Informações da história do aparecimento da derivada: o slogan de muitos matemáticos do século XVII. foi: "Siga em frente, e fé na exatidão dos resultados para você
virá."
O termo "derivado" - (derivado francês - atrás, atrás) foi introduzido em 1797 por J. Lagrange. Ele também apresentou
designações modernas y", f'.
a designação lim é uma abreviatura da palavra latina limes (fronteira, limite). O termo "limite" foi introduzido por I. Newton.
I. Newton chamou a derivada de fluxo e a função em si - fluente.
G. Leibniz falou sobre a relação diferencial e denotou a derivada da seguinte forma:
Lagrange Joseph Louis (1736-1813)
matemático e mecânico francês

Newton:

“Este mundo estava envolto em profunda escuridão. Que haja luz! E entao
Newton apareceu. A. Pogue.
Isaac Newton (1643-1727) um dos fundadores
cálculo diferencial.
Sua principal obra é "Princípios matemáticos
filosofia natural "-teve uma colossal
influência no desenvolvimento da ciência natural
ponto de virada na história das ciências naturais.
Newton introduziu o conceito de derivada enquanto estudava as leis
mecânica, revelando assim a sua mecânica
significado.

O que é a derivada de uma função?

A derivada de uma função em um dado ponto é chamada de limite
a razão do incremento da função neste ponto para
incremento de argumento quando incremento de argumento
tende a zero.

O significado físico da derivada.

A velocidade é a derivada da distância em relação ao tempo:
v(t) = S'(t)
Aceleração é um derivado
velocidade ao longo do tempo:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

O significado geométrico da derivada:

Inclinação da tangente ao gráfico
função é igual à derivada desta função,
calculado no ponto de contato.
f′(x) = k = tga

Derivado em engenharia elétrica:

Nas nossas casas, nos transportes, nas fábricas: funciona em todo o lado
eletricidade. Por corrente elétrica entende-se
movimento direcionado de cargas elétricas livres
partículas.
A característica quantitativa da corrente elétrica é a força
atual.
NO
circuitos de corrente elétrica carga elétrica muda de
ao longo do tempo de acordo com a lei q=q (t). A força atual I é uma derivada
carga q ao longo do tempo.
Na engenharia elétrica, a operação AC é usada principalmente.
Uma corrente elétrica que varia com o tempo é chamada de
variáveis. Um circuito AC pode conter vários
elementos: aquecedores, bobinas, capacitores.
A obtenção de uma corrente elétrica alternada é baseada na lei
indução eletromagnética, cuja formulação contém
derivada do fluxo magnético.

Derivado em química:

◦ E na química, diferencial
cálculo para construir modelos matemáticos de
reações e posterior descrição de suas propriedades.
◦ Química é a ciência das substâncias, das transformações químicas
substâncias.
◦ A química estuda os padrões de várias reações.
◦ A velocidade de uma reação química é a variação
concentração de reagentes por unidade de tempo.
◦ Como a taxa de reação v muda continuamente durante
processo, geralmente é expresso como um derivado da concentração
reagentes ao longo do tempo.

Derivado em geografia:

A ideia do modelo sociológico de Thomas Malthus é que o crescimento populacional
proporcional à população em um dado tempo t através de N(t), . Modelo
Malthus fez um bom trabalho ao descrever a população dos EUA de 1790 a 1860.
anos. Este modelo não é mais válido na maioria dos países.

A integral e sua aplicação:

Um pouco de história:

A história do conceito de integral remonta a
aos matemáticos da Grécia Antiga e
Roma.
As obras do cientista da Grécia Antiga, Eudoxo de Knidos (c. 408-c. 355 aC), são conhecidas em
encontrar volumes de corpos e cálculos
áreas de figuras planas.

O cálculo integral tornou-se difundido no século XVII. Cientistas:
G. Leibniz (1646-1716) e I. Newton (1643-1727) descobriram independentemente
amigo e quase simultaneamente a fórmula, mais tarde chamada de fórmula
Newton - Leibniz, que usamos. Que a fórmula matemática
trouxe filósofo e físico não surpreende ninguém, pois a matemática é a linguagem em que
a própria natureza fala.

Símbolo inserido
Leibniz (1675). Este sinal é
mudança da letra latina S
(a primeira letra da palavra soma). A própria palavra integral
inventou
J. Bernoulli (1690). Provavelmente vem de
Latim integero, que se traduz como
restaurar ao seu estado original.
Os limites de integração já foram indicados por L. Euler
(1707-1783). Em 1697 surgiu o nome
novo ramo da matemática - integral
cálculo. Foi introduzido por Bernoulli.

Na análise matemática, a integral de uma função é chamada
extensão do conceito de soma. O processo de encontrar a integral
chama-se integração. Este processo é normalmente utilizado para
encontrar quantidades como área, volume, massa, deslocamento, etc.
quando a taxa ou distribuição de mudanças nesta quantidade é dada
em relação a alguma outra quantidade (posição, tempo, etc.).

O que é uma integral?

A integral é um dos conceitos mais importantes da análise matemática, que
surge ao resolver problemas de encontrar a área sob a curva, a distância percorrida quando
movimento irregular, a massa de um corpo não homogêneo, etc., bem como no problema de
restaurando uma função de sua derivada

Cientistas tentam tudo físico
fenômenos para expressar na forma
fórmula matemática. Quão
só temos uma fórmula, mais
já é possível com isso
contar qualquer coisa. E a integral
é um dos principais
ferramentas para trabalhar com
funções.

Métodos de integração:

1.Tabular.
2. Redução à transformação tabular do integrando
expressões para soma ou diferença.
3.Integração por mudança de variável (substituição).
4. Integração por partes.

Aplicação da integral:

◦ Matemática
◦ Calcular formas S.
◦ Comprimento do arco da curva.
◦ Corpos V em S paralelo
Seções.
◦ V corpos de revolução, etc.
Física
Trabalho Uma força variável.
S - (caminho) de movimento.
Cálculo de massa.
Cálculo do momento de inércia da linha,
círculo, cilindro.
◦ Calcular a coordenada do centro
gravidade.
◦ Quantidade de calor, etc.
◦
◦
◦
◦

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Tópico de pesquisa

Aplicação do cálculo integral no planejamento das despesas familiares.

Relevância do problema

Cada vez mais, nas esferas social e econômica, ao calcular o grau de desigualdade na distribuição de renda, utiliza-se a matemática, ou seja, o cálculo integral. Ao estudar a aplicação prática da integral, aprendemos:

• Como a integral e o cálculo da área usando a integral ajudam na alocação dos custos de material?

• Como a integral ajudará a economizar dinheiro para férias.

Alvo

planejar as despesas da família usando o cálculo integral

Tarefas

• Aprenda o significado geométrico da integral.
• Considere os métodos de integração nas esferas sociais e econômicas da vida.
• Faça uma previsão dos custos materiais da família ao reparar um apartamento usando a integral.
• Calcule o volume de consumo de energia da família por um ano, levando em consideração o cálculo integral.
• Calcule o valor de um depósito de poupança no Sberbank para férias.

Hipótese

o cálculo integral auxilia nos cálculos econômicos no planejamento de receitas e despesas familiares.

Etapas de pesquisa

• Estudamos o significado geométrico do integral e os métodos de integração nas esferas social e econômica da vida.
• Calculamos os custos de material necessários para o reparo de um apartamento usando a integral.
• Calculamos o volume de consumo de eletricidade no apartamento e o custo da eletricidade para a família por um ano.
• Consideramos uma das opções de coleta de renda familiar por meio de depósitos no Sberbank usando a integral.

Objeto de estudo

cálculo integral nas esferas social e econômica da vida.

Métodos

• Análise da literatura sobre o tema "Aplicação prática do cálculo integral"
• O estudo de métodos de integração na resolução de problemas de cálculo de áreas e volumes de figuras utilizando a integral.
• Análise de despesas e receitas familiares por meio do cálculo integral.

Progresso

• Revisão de literatura sobre o tema "Aplicação prática do cálculo integral"
• Resolução de um sistema de problemas para cálculo de áreas e volumes de figuras usando a integral.
• Cálculo de despesas e receitas familiares usando um cálculo integral: renovação de quartos, volume de eletricidade, depósitos no Sberbank para férias.

Nossos resultados

Como a integral e o cálculo do volume com a ajuda da integral ajudam a prever o volume de consumo de eletricidade?

conclusões

• O cálculo econômico dos fundos necessários para o reparo de um apartamento pode ser realizado com mais rapidez e precisão usando um cálculo integral.

• É mais fácil e rápido calcular o consumo de eletricidade da família usando um cálculo integral e o Microsoft Office Excel, o que significa prever os custos de eletricidade da família por um ano.

• O lucro dos depósitos no Sberbank pode ser calculado usando um cálculo integral, o que significa planejar férias em família.

Lista de recursos

Edições impressas:

• Livro didático. Álgebra e o início da análise 10-11 grau. A.G. Mordkovich. Mnemosine. M: 2007
• Livro didático. Álgebra e o início da análise 10-11 grau. A. Kolmogorov Iluminismo. M: 2007
• Matemática para sociólogos e economistas. Akhtyamov A. M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
• Cálculo Integral Handbook of Higher Mathematics por M. Ya. Vygodsky, Iluminismo, 2000

O lema da lição: “A matemática é a linguagem que todas as ciências exatas falam” N.I. Lobachevsky

O objetivo da aula: generalizar os conhecimentos dos alunos sobre o tema “Integral”, “Aplicação da integral”; alargar os seus horizontes, conhecimentos sobre a possível aplicação da integral ao cálculo de várias quantidades; consolidar as habilidades para usar a integral para resolver problemas aplicados; incutir um interesse cognitivo pela matemática, desenvolver uma cultura de comunicação e uma cultura de discurso matemático; aprender a falar com alunos e professores.

Tipo de lição: generalização iterativa.

Tipo de aula: aula - defesa do projeto “Aplicação da integral”.

Equipamentos: quadro magnético, cartazes “Aplicação do integral”, cartões com fórmulas e tarefas para trabalho independente.

Plano de aula:

1. Proteção do projeto:

1. da história do cálculo integral;
2. propriedades integrais;
3. aplicação da integral em matemática;
4. aplicação da integral em física;

2. Resolução de exercícios.

Durante as aulas

Professor: Uma poderosa ferramenta de pesquisa em matemática, física, mecânica e outras disciplinas é uma integral definida - um dos conceitos básicos da análise matemática. O significado geométrico da integral é a área de um trapézio curvilíneo. O significado físico da integral é 1) a massa de uma haste não homogênea com densidade, 2) o deslocamento de um ponto que se move em linha reta com velocidade durante um período de tempo.

Professor: Os caras da nossa turma fizeram um ótimo trabalho, pegaram tarefas onde uma certa integral é aplicada. Eles têm uma palavra.

2 aluno: Propriedades da integral

3 aluno: Aplicação da integral (tabela no quadro magnético).

4 aluno: Consideramos o uso da integral em matemática para calcular a área de figuras.

A área de qualquer figura plana, considerada em um sistema de coordenadas retangulares, pode ser composta pelas áreas dos trapézios curvilíneos adjacentes ao eixo Oh e eixos UO.Área de um trapézio curvilíneo delimitado por uma curva y = f(x), eixo Oh e duas retas x=a e x=b, Onde a x b, f(x) 0 calculado pela fórmula cm. arroz. Se o trapézio curvilíneo é adjacente ao eixo UO, então sua área é calculada pela fórmula , cm. arroz. Ao calcular as áreas das figuras, podem surgir os seguintes casos: a) A figura está localizada acima do eixo Ox e é limitada pelo eixo Ox, a curva y \u003d f (x) e duas linhas retas x \u003d a e x \u003d b. (Consulte. arroz.) A área desta figura é encontrada pela fórmula 1 ou 2. b) A figura está localizada sob o eixo Ox e é limitada pelo eixo Ox, a curva y \u003d f (x) e duas linhas retas x \u003d a e x \u003d b (consulte. arroz.). A área é encontrada pela fórmula . c) A figura está localizada acima e abaixo do eixo Ox e é limitada pelo eixo Ox, a curva y \u003d f (x) e duas linhas retas x \u003d a e x \u003d b ( arroz.). d) A área é limitada por duas curvas de interseção y \u003d f (x) e y \u003d (x) ( arroz.)

5 aluno: Resolva o problema

x-2y+4=0 e x+y-5+0 e y=0

7 aluno: Uma integral amplamente utilizada em física. Uma palavra para os físicos.

1. CÁLCULO DO CAMINHO PERCORRIDO POR UM PONTO

O caminho percorrido por um ponto durante um movimento não uniforme em linha reta com velocidade variável por um intervalo de tempo de até é calculado pela fórmula.

Exemplos:

1. Velocidade de movimento do ponto EM. Encontre o caminho percorrido pelo ponto em 4 segundos.

Solução: de acordo com a condição, . Consequentemente,

2. Dois corpos começaram a se mover simultaneamente do mesmo ponto na mesma direção em linha reta. O primeiro corpo move-se com uma velocidade m / s, o segundo - com uma velocidade v = (4t+5) EM. Qual a distância entre eles após 5 segundos?

Solução: é óbvio que o valor desejado é a diferença entre as distâncias percorridas pelo primeiro e segundo corpo em 5 s:

3. Um corpo é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com velocidade u = (39,2-9,8^) m/s. Encontre a altura máxima do corpo.

Solução: o corpo atingirá a maior altura de levantamento em um instante t quando v = 0, ou seja. 39.2- 9,8t = 0, de onde eu= 4 segundos. Pela fórmula (1), encontramos

2. CÁLCULO DA FORÇA DE TRABALHO

O trabalho realizado pela força variável f(x) ao se mover ao longo do eixo Oh ponto material de x = uma antes da x=b,é encontrado de acordo com a fórmula Ao resolver problemas para calcular o trabalho de uma força, a lei G y k a é frequentemente usada: F=kx, (3) onde F - força N; X-alongamento absoluto da mola, m, causado pela força F, uma k- coeficiente de proporcionalidade, N/m.

Exemplo:

1. Uma mola em repouso tem um comprimento de 0,2 m. Uma força de 50 N estica a mola em 0,01 m. Que trabalho deve ser feito para esticá-la de 0,22 a 0,32 m?

Solução: usando a igualdade (3), temos 50=0,01k, ou seja, kK = 5000 N/m. Encontramos os limites de integração: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b = 0,32- 0,2 = 0,12(m). Agora, de acordo com a fórmula (2), obtemos

3. CÁLCULO DO TRABALHO REALIZADO NA ELEVAÇÃO DA CARGA

Uma tarefa. Um tanque cilíndrico com raio da base de 0,5 m e altura de 2 m está cheio de água. Calcule o trabalho que precisa ser feito para bombear a água para fora do tanque.

Solução: selecione uma camada horizontal na profundidade x com altura dx ( arroz.). O trabalho A que deve ser feito para elevar uma camada de água de peso P a uma altura x é igual a Px.

Uma mudança na profundidade x por uma pequena quantidade dx causará uma mudança no volume V por dV = pr 2 dx e variação de peso Р por * dР = 9807 r 2 dх; neste caso, o trabalho realizado A mudará pelo valor dÀ=9807пr 2 xdх. Integrando esta igualdade à medida que x muda de 0 para H, obtemos

4. CÁLCULO DA FORÇA DE PRESSÃO LÍQUIDA

O significado de força R pressão do líquido em uma plataforma horizontal depende da profundidade de imersão X este local, ou seja, da distância do local à superfície do líquido.

A força de pressão (N) em uma plataforma horizontal é calculada pela fórmula P = 9807Sx,

Onde - densidade do líquido, kg/m 3 ; S - área do terreno, m 2; X- profundidade de imersão da plataforma, m

Se a área sob pressão do fluido não for horizontal, então a pressão sobre ela é diferente em diferentes profundidades, portanto, a força de pressão na área é uma função da profundidade de sua imersão P(x).

5. COMPRIMENTO DO ARCO

Deixe uma curva plana AB(arroz.) dado pela equação y \u003d f (x) (axb) e f(x) e f?(x) são funções contínuas no intervalo [а,b]. Então o diferencial dl comprimento do arco ABé expresso pela fórmula ou , e o comprimento do arco AB calculado pela fórmula (4)

onde a e b são os valores da variável independente X nos pontos A e B. Se a curva é dada pela equação x =(y)(com yd) então o comprimento do arco AB é calculado pela fórmula (5) onde Com e d valores de variáveis ​​independentes no em pontos MAS e V.

6. CENTRO DE MASSA

Ao encontrar o centro de massa, as seguintes regras são usadas:

1) x coordenada ? o centro de massa do sistema de pontos materiais А 1 , А 2 ,..., А n com massas m 1 , m 2 , ..., m n localizados em uma linha reta em pontos com coordenadas x 1 , x 2 , ..., x n , são encontrados pela fórmula

(*); 2) Ao calcular a coordenada do centro de massa, qualquer parte da figura pode ser substituída por um ponto material, colocando-o no centro de massa desta parte, e atribuindo-lhe uma massa igual à massa da parte considerada da figura. Exemplo. Seja ao longo do segmento de haste [a;b] do eixo Ox - a massa é distribuída com densidade (x), onde (x) é uma função contínua. Vamos mostrar que a) a massa total M da haste é igual a; b) coordenada do centro de massa x " é igual a .

Vamos dividir o segmento [a; b] em n partes iguais com pontos a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (arroz.). Em cada um desses n segmentos, a densidade pode ser considerada constante para n grande e aproximadamente igual a (x k - 1) no k-ésimo segmento (devido à continuidade de (x). Então a massa do k-ésimo segmento é aproximadamente igual a e a massa de toda a haste é

O conceito de integral é amplamente aplicável na vida. Integrais são usados ​​em vários campos da ciência e tecnologia. As principais tarefas calculadas usando integrais são tarefas para:

1. Encontrando o volume do corpo

2. Encontrar o centro de massa do corpo.

Vamos considerar cada um deles com mais detalhes. Aqui e abaixo, para denotar uma integral definida de alguma função f(x), com limites de integração de a a b, usaremos a seguinte notação ∫ a b f(x).

Encontrando o volume de um corpo

Considere a figura a seguir. Suponha que haja algum corpo cujo volume seja igual a V. Há também uma linha reta tal que, se tomarmos um certo plano perpendicular a essa linha reta, a área da seção transversal S desse corpo por esse plano será conhecida.

Cada um desses planos será perpendicular ao eixo x e, portanto, o interceptará em algum ponto x. Ou seja, a cada ponto x do segmento será atribuído o número S (x) - a área da seção transversal do corpo, o plano que passa por esse ponto.

Acontece que alguma função S(x) será dada no segmento. Se esta função for contínua neste segmento, então a seguinte fórmula será válida:

V = ∫ a b S(x)dx.

A comprovação dessa afirmação está além do escopo do currículo escolar.

Calculando o centro de massa de um corpo

O centro de massa é mais frequentemente usado em física. Por exemplo, há algum corpo que se move com qualquer velocidade. Mas é inconveniente considerar um corpo grande e, portanto, na física, esse corpo é considerado o movimento de um ponto, supondo que esse ponto tenha a mesma massa que todo o corpo.

E a tarefa de calcular o centro de massa do corpo é a principal neste assunto. Como o corpo é grande, qual ponto deve ser considerado o centro de massa? Talvez aquele no meio do corpo? Ou talvez o ponto mais próximo da borda de ataque? É aí que entra a integração.

As duas regras a seguir são usadas para encontrar o centro de massa:

1. Coordenada x' do centro de massa de algum sistema de pontos materiais A1, A2,A3, … An com massas m1, m2, m3, … mn, respectivamente, localizados em uma linha reta nos pontos com coordenadas x1, x2, x3, … xn é encontrado pela seguinte fórmula:

x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Ao calcular as coordenadas do centro de massa, qualquer parte da figura em consideração pode ser substituída por um ponto material, enquanto a coloca no centro de massa desta parte separada da figura, e a massa pode ser tomada igual à massa desta parte da figura.

Por exemplo, se uma massa de densidade p(x) é distribuída ao longo da haste - um segmento do eixo Ox, onde p(x) é uma função contínua, então a coordenada do centro de massa x' será igual a.