Determinante de matriz

Encontrar o determinante de uma matriz é um problema muito comum em matemática e álgebra superiores. Via de regra, não se pode prescindir do valor do determinante da matriz ao resolver sistemas complexos de equações. O método de Cramer para resolver sistemas de equações é construído sobre o cálculo do determinante da matriz. Usando a definição de um determinado, a presença e a unicidade da solução de sistemas de equações são determinadas. Portanto, é difícil superestimar a importância da capacidade de encontrar corretamente e com precisão o determinante de uma matriz em matemática. Os métodos para resolver determinantes são teoricamente bastante simples, mas à medida que o tamanho da matriz aumenta, os cálculos tornam-se muito complicados e requerem muito cuidado e muito tempo. É muito fácil cometer um pequeno erro ou erro de digitação em cálculos matemáticos tão complexos, o que levará a um erro na resposta final. Portanto, mesmo que você encontre determinante da matriz de forma independente, é importante verificar o resultado. Isso nos permite fazer nosso serviço Encontrar o determinante de uma matriz online. Nosso serviço sempre fornece um resultado absolutamente preciso que não contém erros ou erros de digitação. Você pode recusar cálculos independentes, porque do ponto de vista aplicado, encontrar determinante da matriz não tem um caráter de ensino, mas simplesmente requer muito tempo e cálculos numéricos. Portanto, se em sua tarefa determinação do determinante da matriz são cálculos auxiliares, laterais, use nosso serviço e encontrar determinante de matriz online!

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O conceito de determinante é um dos principais no curso de álgebra linear. Este conceito é inerente ao ONLY SQUARE MATRIXES, e este artigo é dedicado a este conceito. Aqui falaremos sobre determinantes de matrizes cujos elementos são números reais (ou complexos). Nesse caso, o determinante é um número real (ou complexo). Todas as apresentações posteriores serão uma resposta às questões de como calcular o determinante e quais propriedades ele possui.

Primeiro, damos a definição do determinante de uma matriz quadrada de ordem n por n como a soma dos produtos das permutações dos elementos da matriz. Com base nessa definição, escrevemos fórmulas para calcular os determinantes de matrizes de primeira, segunda e terceira ordens e analisamos em detalhes as soluções de vários exemplos.

Em seguida, passamos às propriedades do determinante, que formularemos na forma de teoremas sem demonstração. Aqui, um método de cálculo do determinante será obtido por meio de sua expansão sobre os elementos de uma linha ou coluna. Este método reduz o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n por n ao cálculo dos determinantes de matrizes de ordem 3 por 3 ou menos. Certifique-se de mostrar soluções para vários exemplos.

Em conclusão, vamos nos deter no cálculo do determinante pelo método de Gauss. Este método é bom para encontrar determinantes de matrizes de ordem maior que 3 por 3 porque requer menos esforço computacional. Também analisaremos a solução de exemplos.

Navegação da página.

Definição de determinante matricial, cálculo de determinante matricial por definição.

Recordamos vários conceitos auxiliares.

Definição.

Permutação de ordem né chamado de conjunto ordenado de números, consistindo de n elementos.

Para um conjunto contendo n elementos, existem n! (n fatorial) de permutações de ordem n. As permutações diferem umas das outras apenas na ordem dos elementos.

Por exemplo, considere um conjunto composto por três números: . Escrevemos todas as permutações (são seis no total, pois ):

Definição.

Inversão em uma permutação de ordem n qualquer par de índices p e q é chamado, para o qual o p-ésimo elemento da permutação é maior que o q-ésimo.

No exemplo anterior, o inverso da permutação 4 , 9 , 7 é p=2 , q=3 , porque o segundo elemento da permutação é 9 e é maior que o terceiro elemento, que é 7 . O inverso da permutação 9 , 7 , 4 serão três pares: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) ep=2, q=3 (7>4).

Estaremos mais interessados ​​no número de inversões em uma permutação do que na própria inversão.

Let Ser uma matriz quadrada de ordem n por n sobre o corpo de números reais (ou complexos). Let Ser o conjunto de todas as permutações de ordem n do conjunto . O conjunto contém n! permutações. Vamos denotar a k-ésima permutação do conjunto como , e o número de inversões na k-ésima permutação como .

Definição.

Determinante da matriz E existe um número igual a .

Vamos descrever esta fórmula em palavras. O determinante de uma matriz quadrada de ordem n por n é a soma contendo n! termos. Cada termo é um produto de n elementos da matriz, e cada produto contém um elemento de cada linha e de cada coluna da matriz A. Um coeficiente (-1) aparece antes do k-ésimo termo se os elementos da matriz A no produto forem ordenados pelo número da linha e o número de inversões na k-ésima permutação do conjunto de números da coluna for ímpar.

O determinante de uma matriz A é geralmente denotado como , e det(A) também é usado. Você também pode ouvir que o determinante é chamado de determinante.

Então, .

Isso mostra que o determinante da matriz de primeira ordem é o elemento dessa matriz.

Calculando o Determinante de uma Matriz Quadrada de Segunda Ordem - Fórmula e Exemplo.

cerca de 2 por 2 em geral.

Neste caso n=2 , portanto n!=2!=2 .

.

Nós temos

Assim, obtivemos uma fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2 por 2, tem a forma .

Exemplo.

ordem.

Solução.

Em nosso exemplo. Aplicamos a fórmula resultante :

Cálculo do determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem - fórmula e exemplo.

Vamos encontrar o determinante de uma matriz quadrada cerca de 3 por 3 em geral.

Neste caso n=3 , portanto n!=3!=6 .

Vamos organizar em forma de tabela os dados necessários para aplicação da fórmula .

Nós temos

Assim, obtivemos uma fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por 3, tem a forma

Da mesma forma, pode-se obter fórmulas para calcular os determinantes de matrizes de ordem 4 por 4, 5 por 5 e superiores. Eles parecerão muito volumosos.

Exemplo.

Determinante de cálculo da matriz quadrada cerca de 3 por 3.

Solução.

Em nosso exemplo

Aplicamos a fórmula resultante para calcular o determinante de uma matriz de terceira ordem:

As fórmulas para calcular os determinantes de matrizes quadradas de segunda e terceira ordens são muito usadas, por isso recomendamos que você as lembre.

Propriedades de um determinante de matriz, cálculo de um determinante de matriz usando propriedades.

Com base na definição acima, o seguinte é verdadeiro. propriedades do determinante da matriz.

O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz transposta A T , ou seja, .

Exemplo.

Certifique-se de que o determinante da matriz é igual ao determinante da matriz transposta.

Solução.

Vamos usar a fórmula para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 por 3:



Transpomos a matriz A:


Calcule o determinante da matriz transposta:



De fato, o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

Se em uma matriz quadrada todos os elementos de pelo menos uma das linhas (uma das colunas) são zero, o determinante dessa matriz é igual a zero.

Exemplo.

Verifique se o determinante da matriz ordem 3 por 3 é zero.

Solução.




De fato, o determinante de uma matriz com uma coluna zero é zero.

Se você trocar quaisquer duas linhas (colunas) em uma matriz quadrada, o determinante da matriz resultante será oposto ao original (ou seja, o sinal mudará).

Exemplo.

Dadas duas matrizes quadradas de ordem 3 por 3 E . Mostre que seus determinantes são opostos.

Solução.

Matriz B é obtido da matriz A substituindo a terceira linha pela primeira e a primeira pela terceira. Pela propriedade considerada, os determinantes de tais matrizes devem diferir em sinal. Vamos verificar isso calculando os determinantes usando uma fórmula bem conhecida.



Realmente, .

Se pelo menos duas linhas (duas colunas) forem iguais em uma matriz quadrada, seu determinante será igual a zero.

Exemplo.

Mostre que o determinante da matriz igual a zero.

Solução.

Nesta matriz, a segunda e a terceira colunas são iguais, portanto, de acordo com a propriedade considerada, seu determinante deve ser igual a zero. Vamos dar uma olhada.



De fato, o determinante de uma matriz com duas colunas idênticas é zero.

Se em uma matriz quadrada todos os elementos de qualquer linha (coluna) forem multiplicados por algum número k, então o determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original, multiplicado por k. Por exemplo,



Exemplo.

Prove que o determinante da matriz é igual a três vezes o determinante da matriz .

Solução.

Os elementos da primeira coluna da matriz B são obtidos a partir dos elementos correspondentes da primeira coluna da matriz A multiplicando por 3. Então, em virtude da propriedade considerada, a igualdade deve ser válida. Vamos verificar isso calculando os determinantes das matrizes A e B.



Portanto, , o que deveria ser provado.

OBSERVAÇÃO.

Não confunda ou confunda os conceitos de matriz e determinante! A propriedade considerada do determinante de uma matriz e a operação de multiplicar uma matriz por um número estão longe de ser a mesma coisa.
, Mas .

Se todos os elementos de qualquer linha (coluna) de uma matriz quadrada forem a soma de s termos (s é um número natural maior que um), então o determinante dessa matriz será igual à soma dos s determinantes das matrizes obtidas de o original, se como elementos da linha (coluna) saem um termo de cada vez. Por exemplo,


Exemplo.

Prove que o determinante de uma matriz é igual à soma dos determinantes das matrizes .

Solução.

Em nosso exemplo , portanto, devido à propriedade considerada do determinante da matriz, a igualdade . Verificamos isso calculando os determinantes correspondentes de matrizes de ordem 2 por 2 usando a fórmula .


Pelos resultados obtidos, pode-se perceber que . Isso completa a prova.

Se adicionarmos aos elementos de alguma linha (coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (coluna), multiplicados por um número arbitrário k, então o determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original.

Exemplo.

Certifique-se de que, se os elementos da terceira coluna da matriz adicione os elementos correspondentes da segunda coluna desta matriz, multiplicados por (-2), e adicione os elementos correspondentes da primeira coluna da matriz, multiplicados por um número real arbitrário, então o determinante da matriz resultante será igual a o determinante da matriz original.

Solução.

Se partirmos da propriedade considerada do determinante, então o determinante da matriz obtido após todas as transformações indicadas no problema será igual ao determinante da matriz A.

Primeiro, calculamos o determinante da matriz original A:



Agora vamos realizar as transformações necessárias da matriz A.

Vamos adicionar aos elementos da terceira coluna da matriz os correspondentes elementos da segunda coluna da matriz, tendo-os previamente multiplicado por (-2) . Depois disso, a matriz ficará assim:


Aos elementos da terceira coluna da matriz resultante, adicionamos os elementos correspondentes da primeira coluna, multiplicados por:


Calcule o determinante da matriz resultante e verifique se ele é igual ao determinante da matriz A, ou seja, -24:



O determinante de uma matriz quadrada é a soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) por seus adições algébricas.



Aqui está o complemento algébrico do elemento da matriz , .

Esta propriedade permite computar determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3 reduzindo-os à soma de vários determinantes de matrizes de ordem um inferior. Em outras palavras, esta é uma fórmula recorrente para calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Recomendamos que você se lembre dele devido à sua aplicabilidade bastante frequente.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo.

ordene 4 por 4, expandindo-o

• por elementos da 3ª linha,
• pelos elementos da 2ª coluna.

Solução.

Usamos a fórmula para expandir o determinante pelos elementos da 3ª linha



Nós temos



Assim, o problema de encontrar o determinante de uma matriz de ordem 4 por 4 foi reduzido ao cálculo de três determinantes de matrizes de ordem 3 por 3:



Substituindo os valores obtidos, chegamos ao resultado:


Usamos a fórmula para expandir o determinante pelos elementos da 2ª coluna


e nós agimos da mesma maneira.

Não descreveremos em detalhes o cálculo dos determinantes de matrizes de terceira ordem.



Exemplo.

Determinante da Matriz de Cálculo cerca de 4 por 4.

Solução.

Você pode decompor o determinante da matriz em elementos de qualquer coluna ou linha, mas é mais vantajoso escolher a linha ou coluna que contém o maior número de elementos zero, pois isso ajudará a evitar cálculos desnecessários. Vamos expandir o determinante pelos elementos da primeira linha:



Calculamos os determinantes obtidos de matrizes de ordem 3 por 3 de acordo com a fórmula conhecida por nós:



Substituímos os resultados e obtemos o valor desejado


Exemplo.

Determinante da Matriz de Cálculo cerca de 5 por 5.

Solução.

A quarta linha da matriz possui o maior número de elementos zero entre todas as linhas e colunas, por isso é aconselhável expandir o determinante da matriz justamente pelos elementos da quarta linha, pois neste caso precisamos de menos cálculos.



Os determinantes obtidos de matrizes da ordem 4 por 4 foram encontrados nos exemplos anteriores, então usaremos os resultados prontos:



Exemplo.

Determinante da Matriz de Cálculo cerca de 7 por 7 .

Solução.

Você não deve se apressar imediatamente para decompor o determinante pelos elementos de qualquer linha ou coluna. Se você olhar atentamente para a matriz, notará que os elementos da sexta linha da matriz podem ser obtidos multiplicando-se os elementos correspondentes da segunda linha por dois. Ou seja, se adicionarmos os elementos correspondentes da segunda linha multiplicados por (-2) aos elementos da sexta linha, o determinante não mudará devido à sétima propriedade e a sexta linha da matriz resultante consistirá em zeros. O determinante de tal matriz é igual a zero pela segunda propriedade.

Responder:

Deve-se notar que a propriedade considerada permite calcular os determinantes de matrizes de qualquer ordem, porém, é preciso realizar muitas operações computacionais. Na maioria dos casos, é mais vantajoso encontrar o determinante de matrizes de ordem superior ao terceiro pelo método de Gauss, que consideraremos a seguir.

A soma dos produtos dos elementos de qualquer linha (coluna) de uma matriz quadrada e os complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra linha (coluna) é igual a zero.


Exemplo.

Mostre que a soma dos produtos dos elementos da terceira coluna da matriz em complementos algébricos dos elementos correspondentes da primeira coluna é igual a zero.

Solução.




O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto de seus determinantes, ou seja, , onde m é um número natural maior que um, A k , k=1,2,…,m são matrizes quadradas de mesma ordem.

Exemplo.

Certifique-se de que o determinante do produto de duas matrizes e é igual ao produto de seus determinantes.

Solução.

Vamos primeiro encontrar o produto dos determinantes das matrizes A e B:


Agora vamos realizar a multiplicação de matrizes e calcular o determinante da matriz resultante:



Por isso, , que seria mostrado.

Cálculo do determinante da matriz pelo método de Gauss.

Vamos descrever a essência deste método. Usando transformações elementares, a matriz A é reduzida de tal forma que na primeira coluna todos os elementos, exceto para, tornam-se zero (isso sempre é possível se o determinante da matriz A for diferente de zero). Descreveremos esse procedimento um pouco mais tarde, mas agora explicaremos por que isso é feito. Zero elementos são obtidos para obter a expansão mais simples do determinante sobre os elementos da primeira coluna. Após tal transformação da matriz A, levando em consideração a oitava propriedade e , obtemos

Onde - menor (n-1)-ésima ordem, obtido da matriz A excluindo os elementos de sua primeira linha e primeira coluna.

Com a matriz a que corresponde o menor, faz-se o mesmo procedimento para obtenção de elementos nulos na primeira coluna. E assim sucessivamente até o cálculo final do determinante.

Agora resta responder à pergunta: "Como obter elementos nulos na primeira coluna"?

Vamos descrever o algoritmo de ações.

Se , então os elementos da primeira linha da matriz são adicionados aos elementos correspondentes da k-ésima linha, na qual . (Se, sem exceção, todos os elementos da primeira coluna da matriz A forem zero, então seu determinante é zero pela segunda propriedade e nenhum método gaussiano é necessário). Após tal transformação, o "novo" elemento será diferente de zero. O determinante da "nova" matriz será igual ao determinante da matriz original devido à sétima propriedade.

Agora temos uma matriz que tem . Quando aos elementos da segunda linha adicionamos os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , aos elementos da terceira linha - os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por . E assim por diante. Em conclusão, aos elementos da enésima linha, adicionamos os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por . Assim, a matriz A transformada será obtida, todos os elementos da primeira coluna da qual, exceto , serão zero. O determinante da matriz resultante será igual ao determinante da matriz original devido à sétima propriedade.

Vamos analisar o método ao resolver um exemplo, assim ficará mais claro.

Exemplo.

Calcular o determinante de uma matriz de ordem 5 por 5 .

Solução.

Vamos usar o método de Gauss. Vamos transformar a matriz A de forma que todos os elementos de sua primeira coluna, exceto , tornem-se zero.

Como o elemento é inicialmente , adicionamos aos elementos da primeira linha da matriz os elementos correspondentes, por exemplo, a segunda linha, pois:

O sinal "~" significa equivalência.

Agora adicionamos aos elementos da segunda linha os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , aos elementos da terceira linha - os elementos correspondentes da primeira linha, multiplicados por , e proceda da mesma forma até a sexta linha:

Nós temos

com matriz realizamos o mesmo procedimento para obter elementos zero na primeira coluna:

Por isso,

Agora realizamos transformações com a matriz :

Comente.

Em algum estágio da transformação da matriz pelo método de Gauss, pode surgir uma situação em que todos os elementos das últimas linhas da matriz tornam-se zero. Isso vai falar sobre a igualdade do determinante para zero.

Resumir.

O determinante de uma matriz quadrada cujos elementos são números é um número. Consideramos três maneiras de calcular o determinante:

1. pela soma dos produtos das combinações dos elementos da matriz;
2. pela expansão do determinante pelos elementos da linha ou coluna da matriz;
3. o método de redução da matriz à triangular superior (pelo método de Gauss).

Foram obtidas fórmulas para cálculo dos determinantes de matrizes de ordem 2 por 2 e 3 por 3 .

Analisamos as propriedades do determinante da matriz. Alguns deles permitem que você entenda rapidamente que o determinante é zero.

Ao calcular os determinantes de matrizes de ordem superior a 3 por 3, é aconselhável usar o método de Gauss: realizar transformações elementares da matriz e trazê-la para a triangular superior. O determinante dessa matriz é igual ao produto de todos os elementos da diagonal principal.

Lembre-se do teorema de Laplace:
Teorema de Laplace:

Sejam k linhas (ou k colunas) escolhidas arbitrariamente no determinante d de ordem n, . Então a soma dos produtos de todos os menores de ordem k contidos nas linhas selecionadas e seus complementos algébricos é igual ao determinante d.

Para calcular os determinantes no caso geral, k é considerado igual a 1. Ou seja, no determinante d de ordem n, uma linha (ou coluna) é escolhida arbitrariamente. Então a soma dos produtos de todos os elementos contidos na linha (ou coluna) selecionada e seus complementos algébricos é igual ao determinante d.

Exemplo:
Calcular determinante

Solução:

Vamos escolher uma linha ou coluna arbitrária. Por uma razão que ficará aparente um pouco mais tarde, limitaremos nossa escolha à terceira linha ou à quarta coluna. E pare na terceira linha.

Vamos usar o teorema de Laplace.

O primeiro elemento da linha selecionada é 10, está na terceira linha e primeira coluna. Vamos calcular o complemento algébrico para ele, ou seja, encontre o determinante obtido excluindo a coluna e a linha em que esse elemento está (10) e descubra o sinal.

"mais se a soma dos números de todas as linhas e colunas nas quais o menor M está localizado for par e menos se esta soma for ímpar."
E pegamos o menor que consiste em um único elemento 10, que está na primeira coluna da terceira linha.

Então:


O quarto termo dessa soma é 0, por isso vale a pena escolher linhas ou colunas com o número máximo de elementos zero.

Responder: -1228

Exemplo:
Calcule o determinante:

Solução:
Vamos escolher a primeira coluna, porque dois elementos são iguais a 0. Vamos expandir o determinante na primeira coluna.


Expandimos cada um dos determinantes de terceira ordem em termos da primeira e segunda linhas


Expandimos cada um dos determinantes de segunda ordem na primeira coluna


Responder: 48
Comente: ao resolver este problema, não foram utilizadas fórmulas para calcular os determinantes de 2ª e 3ª ordens. Foi utilizada apenas a expansão por linha ou coluna. O que leva a diminuir a ordem dos determinantes.

Cálculo de determinantes n-ésima ordem:

O conceito de determinante n-ésima ordem

Usando este artigo sobre determinantes, você certamente aprenderá a resolver problemas como os seguintes:

Resolva a equação:

e muitos outros que os professores adoram inventar.

O determinante da matriz ou simplesmente o determinante desempenha um papel importante na resolução de sistemas de equações lineares. Em geral, os determinantes foram inventados para esse fim. Uma vez que também é dito "o determinante de uma matriz", mencionaremos as matrizes aqui também. Matrizé uma mesa retangular composta de números que não podem ser trocados. Uma matriz quadrada é uma tabela que possui o mesmo número de linhas e colunas. Apenas uma matriz quadrada pode ter um determinante.

É fácil entender a lógica de escrever determinantes de acordo com o seguinte esquema. Vamos pegar um sistema de duas equações com duas incógnitas que você conhece da escola:

No determinante, os coeficientes para incógnitas são escritos sequencialmente: na primeira linha - da primeira equação, na segunda linha - da segunda equação:

Por exemplo, se dado um sistema de equações

então o seguinte determinante é formado a partir dos coeficientes das incógnitas:

Então, digamos que temos uma mesa quadrada que consiste em números arranjados em n linhas (linhas horizontais) e em n colunas (linhas verticais). Com a ajuda desses números, de acordo com algumas regras, que estudaremos a seguir, eles encontram um número, que chamam determinante nª ordem e são denotados da seguinte forma:

(1)

Números são chamados elementos determinante (1) (o primeiro índice significa o número da linha, o segundo - o número da coluna, na interseção da qual existe um elemento; eu = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). A ordem de um determinante é o número de suas linhas e colunas.

Uma linha reta imaginária conectando os elementos do determinante para os quais ambos os índices são os mesmos, ou seja, elementos

chamado diagonal principal, a outra diagonal é lado.

Cálculo de determinantes de segunda e terceira ordem

Vamos mostrar como os determinantes das três primeiras ordens são calculados.

O determinante de primeira ordem é o próprio elemento, ou seja,

O determinante de segunda ordem é o número obtido da seguinte forma:

, (2)

O produto dos elementos nas diagonais principal e secundária, respectivamente.

A igualdade (2) mostra que o produto dos elementos da diagonal principal é tomado com seu sinal, e o produto dos elementos da diagonal secundária é tomado com o sinal oposto .

Exemplo 1 Calcule os determinantes de segunda ordem:

Solução. Pela fórmula (2) encontramos:

O determinante de terceira ordem é um número obtido assim:

(3)

É difícil lembrar dessa fórmula. No entanto, existe uma regra simples chamada regra do triângulo , o que facilita a reprodução da expressão (3). Denotando os elementos do determinante com pontos, conectamos por segmentos de reta aqueles deles que dão os produtos dos elementos do determinante (Fig. 1).

A fórmula (3) mostra que os produtos dos elementos da diagonal principal, bem como os elementos localizados nos vértices de dois triângulos cujas bases são paralelas a ele, são tomados com seus sinais; com opostos - os produtos dos elementos da diagonal secundária, bem como os elementos localizados nos vértices de dois triângulos paralelos a ela .

Na Fig.1, a diagonal principal e as bases dos triângulos a ela correspondentes e a diagonal secundária e as bases dos triângulos a ela correspondentes estão destacadas em vermelho.

Ao calcular determinantes, é muito importante, como no ensino médio, lembrar que um número negativo multiplicado por um número negativo resulta em um sinal de mais, e um sinal de mais multiplicado por um número negativo resulta em um número com um sinal de menos.

Exemplo 2 Calcule o determinante de terceira ordem:

Solução. Usando a regra dos triângulos, obtemos

Cálculo de determinantes n-ésima ordem

Expansão de linha ou coluna do determinante

Para calcular o determinante nª ordem, é necessário conhecer e utilizar o seguinte teorema.

Teorema de Laplace. O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha e seus complementos algébricos, ou seja,

Definição. Se no determinante n a ordem escolhe arbitrariamente p linhas e p colunas ( p < n), então os elementos na interseção dessas linhas e colunas formam uma matriz de ordem.

O determinante dessa matriz é chamado menor determinante original. Por exemplo, considere o determinante:

Vamos construir uma matriz de linhas e colunas com números pares:

Determinante

chamado menor determinante . Recebeu menor de segunda ordem. É claro que vários menores de primeira, segunda e terceira ordem podem ser construídos.

Se pegarmos um elemento e riscarmos a linha e a coluna na interseção da qual ele está no determinante, obtemos um menor, chamado de menor do elemento, que denotamos por:

.

Se o menor for multiplicado por , onde 3 + 2 é a soma dos números da linha e da coluna na interseção da qual o elemento está, o produto resultante é chamado adição algébrica elemento e é denotado por ,

Em geral, o menor de um elemento será denotado por , e o complemento algébrico por ,

(4)

Por exemplo, vamos calcular os complementos algébricos dos elementos e o determinante de terceira ordem:

Pela fórmula (4) obtemos

Ao decompor um determinante, a seguinte propriedade do determinante é freqüentemente usada n-ésima ordem:

se o produto dos elementos correspondentes de outra linha ou coluna por um fator constante for adicionado aos elementos de qualquer linha ou coluna, o valor do determinante não será alterado.

Exemplo 4

Vamos subtrair preliminarmente os elementos da quarta linha da primeira e terceira linhas, então teremos

Na quarta coluna do determinante obtido, três elementos são zeros. Portanto, é mais lucrativo expandir esse determinante pelos elementos da quarta coluna, pois os três primeiros produtos serão zero. É por isso

Você pode verificar a solução com calculadora de determinantes online .

E o exemplo a seguir mostra como o cálculo do determinante de qualquer ordem (neste caso, a quarta) pode ser reduzido ao cálculo do determinante de segunda ordem.

Exemplo 5 Calcule o determinante:

Vamos subtrair os elementos da primeira linha da terceira linha e adicionar os elementos da primeira linha aos elementos da quarta linha, então teremos

Na primeira coluna, todos os elementos, exceto o primeiro, são zeros. Ou seja, o determinante já pode ser decomposto na primeira coluna. Mas realmente não queremos calcular o determinante de terceira ordem. Portanto, faremos mais transformações: aos elementos da terceira linha somamos os elementos da segunda linha, multiplicados por 2, e dos elementos da quarta linha subtraímos os elementos da segunda linha. Como resultado, o determinante, que é um complemento algébrico, pode ser expandido na primeira coluna, e teremos apenas que calcular o determinante de segunda ordem e não nos confundir nos sinais:

Trazendo o determinante para uma forma triangular

Um determinante onde todos os elementos situados em um lado de uma das diagonais são iguais a zero é chamado de triangular. O caso da diagonal secundária é reduzido ao caso da diagonal principal, invertendo a ordem das linhas ou colunas. Tal determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Para reduzir a uma forma triangular, a mesma propriedade do determinante é usada nª ordem, que usamos no parágrafo anterior: se adicionarmos o produto dos elementos correspondentes de outra linha ou coluna por um fator constante aos elementos de qualquer linha ou coluna, o valor do determinante não mudará.

Você pode verificar a solução com calculadora de determinantes online .

Propriedades Determinantes n-ésima ordem

Nos dois parágrafos anteriores, já usamos uma das propriedades do determinante n-ésima ordem. Em alguns casos, para simplificar o cálculo do determinante, você pode usar outras propriedades importantes do determinante. Por exemplo, pode-se reduzir um determinante à soma de dois determinantes, um ou ambos podem ser convenientemente expandidos ao longo de alguma linha ou coluna. Existem muitos casos de tal simplificação, e a questão de usar uma ou outra propriedade do determinante deve ser decidida individualmente.

1. Teorema da decomposição:

Qualquer determinante é igual à soma dos produtos de pares de elementos de qualquer série e seus complementos algébricos.

Para eu-ª linha:

ou para j-ésima coluna:

Exemplo 7.1. Calcule o determinante expandindo sobre os elementos da primeira linha:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

O teorema da decomposição nos permite substituir o cálculo de um determinante n- cálculo de ordem n determinantes ( n- 1)ª ordem.

Porém, para simplificar os cálculos, é aconselhável utilizar o método da “multiplicação de zeros” para determinantes de ordens altas, baseado na propriedade 6 da seção 5. Sua ideia é:

Primeiro, "multiplique zeros" em alguma linha, ou seja, obter uma série em que apenas um elemento não é igual a zero, o resto são zeros;

Em seguida, expanda o determinante sobre os elementos desta série.

Portanto, com base no teorema da decomposição, o determinante original é igual ao produto de um elemento diferente de zero e seu complemento algébrico.

Exemplo 7.2. Calcule o determinante:

.

"multiplicar zeros" na primeira coluna.

Da segunda linha subtraímos o primeiro multiplicado por 2, da terceira linha subtraímos o primeiro multiplicado por 3 e da quarta linha subtraímos o primeiro multiplicado por 4. Com essas transformações, o valor do determinante não mudará.

De acordo com a propriedade 4 da seção 5, podemos retirar o sinal do determinante da 1ª coluna, da 2ª coluna e da 3ª coluna.

Consequência: Um determinante com uma série nula é igual a zero.

2. Teorema da substituição:

A soma dos produtos emparelhados de quaisquer números e os complementos algébricos de uma certa série de um determinante é igual ao determinante que se obtém do dado se os elementos desta série forem substituídos pelos números tomados.

Para a linha -th:

1. Teorema do cancelamento:

A soma dos produtos aos pares de elementos de qualquer série e complementos algébricos de uma série paralela é igual a zero.

De fato, pelo teorema da substituição, obtemos um determinante para o qual k-th linha contém os mesmos elementos que em eu-ésima linha

Mas pela propriedade 3 da Seção 5, tal determinante é igual a zero.

Assim, o teorema da decomposição e seus corolários podem ser escritos da seguinte forma:

8. Informações gerais sobre matrizes. Definições básicas.

Definição 8.1 . Matriz chamou a seguinte mesa retangular:

As seguintes designações de matriz também são usadas: , ou ou .

As linhas e colunas de uma matriz são nomeadas linhas.

O valor é chamado tamanho matrizes.

Se trocarmos linhas e colunas em uma matriz, obtemos uma matriz chamada transposto. Matriz transposta com , geralmente denotado pelo símbolo .

Por exemplo:

Definição 8.2. Duas matrizes A E B chamado igual, Se

1) ambas as matrizes são do mesmo tamanho, ou seja, E ;

2) todos os seus elementos correspondentes são iguais, ou seja,

Então . (8.2)

Aqui uma igualdade matricial (8.2) é equivalente a igualdades escalares (8.1).

9. Variedades de matrizes.

1) Uma matriz, cujos elementos são todos iguais a zero, é chamada matriz nula:

2) Se a matriz consiste em apenas uma linha, então ela é chamada matriz linha, Por exemplo . Da mesma forma, uma matriz que possui apenas uma coluna é chamada matriz coluna, Por exemplo .

A transposição transforma uma matriz coluna em uma matriz linha e vice-versa.

3) Se m=n, então a matriz é chamada matriz quadrada de enésima ordem.

A diagonal dos termos de uma matriz quadrada, indo do canto superior esquerdo ao canto inferior direito, é chamada principal. A outra diagonal de seus membros, indo do canto inferior esquerdo ao canto superior direito, é chamada lado.

Para uma matriz quadrada, o determinante pode ser calculado det(A).