Triângulo isóscelesé um triângulo em que dois lados são iguais em comprimento. Lados iguais são chamados laterais e o último - a base. Por definição, um triângulo regular também é isósceles, mas a recíproca não é verdadeira.

Propriedades

• Os ângulos opostos aos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais entre si. Bissetrizes, medianas e alturas traçadas a partir desses ângulos também são iguais.
• A mediatriz, a mediana, a altura e a mediatriz traçada à base coincidem entre si. Os centros dos círculos inscritos e circunscritos estão nesta linha.
• Ângulos opostos a lados iguais são sempre agudos (decorre de sua igualdade).

Deixar umaé o comprimento de dois lados iguais de um triângulo isósceles, b- o comprimento do terceiro lado, α e β - ângulos correspondentes, R- raio do círculo circunscrito, r- o raio do inscrito.

Os lados podem ser encontrados assim:

Os ângulos podem ser expressos das seguintes maneiras:

O perímetro de um triângulo isósceles pode ser calculado de qualquer uma das seguintes maneiras:

A área de um triângulo pode ser calculada de uma das seguintes maneiras:

(Fórmula de Heron).

sinais

• Os dois ângulos de um triângulo são iguais.
• A altura é igual à mediana.
• A altura coincide com a bissetriz.
• A bissetriz é igual à mediana.
• As duas alturas são iguais.
• As duas medianas são iguais.
• Duas bissetrizes são iguais (o teorema de Steiner-Lemus).

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é o "Triângulo Isósceles" em outros dicionários:

TRIÂNGULO DE ISOSHELES, UM TRIÂNGULO com dois lados iguais em comprimento; os ângulos nesses lados também são iguais ... Dicionário enciclopédico científico e técnico

E (simples) triângulo, triângulo, marido. 1. Uma figura geométrica limitada por três linhas retas que se intersectam formando três ângulos internos (mat.). Triângulo obtuso. Triângulo agudo. Triângulo retângulo.… … Dicionário explicativo de Ushakov

ISOSHELES, oy, oy: um triângulo isósceles com dois lados iguais. | substantivo isósceles e, esposas. Dicionário explicativo de Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992... Dicionário explicativo de Ozhegov

triângulo- ▲ um polígono com triângulo de três ângulos é o polígono mais simples; é dado por 3 pontos que não estão na mesma linha reta. triangular. ângulo agudo. ângulo agudo. triângulo retângulo: perna. hipotenusa. Triângulo isósceles. ▼… … Dicionário ideográfico da língua russa

triângulo- TRIÂNGULO1, a, m dos quais ou com def. Um objeto que tem a forma de uma figura geométrica limitada por três linhas retas que se cruzam formando três ângulos internos. Ela vasculhou as cartas do marido, triângulos amarelados na linha de frente. TRIÂNGULO2, a, m ... ... Dicionário explicativo de substantivos russos

Este termo tem outros significados, veja Triângulo (significados). Um triângulo (no espaço euclidiano) é uma figura geométrica formada por três segmentos de linha que conectam três pontos não lineares. Três pontos, ... ... Wikipédia

Triângulo (polígono)- Triângulos: 1 agudo, retangular e obtuso; 2 regulares (equilaterais) e isósceles; 3 bissetrizes; 4 medianas e centro de gravidade; 5 alturas; 6 ortocentro; 7 linha do meio. TRIÂNGULO, polígono com 3 lados. Às vezes sob... Dicionário Enciclopédico Ilustrado

dicionário enciclopédico

triângulo- uma; m. 1) a) Uma figura geométrica limitada por três linhas retas que se cruzam formando três ângulos internos. Retangular, triângulo isósceles/linho. Calcule a área do triângulo. b) resp. o que ou com def. Uma figura ou objeto de tal forma. ... ... Dicionário de muitas expressões

MAS; m. 1. Uma figura geométrica limitada por três linhas retas que se cruzam formando três ângulos internos. Retangular, isósceles m. Calcule a área do triângulo. // o que ou com def. Uma figura ou objeto de tal forma. T. telhado. T.… … dicionário enciclopédico

Tópico da lição

Triângulo isósceles

O objetivo da lição

Introduzir os alunos ao triângulo isósceles;
Continue a desenvolver as habilidades de construir triângulos retângulos;
Ampliar o conhecimento dos escolares sobre as propriedades dos triângulos isósceles;
Consolidar conhecimentos teóricos na resolução de problemas.

Lições objetivas

Ser capaz de formular, provar e utilizar o teorema sobre as propriedades de um triângulo isósceles no processo de resolução de problemas;
Continuar o desenvolvimento da percepção consciente do material educativo, raciocínio lógico, autocontrole e habilidades de autoavaliação;
Despertar o interesse cognitivo nas aulas de matemática;
Cultive atividade, curiosidade e organização.

Plano de aula

1. Conceitos e definições gerais sobre um triângulo isósceles.
2. Propriedades de um triângulo isósceles.
3. Sinais de um triângulo isósceles.
4. Perguntas e tarefas.

Triângulo isósceles

Um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados iguais, que são chamados de lados de um triângulo isósceles, e seu terceiro lado é chamado de base.

A parte superior desta figura é a que está localizada em frente à sua base.

O ângulo oposto à base é chamado de ângulo no vértice desse triângulo, e os outros dois ângulos são chamados de ângulos da base do triângulo isósceles.

Tipos de triângulos isósceles

Um triângulo isósceles, como outras formas, pode ter diferentes tipos. Triângulos isósceles incluem triângulos agudos, retos, obtusos e equiláteros.

Um triângulo agudo tem todos os ângulos agudos.
Um triângulo retângulo tem um ângulo reto em seu vértice e ângulos agudos em sua base.
Obtuso tem um ângulo obtuso no ápice e ângulos agudos em sua base.
Um equilátero tem todos os seus ângulos e lados iguais.

Propriedades de um triângulo isósceles

Ângulos opostos em relação aos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais entre si;

Bissetrizes, medianas e alturas traçadas de ângulos opostos a lados iguais de um triângulo são iguais entre si.

A bissetriz, mediana e altura, direcionada e traçada para a base do triângulo, coincidem entre si.

Os centros dos círculos inscritos e circunscritos situam-se na altura, bissetriz e mediana, (eles coincidem) traçadas até a base.

Os ângulos opostos aos lados iguais de um triângulo isósceles são sempre agudos.

Essas propriedades de um triângulo isósceles são usadas na resolução de problemas.

Trabalho de casa

1. Defina um triângulo isósceles.
2. Qual é a peculiaridade desse triângulo?
3. Qual é a diferença entre um triângulo isósceles e um triângulo retângulo?
4. Cite as propriedades de um triângulo isósceles conhecido por você.
5. Você acha que é possível na prática verificar a igualdade dos ângulos na base e como fazê-lo?

Exercício

E agora vamos fazer um pequeno teste e descobrir como você aprendeu o novo material.

Ouça atentamente as perguntas e responda se a seguinte afirmação é verdadeira:

1. Um triângulo pode ser considerado isósceles se seus dois lados são iguais?
2. A bissetriz é um segmento que liga o vértice de um triângulo com o ponto médio do lado oposto?
3. A bissetriz é um segmento que divide o ângulo que divide um vértice com um ponto no lado oposto?

Dicas para resolver problemas de triângulos isósceles:

1. Para determinar o perímetro de um triângulo isósceles, basta multiplicar o comprimento do lado por 2 e somar este produto ao comprimento da base do triângulo.
2. Se no problema o perímetro e o comprimento da base de um triângulo isósceles são conhecidos, então para encontrar o comprimento do lado lateral, basta subtrair o comprimento da base do perímetro e dividir a diferença encontrada por 2 .
3. E para encontrar o comprimento da base de um triângulo isósceles, conhecendo o perímetro e o comprimento do lado, basta multiplicar o lado por dois e subtrair este produto do perímetro do nosso triângulo.

Tarefas:

1. Entre os triângulos da figura, determine um extra e explique sua escolha:

2. Determine quais dos triângulos mostrados na figura são isósceles, nomeie suas bases e lados, e também calcule seu perímetro.

3. O perímetro de um triângulo isósceles é 21 cm. Encontre os lados desse triângulo se um deles for 3 cm maior. Quantas soluções esse problema pode ter?

4. Sabe-se que se o lado lateral e o ângulo oposto à base de um triângulo isósceles são iguais ao lado lateral e ao ângulo do outro, então esses triângulos serão iguais. Prove esta afirmação.

5. Pense e diga, qualquer triângulo isósceles é equilátero? E qualquer triângulo equilátero será isósceles?

6. Se os lados de um triângulo isósceles são 4 m e 5 m, qual será o seu perímetro? Quantas soluções esse problema pode ter?

7. Se um dos ângulos de um triângulo isósceles é igual a 91 graus, então quais são os outros ângulos iguais?

8. Pense e responda, que ângulos um triângulo deve ter para que seja retangular e isósceles ao mesmo tempo?

Você sabe o que é o triângulo de Pascal? O triângulo de Pascal é frequentemente solicitado para testar habilidades básicas de programação. Em geral, o triângulo de Pascal refere-se à combinatória e à teoria das probabilidades. Então, o que é esse triângulo?

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético infinito ou uma tabela em forma de triângulo que é formada usando coeficientes binomiais. Em palavras simples, o vértice e os lados desse triângulo são unidades, e ele é preenchido com as somas dos dois números localizados acima. Você pode adicionar esse triângulo ao infinito, mas se você o contornar, obteremos um triângulo isósceles com linhas simétricas em torno de seu eixo vertical.

Pense em onde na vida cotidiana você teve que encontrar triângulos isósceles? Não é verdade que os telhados das casas e as estruturas arquitetônicas antigas lembram muito eles? E lembre-se, qual é a base das pirâmides egípcias? Onde mais você viu triângulos isósceles?

Triângulos isósceles dos tempos antigos ajudaram os gregos e egípcios a determinar distâncias e alturas. Assim, por exemplo, os antigos gregos o usavam para determinar de longe a distância do navio no mar. E os antigos egípcios determinaram a altura de suas pirâmides devido ao comprimento da sombra projetada, porque. era um triângulo isósceles.

Desde os tempos antigos, as pessoas já apreciavam a beleza e a praticidade dessa figura, pois as formas dos triângulos nos cercam por toda parte. Passando por várias aldeias, vemos os telhados das casas e outras estruturas que nos lembram um triângulo isósceles. Quando vamos a uma loja, vemos embalagens triangulares de comida e sucos, e até alguns rostos humanos têm a forma de um triângulo. Esta figura é tão popular que pode ser encontrada em cada esquina.

Disciplinas > Matemática > Matemática 7º ano

Um triângulo com dois lados iguais é chamado de triângulo isósceles. Esses lados são chamados de lados e o terceiro lado é chamado de base. Neste artigo, falaremos sobre as propriedades de um triângulo isósceles.

Teorema 1

Os ângulos próximos à base de um triângulo isósceles são iguais entre si

Demonstração do teorema.

Suponha que temos um triângulo isósceles ABC cuja base é AB. Vejamos o triângulo BAC. Esses triângulos, pelo primeiro sinal, são iguais entre si. Assim é, porque BC = AC, AC = BC, ângulo ACB = ângulo ACB. Segue-se daí que o ângulo BAC = ângulo ABC, porque estes são os ângulos correspondentes dos nossos triângulos iguais entre si. Aqui está a propriedade dos ângulos de um triângulo isósceles.

Teorema 2

A mediana em um triângulo isósceles desenhado em sua base também é a altura e a bissetriz

Demonstração do teorema.

Digamos que temos um triângulo isósceles ABC cuja base é AB e CD é a mediana que traçamos para sua base. Nos triângulos ACD e BCD, ângulo CAD = ângulo CBD, como os ângulos correspondentes na base de um triângulo isósceles (Teorema 1). E lado AC = lado BC (por definição de um triângulo isósceles). Lado AD \u003d lado BD, Afinal, o ponto D divide o segmento AB em partes iguais. Daí segue que o triângulo ACD = triângulo BCD.

Da igualdade desses triângulos, temos a igualdade dos ângulos correspondentes. Ou seja, ângulo ACD = ângulo BCD e ângulo ADC = ângulo BDC. A equação 1 implica que CD é uma bissetriz. E o ângulo ADC e o ângulo BDC são ângulos adjacentes, e da igualdade 2 segue que ambos são ângulos retos. Acontece que CD é a altura do triângulo. Esta é a propriedade da mediana de um triângulo isósceles.

E agora um pouco sobre os sinais de um triângulo isósceles.

Teorema 3

Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, então o triângulo é isósceles.

Demonstração do teorema.

Digamos que temos um triângulo ABC em que o ângulo CAB = ângulo CBA. Triângulo ABC = triângulo BAC pelo segundo critério de igualdade entre triângulos. Assim é, porque AB = BA; ângulo CBA = ângulo CAB, ângulo CAB = ângulo CBA. De tal igualdade de triângulos, temos a igualdade dos lados correspondentes do triângulo - AC = BC. Então acontece que o triângulo ABC é isósceles.

Teorema 4

Se em qualquer triângulo sua mediana também é sua altura, então tal triângulo é isósceles

Demonstração do teorema.

No triângulo ABC desenhamos a mediana CD. Também será altura. Triângulo retângulo ACD = triângulo retângulo BCD, pois o cateto CD é comum a eles, e cateto AD = cateto BD. Disto segue-se que suas hipotenusas são iguais entre si, como as partes correspondentes de triângulos iguais. Isso significa que AB = BC.

Teorema 5

Se três lados de um triângulo são iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes

Demonstração do teorema.

Suponha que temos um triângulo ABC e um triângulo A1B1C1 tais que os lados são AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Considere a prova deste teorema por contradição.

Suponha que esses triângulos não sejam iguais entre si. Daí temos que o ângulo BAC não é igual ao ângulo B1A1C1, o ângulo ABC não é igual ao ângulo A1B1C1, o ângulo ACB não é igual ao ângulo A1C1B1 ao mesmo tempo. Caso contrário, esses triângulos seriam iguais de acordo com o critério acima.

Suponha que o triângulo A1B1C2 = triângulo ABC. O vértice C2 de um triângulo encontra-se com o vértice C1 em relação à linha A1B1 no mesmo semiplano. Assumimos que os vértices C2 e C1 não coincidem. Suponha que o ponto D seja o ponto médio do segmento C1C2. Então temos triângulos isósceles B1C1C2 e A1C1C2, que têm uma base comum C1C2. Acontece que suas medianas B1D e A1D também são suas alturas. Isso significa que a linha B1D e a linha A1D são perpendiculares à linha C1C2.

B1D e A1D têm pontos B1 e A1 diferentes e, portanto, não podem coincidir. Mas afinal, pelo ponto D da reta C1C2 podemos traçar apenas uma reta perpendicular a ela. Temos uma contradição.

Agora você sabe quais são as propriedades de um triângulo isósceles!

As propriedades de um triângulo isósceles expressam os seguintes teoremas.

Teorema 1. Em um triângulo isósceles, os ângulos na base são iguais.

Teorema 2. Em um triângulo isósceles, a bissetriz traçada para a base é a mediana e a altura.

Teorema 3. Em um triângulo isósceles, a mediana traçada para a base é a bissetriz e a altura.

Teorema 4. Em um triângulo isósceles, a altura traçada até a base é a bissetriz e a mediana.

Vamos provar um deles, por exemplo, o Teorema 2.5.

Prova. Considere um triângulo isósceles ABC com base BC e prove que ∠ B = ∠ C. Seja AD a bissetriz do triângulo ABC (Fig. 1). Os triângulos ABD e ACD são iguais de acordo com o primeiro sinal de igualdade dos triângulos (AB = AC por condição, AD é o lado comum, ∠ 1 = ∠ 2, pois AD é a bissetriz). Segue da igualdade desses triângulos que ∠ B = ∠ C. O teorema está provado.

Usando o Teorema 1, estabelecemos o seguinte teorema.

Teorema 5. O terceiro critério para a igualdade dos triângulos. Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então tais triângulos são iguais (Fig. 2).

Comente. As sentenças estabelecidas nos exemplos 1 e 2 expressam as propriedades da mediatriz ao segmento. Decorre dessas propostas que as mediatrizes dos lados de um triângulo se cruzam em um ponto.

Exemplo 1 Prove que o ponto do plano equidistante das extremidades do segmento está na mediatriz desse segmento.

Solução. Seja o ponto M equidistante das extremidades do segmento AB (Fig. 3), ou seja, AM = VM.

Então ΔAMV é isósceles. Tracemos uma reta p passando pelo ponto M e pelo ponto médio O do segmento AB. Por construção, o segmento MO é a mediana do triângulo isósceles AMB e, portanto (Teorema 3), e a altura, ou seja, a reta MO, é a mediatriz do segmento AB.

Exemplo 2 Prove que cada ponto da mediatriz de um segmento é equidistante de suas extremidades.

Solução. Seja p a mediatriz do segmento AB e o ponto O o ponto médio do segmento AB (ver Fig. 3).

Considere um ponto arbitrário M sobre a reta p. Vamos desenhar os segmentos AM e VM. Os triângulos AOM e VOM são iguais, pois seus ângulos no vértice O são retos, a perna OM é comum e a perna OA é igual à perna OB por condição. Da igualdade dos triângulos AOM e BOM segue que AM = BM.

Exemplo 3 No triângulo ABC (veja a Fig. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; no triângulo DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Compare os triângulos ABC e DEF. Encontre ângulos correspondentemente iguais.

Solução. Esses triângulos são iguais no terceiro critério. Assim, ângulos iguais: A e E (eles estão opostos aos lados iguais BC e FD), B e F (eles estão opostos aos lados iguais AC e DE), C e D (eles estão opostos aos lados iguais AB e EF).

Exemplo 4 Na figura 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Encontre o ângulo D.

Solução. Considere os triângulos ABC e ADC. Eles são iguais na terceira característica (AB = DC, BC = AD por condição e o lado AC é comum). Da igualdade destes triângulos segue-se que ∠ B = ∠ D, mas o ângulo B é 100°, logo o ângulo D é 100°.

Exemplo 5 Em um triângulo isósceles ABC com base AC, o ângulo externo no vértice C é 123°. Encontre o ângulo ABC. Dê sua resposta em graus.

Solução de vídeo.

Nesta lição, o tópico "Triângulo isósceles e suas propriedades" será considerado. Você aprenderá como os triângulos isósceles e equiláteros se parecem e como eles são caracterizados. Prove o teorema da igualdade dos ângulos na base de um triângulo isósceles. Considere também o teorema da bissetriz (mediana e altura) desenhado para a base de um triângulo isósceles. No final da lição, você abordará dois problemas usando a definição e as propriedades de um triângulo isósceles.

Definição:Isósceles Chama-se triângulo aquele que tem dois lados iguais.

Arroz. 1. Triângulo isósceles

AB = AC - lados. BC - base.

A área de um triângulo isósceles é metade do produto de sua base vezes sua altura.

Definição:equilátero Um triângulo é chamado em que todos os três lados são iguais.

Arroz. 2. Triângulo equilátero

AB = BC = SA.

Teorema 1: Em um triângulo isósceles, os ângulos na base são iguais.

Dado: AB = AC.

Provar:∠B = ∠C.

Arroz. 3. Desenho para o teorema

Prova: triângulo ABC \u003d triângulo DIA de acordo com o primeiro sinal (em dois lados iguais e o ângulo entre eles). Da igualdade dos triângulos segue a igualdade de todos os elementos correspondentes. Assim, ∠B = ∠C, o que deveria ser provado.

Teorema 2: Em um triângulo isósceles bissetriz puxado para a base é mediana e altura.

Dado: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Provar: BD = DC, AD perpendicular a BC.

Arroz. 4. Desenho para o Teorema 2

Prova: triângulo ADB = triângulo ADC pela primeira feição (AD - comum, AB = AC por condição, ∠BAD = ∠DAC). Da igualdade dos triângulos segue a igualdade de todos os elementos correspondentes. BD = DC, uma vez que se encontram em ângulos opostos iguais. Então AD é a mediana. Também ∠3 = ∠4 uma vez que se encontram em lados opostos iguais. Mas, além disso, eles são iguais no total. Portanto, ∠3 = ∠4 = . Portanto, AD é a altura do triângulo, que deveria ser provado.

No único caso a = b = . Neste caso, as linhas AC e BD são chamadas perpendiculares.

Como a mediatriz, a altura e a mediana são o mesmo segmento, as seguintes afirmações também são verdadeiras:

A altura de um triângulo isósceles desenhado na base é a mediana e a bissetriz.

A mediana de um triângulo isósceles desenhado na base é a altura e a bissetriz.

Exemplo 1: Em um triângulo isósceles, a base tem metade do tamanho do lado e o perímetro é 50 cm Encontre os lados do triângulo.

Dado: AB = AC, BC = AC. P = 50 centímetros.

Achar: BC, AC, AB.

Solução:

Arroz. 5. Desenho por exemplo 1

Denotamos a base BC como a, então AB \u003d AC \u003d 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Responda: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Exemplo 2: Prove que todos os ângulos de um triângulo equilátero são iguais.

Dado: AB = BC = SA.

Provar:∠A = ∠B = ∠C.

Prova:

Arroz. 6. Desenho por exemplo

∠B = ∠C, pois AB=AC, e ∠A = ∠B, pois AC = BC.

Portanto, ∠A = ∠B = ∠C, o que deveria ser provado.

Responda: Comprovado.

Na lição de hoje, examinamos um triângulo isósceles, estudamos suas propriedades básicas. Na próxima lição, resolveremos problemas sobre o tema de um triângulo isósceles, sobre o cálculo da área de um triângulo isósceles e equilátero.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. etc. Geometria 7. - M.: Iluminismo.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometria 7. 5ª ed. - M.: Iluminismo.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichy V.A. - M.: Educação, 2010.

1. Dicionários e enciclopédias sobre "Akademik" ().
2. Festival de ideias pedagógicas "Aula Aberta" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichy V.A. - M.: Educação, 2010.

2. O perímetro de um triângulo isósceles é 35 cm, e a base é três vezes menor que o lado. Encontre os lados do triângulo.

3. Dado: AB = BC. Prove que ∠1 = ∠2.

4. O perímetro de um triângulo isósceles é 20 cm, um de seus lados é o dobro do outro. Encontre os lados do triângulo. Quantas soluções o problema tem?