O que significam inteiros. Resumo da seção e fórmulas básicas

Primeiro nível

Máximo múltiplo comum e mínimo divisor comum. Critérios de divisibilidade e métodos de agrupamento (2019)

Para simplificar MUITO sua vida quando você precisa calcular algo, ganhar um tempo precioso no OGE ou no USE, para cometer menos erros estúpidos - leia esta seção!

Aqui está o que você vai aprender:

  • como calcular de forma mais rápida, fácil e precisa usandoagrupamento de númerosao somar e subtrair,
  • como multiplicar e dividir rapidamente sem erros usando regras de multiplicação e critérios de divisibilidade,
  • como acelerar significativamente os cálculos usando mínimo múltiplo comum(NOC) e máximo divisor comum(CGD).

A posse das técnicas desta seção pode inclinar a balança em uma direção ou outra ... se você entrar na universidade dos seus sonhos ou não, você ou seus pais terão que pagar muito dinheiro pela educação ou entrarão no orçamento .

Vamos mergulhar... (Vamos!)

Nota importante!Se em vez de fórmulas você vir sem sentido, limpe seu cache. Para fazer isso, pressione CTRL+F5 (no Windows) ou Cmd+R (no Mac)

Vários inteirosé composto por 3 partes:

  1. inteiros(vamos considerá-los com mais detalhes abaixo);
  2. números opostos aos números naturais(tudo vai se encaixar assim que você souber o que são números naturais);
  3. zero - " " (onde sem ele?)

letra Z.

Inteiros

“Deus criou os números naturais, todo o resto é obra das mãos humanas” (c) o matemático alemão Kronecker.

Os números naturais são os números que usamos para contar objetos e é nisso que se baseia seu histórico de ocorrência - a necessidade de contar flechas, skins, etc.

1, 2, 3, 4...n

letra N

Assim, esta definição não inclui (você não pode contar o que não está lá?) e ainda mais não inclui valores negativos (há uma maçã?).

Além disso, todos os números fracionários não estão incluídos (também não podemos dizer "eu tenho um laptop" ou "vendi carros")

Algum número natural pode ser escrito usando 10 dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Então 14 não é um número. Este é um número. Em quais números ela é composta? Isso mesmo, a partir de números e.

Adição. Agrupamento ao adicionar para uma contagem mais rápida e menos erros

Que coisas interessantes você pode dizer sobre este procedimento? É claro que agora você responderá "o valor da soma não muda com o rearranjo dos termos". Parece que uma regra primitiva familiar desde a primeira classe, no entanto, ao resolver grandes exemplos, instantaneamente esquecido!

Não se esqueça deleusar agrupamento, a fim de facilitar o processo de contagem e diminuir a probabilidade de erros, pois você não terá calculadora para o exame.

Veja você mesmo qual expressão é mais fácil de adicionar?

  • 4 + 5 + 3 + 6
  • 4 + 6 + 5 + 3

Claro que o segundo! Embora o resultado seja o mesmo. Mas! Considerando a segunda maneira, é menos provável que você cometa um erro e faça tudo mais rápido!

Então, na sua mente, você pensa assim:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Subtração. Agrupamento ao subtrair para uma contagem mais rápida e menos erros

Ao subtrair, também podemos agrupar números subtraídos, por exemplo:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

E se a subtração for intercalada com a adição no exemplo? Você também pode agrupar, você vai responder, e com razão. Apenas, por favor, não se esqueça dos sinais na frente dos números, por exemplo: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Lembre-se: sinais afixados incorretamente levarão a um resultado errôneo.

Multiplicação. Como multiplicar em sua mente

É óbvio que o valor do produto também não mudará ao mudar os lugares dos fatores:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Eu não vou dizer para você “usar isso ao resolver problemas” (você entendeu a dica, certo?), mas sim como multiplicar rapidamente alguns números em sua cabeça. Então, observe atentamente a tabela:

E um pouco mais sobre multiplicação. Claro, você se lembra de duas ocasiões especiais... Adivinha o que quero dizer? Aqui está sobre isso:

Ah sim, vamos dar uma olhada sinais de divisibilidade. No total, são 7 regras para os signos de divisibilidade, das quais você já conhece as 3 primeiras com certeza!

Mas o resto não é nada difícil de lembrar.

7 sinais de divisibilidade de números que ajudarão você a contar rapidamente em sua cabeça!

  • Você, é claro, conhece as três primeiras regras.
  • O quarto e o quinto são fáceis de lembrar - ao dividir por e olhamos para ver se a soma dos dígitos que compõem o número é divisível por isso.
  • Ao dividir por, prestamos atenção aos dois últimos dígitos do número - o número que eles compõem é divisível?
  • Ao dividir por um número, ele deve ser divisível por e por ao mesmo tempo. Isso é tudo sabedoria.

Você está pensando agora - "por que eu preciso de tudo isso"?

Primeiro, o exame é sem calculadora e essas regras ajudarão você a navegar pelos exemplos.

E em segundo lugar, você ouviu as tarefas sobre GCD e CON? Abreviação conhecida? Vamos começar a lembrar e entender.

Máximo divisor comum (mcd) - necessário para reduzir frações e cálculos rápidos

Digamos que você tenha dois números: e. Qual é o maior número divisível por esses dois números? Você vai responder sem hesitação, porque você sabe que:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Quais números na expansão são comuns? Isso mesmo, 2 * 2 = 4. Essa foi sua resposta. Mantendo este exemplo simples em mente, você não esquecerá o algoritmo para encontrar GCD. Tente "construí-lo" na sua cabeça. Ocorrido?

Para encontrar o NOD você precisa:

  1. Decomponha os números em fatores primos (em números que não podem ser divididos por nada além de si mesmo ou por, por exemplo, 3, 7, 11, 13, etc.).
  2. Multiplique-os.

Você entende por que precisávamos de sinais de divisibilidade? Para que você olhe para o número e possa começar a dividir sem deixar resto.

Por exemplo, vamos encontrar o MDC dos números 290 e 485

Primeiro número - .

Olhando para isso, você pode dizer imediatamente pelo que é divisível, vamos escrever:

você não pode dividi-lo em mais nada, mas você pode - e, temos:

290 = 29 * 5 * 2

Vamos pegar outro número - 485.

De acordo com os sinais de divisibilidade, deve ser divisível por sem deixar resto, pois termina com. Nós partilhamos:

Vamos analisar o número original.

  • Não pode ser dividido por (o último dígito é ímpar),
  • - não é divisível por, então o número também não é divisível por,
  • também não é divisível por e (a soma dos dígitos do número não é divisível por e por)
  • também não é divisível, porque não é divisível por e,
  • também não é divisível por e, uma vez que não é divisível por e.
  • não pode ser completamente dividido

Portanto, o número só pode ser decomposto em e.

E agora vamos encontrar GCD esses números (e). Qual é esse número? Corretamente, .

Vamos praticar?

Tarefa número 1. Encontre o GCD dos números 6240 e 6800

1) Divido imediatamente por, pois ambos os números são 100% divisíveis por:

2) Vou dividir pelos demais números grandes (s), pois eles são divididos por sem resto (ao mesmo tempo, não vou decompor - já é um divisor comum):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Vou sair e sozinho e começar a considerar os números e. Ambos os números são exatamente divisíveis por (terminam em dígitos pares (neste caso, apresentamos como, mas podem ser divididos por)):

4) Trabalhamos com números e. Eles têm divisores comuns? É tão fácil quanto nas etapas anteriores, e você não pode dizer, então vamos apenas decompô-los em fatores simples:

5) Como podemos ver, estávamos certos: e não temos divisores comuns, e agora precisamos multiplicar.
GCD

Tarefa número 2. Encontre o GCD dos números 345 e 324

Não consigo encontrar rapidamente pelo menos um divisor comum aqui, então apenas decomponho em fatores primos (o mínimo possível):

Exatamente, GCD, e eu não verifiquei inicialmente o critério de divisibilidade para, e, talvez, não precisaria fazer tantas ações. Mas você verificou, certo? Bem feito! Como você pode ver, é bem fácil.

Mínimo múltiplo comum (LCM) - economiza tempo, ajuda a resolver problemas fora da caixa

Digamos que você tenha dois números - e. Qual é o menor número divisível por sem deixar vestígios(ou seja, completamente)? É difícil imaginar? Aqui está uma pista visual para você:

Você se lembra do que a letra significa? Isso mesmo, apenas números inteiros. Então, qual é o menor número que se encaixa em x? :

Nesse caso.

Várias regras seguem a partir deste exemplo simples.

Regras para encontrar rapidamente o NOC

Regra 1. Se um de dois números naturais é divisível por outro número, então o maior desses dois números é seu mínimo múltiplo comum.

Encontre os seguintes números:

  • NOC (7;21)
  • NOC (6;12)
  • NOC (5;15)
  • NOC (3;33)

Claro, você lidou facilmente com essa tarefa e obteve as respostas - e.

Observe que na regra estamos falando de DOIS números, se houver mais números, a regra não funciona.

Por exemplo, LCM (7;14;21) não é igual a 21, pois não pode ser dividido sem resto por.

Regra 2. Se dois (ou mais de dois) números são primos, então o mínimo múltiplo comum é igual ao seu produto.

achar CON para os seguintes números:

  • NOC (1;3;7)
  • NOC (3;7;11)
  • NOC (2;3;7)
  • NOC (3;5;2)

Você contou? Aqui estão as respostas - , ; .

Como você entende, nem sempre é tão fácil pegar e pegar esse mesmo x, então para números um pouco mais complexos existe o seguinte algoritmo:

Vamos praticar?

Encontre o mínimo múltiplo comum - LCM (345; 234)

Vamos detalhar cada número:

Por que acabei de escrever? Lembre-se dos sinais de divisibilidade por: divisível por (o último dígito é par) e a soma dos dígitos é divisível por. Assim, podemos dividir imediatamente por, escrevendo como.

Agora escrevemos a expansão mais longa em uma linha - a segunda:

Vamos adicionar os números da primeira expansão, que não estão no que escrevemos:

Nota: escrevemos tudo, exceto, já que já o temos.

Agora precisamos multiplicar todos esses números!

Encontre você mesmo o mínimo múltiplo comum (MCC)

Que respostas você obteve?

Aqui está o que aconteceu comigo:

Quanto tempo você levou para encontrar CON? Meu tempo é de 2 minutos, eu realmente sei um truque, que sugiro que abra agora mesmo!

Se você estiver muito atento, provavelmente notou que, para os números fornecidos, já pesquisamos GCD e você poderia tirar a fatoração desses números desse exemplo, simplificando assim sua tarefa, mas isso está longe de tudo.

Olhe para a foto, talvez alguns outros pensamentos venham a você:

Nós iremos? Vou te dar uma dica: tente multiplicar CON e GCD entre si e anote todos os fatores que serão ao multiplicar. Você conseguiu? Você deve terminar com uma cadeia como esta:

Dê uma olhada mais de perto: compare os fatores com como e são decompostos.

Que conclusão você pode tirar disso? Corretamente! Se multiplicarmos os valores CON e GCD entre si, então obtemos o produto desses números.

Assim, ter números e significado GCD(ou CON), podemos encontrar CON(ou GCD) Da seguinte maneira:

1. Encontre o produto dos números:

2. Dividimos o produto resultante pelo nosso GCD (6240; 6800) = 80:

Isso é tudo.

Vamos escrever a regra na forma geral:

Tente encontrar GCD se for sabido que:

Você conseguiu? .

Números negativos - "números falsos" e seu reconhecimento pela humanidade.

Como você já entendeu, esses são números opostos aos naturais, ou seja:

Números negativos podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos - assim como os números naturais. Parece que eles são tão especiais? Mas o fato é que os números negativos “conquistaram” seu lugar de direito na matemática até o século 19 (até aquele momento havia uma enorme controvérsia se eles existiam ou não).

O próprio número negativo surgiu por causa de uma operação com números naturais como "subtração". De fato, subtraia de - esse é um número negativo. É por isso que o conjunto de números negativos é frequentemente chamado de "uma extensão do conjunto números naturais».

Os números negativos não foram reconhecidos pelas pessoas por muito tempo. Assim, Egito Antigo, Babilônia e Grécia Antiga - as luzes de seu tempo, não reconheciam números negativos e, no caso de obter raízes negativas na equação (por exemplo, como temos), as raízes foram rejeitadas como impossíveis.

Pela primeira vez, os números negativos tiveram o direito de existir na China e, no século VII, na Índia. O que você acha dessa confissão? Isso mesmo, números negativos começaram a denotar dívidas (caso contrário - escassez). Acreditava-se que os números negativos são um valor temporário, que como resultado mudará para positivo (ou seja, o dinheiro ainda será devolvido ao credor). No entanto, o matemático indiano Brahmagupta já considerava os números negativos em pé de igualdade com os positivos.

Na Europa, a utilidade dos números negativos, bem como o fato de poderem denotar dívidas, veio muito depois, ou seja, um milênio. A primeira menção foi vista em 1202 no “Livro do Ábaco” de Leonardo de Pisa (digo logo que o autor do livro não tem nada a ver com a Torre Inclinada de Pisa, mas os números de Fibonacci são obra dele (o apelido de Leonardo de Pisa é Fibonacci)). Além disso, os europeus chegaram à conclusão de que números negativos podem significar não apenas dívidas, mas também a falta de algo, no entanto, nem todos reconheceram isso.

Então, no século XVII, Pascal acreditava nisso. Como você acha que ele justificou isso? Isso mesmo, “nada pode ser menos que NADA”. Um eco desses tempos permanece o fato de que um número negativo e a operação de subtração são denotados pelo mesmo símbolo - menos "-". E verdade: . O número " " é positivo, que se subtrai, ou negativo, que se soma? ... Algo da série "que vem primeiro: a galinha ou o ovo?" Aqui está um tipo dessa filosofia matemática.

Os números negativos garantiram seu direito de existir com o advento da geometria analítica, ou seja, quando os matemáticos introduziram algo como um eixo real.

Foi a partir deste momento que a igualdade veio. No entanto, ainda havia mais perguntas do que respostas, por exemplo:

proporção

Essa proporção é chamada de paradoxo de Arno. Pense nisso, o que há de duvidoso nisso?

Vamos conversar juntos " "mais do que" certo? Assim, segundo a lógica, o lado esquerdo da proporção deveria ser maior que o lado direito, mas eles são iguais... Aqui está o paradoxo.

Como resultado, os matemáticos concordaram que Karl Gauss (sim, sim, este é quem considerou a soma (ou) dos números) em 1831 acabou com isso - ele disse que os números negativos têm os mesmos direitos que os positivos, e o fato de não se aplicarem a todas as coisas não significa nada, pois as frações também não se aplicam a muitas coisas (não acontece de um escavador cavar um buraco, você não pode comprar um ingresso de cinema etc.).

Os matemáticos se acalmaram apenas no século 19, quando a teoria dos números negativos foi criada por William Hamilton e Hermann Grassmann.

É assim que eles são controversos, esses números negativos.

Emergência do "vazio", ou a biografia do zero.

Em matemática, um número especial. À primeira vista, isso não é nada: adicionar, subtrair - nada mudará, mas você só precisará atribuí-lo à direita de "", e o número resultante será muitas vezes maior que o original. Ao multiplicar por zero, transformamos tudo em nada, mas não podemos dividir por "nada". Em uma palavra, o número mágico)

A história do zero é longa e complicada. Um traço de zero é encontrado nos escritos dos chineses em 2000 dC. e ainda mais cedo com os maias. O primeiro uso do símbolo zero, como é hoje, foi visto entre os astrônomos gregos.

Existem muitas versões de por que essa designação "nada" foi escolhida. Alguns historiadores estão inclinados a acreditar que este é um ômicron, ou seja, A primeira letra da palavra grega para nada é ouden. De acordo com outra versão, a palavra “obol” (uma moeda quase sem valor) deu vida ao símbolo do zero.

Zero (ou zero) como símbolo matemático aparece pela primeira vez entre os índios (note que os números negativos começaram a “se desenvolver” lá). A primeira evidência confiável de escrever zero remonta a 876, e neles "" é um componente do número.

Zero também veio para a Europa tardiamente - apenas em 1600, e assim como os números negativos, enfrentou resistência (o que você pode fazer, eles são europeus).

“O zero tem sido frequentemente odiado, temido ou até banido desde tempos imemoriais”, escreve o matemático americano Charles Seif. Assim, o sultão turco Abdul-Hamid II no final do século XIX. ordenou que seus censores excluíssem a fórmula da água H2O de todos os livros didáticos de química, tomando a letra "O" por zero e não querendo que suas iniciais fossem difamadas pela proximidade do desprezível zero.

Na Internet você encontra a frase: “Zero é a força mais poderosa do Universo, pode fazer qualquer coisa! Zero cria ordem na matemática e também traz caos para ela. Ponto absolutamente correto :)

Resumo da seção e fórmulas básicas

O conjunto de inteiros consiste em 3 partes:

  • números naturais (vamos considerá-los com mais detalhes abaixo);
  • números opostos aos naturais;
  • zero - " "

O conjunto de inteiros é denotado letra Z.

1. Números naturais

Os números naturais são os números que usamos para contar objetos.

O conjunto dos números naturais é denotado letra N

Em operações com números inteiros, você precisará da capacidade de encontrar GCD e LCM.

Máximo Divisor Comum (GCD)

Para encontrar o NOD você precisa:

  1. Decomponha os números em fatores primos (em números que não podem ser divididos por nada além de si mesmo ou por, por exemplo, etc.).
  2. Anote os fatores que fazem parte de ambos os números.
  3. Multiplique-os.

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Para encontrar o NOC você precisa:

  1. Fatorize números em fatores primos (você já sabe como fazer isso muito bem).
  2. Escreva os fatores incluídos na expansão de um dos números (é melhor usar a cadeia mais longa).
  3. Adicione a eles os fatores ausentes das expansões dos números restantes.
  4. Encontre o produto dos fatores resultantes.

2. Números negativos

Estes são os números que são opostos aos números naturais, ou seja:

Agora quero saber de você...

Espero que você tenha apreciado os "truques" super úteis desta seção e entendido como eles o ajudarão no exame.

E mais importante, na vida. Eu não estou falando sobre isso, mas acredite em mim, este é. A capacidade de contar rapidamente e sem erros salva em muitas situações da vida.

Agora é sua vez!

Escreva, você usará métodos de agrupamento, critérios de divisibilidade, GCD e LCM nos cálculos?

Talvez você já os tenha usado antes? Onde e como?

Talvez você tenha perguntas. Ou sugestões.

Escreva nos comentários como você gostou do artigo.

E boa sorte com seus exames!

Propriedades algébricas

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Livros

  • Aritmética: inteiros. Sobre a divisibilidade dos números. Medição de quantidades. Sistema métrico de medidas. Ordinário, Kiselev, Andrey Petrovich. Os leitores são convidados para o livro do notável professor e matemático russo A.P. Kiselev (1852-1940), que contém um curso sistemático de aritmética. O livro inclui seis seções...

Para números inteiros incluem números naturais, zero e números opostos aos números naturais.

Inteiros são inteiros positivos.

Por exemplo: 1, 3, 7, 19, 23, etc. Usamos esses números para contar (há 5 maçãs na mesa, o carro tem 4 rodas, etc.)

Letra latina \mathbb(N) - denotada conjunto de números naturais.

Os números naturais não podem incluir números negativos (uma cadeira não pode ter um número negativo de pernas) e números fracionários (Ivan não poderia vender 3,5 bicicletas).

Os números opostos aos números naturais são inteiros negativos: -8, -148, -981, ....

Operações aritméticas com números inteiros

O que você pode fazer com números inteiros? Eles podem ser multiplicados, adicionados e subtraídos um do outro. Vamos analisar cada operação em um exemplo específico.

Adição de inteiro

Dois inteiros com os mesmos sinais são adicionados da seguinte forma: os módulos desses números são somados e a soma resultante é precedida pelo sinal final:

(+11) + (+9) = +20

Subtração de números inteiros

Dois inteiros com sinais diferentes são adicionados da seguinte forma: o módulo do número menor é subtraído do módulo do número maior e o sinal do número do módulo maior é colocado na frente da resposta:

(-7) + (+8) = +1

Multiplicação de inteiros

Para multiplicar um inteiro por outro, você precisa multiplicar os módulos desses números e colocar o sinal “+” na frente da resposta recebida se os números originais estiverem com os mesmos sinais, e o sinal “-” se os números originais forem com sinais diferentes:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Você deve se lembrar do seguinte regra de multiplicação de números inteiros:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Existe uma regra para multiplicar vários números inteiros. Vamos lembrá-lo:

O sinal do produto será “+” se o número de fatores com sinal negativo for par e “-” se o número de fatores com sinal negativo for ímpar.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Divisão de inteiros

A divisão de dois números inteiros é realizada da seguinte forma: o módulo de um número é dividido pelo módulo do outro e, se os sinais dos números forem iguais, um sinal “+” será colocado na frente do quociente resultante , e se os sinais dos números originais forem diferentes, então o sinal “-” é colocado.

(-25) : (+5) = -5

Propriedades de adição e multiplicação de inteiros

Vamos analisar as propriedades básicas de adição e multiplicação para quaisquer inteiros a , b e c :

  1. a + b = b + a - propriedade comutativa da adição;
  2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - a propriedade associativa da adição;
  3. a \cdot b = b \cdot a - propriedade comutativa da multiplicação;
  4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- propriedades associativas da multiplicação;
  5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cé a propriedade distributiva da multiplicação.

Neste artigo, vamos definir o conjunto de inteiros, considerar quais inteiros são chamados positivos e quais são negativos. Também mostraremos como os números inteiros são usados ​​para descrever a mudança em algumas quantidades. Vamos começar com a definição e exemplos de números inteiros.

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Números inteiros. Definição, exemplos

Primeiro, vamos relembrar os números naturais ℕ. O próprio nome sugere que estes são números que foram naturalmente usados ​​para contar desde tempos imemoriais. Para cobrir o conceito de números inteiros, precisamos expandir a definição de números naturais.

Definição 1. Inteiros

Os inteiros são os números naturais, seus opostos e o número zero.

O conjunto de inteiros é denotado pela letra ℤ .

O conjunto de números naturais ℕ é um subconjunto de inteiros ℤ. Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural.

Segue-se da definição que qualquer um dos números 1 , 2 , 3 é um número inteiro. . , o número 0 , bem como os números - 1 , - 2 , - 3 , . .

Assim, damos exemplos. Os números 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 são números inteiros.

Deixe a linha de coordenadas ser desenhada horizontalmente e direcionada para a direita. Vamos dar uma olhada nele para visualizar a localização de inteiros em uma linha reta.

O ponto de referência na linha de coordenadas corresponde ao número 0, e os pontos situados em ambos os lados de zero correspondem a inteiros positivos e negativos. Cada ponto corresponde a um único inteiro.

Qualquer ponto em uma linha reta cuja coordenada seja um número inteiro pode ser alcançado separando um certo número de segmentos unitários da origem.

Inteiros positivos e negativos

De todos os inteiros, é lógico distinguir entre inteiros positivos e negativos. Vamos dar suas definições.

Definição 2. Inteiros positivos

Inteiros positivos são inteiros com um sinal de mais.

Por exemplo, o número 7 é um número inteiro com um sinal de mais, ou seja, um número inteiro positivo. Na linha de coordenadas, esse número fica à direita do ponto de referência, para o qual o número 0 é tomado. Outros exemplos de inteiros positivos: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definição 3. Inteiros negativos

Inteiros negativos são inteiros com um sinal de menos.

Exemplos de inteiros negativos: - 528 , - 2568 , - 1 .

O número 0 separa inteiros positivos e negativos e não é nem positivo nem negativo.

Qualquer número que seja o oposto de um inteiro positivo é, por definição, um inteiro negativo. O contrário também é verdade. O recíproco de qualquer inteiro negativo é um inteiro positivo.

É possível dar outras formulações das definições de inteiros negativos e positivos, usando sua comparação com zero.

Definição 4. Inteiros positivos

Inteiros positivos são inteiros que são maiores que zero.

Definição 5. Inteiros negativos

Inteiros negativos são inteiros que são menores que zero.

Assim, os números positivos ficam à direita da origem na linha de coordenadas e os inteiros negativos ficam à esquerda do zero.

Anteriormente dissemos que os números naturais são um subconjunto dos inteiros. Vamos esclarecer este ponto. O conjunto dos números naturais são inteiros positivos. Por sua vez, o conjunto dos inteiros negativos é o conjunto dos números opostos aos naturais.

Importante!

Qualquer número natural pode ser chamado de número inteiro, mas nenhum número inteiro pode ser chamado de número natural. Respondendo à pergunta se os números negativos são naturais, deve-se dizer com ousadia - não, eles não são.

Números inteiros não positivos e não negativos

Vamos dar definições.

Definição 6. Inteiros não negativos

Inteiros não negativos são inteiros positivos e o número zero.

Definição 7. Inteiros não positivos

Inteiros não positivos são inteiros negativos e o número zero.

Como você pode ver, o número zero não é positivo nem negativo.

Exemplos de inteiros não negativos: 52 , 128 , 0 .

Exemplos de inteiros não positivos: - 52 , - 128 , 0 .

Um número não negativo é um número maior ou igual a zero. Assim, um número inteiro não positivo é um número menor ou igual a zero.

Os termos "número não positivo" e "número não negativo" são usados ​​para brevidade. Por exemplo, em vez de dizer que o número a é um número inteiro maior ou igual a zero, você pode dizer: a é um número inteiro não negativo.

Usando inteiros ao descrever alterações em valores

Para que servem os números inteiros? Em primeiro lugar, com a ajuda deles, é conveniente descrever e determinar a mudança no número de quaisquer itens. Vamos dar um exemplo.

Deixe um certo número de virabrequins ser armazenado no armazém. Se outros 500 virabrequins forem trazidos para o armazém, seu número aumentará. O número 500 apenas expressa a mudança (aumento) no número de peças. Se então 200 peças forem retiradas do armazém, esse número também caracterizará a mudança no número de virabrequins. Desta vez, no sentido da redução.

Se nada for retirado do armazém e nada for trazido, o número 0 indicará a invariância do número de peças.

A conveniência óbvia de usar números inteiros, ao contrário dos números naturais, é que seu sinal indica claramente a direção da mudança na magnitude (aumento ou diminuição).

Uma diminuição da temperatura em 30 graus pode ser caracterizada por um número negativo - 30 e um aumento de 2 graus - por um número inteiro positivo 2.

Aqui está outro exemplo usando números inteiros. Desta vez, vamos imaginar que temos que dar 5 moedas a alguém. Então, podemos dizer que temos - 5 moedas. O número 5 descreve o valor da dívida e o sinal de menos indica que devemos devolver as moedas.

Se devemos 2 moedas a uma pessoa e 3 a outra, a dívida total (5 moedas) pode ser calculada pela regra de somar números negativos:

2 + (- 3) = - 5

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Número é uma abstração usada para quantificar objetos. Os números surgiram na sociedade primitiva em conexão com a necessidade de as pessoas contarem objetos. Com o tempo, com o desenvolvimento da ciência, o número tornou-se o conceito matemático mais importante.

Para resolver problemas e provar vários teoremas, você precisa entender quais são os tipos de números. Os principais tipos de números incluem: números naturais, números inteiros, números racionais, números reais.

Inteiros- estes são os números obtidos com a contagem natural dos objetos, ou melhor, com sua numeração ("primeiro", "segundo", "terceiro" ...). O conjunto dos números naturais é indicado pela letra latina N (pode ser lembrado com base na palavra inglesa natural). Pode-se dizer que N ={1,2,3,....}

Números inteiros são números do conjunto (0, 1, -1, 2, -2, ....). Este conjunto consiste em três partes - números naturais, inteiros negativos (o oposto dos números naturais) e o número 0 (zero). Os inteiros são indicados por uma letra latina Z . Pode-se dizer que Z ={1,2,3,....}.

Números racionais são números que podem ser representados como uma fração, onde m é um número inteiro e n é um número natural. A letra latina é usada para denotar números racionais Q . Todos os números naturais e inteiros são racionais. Além disso, como exemplos de números racionais, você pode dar: ,,.

Números reais (reais) são números que são usados ​​para medir quantidades contínuas. O conjunto dos números reais é denotado pela letra latina R. Os números reais incluem os números racionais e os números irracionais. Os números irracionais são números obtidos como resultado da execução de várias operações em números racionais (por exemplo, extrair uma raiz, calcular logaritmos), mas não são racionais. Exemplos de números irracionais são ,,.

Qualquer número real pode ser exibido na linha numérica:


Para os conjuntos de números listados acima, a seguinte afirmação é verdadeira:

Ou seja, o conjunto dos números naturais está incluído no conjunto dos inteiros. O conjunto dos inteiros está incluído no conjunto dos números racionais. E o conjunto dos números racionais está incluído no conjunto dos números reais. Esta afirmação pode ser ilustrada usando círculos de Euler.


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