo gráfico, novamente é necessário definir uma tarefa prática específica: com a ajuda de um desenho, mostre que o volume de um frasco é maior que o outro. A experiência mostra que as crianças começam a desenhar a forma de latas, ou seja, faça um desenho de cópia, ou desenhe listras, com as quais mostraram a proporção dos volumes das latas.

Depois de discutir os desenhos, concluímos: desenhar latas é uma forma malsucedida (desenhos imprecisos, a proporção dos volumes das latas não é mostrada, o trabalho leva muito tempo). Mas as listras nas crianças também são diferentes em largura e comprimento, isso também leva muito tempo.

Como resultado, chegamos à conclusão de que é mais conveniente não desenhar a largura da faixa, mas apenas o comprimento da faixa (ou seja, segmentos). Se as quantidades (comprimento, área, massa, volume, etc.) forem as mesmas, elas terão segmentos do mesmo comprimento e, se não forem iguais, seu comprimento deve ser diferente.Foto em um caderno. passo 21.

Assim, a representação de quantidades é introduzida usando segmentos. As crianças aprendem a designar quantidades esquematicamente e, em seguida, a construir modelos gráficos (lineares).

É também oportuno introduzir no 1.º ano os conceitos de “todo” e “partes” e desenvolver nos alunos a capacidade de estabelecer relações entre esses conceitos. Como escrever na linguagem da matemática que, por exemplo, uma maçã consiste em partes separadas? Se a maçã estiver inteira, denotaremos com um círculo e denotaremos os montes de maçã com triângulos e obteremos esse modelo gráfico.

Passo 22Slide 7

+ + + =

Simplifique e tenha um modelo básico:

passo 23. + =

Todo e partes são termos relativos. As principais propriedades dessa relação (no conjunto dos números naturais): o todo não pode ser menor que a parte e a parte não pode ser maior que o todo; o todo é igual a soma das partes, e a parte é igual a diferença entre o todo e a outra parte

Passo 24 = -

Todos conhecem bem os raios que são tradicionalmente usados ​​para representar a composição de um número.Passo 25Slide 8

Assim, a relação entre as partes e o todo pode ser mostrada usando a notação gráfica de signos:

Compasso 26

A |____________|_____________|

B A B

O diagrama que descreve a ação de adição, ao mesmo tempo descreve a ação inversa - subtração:

Passo 27diapositivo 9

O conceito de parte e todo permite introduzir as propriedades comutativas e associativas da adição de quantidades.Slide 10, 11 (2 etapas), 12

Etapa 28, 29, 30

Assim como na adição e subtração, você também pode usar a simulação para aprender multiplicação e divisão.

Tradicionalmente, a multiplicação é considerada como adição de termos idênticos. Deixe o valor de A ser adicionado B vezes:diapositivo 13.

passo 31.A+A+A+A+A = AxB

A fórmula A x B é assim: “leve A para tempo B” ou “Tempo A para A”,

Passo 32onde A é a parte (medida), que ma foi denotada por um triângulo.

B - o número de partes iguais (o número de medidas), podemos denotar com um quadrado.

Para denotar o todo, usamos o mesmo ícone - um círculo.

O todo é caracterizado como o resultado da operação aritmética de multiplicar os números A e B.

X \u003d A x B \u003d C Esquema que descreve esta ação:

|____|_А___|_____________|

É claro que quando consideramos a divisão como uma ação objetiva que visa dividir por conteúdo ou em partes iguais, será possível estabelecer uma conexão entre multiplicação e divisão. Agora, além da fórmula de multiplicaçãoPasso 33Ah B \u003d C, obtemos duas divisões inversaspasso 34.C: A = B epasso 35. C: B \u003d A (com formas geométricas). Isso significa que um circuito de multiplicação é um circuito de divisão.

Aplicação da modelação na resolução de equações. (10 minutos)

Para a escolha correta de um método de resolução de equações, é necessário saber encontrar a relação do todo e da parte.Ao formar esse conceito, a criança adquire a capacidade de expressar o todo por meio das partes e as partes por meio do todo. Estabelecer vínculos entre adição e subtração de quantidades com base no conceito de parte e um todo permite comparar o todo com a soma e o reduzido, as partes com os termos ou subtraídos e a diferença e ver que diferentes ações: A + B \u003d C, C-A \u003d B ou C-B=A - caracterizam a mesma relação entre as quantidades.

Encontrar a incógnita na resolução de equações auxilia não só as regras, mas também a relação entre as partes e o todo, apresentado na forma de um modelo gráfico.Slide 14 passo 36.

O algoritmo de trabalho para aprender a resolver equações é o seguinte:

Desenhamos o esquema da equação. X +5 = 12passo 37.

Encontramos o todo e as partes primeiro no diagrama, depois na equação (sublinhado)

Nós nomeamos o componente desconhecido. Descobrimos o que é: um todo ou uma parte.

Analisamos como encontraremos o valor desconhecido.

Nós achamosX. passo 38, 39

O esquema construído pode ser usado ao resolver a equação de subtração. 12 - x \u003d 5, pois o circuito que descreve a ação de adição é ao mesmo tempo um circuito de subtração. Exemplos de fotos de um notebook

Slides 15,16 (+1 passo ), 17, 18.

Passo, 40, 41, 41-a, 42,43

A tarefa é espalhar essas equações em diagramas e fazer uma expressão

diapositivo 19 passo 44, 45. 44-a, 45-b

A simulação é usada de forma semelhante ao resolver equações para encontrar um fator desconhecido, divisor e dividendo.

Slide 20( 8 passos ) passo 46.

É aconselhável, ao fixar a conexão entre multiplicação e divisão, introduzir o conceito de área, a fórmula para encontrar a área de um retângulo e encontrar o lado desconhecido.Slide 21 (1 passo)

Exemplo de equação. Slide 22 ( 4 passos)

Agorithm para resolver a equaçãodiapositivo 23 .

Como o circuito de multiplicação é um circuito de divisão, duas equações de divisão podem ser feitas a partir de uma equação. A área é o todo, e o comprimento e a largura dos lados são as partes.

Além disso, a modelagem oferece uma oportunidade de diversificar o trabalho criativo em equações. Assim, o professor pode oferecer os seguintes tipos de tarefas:

diapositivo 24

Escreva e resolva uma equação usando o diagrama.Passo 48

Slide 25 ( decidir com os convidados )

(várias equações e um diagrama são dados) Em qual equação esse diagrama se encaixa? Encontre e decida.Passo 49

Slide 26, 27. 28, 29.

Resolva equações enquanto conta. Passo 50, 51, 52.53

Slide 30 (10 etapas), 31

Elaborando as condições do problema de acordo com o esquema da equação.

Nova apresentação. (Oficina 2)

Modelando enquanto resolve problemas de texto (18 minutos)

diapositivo 1

Não se pode deixar de concordar com a opinião de que a educação moderna é a capacidade de um aluno olhar para uma situação real da vida da posição de um físico, químico, historiador, geógrafo, de forma alguma para se tornar um pesquisador nesse campo, mas para posteriormente encontrar uma solução em situações específicas da vida.

Um aluno júnior pode se tornar um verdadeiro pesquisador resolvendo problemas de palavras ao ensinar matemática para alunos mais jovens.

1 uma dessas abordagens é a formação nos alunos da capacidade de resolver problemas de um determinado tipo (por exemplo, resolver problemas para comparação diferencial, etc., quando um determinado tipo de problema está sendo resolvido).Outro baseia-se no uso da análise semântica e matemática de problemas de texto, quando o problema é analisado do dado ao objetivo (método sintético) e do objetivo aos dados (analítico).Terceira abordagem baseado no método de resolução de problemas educacionais. A formação da ação de modelagem implica uma formação qualitativamente diferente da capacidade de resolver problemas de texto.

Problemas aritméticos e algébricos na literatura também são chamados de problemas de enredo, porque. eles sempre têm uma descrição verbal de algum evento, fenômeno, ação, processo. O texto de qualquer tarefa de enredo pode ser recriado de uma maneira diferente (objetivamente, graficamente, usando tabelas, fórmulas, etc.), e esta é a transição da modelagem verbal para outras formas de modelagem. Portanto, ao trabalhar com problemas, prestamos muita atenção à construção de modelos esquemáticos e simbólicos, bem como à capacidade de trabalhar com segmentos, modelar graficamente um problema de texto com a ajuda deles, fazer uma pergunta, determinar o algoritmo de solução e procurar uma resposta. O aluno mais jovem, como você sabe, não possui um nível suficiente de pensamento abstrato. E nossa tarefa é precisamente ensiná-lo progressivamente a representar objetos específicos na forma de um modelo simbólico, para ajudá-lo a aprender como traduzir um problema de texto em linguagem matemática. Acreditamos que é a modelagem gráfica de um problema de texto e, o mais importante, que dá uma oportunidade real de ver e determinar visualmente o algoritmo para resolvê-lo, de realizar uma reflexão independente da tarefa concluída.

Mas nem toda entrada será um modelo de tarefa. Para construir um modelo, para sua posterior transformação, é necessário selecionar na tarefaalvo, valores dados, todas as proporções, para que, com base neste modelo, seja possível continuar a análise, permitindo avançar na solução e buscar soluções ótimas. A solução de qualquer problema de forma aritmética está associada à escolha de uma operação aritmética, a partir da qual seja possível dar uma resposta à questão colocada. Para facilitar a busca por um modelo matemático, é necessário utilizar um modelo auxiliar.diapositivo 2 (conhecimento dos componentes do grau 1).

Para recriar a situação na condição do problema, você pode usar um desenho esquemático que forneça uma transição do texto do problema para a correlação de uma determinada operação aritmética nos números, o que contribui para a formação de uma assimilação consciente e forte do método geral de trabalho sobre o problema. Esse modelo permite que o aluno forme a capacidade de explicar como chegou à resposta para a pergunta do problema. Mas um modelo esquemático só é eficaz se for compreensível para todos os alunos e se as habilidades para traduzir o modelo verbal para a linguagem do diagrama tiverem sido desenvolvidas. Ao aprender a resolver problemas simples de adição e subtração, são introduzidos os conceitos: todo, parte e sua razão.Slide 3. (2 passos)

Para encontrar uma parte, você precisa subtrair outra parte do todo.

Para encontrar o todo, você precisa somar as partes.

Ao aprender a resolver problemas simples de multiplicação e divisão, um esquema e as regras correspondentes são oferecidos:

Para encontrar o todo, você precisa multiplicar a medida pelo número de medidas.

Para encontrar uma medição, você precisa dividir o número inteiro pelo número de medições.

Para encontrar o número de medidas, você precisa dividir o inteiro pela medida.

diapositivo 4. (3 passos)

Essa abordagem de aprendizado permite que você se afaste da antiga classificação de tarefas simples. É importante descrever os dados e o que está sendo procurado de forma que as dependências entre as quantidades sejam suficientemente claras. Considerado no problema, e suas relações.

Como exemplo, darei vários problemas de texto e suas soluções usando modelos gráficos.

Tarefa 1Slide 5. (5 passos)

Existem 4 peixes grandes e 5 pequenos no aquário. Quantos peixes há no aquário?

Exercícios para compilar problemas e expressões a partir de imagens (problemas inversos)diapositivo 6. ( 8 passos)Slide 7.

Tarefa 2Slide 8

Lena tem 5 peras. E Misha tem 4 a mais que Lena. Quantas peras Misha tem?

Um exemplo de tarefa para compilar tarefas de uma imagem e registrar uma solução.diapositivo 9.

Tarefa 3diapositivo 10. (5 passos)

Lena tem 10 peras. São 3 a mais que pêssegos. Quantos pêssegos Lena tem?

Tarefa 4.diapositivo 11 (4 etapas).

Sasha comprou 5 cadernos por 8 hryvnia e um álbum para desenhar por 33 hryvnia. Quanto dinheiro Sasha pagou pela compra?

O preço de um notebook é de 8 UAH - este é um segmento único (medição). O número de segmentos únicos (5) indica o número de notebooks. A segunda parte do segmento reflete o preço (UAH 33) e o número (1) de álbuns.

Tarefa 5.diapositivo 12 (7 etapas).Duas maneiras de plotar. Duas soluções

A fábrica precisa de 90 trabalhadores: 50 torneiros, 10 serralheiros, o restante são carregadores. Quantos motores são necessários?

diapositivo 13 (3 passos)compondo um problema inverso. PARE

Maneiras de trabalhar em tarefas.

Na fase de familiarização utilizo os seguintes métodos:

Explicação de cada parte componente do modelo.

Instruções para a construção de um modelo.

Modelagem em questões principais e implementação em fases do esquema.

Na fase de compreensão de um desenho esquemático, utilizo as seguintes técnicas:

Formulação do texto da tarefa de acordo com o enredo proposto e o esquema segmentar.

Correlação de esquema e expressão numérica.

Preenchendo o esquema - espaços em branco com dados da tarefa.

Encontrar erros no preenchimento do diagrama.

Selecionando um esquema para a tarefa.

Selecionando uma tarefa para o esquema.

Adição de condições do problema.

Mudança de esquema.

Alterando as condições da tarefa.

Alterando o texto da tarefa.

O resultado de aprender a construir e compreender um desenho esquemático é a modelagem independente de tarefas pelos alunos.

Ao resolver problemas de texto, estamos trabalhando na formação da ação de modelar e vice-versa, quanto melhor a criança dominar a ação de modelar, mais fácil será para ela resolver os problemas.

Os alunos devem ser apresentados a vários métodos de resolução de problemas de texto: aritmética, algébrica, geométrica, lógica e prática; com diferentes tipos de modelos matemáticos subjacentes a cada método; bem como com várias soluções no âmbito do método escolhido. Resolver problemas de texto fornece material rico para o desenvolvimento e educação dos alunos. Breves notas das condições dos problemas de texto são exemplos de modelos usados ​​no curso inicial de matemática. O método de modelagem matemática permite ensinar crianças em idade escolar:

a) análise (na fase de perceber o problema e escolher a forma de implementar a solução);

b) estabelecer relações entre os objetos do problema, construindo o esquema de solução mais adequado;

c) interpretação da solução obtida para o problema original;

d) elaboração de tarefas de acordo com modelos prontos, etc.

Trabalho de apresentação em tarefasSlides15-22 .

Combinatória em modelos da classe 1

Grau 2

Organize os números 4, 6, 8 de maneiras diferentes:

Nas séries 3-4

Árvore (36 jantares)

Foto do caderno

Usando a simulação para aprender a numeração, adicionar e subtrair números e trabalhar em unidades de comprimento (5 min)

A capacidade de converter números em unidades de conta e unidades de medida geralmente causa algumas dificuldades. E aqui é aconselhável usar o método de modelagem para ajudar. Estudando o concêntrico "Dez", as crianças aprendem a representar unidades esquematicamente usando pontos.diapositivo 25. Aprenda a somar e subtrair em modelos.diapositivo 26. (7 passos)diapositivo 27.

Estudando as "cem" crianças representam dezenas com a ajuda de pequenos triângulos. Eles aprendem a converter números em unidades de contagem (decimais e unidades) e, paralelamente, as crianças se familiarizam com o centímetro e o decímetro. Isso permite que você faça uma analogia na conversão de unidades de comprimento. Eles também aprendem como somar números de dois dígitos em diagramas numéricos.Slide 28

Estudando as crianças "Mil" aprenderemos que representaremos convencionalmente 10 triângulos (dezenas) como um grande triângulo (cem). Paralelamente, as crianças aprendem uma nova unidade de comprimento - o metro. Ao converter números em unidades de contagem, fazemos um trabalho semelhante com unidades de comprimento.diapositivo 29, exemplo para o número 342diapositivo 30 (5 passos)

Exemplo para o número 320Slide 31 (6 passos)

Exemplo para o número 302diapositivo 32 (8 passos)

Algoritmos.Diapositivos 33 e 34(7 passos)

Recomendações para usar o método de modelagem em aulas de matemática (3 min)

É necessário entender que a modelagem no ensino não é desejável, mas necessária, pois cria condições para que os alunos dominem plena e firmemente os métodos de cognição e métodos de atividades de aprendizagem.

Os principais objetivos da modelagem na lição são:

construir um modelo como forma de construir uma nova maneira de fazer as coisas.

aprender a construir um modelo com base na análise dos princípios, métodos de sua construção.

Lembre-se que as primeiras lições relacionadas à modelagem, na verdade, são as lições de configuração de uma tarefa prática e de treinamento. O problema que surge nas crianças reside no fato de que elas não têm meios suficientes para exibir uma atitude geral. Cada vez que uma nova situação prática aparece, as crianças definem novos relacionamentos - e novamente surge a questão de como transmiti-la graficamente.

Tais "tarefas abstratas" como desenhar um diagrama de acordo com uma fórmula, estabelecer uma relação entre quantidades que fazem parte de várias fórmulas, etc. oferta quando o relacionamento é investigado, consciente e exibido em sinais, diagramas repetidamente. Atrás do modelo, cada criança deve ter ações com objetos reais que já é capaz de realizar em sua imaginação (ações mentais).

O lugar do modelo para a criança é determinado dependendo da tarefa

Uma ação pode ser acompanhada por um modelo. Por exemplo, se a construção do método é mais fácil de executar no modelo, como uma etapa de trabalho em um problema de texto (as relações entre as quantidades são exibidas esquematicamente durante a leitura).

O modelo é construído depois que as ações são concluídas. Para realizar a ação executada, é necessário construir um diagrama de um relacionamento separado. A construção do esquema é motivada por questões como: “Como você fez isso?”, “Como você ensinaria outras pessoas a realizar tais tarefas?

E mais algumas dicas.

Você precisa começar com o estudo da literatura especial. Por exemplo, esta é uma metodologia para o ensino de matemática em séries primárias e livros didáticos de E. Alexandrova, L. Peterson.

Nas reuniões de pais e mestres, certifique-se de familiarizar os pais com o método de ensino de seus filhos. Seus conselhos e instruções podem ser úteis.

Aproveite todas as oportunidades para se tornar um participante de master classes em modelagem matemática.

Onde eu te convido?